积分变换第1讲PPT教学课件
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积分变换.ppt
L [ekt ] 1 (P145) sk
1
f (t ) L 1[F (s)]
t
24
有
f
(t
)
1 t
L
1
1[
s1
1] s1
1 (et et ) 1 (et et )
t
t
积分性质 1
设Ff(s()t )=L[ tf(Lt)],1则[F有(s)]
t
2t
解 L [ sht ] =L [1 et 1 et ] 22
1 ( 1 1 ) F(s) 2 s1 s1
由像函数的积分性质, 有 L [ekt ] 1
f (t)
sk
L [ t ] s F (s)ds
27
sht 1 1 1
L
[
t
]
2 s
( s1
但在工程实际应用中, 许多以时间t 作为自 变量的函数往往在 t 0时是无意义的或者 是不需要考虑的. 这样的函数都不能取傅 氏变换. 因此, 傅氏变换的应用范围受到相 当大的限制.
对这些函数f(t)能否经过适当地改造, 使其 进行傅氏变换时克服上述两个缺点呢？ 答案是可以的, 就是拉普拉斯变换.
L [ t f (t)dt] 1F (s)
0
s
此外, 我们还有象函数的积分性质
L [ f (t)]
f (t ) est dt
F (s)ds
t
0t
s
26
或
f(t) = tL 1[ F (s)ds] s
例 求 f (t ) sht et et 的拉氏变换
复变函数与积分变换课堂PPT课件
完全类似在此基础上，也可以得出类似于微积分学中的 基本定理和牛顿-莱布尼兹公式。先引入原函数的概念。
第45页/共104页
定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
第48页/共104页
有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
第30页/共104页
上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
第10页/共104页
例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
第11页/共104页
容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
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定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
第48页/共104页
有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
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上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
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例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
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容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
积分变换第1讲
2
§1 Fourier积分公式
1.1 Recall:周期函数的 Fourier 级数
定理 (Dirichlet 定理)设 fT (t)是以 T 为周期的实值函数，且在 区间 [T/2 , T/2] 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)：
(1) 连续或只有有限个第一类间断点；
(2) 只有有限个极值点(不能震荡太厉害) .
t t
( ) c e 1 f ( )e d e fT t
in t
n
T n
n
T2 T 2 T
int
分析
由
c0
a0 2
,
cn
an
2
ibn
,
cn
an
ibn 2
,
得 c0 A0 ,
|cn
| | cn
|
1 2
an2
bn2
An ， 2
An
n an
in t 2c n
bn
argcn argcn θn , (n 0) .
F ()
2
k sin 0
2 3
25
例2
求指数衰减函数f
(t)
0, et ,
积分表达式,其中 0.
t 0的傅氏变换及其 t0
2
0
1 2sin costd 2 sin cost d
0
0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
24
0
sin cost
d
24 0
| t | 1 | t | 1 | t | 1
因此可知当t 0时,有
sin x d x sinc(x) d x
0x
20
2
§1 Fourier积分公式
1.1 Recall:周期函数的 Fourier 级数
定理 (Dirichlet 定理)设 fT (t)是以 T 为周期的实值函数，且在 区间 [T/2 , T/2] 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)：
(1) 连续或只有有限个第一类间断点；
(2) 只有有限个极值点(不能震荡太厉害) .
t t
( ) c e 1 f ( )e d e fT t
in t
n
T n
n
T2 T 2 T
int
分析
由
c0
a0 2
,
cn
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2
ibn
,
cn
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ibn 2
,
得 c0 A0 ,
|cn
| | cn
|
1 2
an2
bn2
An ， 2
An
n an
in t 2c n
bn
argcn argcn θn , (n 0) .
F ()
2
k sin 0
2 3
25
例2
求指数衰减函数f
(t)
0, et ,
积分表达式,其中 0.
t 0的傅氏变换及其 t0
2
0
1 2sin costd 2 sin cost d
0
0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
24
0
sin cost
d
24 0
| t | 1 | t | 1 | t | 1
因此可知当t 0时,有
sin x d x sinc(x) d x
0x
20
2
《积分变换法》课件
信号处理
在频域中，积分变换法可用于 滤波、降噪和信号分析。
电路分析
积分变换法可帮助分析电路的 稳定性、频率响应和系统性能。
总结
优缺点
积分变换法具有数学表达简单、普适性强等优点，但对初始条件敏感。
与其他方法的比较
相比其他方法，积分变换法可以更方便地处理连续和离散函数。
发展趋势
未来，积分变换法将继续应用于自动控制、信号处理和电子技术等领域，不断发展和完善。
《积分变换法》PPT课件
欢迎来到本次《积分变换法》PPT课件。让我们一起探索积分变换法的定义、 分类、常见方法以及在控制工程、信号处理和电路分析中的应用。
什么是积分变换法？
定义
积分变换法是一种数学方法，通过对函数的积分来研究和处理一些问题。
分类
积分变换法分为拉普拉斯变换、傅里叶变换和Z变换等不同类型。
1 参考文献
常见的积分变换频域，可用于信号
处理和频谱分析。
3
拉普拉斯变换
将函数从时域转换到频域，广泛应用于 控制系统和信号分析。
Z变换
将离散信号从时域转换到Z域，在数字信 号处理和系统分析中有重要应用。
积分变换法的应用
控制工程
积分变换法可用于控制系统的 建模、参数估计和控制器设计。
拉普拉斯积分变换 PPT课件
记为 F(s) L f (t)
F(s)称为 f (t)的拉氏变换（或称为象函数）。
2
若F(s)是f (t) 的拉氏变换，则称 f (t) 为F(s)的拉 氏逆变换（或称为象原函数），记为
f (t) L1F(s)
可以看出，f (t) (t 0)的拉氏变换，实际上就是 f (t)u(t)e t 的傅氏变换。
解 Lsin kt sin ktestdt 0
e st s2 k2
(s sin
kt
k
cos kt)
0
s2
k
k2
(Re(s) 0)
同样可得余弦函数的拉氏变换：
Lcoskt
s2
s
k2
(Re(s) 0)
9
例6 求单位脉冲函数 (t) 的拉氏变换。
解
利用性质： f (t) (t)dt f (0) ，有
即
L
t 0
f
(t )dt
1 s
L
f
(t)
1 s
F (s)
这个性质表明：一个函数积分后再取拉氏 变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数s。
20
重复应用积分性质可得：
L
t
dt
t
dt
0
0
n次
t 0
f
(t)dt
1 sn
F (s)
此外，由拉氏变换存在定理，还可以得到象函数 的积分性质：
L
7
则 f (t) 的拉氏变换
F (s) f (t) est dt 0
在半平面 Re(s) c上一定存在，右端的积分在 Re(s) c1 c 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 Re(s) c 的半平面内，F(s)为解析函数。
积分变换1-5.ppt
ut u t0
a2uxx ( x 0;t
( x);ux x0 0
0)
解
记ℱy[u( x,t)]
u( x, t )cos wxdx uˆ y (w,t)
0
ℱy[( x)]
0
(
x
)
cos
wxdx
ˆ
y
(
w)
- 11 -
第五节 傅里叶变换的应用
方程两边求傅立叶余弦变换得
ℱy[uxx ( x,t)]
(
x)
sin
wxdx
ˆ
z
(
w
)
傅 里
方程两边求傅立叶正弦变换得
叶 变 换
ℱz[uxx ( x,t)]
0 uxx ( x, t )sin wxdx
ux
sin
wx
0
w
0 ux cos wxdx
w[u
cos
wx
0
w
usin wxdx]
0
w2uˆz
-9-
所以
第 一
因此
章
傅 里 叶 变 换
第五节 傅里叶变换的应用
第 一
aiwX (w) bX (w) c X (w) H(w)
章
iw
傅即
里 叶 变
换 所以
X
(w)
b
H(w) i(aw
c
)
w
x(t )
ℱ1[ X (w)]
ℱ1[
b
H(w) i(aw
c
] )
w
1
2
bw
wH (w) i(aw2
c
)
e
iwt
dw
-3-
积分变换第1讲
的频谱图. 解： F ( )
f ( t )e i t dt
a 2e i t dt
E e i t i
a sin . 2 2E
24
频谱为 | F ( ) | 2 E | sin a | .
i
i
.
a0 fT ( t ) 2 e i n t e i n t e i n t e i n t a n ibn 2 2 n 1 a0 a n ibn i n t a n ibn i n t e e . 2 2 2 n 1
则在连续点处，有
6
a0 fT (t ) ( a n cos n t bn sin n t ). (1 ) 2 n 1
其中
2 a0 T 2 an T 2 bn T
T 2 T 2
fT ( t ) d t ,
2 , T
T 2
T 2 T 2
f T ( t ) cos nt dt ( n 1,2, ), f T ( t ) sin nt dt ( n 1,2, ).
所以 | F ( ) | f ( t ) cos tdt f ( t ) sin tdt , 显然有 | F ( ) || F ( ) | .
2 2
F ( )的 辐 角 arg F ( ) 称 为 f ( t ) 相 角 频 谱 .
记为
这里f (t )是要变换的函数， 原像函数； F ( )是变换后的函数， 像函数； K (t , )是一个二元函数， 积分变换核 .
2
数学物理方程第四章 积分变换法(课堂PPT)
❖ 傅里叶变换建立R了信号时域与频域之间的关系，
频率是信号的物理本质之一。
6
❖ 设f(x)为[-π,π]上的有限信号，则f(x)的傅 里叶变换可简化为：
fˆ ( ) π f (x)eix dx π
❖ 对于只在有限区间，例如在上有定义的函数,可 采取延拓的方法，使其成为某种周期函数，而在 上，。然后再对作傅里叶级数展开，其级数和在 区间上代表f(x),由于f(x)在x=0和x=l无定义，因此 可以有无数种延拓方式，因而有无数种展开式， 它们在上均代表.有时，对函数在边界（区间的 端点）上的行为提出限制，即满足一定的边界条 件，这常常就决定了如何延拓。
第四章 积分变换法 傅立叶变换与拉普拉斯变换
数学物理方程
1
1777年以前，人们普遍采用多项式函数P(x)来对信 N 1
号f(x)进行表征：f (x) P(x) anxn。 n0 1777年，数学家Euler在研究天文学时发现某些函
数可以通过余弦函数之和来表达。1807年，法国科学
家傅里叶进一步提出周期为2π的函数f(x)可以表示为
( x ,t 0)
U ' (t; k) k 2a2U (t; k) F(t; k) U (t; k) |t0 0
其中 U (t; k) 为u(x,t)的傅里叶变换。为求解这个非齐次
e 常微分方程，用 k2a2t 遍乘方程各项 18
d [U (t; k)ek2a2t ] F (t; k)ek2a2t dt
19
❖ 交换积分次序
u(x,t) t
1
= 0
f ( , )[2
e e dk] k2a2 (t ) ik (x ) d d
引用积分公式
e2k2 ek dk =
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积分变换
第1讲
1
积分变换
2
傅里叶(Fourier)级数展开
3
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要 和随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重 复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近 6
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周 期内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2] 内函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函 数都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利 克雷(Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上 1, 连续或只有有限个第一类间断点 2, 只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函
1 T
n -
T 2 -T 2
fT ( )e - jw n
d
e
jw
nt
17
对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某 个周期函数fT(t)当T时转化而来的. 作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内 等于f(t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个 数轴上, 则T越大, fT(t)与f(t)相等的范围也越大, 这就说明当T时, 周期函数fT(t)便可转化为 f(t), 即有
布在整个数轴上 , 两个相邻的点的距离为
w n
wn
- w n-1
2p
T
,或T
p w n
,
20
如图
2p 2p 2p
2p
TTT
T
{
{ { {
O w1 w2 w3
wn-1wn
w
f(t)又可写为
f(t)Tl im T1n --T2T2 fT( )e-jwnd ejwnt
1
w lim p 2 wn0
4
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合
Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
5
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可 以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.
T l im fT(t)f(t)
18
f(t)
O
fT1(t)
O
fT2(t)
t t
19
由公式
fT (t)
1 T
n-
T 2 -T 2
fT ( )e- jwn
d
e
jw
n
t
可知
f
(t)
lim 1 T T
n-
T 2 -T 2
fT ( )e- jwn
d
e
jw
n
t
当n取一切整数时 ,w n所对应的点便均匀分
(n 1,2,)
bn
2 T
T 2 -T 2
fT (t)sinnwt dt
(n 1,2,)
13
而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:
由cosj ejj e-jj ,sinj - j ejj -e-jj 得2源自2fT(t)
a0 2
an n1
ejnwt
e-jnwt 2
- jbn
ejnwt
-e-jnwt
n1
n-
15
给定fT(t), cn的计算如下:
c0
a0 2
1 T
T
2 -T
fT (t) d t
2
当n
1时cn
an
2
jbn
1 T
T 2 -T 2
fT (t) cosnwt dt -
- j 1 T
T 2 -T 2
fT (t)sin nwt d t
1 T
T 2 -T 2
fT (t)[cosnwt - j sin nwt]dt
nwt d t
2
11
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nwt], 即
T
2 -T
fT (t ) sin
nwt d t
2
T 2
a0
sin
nwt d t
2 - T 2
T
am
2 cos
-T
m w t sin
nwt d t
m 1
2
n
T
bm
2 sin
-T
m w t sin
nwt d t
数.
7
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点
第一类间断点
8
不满足狄氏条件的例: f (t) t ant 存在第二类间断点 f (t) sin(1) t 在靠近0处存在着无限多个极点值.
9
因此, 任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可表 示为三角级数的形式如下:
fT
(t)
a0 2
T
2 -T
fT (t ) cos
nwt d t
2
T 2
a0
cos
nwt d t
2 - T 2
T
am
2 cos
-T
m w t cos
nwt d t
m 1
2
n
T
bm
2 sin
-T
m w t cos
nwt d t
m 1
2
an
T
2 -T
cos
2
nwt
d
t
an
2
T 2
即
an
2 T
T
2 -T
fT (t ) cos
1 T
T
2 -T
fT (t)e- jnwt
dt
2
16
而
c - n
an
jbn 2
cn
1 T
T
2 -T
fT (t )e jnwt dt
2
因此可以合写成一个式 子
c n
1 T
T
2 -T
fT (t )e - jw nt dt
2
(n 0,1,2, )
fT (t ) cn e jw nt n -
T 2 -T
n- 2
fT(
)e-jwn
d
ejwnt
n
21
令T (wn)
m 1
2
bn
T
2 sin 2 nw t d t
-T 2
bn
T 2
即
bn
2 T
T
2 -T
fT (t ) sin
nwt d t
2
12
最后可得:
fT
(t)
a0 2
n1
(an
cosnwt
bn
sinnwt)
(1.1)
其中
a0
2 T
T 2 -T 2
fT (t)dt
an
2 T
T 2 -T 2
fT (t)cosnwt dt
(an cosnwt bn sinnwt)
n1
(1.1)
为求出a0,计算[ fT,1],即
T 2 -T 2
fT (t)dt
T 2
a0
dt
2 -T 2
(an
n1
T
2 -T
cosnwt
dt
bn
2
T 2
sinnwt
dt)
a0
T
-T 2
2
即
a0
2 T
T 2 -T 2
fT (t)dt
10
为求an, 计算[fT(t), cosnwt], 即
2
a0 2
n1
an
- jbn 2
ejnwt
an
jbn 2
e-jnwt
14
如令wn=nw (n=0,1,2,...)
且令c0
a0 2
,
cn
an
- jbn 2
,n
1,2,3,
c-n
an
jbn 2
,n
1,2,3,
fT (t) c0 cnejwnt c-ne-jwnt cnejwnt
第1讲
1
积分变换
2
傅里叶(Fourier)级数展开
3
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要 和随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重 复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近 6
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周 期内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2] 内函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函 数都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利 克雷(Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上 1, 连续或只有有限个第一类间断点 2, 只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函
1 T
n -
T 2 -T 2
fT ( )e - jw n
d
e
jw
nt
17
对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某 个周期函数fT(t)当T时转化而来的. 作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内 等于f(t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个 数轴上, 则T越大, fT(t)与f(t)相等的范围也越大, 这就说明当T时, 周期函数fT(t)便可转化为 f(t), 即有
布在整个数轴上 , 两个相邻的点的距离为
w n
wn
- w n-1
2p
T
,或T
p w n
,
20
如图
2p 2p 2p
2p
TTT
T
{
{ { {
O w1 w2 w3
wn-1wn
w
f(t)又可写为
f(t)Tl im T1n --T2T2 fT( )e-jwnd ejwnt
1
w lim p 2 wn0
4
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合
Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
5
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可 以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.
T l im fT(t)f(t)
18
f(t)
O
fT1(t)
O
fT2(t)
t t
19
由公式
fT (t)
1 T
n-
T 2 -T 2
fT ( )e- jwn
d
e
jw
n
t
可知
f
(t)
lim 1 T T
n-
T 2 -T 2
fT ( )e- jwn
d
e
jw
n
t
当n取一切整数时 ,w n所对应的点便均匀分
(n 1,2,)
bn
2 T
T 2 -T 2
fT (t)sinnwt dt
(n 1,2,)
13
而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:
由cosj ejj e-jj ,sinj - j ejj -e-jj 得2源自2fT(t)
a0 2
an n1
ejnwt
e-jnwt 2
- jbn
ejnwt
-e-jnwt
n1
n-
15
给定fT(t), cn的计算如下:
c0
a0 2
1 T
T
2 -T
fT (t) d t
2
当n
1时cn
an
2
jbn
1 T
T 2 -T 2
fT (t) cosnwt dt -
- j 1 T
T 2 -T 2
fT (t)sin nwt d t
1 T
T 2 -T 2
fT (t)[cosnwt - j sin nwt]dt
nwt d t
2
11
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nwt], 即
T
2 -T
fT (t ) sin
nwt d t
2
T 2
a0
sin
nwt d t
2 - T 2
T
am
2 cos
-T
m w t sin
nwt d t
m 1
2
n
T
bm
2 sin
-T
m w t sin
nwt d t
数.
7
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点
第一类间断点
8
不满足狄氏条件的例: f (t) t ant 存在第二类间断点 f (t) sin(1) t 在靠近0处存在着无限多个极点值.
9
因此, 任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可表 示为三角级数的形式如下:
fT
(t)
a0 2
T
2 -T
fT (t ) cos
nwt d t
2
T 2
a0
cos
nwt d t
2 - T 2
T
am
2 cos
-T
m w t cos
nwt d t
m 1
2
n
T
bm
2 sin
-T
m w t cos
nwt d t
m 1
2
an
T
2 -T
cos
2
nwt
d
t
an
2
T 2
即
an
2 T
T
2 -T
fT (t ) cos
1 T
T
2 -T
fT (t)e- jnwt
dt
2
16
而
c - n
an
jbn 2
cn
1 T
T
2 -T
fT (t )e jnwt dt
2
因此可以合写成一个式 子
c n
1 T
T
2 -T
fT (t )e - jw nt dt
2
(n 0,1,2, )
fT (t ) cn e jw nt n -
T 2 -T
n- 2
fT(
)e-jwn
d
ejwnt
n
21
令T (wn)
m 1
2
bn
T
2 sin 2 nw t d t
-T 2
bn
T 2
即
bn
2 T
T
2 -T
fT (t ) sin
nwt d t
2
12
最后可得:
fT
(t)
a0 2
n1
(an
cosnwt
bn
sinnwt)
(1.1)
其中
a0
2 T
T 2 -T 2
fT (t)dt
an
2 T
T 2 -T 2
fT (t)cosnwt dt
(an cosnwt bn sinnwt)
n1
(1.1)
为求出a0,计算[ fT,1],即
T 2 -T 2
fT (t)dt
T 2
a0
dt
2 -T 2
(an
n1
T
2 -T
cosnwt
dt
bn
2
T 2
sinnwt
dt)
a0
T
-T 2
2
即
a0
2 T
T 2 -T 2
fT (t)dt
10
为求an, 计算[fT(t), cosnwt], 即
2
a0 2
n1
an
- jbn 2
ejnwt
an
jbn 2
e-jnwt
14
如令wn=nw (n=0,1,2,...)
且令c0
a0 2
,
cn
an
- jbn 2
,n
1,2,3,
c-n
an
jbn 2
,n
1,2,3,
fT (t) c0 cnejwnt c-ne-jwnt cnejwnt