人教A版数学必修二第四章第五课时导学案§4.2.3直线与圆的方程的应用
高中数学 §4.2.3 直线与圆的方程的应用教案 新人教A版必修2
第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
总第（2）课时课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
高中数学教案之高一数学人教版必修二4.2.3直线与圆的方程的应用
高一数学必修二教案
科目：数学
课题
课型
直线与圆的方程的应用
（ 1）会用“数形结合”的数学思想解决问题 .
教学
目标
（ 2）理解掌握，直线与圆的方程在实际生活中的应用
.
新课
（ 3）让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问
题与解决问题的能力教学教ຫໍສະໝຸດ 内容备过程注
一、 自主 学习
二、 质疑 提问
高中数学教案之高一数学人教版必修二 4.2.3 直线与圆的方程的应用
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高中数学教案之高一数学人教版必修二 4.2.3 直线与圆的方程的应用
三、 问题 探究
高中数学教案之高一数学人教版必修二 4.2.3 直线与圆的方程的应用
高中数学教案之高一数学人教版必修二 4.2.3 直线与圆的方程的应用
四、 课堂 检测
五、 小结 评价
人教版高中数学必修二 4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用 学案+课时训练
人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案【学习目标】1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点、易错点)2．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．(难点)【要点梳理夯实基础】知识点1圆与圆位置关系的判定阅读教材P129至P130“练习”以上部分，完成下列问题．1．几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|0≤d＜|r1－r2| ⎭⎬⎫圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程⎩⎨⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含[思考辨析学练结合]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是()A．外离B．相交C．内切D．外切[解析]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d＝42＋(－3)2＝5.又4－3<5<3＋4，故两圆相交．[答案] B知识点2 直线与圆的方程的应用阅读教材P130“练习”以下至P132“练习”以上部分，完成下列问题．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”[思考辨析学练结合]一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米[解析]建立如图所示的平面直角坐标系．如图，设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)．半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62，∴h＝40.77≈3.5(米)．[答案] B【合作探究析疑解难】考点1 圆与圆位置关系的判定[典例1] 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？[分析]求圆C1的半径r1→求圆C2的半径r2→求|C1C2|→利用|C1C2|与|r1－r2|和r1＋r2的关系求k[解答]将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)．从而|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即0≤k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．[解]圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C 1(a,1)，C 2(2a,1)，半径r 1＝4，r 2＝1.∴|C 1C 2|＝(a －2a )2＋(1－1)2＝a .(1)当|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5，即a ＝5时，两圆外切；当|C 1C 2|＝r 1－r 2＝3，即a ＝3时，两圆内切．(2)当3＜|C 1C 2|＜5，即3＜a ＜5时，两圆相交．(3)当|C 1C 2|＞5，即a ＞5时，两圆外离．(4)当|C 1C 2|＜3，即a ＜3时，两圆内含．考点2 两圆相交有关问题[典例2] 求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长． [分析] 联立圆C 1、C 2的方程――→作差得公共弦所在的直线―→圆心C 3到公共弦的距离d ―→圆的半径r ―→弦长＝2r 2－d 2[解答] 设两圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标是方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的解， 两式相减得x ＋y －1＝0.因为A ，B 两点的坐标满足 x ＋y －1＝0，所以AB 所在直线方程为x ＋y －1＝0，即C 1，C 2的公共弦所在直线方程为x ＋y －1＝0，圆C 3的圆心为(1,1)，其到直线AB 的距离d ＝12，由条件知r 2－d 2＝254－12＝234，所以直线AB 被圆C 3截得弦长为2×232＝23.1．圆系方程一般地过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x2．求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．[解] 联立两圆的方程得方程组⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝3 5. 设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.考点3 直线与圆的方程的应用探究1 设村庄外围所在曲线的方程可用(x －2)2＋(y ＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？[分析]从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即|2＋3＋2|12＋(－1)2－2＝722－2.探究2已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求B城市处于危险区内的时间．[分析]如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动．则点B到AC的距离为202千米，则射线AC被以B为圆心，以30千米为半径的圆截得的弦长为2302－(202)2＝20(千米)．所以B城市处于危险区内的时间为t＝2020＝1(小时)．[典例3] 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图4-2-1)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．图4-2-1[分析]建立适当坐标系，求出圆O的方程和直线BC的方程，再利用直线与圆的位置关系求解．[解答]以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为x8＋y8＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离．此时DE长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km.[方法总结]解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤[跟踪练习]3．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？[解] 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|－28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d＞r，∴直线与圆外离，所以轮船不会受到台风的影响．【学习检测巩固提高】1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是()A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[解析]设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25.[答案] B2．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A．1.4 m B．3.5 m C．3.6 m D．2.0 m [解析]圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，所以AB＝0.8，所以弦心距OB＝ 3.62－0.82≈3.5(m)．[答案] B3．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是__相交__.[解析]圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为O1(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为O 2(0，－3)，半径为r 2＝6，∴|O 1O 2|＝(－3－0)2＋(0＋3)2＝32，∴r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．4．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为__ [34，＋∞) __. [解析] 如右图所示，设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的点，则y ＋2x ＋1表示过P (x ，y )和Q (－1，－2)两点的直线PQ 的斜率，过点Q 作圆的两条切线QA ，QB ，由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QA .设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由圆心到QA 的距离为1，得|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以y ＋2x ＋1的取值范围是[34，＋∞)． 5．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程.[解析] 解法一：联立两圆方程⎩⎨⎧ x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0， 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎨⎧4x ＋3y －2＝0x 2＋y 2－12x －2y －13＝0， 联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为12(5＋1)2＋(－6－2)2＝5. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C (－12λ－122(1＋λ)，－16λ－22(1＋λ))． ∵圆心C 在公共弦所在直线上，∴4·－(12λ－12)2(1＋λ)＋3·－(16λ－2)2(1＋λ)－2＝0， 解得λ＝12.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.人教版高中数学必修二第4章 圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系课时检测一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[解析] 解法一：线段AB 的中垂线即两圆的连心线所在直线l ，由圆心C 1(1,0)，C 2(－1,2)，得l 方程为x ＋y －1＝0.解法二：直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此线段AB 的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y ＝－(x －1)，故选A ．[答案] A2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( )A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切[解析] 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)， 半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1＜|O 1O 2|＝5＜r 1＋r 2＝3，即两圆相交．[答案] B3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b应满足的关系式是()A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[解析]利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.[答案] B4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋7)2＝9C．(x－5)2＋(y＋7)2＝15 D．(x＋5)2＋(y－7)2＝25[解析]设动圆圆心为P(x，y)，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25.[答案] A5．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝()A．5B．4C．3D．2 2 [解析]设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴y0x0·y0＋3x0－4＝－1，∴3y0－4x0＝－16.∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.[答案] C6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－6)2＋(y－4)2＝6 B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36 D．(x－6)2＋(y±4)2＝36[解析]半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由b2＋32＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36.7．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN |的最小值为( )A ．4B ．42－1C ．22－2D ．2[解析] ∵|CC ′|＝5＜R －r ＝7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为R －|CC ′|－r ＝2.[答案] D8．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝0[解析] 以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．[答案] A9．已知两圆相交于两点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．0 [解析] 两点A ，B 关于直线x －y ＋c ＝0对称，k AB ＝－4m －1＝－1. ∴m ＝5，线段AB 的中点(3,1)在直线x －y ＋c ＝0上，∴c ＝－2，∴m ＋c ＝3.[答案] C10．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M 、圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1、半径之和为3，故两圆相交．二、填空题11．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝.[解析]两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y＝1a，圆心(0,0)到直线y＝1a的距离d＝|1a|，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a＝1.[答案] 112．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________.[解析]C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.[答案]2或－513．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是.[解析]∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，则d＝|C1C2|＝a2＋b2＝4＝2，∴d＝r1＋r2.∴两圆外切．[答案]外切14．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是.[解析]已知圆的标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x＋y －2＝0垂直的方程为x－y＝0.方程x－y＝0分别与直线x＋y－2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.[答案](x－2)2＋(y－2)2＝215．判断下列两圆的位置关系.(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0；(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0. [解析](1)∵C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.∴圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2，－1)，半径r2＝2，d＝|C1C2|＝(2－1)2＋(－1)2＝ 2.∵r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，∴r1－r2<d<r1＋r2，两圆相交．(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，圆C2的圆心坐标为(3，0)，r2＝3，d＝|C1C2|＝3＋1＝2.∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切．(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，半径r2＝8，∴|C1C2|＝(2＋6)2＋(3＋3)2＝10＝r1＋r2，∴两圆外切．(4)C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2,3)，半径r2＝4，∴|C1C2|＝(2＋1)2＋(3－1)2＝13.∵|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．16．求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．[解] 法一：解方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0， 得两圆的交点A (－1,3)，B (－6，－2)．设所求圆的圆心为(a ，b )，因为圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4. 则有(a ＋1)2＋(a －4－3)2 ＝(a ＋6)2＋(a －4＋2)2，解得a ＝12，故圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72， 半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－72－32＝892. 故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋722＝892，即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0. 法二：∵圆x 2＋y 2＋6y －28＝0的圆心(0，－3)不在直线x －y －4＝0上，故可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0(λ≠－1)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x －y －4＝0，求得λ＝－7. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.17．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －2ny ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆心M 的轨迹方程.[解析] 两圆方程相减，得公共弦AB 所在的直线方程为2(m ＋1)x ＋2(n ＋1)y －m 2－1＝0，由于A 、B 两点平分圆N 的圆周，所以A 、B 为圆N 直径的两个端点，即直线AB 过圆N 的圆心N ，而N (－1，－1)，所以－2(m ＋1)－2(n ＋1)－m 2－1＝0，即m 2＋2m ＋2n ＋5＝0，即(m ＋1)2＝－2(n ＋2)(n ≤－2)，由于圆M 的圆心M (m ，n )，从而可知圆心M 的轨迹方程为(x ＋1)2＝－2(y ＋2)(y ≤－2)．18．已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ |＝|P A |成立，如图.(1)求a，b间的关系；(2)求|PQ|的最小值．[解析](1)连接OQ，OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|＝|P A|，所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|P A|2，所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0.(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，所以|PQ|min＝|P A|min，为A到直线l的距离，所以|PQ|min＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用课时检测一、选择题1．已知实数x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是() A．30－105B．5－5C．5D．25[解析]x2＋y2为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d＝5，半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.[答案] A2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB 的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0[解析]所求直线即两圆圆心(1,0)、(－1,2)连线所在直线，故由y－02－0＝x－1－1－1，得x＋y－1＝0.[答案] A3．方程y＝－4－x2对应的曲线是()[解析]由方程y＝－4－x2得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝4在x轴上和以下的部分．[答案] A4．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是()A．π4B．3π4C．3π2D．π[解析]数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的1 4.[答案] D5．方程1－x2＝x＋k有惟一解，则实数k的范围是()A．k＝－2B．k∈(－2，2)C．k∈[－1,1)D．k＝2或－1≤k<1[解析]由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k<1或k＝ 2.[答案] D6．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线P A、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形P AOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于()A ．24B ．16C ．8D ．4[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．[答案] C7．已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－65D ．14＋6 5[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |＝5，圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3＋5，x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.[答案] D8．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为( )A ．(2，322)B ．(0，322)C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞)[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝b 2.由两直线平行，可得a (a ＋1)－6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.当a ＝2时，直线l 1与l 2重合，舍去；当a ＝－3时，l 1：x －y －2＝0，l 2：x －y ＋3＝0.由l 1与圆C 相切，得b ＝|－1－2|2＝322，由l 2与圆C 相切，得b ＝|－1＋3|2＝ 2.当l 1、l 2与圆C 都外离时，b < 2.所以，当l 1、l 2与圆C “平行相交”时，b 满足⎩⎨⎧ b ≥2b ≠2，b ≠322，故实数b 的取值范围是(2，322)∪(322，＋∞)．[答案] D9．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．106B．206C．306D．40 6 [解析]圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD的面积为12×AC×BD＝12×10×46＝20 6.[答案] B10．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A．4π5B．3π4C．(6－25)πD．5π4[解析]原点O到直线2x＋y－4＝0的距离为d，则d＝45，点C到直线2x＋y－4＝0的距离是圆的半径r，由题知C是AB的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB中，圆C过原点O，即|OC|＝r，所以2r≥d，所以r最小为25，面积最小为4π5，故选A．[答案] A二、填空题11．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB 的方程是________．[解析] 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为：x2＋y2－10－[(x－1)2＋(y－3)2－20]＝0，即x＋3y＝0.[答案]x＋3y＝012．已知M＝{(x，y)|y＝9－x2，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是.[解析] 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y ＞0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y ＞0)有公共点．[答案] (－3,32]13．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于 .[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x 轴，过B 点与x 轴垂直的直线为y 轴上建立直角坐标系．由题意，得A (2，2)、B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由A 、B 在圆上，得⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝42b ＝52，由实际意义知⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2.∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．[答案] B 景点在小路的投影处14．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是 .[解析] 首先集合A 、B 实际上是圆上的点的集合，即A 、B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即(t －4)2＋(at －2)2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43. [答案] [0，43]三、解答题15．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离.[解析] 以O 为坐标原点，过OB 、OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，因为点B (8,0)、C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km. 16．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)[解析] 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A 、B 、P 的坐标分别为(－18,0)、(18,0)、(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为A 、B 、P 在此圆上，故有⎩⎨⎧ 182－18D ＋F ＝0182＋18D ＋F ＝062＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧ D ＝0E ＝48F ＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0.将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得y ＝－24＋12 6.答：支柱A 2P 2的长约为126－24 m.17．如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)[解析]如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程x2＋y2＝252.直线AB方程：x40＋y30＝1，即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，则d＝|－120|5＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t，则t＝2252－24228＝12(h)答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.18．已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？[解析]以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为：x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入，得y＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道．将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝16－a2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a2m.。
高中数学 4.2.3直线与圆的方程的应用导学案新人教版必修2
4.2.3 直线与圆的方程的应用【学习目标】 1、理解掌握，直线与圆的方程在实际生活中的应用；2、会用“数形结合”的数学思想解决问题；3、会用坐标法解决几何问题.重点与难点：直线与圆的方程的应用【课前导学】（ 阅读课本P130～132的内容后，完成下列内容）1、已知点111(,)P x y 、222(,)P x y ，则12||_________________________PP =.2、①圆与圆的位置关系有________、________、________、________、________；②判断圆与圆的位置关系的方法有_______法和__________法。
③填空：（1）建立适当的平面直角坐标系，用______________表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； （2）通过_____________，解决代数问题； （3）将代数运算结果______________________。
【预习自测】1、圆心在(—3，4)、且与x 轴相切的圆的方程是__________________________.2、过点(5，12)且与圆22x y +=169相切的直线的方程是__________________________.3、直线l ：2x —y =2被圆C ：22(3)x y -+=9所截得的弦长为_________.【典例探究】例1、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：圆拱跨度AB ＝84米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，拱高A 6P 6=15米，求：支柱A 3P 3的长度（精确到0.01米）．变式：P132练习第3题例2、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.【总结与提升】【反馈检测】1、若直线()1a x y +++1=0与圆22x y +=2x 相切，则a 的值为( )A 、±1B 、±2C 、1D 、-12、P132练习第2题3、P132练习第4题。
4.2.直线与圆的方程的应用-人教A版必修二教案
4.2 直线与圆的方程的应用 - 人教A版必修二教案一、教学目标1.掌握直线与圆的交点求解方法；2.掌握直线与圆方程的联立及解法；3.理解直线与圆方程的应用；4.能够独立解决直线与圆方程综合应用的问题。
二、教学重点1.直线与圆的交点求解方法；2.直线与圆方程的联立及解法；3.直线与圆方程的应用。
三、教学难点1.直线与圆方程的联立及解法；2.直线与圆方程的应用。
四、教学过程1. 导入新知识通过引入一个实际问题，如求解直线与圆的交点，引导学生认识到本章要学习的知识点。
2. 理解直线方程与圆方程通过教师的讲解及相关实例的演示，学生能够理解直线和圆分别的标准方程、一般式方程和参数式方程。
3. 直线与圆的交点求解方法在理解了直线和圆的方程后，学生需要掌握直线与圆的交点求解方法。
首先学生需要理解判别式的概念，然后通过解方程的方式求解直线与圆的交点。
4. 直线与圆方程的联立及解法在把直线和圆的方程联系起来的过程中，学生会遇到直线和圆方程联立时的解法。
教师应通过讲解和实例演示帮助学生理解解方程的方法。
5. 直线与圆方程的应用在学习了直线和圆的方程及其联立解法后，教师需要通过实例演示说明直线与圆方程实际应用的场景，如求解圆内切于三角形且过指定点的直线方程。
6. 练习及作业让学生进行相关练习，巩固所学知识。
五、教学反思本课程通过引入实际问题引导学生认识到要学习的知识点，让学生通过讲解、演示、实例等方式逐步掌握直线与圆的交点求解方法以及直线与圆方程的联立及解法，最终通过实际的场景应用来加深理解。
同时，教师也应引导学生独立思考和解决问题的能力。
人教A版高中数学必修2学案 4.2.3直线与圆的方程的应用
第四章圆与方程4.2直线、圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学习目标1.理解直线与圆的位置关系的几何性质;2.利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;3.会用“数形结合”的数学思想解决问题.教学重点难点重点:直线与圆的方程的应用.难点:直线与圆的方程的应用.学习过程一、设计问题,创设情境直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用.直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用.圆的标准方程是什么?一般方程是什么?点到直线的距离公式是什么?直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用,本节通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用.①直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离.②解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线的距离与半径的关系来解决.例如:某圆拱形桥一孔圆拱的示意图(如图),这个圆的圆拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑,求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m).二、学生探索,尝试解决对于以上实例应该考虑建立直角坐标系,确定圆的方程进而求解.如何用坐标法解决几何问题呢?三、信息交流,揭示规律1.用坐标法解决几何问题时,先用表示相应的几何元素:点、直线、圆,将几何问题转化为问题;然后通过代数运算解决代数问题;2.最后解释代数运算结果的,得到几何问题的结论.这就是用解决几何问题的“三步曲”:第一步:;第二步:;第三步:.四、运用规律,解决问题3.对于以上实例解析如下:分析:建立如图所示的直角坐标系,只需求出P2的纵坐标,就可得出支柱A2P2的高度.总结规律:(试总结如何把几何问题转化为代数问题进行求解?)4.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.证明:总结规律:(试总结如何把几何问题转化为代数问题进行求解?)五、变练演编,深化提高本节的问题主要围绕直线和圆的位置关系来设计,例如求圆的方程中条件的设计:直线与圆相切,直线与圆相交产生的弦长问题——垂径定理的运用等.5.例如:求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的标准方程.同学们可以仿照例题和所考查的知识点来进行编写.(设计意图:通过学生的自主编题,掌握确定用坐标法解决几何问题的关键所在和具体步骤,使学生进一步提高分析问题、解决问题的能力.)六、信息交流,教学相长几何问题可以转化为代数计算来解决,转化的思想和具体步骤是什么?和纯粹的几何证明相比有什么优点?5.例如:求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的标准方程.=16,解:圆心到直线的距离为r=√3+(-4).所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=25625七、反思小结,观点提炼用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆将几何问题转化为代数问题;然后通过代数运算解决代数问题;最后解释代数运算结果的几何含义,得到几何问题的结论,这就是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”:第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题.第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.布置作业课本P 132练习第2,3,4题.参考答案三、1.坐标和方程 代数2.几何含义,坐标方法,建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;通过代数运算,解决代数问题;把代数运算结果“翻译”成几何结论.四、3.建立如图所示的直角坐标系,使圆心在y 轴上,设圆心的坐标是(0,b),圆的半径为r,那么圆的方程为:x 2+(y -b)2=r 2,因为点P(0,4),B(10,0)在圆上,所以,有{02+(4-b )2=r 2,102+b 2=r 2,解得{b =-10.5,r 2=14.52, 所以,圆的方程为:x 2+(y+10.5)2=14.52把P 2的横坐标x=-2代入圆的方程,得(-2)2+(y+10.5)2=14.52,由题意可知y>0,解得:y=3.86答:支柱A 2P 2的高度约为3.86米.4.以四边形ABCD 互相垂直的对角线CA,BD 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立如图所示的直角坐标系,设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d),过四边形外接圆的圆心O'分别作AC 、BD 、AD 的垂线,垂足为M,N,E,则M 、N 、E 分别为AC 、BD 、AD 的中点,由中点坐标公式,有:x O'=x M =a+c 2,y O'=y N =b+d 2,x E =a 2,y E =d 2, 由两点间的距离公式,有:|O'E|=√(d 2-b+d 2)2+(a 2-a+c 2)2=12√b 2+c 2, 又|BC|=2+c 2,所以,|O'E|=12|BC|.即圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.5.解:圆心到直线的距离为r=√3+(-4)=165,所以所求圆的方程为(x -1)2+(y -3)2=25625.。
人教版数学高一-必修2学案 4.2.3直线与圆的方程的应用
4．2.3直线与圆的方程的应用基础梳理用坐标方法解决平面几何问题的“三部曲”：练习1：(x－a)2＋(y－b)2＝r2表示圆心在(a，b)，半径为r的圆．练习2：y＝1－x2表示圆心在(0，0)，半径为1的半圆．练习3：y＝b－r2－（x－a）2表示圆心在(a，b)，半径为r的下半圆．►思考应用用坐标方法解决平面几何问题的工具是什么？解析：用坐标方法解决平面几何问题的基本思想就是用代数的方法解决几何问题，而建立它们联系的主要工具就是平面直角坐标系．自测自评1．方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)表示的圆(D )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线x －y ＝0对称D ．关于直线x ＋y ＝0对称解析：该圆的圆心(－a ，a)，在直线x ＋y ＝0上，故关于直线x ＋y ＝0对称．2．若直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 相切，则m 为(B ) A ．0或2 B ．2 C .2 D ．无解解析：圆心(0，0)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离d ＝|m|2＝m ，m ＝2. 3．以(23，0)为圆心，截直线y ＝3x 所得的弦长为8的圆的方程为解析：由圆心为(23，0)，设圆的方程为(x －23)2＋y 2＝r 2，利用r 2＝42＋d 2，其中d ＝∣23·3∣32＋12＝3，得r ＝5，故圆的方程(x －23)2＋y 2＝25.4．圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线有(B )A ．1条B ．3条C ．4条D ．以上均不正确解析：圆C 1的方程即：(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，圆心C 1(－2，2)，半径为1.圆C 2的方程即(x －2)2＋(y －5)2＝16，圆心C 2(2，5)，半径为4，两圆的圆心距为（2＋2）2＋（5－2）2＝5，正好等于两圆半径之和，故两圆相切，故两圆公切有三条．基础达标1．若直线3x ＋4y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则k 的值等于(A )A ．1或－19B ．10或－10C ．－1或－19D ．－1或19解析：圆方程为(x －3)2＋y 2＝22，∵圆与直线相切，∴圆心到切线距离等于半径．∴|9＋k|5＝2，∴k ＝1或－19. 2．如果实数x ，y 满足等式(x －1)2＋y 2＝34，那么y x的最大值是(B ) A .12 B .33 C .32D . 3 解析：y x的几何意义是圆上的点P(x ，y)与原点连线的斜率，结合图形得，斜率的最大值为3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝ 3. 3．方程x(x 2＋y 2－1)＝0和x 2－(x 2＋y 2－1)2＝0表示的图形是(C )A ．都是两个点B ．一条直线和一个圆C ．前者是一条直线和一个圆，后者是两个圆D ．前者为两个点，后者是一条直线和一个圆4．设A 为圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4上的动点，PA 是圆C 的切线，且|PA|＝1，则点P 的轨迹方程是________．答案：(x ＋1)2＋y 2＝55．下图所示是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB ＝20 m ，拱高OP ＝4 m ，建造时每间隔4 m 需要用一根支柱支撑，求支柱A 2P 2的高度(精确到0.01 m )．解析：建立如下图所示直角坐标系，使圆心在y 轴上，只需求出P 2的纵坐标，就可得出支柱A 2P 2的高度．设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r ，那么圆的方程是x 2＋(y －b)2＝r 2.下面确定b 和r 的值．因为P ，B 都在圆上，所以它们的坐标(0，4)，(10，0)都满足方程x 2＋(y －b)2＝r 2.于是得到方程组⎩⎨⎧02＋（4－b ）2＝r 2，102＋（0－b ）2＝r 2，解得b ＝－10.5，r 2＝14.52，所以，圆的方程是x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52.把点P 2的横坐标x ＝－2代入圆的方程，得(－2)2＋(y ＋10.5)2＝14.52，即y ＋10.5＝14.52－（－2）2(P 2的纵坐标y ＞0，平方根取正值)．所以y ≈3.86(m )，支柱A 2P 2的高度约为3.86 m . 巩固提升 6．已知x ＋y ＋1＝0，那么（x ＋2）2＋（y ＋3）2的最小值是________．解析：（x ＋2）2＋（y ＋3）2表示点(x ，y)与点(－2，－3)之间的距离，又点(x ，y)在直线x ＋y ＋1＝0上，故最小值为点(－2，－3)到直线x ＋y ＋1＝0的距离，即d ＝|－2－3＋1|2＝2 2. 答案：2 27．当曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k(x －2)＋4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是(C )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫0，512B .⎝ ⎛⎦⎥⎤13，34 C .⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞解析：曲线y＝1＋4－x 2表示半圆x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)，若直线与曲线相切则k ＝512.结合图形得直线与半圆有两个不同交点时，512<k ≤34. 8．若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，则2x ＋y 的最大值和最小值分别为________和________．x 2＋y 2的最大值和最小值分别是________和________．答案：25 －25 5＋2 5－29．设有半径为3公里的圆形村落，A ，B 两人同时从村落中心出发，A 向东而B 向北前进，A 离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落周界的方向前进，后来恰好与B 相遇．设A ，B 两人的速度都一定，其比为3∶1，问A ，B 两人在何处相遇？解析：如图所示以村落中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系，又设A向东走到D 转向到C 恰好与B 相遇，设CD 方程为x a ＋y b＝1(a>3，b>3)，设B 的速度为v ，则A 的速度为3v ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧|ab|a 2＋b 2＝3，a 2＋b 2＋a 3v ＝b v.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝154.所以B 向北走3.75公里时相遇．1．用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”：(1)建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；(2)通过代数运算，解决代数问题；(3)把代数运算结果“翻译”成几何问题．2．直线和圆在现实生活中的应用，主要包括两大块：一块是直线和圆的直接应用，它涉及质量、重心、气象预报、购物选址等问题；二是直线和圆的方程形式，可以使我们更好地了解近代数学的发展．。
人教A版高中数学必修2 第4章 圆与方程【导学案】
§4.1圆的标准方程学习目标1.掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程；2.会用待定系数法求圆的标准方程.学习过程一、课前准备（预习教材P124~P127，找出疑惑之处）1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？二、新课导学※学习探究新知：圆心为(,)A a b，半径为r的圆的方程222()()x a y b r-+-=叫做圆的标准方程.特殊：若圆心为坐标原点，这时a b==，则圆的方程就是222x y r+=探究：确定圆的标准方程的基本要素？※典型例题例写出圆心为(2,3)A-，半径长为5的圆的方程，并判断点12(5,7),(5,1)M M---是否在这个圆上.小结：点00(,)M x y与圆222()()x a y b r-+-=的关系的判断方法：⑴2200()()x a y b-+->2r，点在圆外；⑵2200()()x a y b-+-=2r，点在圆上；⑶2200()()x a y b-+-<2r，点在圆内.变式:ABC的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3)A B-(2,8)C-，求它的外接圆的方程反思：1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于,,a b r的方程组，求,,a b r或直接求出圆心(,)a b和半径r.2.待定系数法求圆的步骤：（1）根据题意设所求的圆的标准方程为222()()x a y b r-+-=；（2）根据已知条件，建立关于,,a b r的方程组；（3）解方程组，求出,,a b r的值，并代入所设的方程，得到圆的方程.例2已知圆C经过点(1,1)A和(2,2)B-,且圆心在直线:10l x y-+=上,求此圆的标准方程.※动手试试练1.已知圆经过点(5,1)P，圆心在点(8,3)C-的圆的标准方程.练2.求以(1,3)C为圆心，并且和直线3470x y--=相切的圆的方程三、总结提升※学习小结一．方法规纳⑴利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径.⑵比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点与圆的位置关系.⑶借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大化简计算的过程与难度.二．圆的标准方程的两种求法：⑴根据题设条件，列出关于a b r、、的方程组，解方程组得到a b r、、得值，写出圆的标准方程.⑵根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知(2,4),(4,0)A B-，则以AB为直径的圆的方程（）.A．22(1)(2)52x y++-=B．22(1)(2)52x y+++= C．22(1)(2)52x y-+-=D．22(1)(2)52x y-++= 2.点2(,5)P m与圆的2224x y+=的位置关系是（）.A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定3.圆心在直线2x=上的圆C与y轴交于两点(0,4),(0,2)A B--，则圆C的方程为（）. A．22(2)(3)5x y-+-=B．22(2)(3)25x y-+-= C．22(2)(3)5x y-++=D．22(2)(3)25x y-++= 4.圆关于22(2)5x y++=关于原点(0,0)对称的圆的方程5.过点(2,4)A向圆224x y+=所引的切线方程.1.已知圆的圆心在直线20x y+=上，且与直线10x y+-=切于点(2,1)-，求圆的标准方程.2.已知圆2225x y+=求：⑴过点(4,3)A-的切线方程.⑵过点(5,2)B-的切线方程§4.1圆的一般方程1.在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件；2．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程；3．培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力127130，找出疑惑之处）1．已知圆的圆心为),(b a C ，半径为r ，则圆的标准方程，若圆心为坐标原点上，则圆的方程就是2．求过三点(0,0),(1,1),(4,2)A B C 的圆的方程.二、新课导学※学习探究问题1．方程222410x y x y +-++=表示什么图形？方程222460x y x y +-++=表示什么图形？问题2．方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？新知：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的轨迹.⑴当2240D E F +->时，表示以(,22D E--为圆心为半径的圆；⑵当2240D E F +-=时，方程只有实数解2Dx =-，2E y =-，即只表示一个点（-2D ，-2E）;（3）当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形小结：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆只有当2240D E F +->时，它表示的曲线才是圆，形如220x y Dx Ey F ++++=的方程称为圆的一般方程思考：1．圆的一般方程的特点？2．圆的标准方程与一般方程的区别？※典型例题例1判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.⑴224441290x y x y +-++=；⑵2244412110x y x y +-++=.例2已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.※动手试试练1.求过三点(0,0),(1,1),(4,2)A B C 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.练2.已知一个圆的直径端点是1122(,),(,)A x y B x y ，试求此圆的方程.三、总结提升※学习小结1．方程220x y Dx Ey F ++++=中含有三个参变数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，还要注意圆的一般式方程与它的标准方程的转化.2．待定系数法是数学中常用的一种方法，在以前也已运用过.例如：由已知条件确定二次函数，利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法在求圆的方程有着广泛的运用，要求熟练掌握.3．使用待定系数法的一般步骤：⑴根据题意，选择标准方程或一般方程；⑵根据条件列出关于,,a b r 或,,D E F 的方程组；⑶解出,,a b r 或,,D E F ，代入标准方程或一般方程.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则有（）.A ．2m ≤ B.2m <C ．12m <D ．12m ≤2.圆22410x y x +--=的圆心和半径分别为（）.A ．(2,0),5B．(0,-．．(2,2),53.动圆222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=的圆心轨迹是（）.A ．210x y +-=B ．210x y -+=C ．210x y -+=D ．210x y --=4.过点(1,1),(1,3)C D -，圆心在x 轴上的圆的方程是.5.圆22450x y x +--=的点到直线3420x y -+0=的距离的最大值为.1.设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于,A B ，求弦AB 的垂直平分线方程.2.求经过点(2,4)A --且与直线:3260l x y +-=相切于点(8,6)B 的圆的方程.§4.2直线、圆的位置关系1．理解直线与圆的几种位置关系；2．利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；3．会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．133136，找出疑惑之处）1．把圆的标准方程222()()x a y b r -+-=整理为圆的一般方程.把22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->整理为圆的标准方程为.2．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km 处，受影响的范围是半径为30km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？3．直线与圆的位置关系有哪几种呢？4．我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？二、新课导学※学习探究新知1：设直线的方程为:0l ax by c ++=，圆的方程为22:0C x y Dx Ey F ++++=，圆的半径为r ，圆心(,)22D E--到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：⑴当r d >时，直线l 与圆C 相离；⑵当r d =时，直线l 与圆C 相切；⑶当r d <时，直线l 与圆C 相交；新知2：如果直线的方程为y kx m =+，圆的方程为222()()x a y b r -+-=，将直线方程代入圆的方程，消去y 得到x 的一元二次方程式20Px Qx R ++=，那么：⑴当0∆<时，直线与圆没有公共点；⑵当0∆=时，直线与圆有且只有一个公共点；⑶当0∆>时，直线与圆有两个不同的公共点；※典型例题例1用两种方法来判断直线3460x y -+=与圆22(2)(3)4x y -+-=的位置关系.例2如图2,已知直线l 过点()5,5M 且和圆22:25C x y +=相交,截得弦长为5,求l 的方程图2变式：求直线50x y --=截圆22446x y x y +-++0=所得的弦长.※动手试试练1.直线y x =与圆()2221x y r +-=相切,求r 的值.练2.求圆心在直线23x y -=上,且与两坐标轴相切的圆的方程.三、总结提升※学习小结判断直线与圆的位置关系有两种方法1判断直线与圆的方程组是否有解a.有解,直线与圆有公共点.有一组则相切;有两组,则相交b 无解,则直线与圆相离2如果直线的方程为0Ax By C ++=，圆的方程为222()()x a y b r -+-=，则圆心到直线的距离d =.⑴如果d r <直线与圆相交;⑵如果d r =直线与圆相切;⑶如果d r >直线与圆相离.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.直线3460x y -+=与圆22(2)(3)4x y -+-=A ．相切B ．相离C ．过圆心D ．相交不过圆心2.若直线0x y m ++=与圆22x y m +=相切，则m 的值为（）.A ．0或2B ．2C D ．无解3已知直线l 过点(2,0)-当直线l 与圆222x y x +=有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（）.A．(-B．(C．(44-D ．11(,)88-4.过点(2,2)M 的圆228x y +=的切线方程为.5.圆2216x y +=上的点到直线30x y --=的距离的最大值为.1.圆222430x y x y +++-=上到直线:1l x y ++0=的点的坐标.2.若直线430x y a -+=与圆22100x y +=.⑴相交；⑵相切；⑶相离；分别求实数a 的取值范围.§4.2圆与圆的位置关系1．理解圆与圆的位置的种类；2．利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；3．会用连心线长判断两圆的位置关系．一、课前准备（预习教材P 136~P 137，找出疑惑之处）1．直线与圆的位置关系，，.2．直线50x y --=截圆22460x y y +++=所得的弦长.3．圆与圆的位置关系有几种，哪几种？4.设圆两圆的圆心距设为d.当d R r >+时，两圆当d R r =+时，两圆当||R r d R r -<<+时，两圆当||d R r =-时，两圆当||d R r <-时，两圆二、新课导学※学习探究探究：如何根据圆的方程，判断两圆的位置关系？新课：两圆的位置关系利用圆的方程来判断.通常是通过解方程或不等式和方法加以解决※典型例题例1已知圆221:2880C x y x y +++-=，圆22:C x 24420y x y ++--=，试判断圆1C 与圆2C 的关系？变式：若将这两个圆的方程相减，你发现了什么？例2圆1C 的方程是:22224x y mx y m +-++50-=，圆2C 的方程是:22222x y x my m ++-+30-=,m 为何值时两圆⑴相切；⑵相交；⑶相离；⑷内含.※动手试试练1.已知两圆2260x y x +-=与224x y y m +-=问m 取何值时，两圆相切.练2.求经过点M(2,-2),且与圆2260x y x +-=与224x y +=交点的圆的方程三、总结提升※学习小结1．判断两圆的位置关系的方法:(1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定.(2)依据连心线的长与两半径长的和12r r +或两半径的差的绝对值的大小关系.2．对于求切线问题，注意不要漏解，主要是根据几何图形来判断切线的条数.3．一般地，两圆的公切线条数为：①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线.4．求两圆的公共弦所在直线方程，就是使表示圆的两个方程相减消去二次项即可得到.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知01r <<，则两圆222x y r +=与22(1)(1)2x y -++=的位置关系是（）.A ．外切B ．相交C ．外离D ．内含2.两圆2220x y x +-=与2240x y y +-=的公共弦长（）.A．5B ．1C．5D ．23.两圆224210x y x y +-++=与2244x y x y ++-10-=的公切线有（）.A ．1条B ．2条C ．4条D ．3条4.两圆2222440,2120x y x y x y x ++-=++-=相交于,A B 两点，则直线AB 的方程是.5.两圆221x y +=和()2234x y -+=的外公切线方1.已知圆C 与圆2220x y x +-=相外切,并且与直线0x =相切于点,求圆C 的方程.2.求过两圆221:420C x y x y +-+=和圆222:240C x y y +--=的交点,且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程.§4.2.3直线与圆的方程的应用1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．138140，找出疑惑之处）1．圆与圆的位置关系有. 2．圆224450x y x y++--=和圆2284x y x y+-+70+=的位置关系为. 3．过两圆22640x y x+--=和22628x y y++-0=的交点的直线方程.二、新课导学※学习探究1．直线方程有几种形式?分别是?2．圆的方程有几种形式?分别是哪些?3．求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?4．直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?※典型例题例1已知某圆拱形桥.这个圆拱跨度20AB m=,拱高4OP m=,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱22A B的高度(精确0.01m)变式：赵州桥的跨度是37.4m.圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程例2已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一半.※动手试试练1.求出以曲线2225x y +=与213y x =-的交点为顶点的多边形的面积.练2.讨论直线2y x =+与曲线y =的交点个数.三、总结提升※学习小结1．用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后通过对坐标和方程的代数运算，把代数结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”.2．用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．3．解实际问题的步骤：审题—化归—解决—反馈.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.一动点到(4,0)A -的距离是到(2,0)B 的距离的2倍，则动点的轨迹方程（）.A ．()2244x y -+=B ．()22416x y -+=C ．22(4)4x y +-=D ．22(4)16x y +-=2.如果实数,x y 满足22410x y x +-+=，则yx的最大值为（）A ．1B.33.圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.圆()()22114x y -+-=关于直线:220l x y --=对称的圆的方程.5.求圆()()22114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程.1.坐标法证明:三角形的三条高线交于一点.2.机械加工后的产品是否合格,要经过测量检验某车间的质量检测员利用三个同样的量球以及两块不同的长方体形状的块规检测一个圆弧形零件的半径.已知量球的直径为2厘米,并测出三个不同高度和三个相应的水平距离,求圆弧零件的半径.§4.2.3直线，圆的方程（练习）1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．※学习探究（预习教材P 124~P 140，找出疑惑之处）一．圆的标准方程例1一个圆经过点A(5,0)与B(-2,1)圆心在直线3100x y --=上,求此圆的方程二．直线与圆的关系例2求圆()()22234x y -++=上的点到20x y -+=的最远、最近的距离三．轨迹问题充分利用几何图形的性质,熟练掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式.例3求过点A(4,0)作直线l 交圆22:4O x y +=于B,C 两点,求线段BC 的中点P 的轨迹方程四弦问题主要是求弦心距（圆心到直线的距离），弦长，圆心角等问题.一般是构成直角三角形来计算例4直线l 经过点()5,5，且和圆2225x y +=相交，截得的弦长为l 的方程.五．对称问题（圆关于点对称，圆关于圆对称）例5求圆()()22114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程.练习1.求圆()()22114x y -+-=关于直线220x y --=对称的圆的方程2.由圆外一点(2,1)P 引圆22:4O x y +=的割线交圆于A,B 两点,求弦AB 的中点的轨迹.3.等腰三角形的顶点是A(4.2)底边一个端点是B(3,5)求另一个端点的轨迹是什么?4．已知圆C 的圆心坐标是1(,3)2-,且圆C 与直线230x y +-=相交于,P Q 两点,又,OP OQ O ⊥是坐标原点,求圆C 的方程.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知(3,0)M 是圆2282100x y x y +--+=内一点，过M 点的量长的弦所在的直线方程是（）.A 30x y +-=B 30x y --=C 260x y --=D 260x y +-=2.若圆222(3)(5)x y r -++=上有且只有两点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是（）.A ．()4,6 B.[)4,6 C.(]4,6 B.[]4,63.已知点()1,1A -和圆C ：22(5)(7)4,x y -+-=一束光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是（）.A ．10B.226- C.64 D.84.设圆22450x y x +--=的弦AB 的中点P （3，1），则直线AB 的方程为__________________.5.圆心在直线y x =上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程_______________________.1.从圆外一点(1,1)P 向圆221x y +=引割线,交该圆于,A B 两点,求弦AB 的中点的轨迹方程.2．2.2y x =上，圆被直线0x y -=截得的弦长为.§4.3空间直线坐标系学习目标1.明确空间直角坐标系是如何建立；明确空间中的任意一点如何表示；2能够在空间直角坐标系中求出点的坐标学习过程一、课前准备（预习教材P142~P144，找出疑惑之处）1．平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？2．一个点在平面怎么表示？在空间呢？二、新课导学※学习探究1.怎么样建立空间直角坐标系？2.什么是右手表示法？3.什么是空间直角坐标系，怎么表示？思考：坐标原点O的坐标是什么？讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程※典型例题例1在长方体OBCD D A B C''''-中，3,4OA OC== 2.OD'=写出,,,D C A B'''四点坐标.反思：求空间中点的坐标的步骤：建立空间坐标系→写出原点坐标→各点坐标.讨论：若以C点为原点，以射线,,BC CD CC'方向分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则各顶点的坐标又是怎样的呢？变式：已知(2,3,4)M-，描出它在空间的位置例2V ABCD-为正四棱锥，O为底面中心，若2,3AB VO==，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标.※动手试试练1.建立适当的直角坐标系，确定棱长为3的正四面体各顶点的坐标.练2.已知ABCD A B C D ''''-是棱长为2的正方体，,E F 分别为BB '和DC 的中点，建立适当的空间直角坐标系，试写出图中各中点的坐标三、总结提升※学习小结1.求空间直角坐标系中点的坐标时，可以由点向各坐标轴作垂线，垂足的坐标即为在该轴上的坐标.2.点关于坐标平面对称，则点在该坐标平面内两个坐标不变，另一个变成相反数；关于坐标轴对称则相对于该轴的坐标不变，另两个变为相反数；关于原点对称则三个全变为相反数；3.空间直角坐标系的建立要选取好原点，以各点的坐标比较好求为原则，另外要建立右手直角坐标系.4.关于一些对称点的坐标求法(,,)P x y z 关于坐标平面xoy 对称的点1(,,)P x y z -；(,,)P x y z 关于坐标平面yoz 对称的点2(,,)P x y z -；(,,)P x y z 关于坐标平面xoz 对称的点3(,,)P x y z -；(,,)P x y z 关于x 轴对称的点4(,,)P x y z --；(,,)P x y z 关于y 对轴称的点5(,,)P x y z --；(,,)P x y z 关于z 轴对称的点6(,,)P x y z --；※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.关于空间直角坐标系叙述正确的是（）.A ．(,,)P x y z 中,,x y z 的位置是可以互换的B ．空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应的关系C ．空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分D ．某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同2.已知点(3,1,4)A --，则点A 关于原点的对称点的坐标为（）.A ．(1,3,4)--B ．(4,1,3)--C ．(3,1,4)-D ．(4,1,3)-3.已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7)A B C -，则ABC ∆的重心坐标为（）.A ．7(6,,3)2B ．7(4,,2)3C ．14(8,,4)3D ．7(2,,1)64.已知ABCD 为平行四边形，且(4,1,3),(2,5,1)A B -，(3,7,5)C -则顶点D 的坐标.5.方程222(2)(3)(1)36x y z -+++-=的几何意义是.1.在空间直角坐标系中，给定点(1,2,3)M -，求它分别关于坐标平面，坐标轴和原点的对称点的坐标.2.设有长方体ABCD A B C D ''''-，长、宽、高分别为4,3,5,AB cm AD cm AA cm N '===是线段CC '的中点.分别以,,AB AD AA '所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.⑴求,,,,,,,A B C D A B C D ''''的坐标；⑵求N 的坐标；§4.3.2空间两点间的距离公式1.通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式2.掌握空间直角坐标系中两点间的距离公式及推导，并能利用公式求空间中两点的距离.一、课前准备（预习教材P 145~P 146，找出疑惑之处）1.平面两点的距离公式？2.我们知道数轴上的任意一点M 都可用对应一个实数x 表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M 都可用对应一对有序实数),(y x 表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组()z y x ,,表示出来呢？3.建立空间直角坐标系时，为方便求点的坐标通常怎样选择坐标轴和坐标原点？二、新课导学※学习探究1.空间直角坐标系该如何建立呢？2.建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M 如何用坐标表示呢？33.3.空间中任意一点1111(,,)P x y z 与点2222(,,)P x y z 之间的距离公式22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=.注意：⑴空间两点间距离公式同平面上两点间的距离公式形式上类似；⑵公式中1212,,,x x y y 12,z z 可交换位置；⑶公式的证明充分应用矩形对角线长=这一依据.探究：⑴点(,,)M x y z 与坐标原点(0,0,0)o 的距离？⑵如果OP 是定长r,那么2222x y z r ++=表示什么图形？※典型例题例1求点P 1(1,0,-1)与P 2(4,3,-1)之间的距离变式：求点(0,0,0)(5,2,2)A B -到之间的距离例2在空间直角坐标系中，已知ABC ∆的顶点分别是15(1,2,3),(2,2,3),(,3)22A B C --.求证：ABC ∆是直角三角形.※动手试试练1.在z 轴上，求与两点(4,1,7)A -和(3,5,2)B -等距离的点.练2.试在xoy 平面上求一点，使它到(1,1,5)A -,(3,4,4)B 和(4,6,1)C 各点的距离相等.三、总结提升※学习小结1.两点间的距离公式是比较整齐的形式，要掌握这种形式特点，另外两个点的相对应的坐标之间是相减而不是相加.2.在平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆.与之类似的是，在三维空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为球心，以定长为半径的球.※知识拓展1.空间坐标系的建立，空间中点的坐标的求法.2.平面上1122(,),(,)P x y Q x y 两点间的距离公式d =3.平面上圆心在原点的圆的方程222x y r +=.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．空间两点(3,2,5),(6,0,1)A B --之间的距离（）.A ．6B ．7C ．8D ．92．在x 轴上找一点P ，使它与点0(4,1,2)P的距离为，则点P 为（）.(9,0,0)B ．(1,0,0)-C ．(9,0,0)(1,0,0)-D ．都不是3．设点B 是点(2,3,5)A -关于xoy 面的对称点，则AB =（）.A ．10BCD ．384．已知(3,5,7)A -(B -AB 在坐标平面yoz 上的射影长度为.5．已知ABC ∆的三点分别为(3,1,2),(4,2,2)A B --，(0,5,1)C 则BC 边上的中线长为.1.已知三角形的顶点为(1,2,3),(7,10,3)A B 和(1,3,1)C -.试证明A 角为钝角.2.在河的一侧有一塔5CD m =，河宽3BC m =，另侧有点A ，4AB m =，求点A 与塔顶D 的距离.第四章圆与方程复习1.掌握圆的标准方程、一般方程，会根据条件求出圆心和半径，进而求得圆的标准方程；根据方程求得圆心和半径；掌握二元二次方程表示圆的等价条件；熟练进行互化.2.掌握直线和圆的位置关系，会用代数法和几何法判断直线和圆的位置关系；会求切线方程和弦长；能利用数形结合求最值.3.掌握空间直角坐标系的建立，能用(,,)x y z表示点的坐标；会根据点的坐标求空间两点的距离.一、课前准备（复习教材P124~P152，找出疑惑之处）复习知识点1.圆的方程⑴标准式：圆心在点(,)a b，半径为r的圆的标准方程为当圆心在坐标原点时，圆的方程为.⑵一般式：.⑶圆的一般式方程化为标准式方程为.⑷是求圆的方程的常用方法.2.点与圆的位置关系有，判断的依据为：3.直线与圆的位置关系有，判断的依据为：4.圆与圆的位置关系有，判断的依据为：5.空间直角坐标系⑴空间直角坐标系中点的坐标可以用一对有序实数对表示.⑵空间两点间的距离公式，如果1111(,,)P x y z，2222(,,)P x y z，则两点间的距离为12PP=.⑶点(,,)M a b c关于坐标平面，坐标轴及坐标原点的对称点的坐标⑴关于坐标平面xoy对称的点；⑵关于坐标平面yoz对称的点；⑶关于坐标平面xoz对称的点；⑷关于x轴对称的点；⑸关于y对轴称的点；⑹关于z轴对称的点.※典型例题例1求经过(2,4),(3,1)P Q--两点,并且在x轴上截得的弦长等于6的圆.小结:用待定系数法求圆的方程有两种不同的选择,一般地,已知圆上三点时用一般式方程,已知圆心或半径关系时,用标准方程.例2在圆224x y+=上与直线43120x y+-=距离最短的点是.※动手试试练.求过直线240x y ++=和圆2224x y x y ++-10+=的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.⑴过原点；⑵有最小面积.三、总结提升※学习小结1.确定圆的方程，一般用待定系数法，如果条件与圆心和半径有关，通常选择圆的标准方程；如果已知点的坐标，条件与圆心无直接关系，一般选用圆的一般方程.2.直线与圆的位置关系可以根据方程组解的情况来判断，但利用圆心到直线的距离与圆的半径比较来判断更方便.3.直线与圆相交，求弦长，或求与弦长有关系的问题，利用平面几何中的垂径定理往往非常简单.4.过一点作圆的切线，应首先判断点是否在圆上，如果点在圆上，可直接利用公式写现圆的切线方程；如果点在圆外，必有两条切线，如果关于斜率k 的方程只有一解，则另一条切线必为斜率不存在的直线，务必要补上.5.学习过程中要注意数形结合思想的运用，充分利用图形的性质减少运算量、节省时间，提高准确度，事半功倍.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.圆22210x y ax y +-++=关于直线1x y -=对称的圆方程是2210x y +-=，则实数a 的值是（）.A ．0B ．1C ．2D ．2±2.圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离最大值是（）.A ．2B．1+C．2+D．1+3.2kx =+有唯一解，则实数k 的取值范围是（）.A．k =B ．(2,2)k ∈-C ．2k <-或2k >D ．2k <-或2k >或k =4.如果直线l 将圆22460x y x y +-+=坐标原点到直线l 的距离最大值为.5.若圆2221:()()1O x a y b b -+-=+始终平分圆222:(1)(1)4O x y +++=的周长，则实数,a b 的关系是.1.讨论两圆：221:16161632610C x y x y +++-=与2221:(sin )(1)16C x y α-+-=的位置关系.2.已知点(,0),(0,)A a B b （其中,a b 均大于4），直线AB 与圆22:4440C x y x y +--+=相切⑴求证：(4)(4)8a b --=；⑵求线段AB 的中点M 的轨迹方程.。
必修二 4.2.3 直线与圆的方程的应用 教案
4.2.3 直线与圆的方程的应用教学目标复习梳理直线与圆方程知识系统，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题，学会建立知识与方法之间的联系，初步体验数形结合的意识，学习分析问题与解决问题的方法。
教学重难点教学重点：直线的知识以及圆的应用教学难点：用坐标法解决平面几何.教学过程复习准备：(1) 直线方程有几种形式? 分别为什么?(2) 圆的方程有几种形式?分别是哪些?(3) 求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?(4) 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？(5) 如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系?讲授新课：提出问题、自主探究例1. 如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：圆拱跨度AB ＝84米，拱高A 6P 6=15米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，求：支柱A 3P 3的长度（精确到0.01米）．方法一：在O AA Rt 6∆中 R 2 =422 +(R-15)2 可求出半径R ，而在CO P Rt 3∆中222321-=R C P ，∴O A C P P A 6333-=，从而可求得33P A 长度。
能否用学过的圆方程的有关知识来尝试求解？方法二：先求圆的方程，再把求33P A 长度看成3P 的纵坐标。
首先应建立坐标系。
如何建系？四种不同的建系方案：分组解答，同学自选一种建系方案，同桌之间可以互相协作，相互探讨。
归纳总结、巩固步骤总结解决应用问题的步骤：(1)审题----分清条件和结论，将实际问题数学化；(2)建模----将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建立数学模型；(3)解模----求解数学问题，得出数学结论；(4) 还原----根据实际意义检验结论，还原为实际问题．流程图： 实际问题 数学问题 数学结 实际问题结论（审题） （建模） （解模） （还原）深入讨论、提炼思想在上面问题求解过程中，我们通过“建系”，利用直线和圆的方程来完成平面几何中的计算。
高中数学必修二 4.2.3 直线与圆的位置方程的应用学案 新人教A版必修2
4.2.3 直线与圆的方程的应用课题4.2.3 直线与圆的方程的应用课型新授课学习目标1.理解直线与圆的位置关系的集中性质。
2.利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；用坐标法解决几何问题的步骤；第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论。
3.会用“数形结合”的数学思想解决问题，让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力。
重点求圆的应用性问题。
难点直线与圆的方程的应用。
步骤学习过程学习方法例题分析课堂练习例1：图式某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个圆的圆拱跨度，拱高，建造时每间隔4需要用一根柱子支撑，求支柱的高度（精确到0.01）例2：已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半。
教科书 132页练习 1.2.3.4启发、引导学生独立完成启发、引导学生独立完成学生独立完成作业三维直线、圆的位置关系（三）后记课题 4.2.3 直线与圆的方程的应用课型新授课学习目标4.理解直线与圆的位置关系的集中性质。
5.利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；用坐标法解决几何问题的步骤；第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将mAB20=mOP4=m22PA平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论。
6. 会用“数形结合”的数学思想解决问题，让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力。
求圆的应用性问题。
例1：图式某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个圆的圆拱跨度，拱高，建造时每间隔4需要用一根柱子支撑，求支柱的高度（精确到0.01）例2：已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半。
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§4.2.3直线与圆的方程的应用
学习目标
1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；
2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．
学习过程
一、课前准备
（预习教材P 130~ P 132，找出疑惑之处）
1．圆与圆的位置关系有 .
2．圆224450x y x y ++--=和圆2284x y x y +-+70+=的位置关系为 .
3．过两圆22640x y x +--=和22628x y y ++-0=的交点的直线方程 .
二、新课导学
※ 学习探究
1．直线方程有几种形式? 分别是?
2．圆的方程有几种形式?分别是哪些?
3．求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?
※ 典型例题
例1 如图所示，已知某圆拱形桥.这个圆拱跨度20AB m =,拱高4OP m =,建造时每间隔4m 需要用一根支柱支撑,求支柱22P A 的高度(精确0.01m)
变式：如图所示，是距今已有约1400年历史，是当今世界上现存最早、保存最完善的赵州桥。
其跨度是37.4m.，拱高约为7.2m.，求这座圆拱桥的拱圆的方程
例 2 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一半.
※ 动手试试
练1. 求出以曲线2225x y +=与213y x =-的交点为顶点的多边形的面积.
练2. 讨论直线2
=+与曲线y=.
y x
三、总结提升
※学习小结
1．用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后通过对坐标和方程的代数运算，把代数结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”.
2．用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
3．解实际问题的步骤：审题—化归—解决—反馈.
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 一动点到(4,0)A -的距离是到(2,0)B 的距离的2倍，则动点的轨迹方程（ ）.
A ．()2244x y -+=
B ．()2
2416x y -+=
C ．22(4)4x y +-=
D ．22(4)16x y +-=
2. 如果实数,x y 满足22410x y x +-+=，则y x
的最大值为（ ）
A ．1
3. 圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++= ）.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4. 圆()()22114x y -+-=关于直线:220l x y --=对称的圆的方程 .
5. 求圆()()22114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程 . 课后作业
1. 坐标法证明:三角形的三条高线交于一点.
2. 已知圆C ：()2
219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点. （Ⅰ）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；
（Ⅱ）当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程；
（Ⅲ）当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长.。