(新人教版)2019版高中数学 第一章 导数及其应用滚动训练二 新人教A版选修2-2【重点推荐】【精品推荐】

第一章导数及其应用滚动训练二(§1.3～§1.4)一、选择题1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点考点函数极值的应用题点函数极值在函数图象上的应用答案 C解析f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由题图易知有两个极大值点，两个极小值点．2．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是( ) A．[1，＋∞) B．a＝1C．(－∞，1] D．(0,1)考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数单调性求参数(或其范围)答案 A解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.3.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)考点 利用导数研究函数的单调性 题点 比较函数值的大小 答案 C解析 依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0， 因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数， 由于a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )．4．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值时的x 值为( )A ．0 B.π6 C.π3D.π2考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 B解析 由f ′(x )＝1－2sin x ＝0，得sin x ＝12，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x ＝π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f ′(x )>0；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2时，f ′(x )<0， 故当x ＝π6时取得最大值．5．已知函数f (x )＝x 2(ax ＋b )(a ，b ∈R )在x ＝2处有极值，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线3x ＋y ＝0平行，则函数f (x )的单调递减区间为( ) A ．(－∞，0) B ．(0,2) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数函数的单调区间 答案 B解析 ∵f (x )＝ax 3＋bx 2，∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ×22＋2b ×2＝0，3a ＋2b ＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，令f ′(x )＝3x 2－6x <0，则0<x <2.6．已知f (x )＝x ＋b x在(1，e)上为单调函数，则实数b 的取值范围是( ) A ．(－∞，1]∪[e 2，＋∞) B ．(－∞，0]∪[e 2，＋∞) C ．(－∞，e 2]D ．[1，e 2]考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 A解析 若b ≤0，则函数在(0，＋∞)上为增函数，满足条件，若b >0，则函数的导数f ′(x )＝1－b x 2＝x 2－bx2，由f ′(x )>0得x >b 或x <－b ，此时函数单调递增， 由f ′(x )<0得－b <x <b ，此时函数单调递减， 若函数f (x )在(1，e)上为单调递增函数， 则b ≤1，即0<b ≤1，若函数f (x )在(1，e)上为单调递减函数， 则b ≥e，即b ≥e 2， 综上b ≤1或b ≥e 2，故选A.7．已知函数f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )考点 函数的单调性与导数的关系 题点 根据导函数的图象确定原函数图象 答案 B解析 从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f (x )的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．A 项，在x ＝0时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误．B 项正确． 8．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98 C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 C解析 当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R .当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max .设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝(2x －4)x 3－(x 2－4x －3)3x2x6＝－x 2－8x －9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4>0， ∴φ(x )在(0,1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6， ∴a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min . 仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－(x －9)(x ＋1)x 4. 当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )<0， 当x ∈(－1,0)时，φ′(x )>0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值． 而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2. 二、填空题9．若函数f (x )＝x 3＋32x 2＋m 在区间[－2,1]上的最大值为92，则m ＝________.考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数 答案 2解析 f ′(x )＝3x 2＋3x ＝3x (x ＋1)． 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－1. 又f (0)＝m ，f (－1)＝m ＋12，f (1)＝m ＋52，f (－2)＝－8＋6＋m ＝m －2，∴当x ∈[－2,1]时，最大值为f (1)＝m ＋52，∴m ＋52＝92，∴m ＝2.10.已知函数f (x )的导函数f ′(x )是二次函数，如图是f ′(x )的大致图象，若f (x )的极大值与极小值的和等于23，则f (0)的值为________．考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值求参数 答案 13解析 ∵其导函数的函数值应在(－∞，－2)上为正数，在(－2,2)上为负数，在(2，＋∞)上为正数，由导函数图象可知，函数在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，∴函数在x ＝－2时取得极大值，在x ＝2时取得极小值，且这两个极值点关于点(0，f (0))对称，由f (x )的极大值与极小值之和为23，得f (－2)＋f (2)＝2f (0)，∴23＝2f (0)，则f (0)的值为13. 11．已知函数f (x )＝x e x＋c 有两个零点，则c 的取值范围是________． 考点 函数极值的综合应用题点 函数零点与方程的根 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e解析 ∵f ′(x )＝e x(x ＋1)，∴易知f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (－1)＝c －e －1，由题意得c －e －1<0，得c <e －1. 三、解答题12．某品牌电视生产厂家有A ，B 两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家对A ，B 两种型号的电视机的投放金额分别为p ，q 万元，农民购买电视机获得的补贴分别为110p ，25ln q 万元，已知A ，B 两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A ，B 两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4) 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题解 设B 型号电视机的投放金额为x 万元(1≤x ≤9)，农民得到的补贴为y 万元，则A 型号的电视机的投放金额为(10－x )万元，由题意得y ＝110(10－x )＋25ln x ＝25ln x －110x ＋1,1≤x ≤9，∴y ′＝25x －110，令y ′＝0得x ＝4.由y ′>0，得1≤x <4，由y ′<0，得4<x ≤9， 故y 在[1,4)上单调递增，在(4,9]上单调递减，∴当x ＝4时，y 取得最大值，且y max ＝25ln 4－110×4＋1≈1.2，这时，10－x ＝6.即厂家对A ，B 两种型号的电视机的投放金额分别为6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元．13．设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 解 (1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1(x ∈R ，t >0)， ∴当x ＝－t 时，f (x )有最小值f (－t )＝h (t )＝－t 3＋t －1. (2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m ， 由g ′(t )＝－3t 2＋3＝0得t ＝1或t ＝－1(舍去)．当t 变化时，g ′(t )，g (t )的变化情况如下表：∴当t ∈(0,2)时，g (t )max ＝g (1)＝1－m . ∵h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立， ∴g (t )max ＝1－m <0，∴m >1. 故实数m 的取值范围是(1，＋∞)． 四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝2ln x ＋a x2(a >0)．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 [e ，＋∞)解析 f (x )≥2即a ≥2x 2－2x 2ln x . 令g (x )＝2x 2－2x 2ln x ， 则g ′(x )＝2x (1－2ln x )． 由g ′(x )＝0得x ＝12e 或0(舍去)， 当0<x <12e 时，g ′(x )>0； 当x >12e 时，g ′(x )<0，∴当x ＝12e 时，g (x )取最大值g (12e )＝e ，∴a ≥e. 15．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)＋axx ＋1(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的极值；(3)求证：ln(n ＋1)>1－112＋2－122＋3－132＋…＋n －1n 2(n ∈N *)．考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用(1)解 当a ＝1时，f (x )＝ln(x ＋1)＋xx ＋1，精品学习资料所以f ′(x )＝1x ＋1＋(x ＋1)－x (x ＋1)2＝x ＋2(x ＋1)2， 所以f ′(0)＝2， 又f (0)＝0，所以函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x . (2)解 f ′(x )＝1x ＋1＋a (x ＋1)－ax(x ＋1)2＝x ＋1＋a(x ＋1)2(x >－1)． 令x ＋1＋a ＝0，得x ＝－a －1. 若－a －1≤－1，即a ≥0，则f ′(x )>0恒成立，此时f (x )无极值． 若－a －1>－1，即a <0， 当－1<x <－a －1时，f ′(x )<0， 当x >－a －1时，f ′(x )>0，此时f (x )在x ＝－a －1处取得极小值， 极小值为ln(－a )＋a ＋1.(3)证明 当a ＝－1时，由(2)知，f (x )min ＝f (0)＝0， 所以ln(x ＋1)－x x ＋1≥0，即ln(x ＋1)≥xx ＋1. 令x ＝1n(n ∈N *)，则ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1≥1n 1n＋1＝11＋n ，所以lnn ＋1n ≥11＋n. 又因为11＋n －n －1n 2＝1n 2(n ＋1)>0，所以11＋n >n －1n 2，所以lnn ＋1n >n －1n2， 所以ln 21＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n ＋1n >1－112＋2－122＋3－132＋…＋n －1n 2，即ln(n ＋1)>1－112＋2－122＋3－132＋…＋n －1n2.精品学习资料。