正确理解数学命题本质,充分展示数学思维过程
2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)充分条件与必要条件(解析版)
第04讲充分条件与必要条件模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义；2．了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系；3．培养逻辑思维能力，能够在复杂情况下运用充分条件与必要条件进行推理，解决数学问题.知识点1充分条件与必要条件1、命题（1）命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．（2）命题的形式：中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式．其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．2、充分条件与必要条件（1）一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由条件p 通过推理可以得出结论q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p q ⇒，并且说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．（2）如果“若p ，则q ”为假命题，那么由条件p 不能推出结论q ，记作p q ¿.这时，我们就说，p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件．（3）充分条件与必要条件的关系p 是q 的充分条件反映了p q ⇒，而q 是p 的必要条件也反映了p q ⇒，所以p 是q 的充分条件与q 是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同．而p 是q 的充分条件只反映了p q ⇒，与q 能否推出p 没有任何关系．3、充要条件（1）充要条件的概念：如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均为真命题，即既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔．此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．（2）充要条件的含义：若p 是q 的充要条件，则q 也是p 的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同．（3）充要条件的等价说法：p 是q 的充要条件又常说成是q 成立当且仅当p 成立，或p 与q 等价．4、充分条件与必要条件的传递性（1）若p 是q 的充分条件，q 是s 的充分条件，即p q ⇒，q s ⇒，则有p s ⇒，即p 是s 的充分条件；（2）若p 是q 的必要条件，q 是s 的必要条件，即q p ⇒，s q ⇒，则有s p ⇒，即p 是s 的必要条件；（3）若p 是q 的充要条件，q 是s 的充要条件，即p q ⇔，q s ⇔，则有p s ⇔，即p 是s 的充要条件．5、条件关系判定的常用结论p 与q 的关系结论p q ⇒，但q p ¿p 是q 的充分不必要条件q p ⇒，但p q ¿p 是q 的必要不充分条件p q ⇒且q p ⇒，即p q ⇔p 是q 的充要条件p q ¿且q p¿p 是q 的既不充分也不必要条件知识点2从不同角度理解充分必要性1、从命题的角度充分理解充分必要性若把原命题中的条件和结论分别记作p 和q ，则原命题与逆命题同p 与q 之间有如下关系:（1）若原命题是真命题，逆命题是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；（2）若原命题是假命题，逆命题是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；（3）若原命题和逆命题都是真命题，则p 和q 互为充要条件；（4）若原命题和逆命题都是假命题,则p 是q 的既不充分也不必要条件.2、从集合的角度理解充分必要性若条件p ，q 以集合的形式出现，即A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则由A ⊆B 可得，p 是q 的充分条件，（1）若AB ，则p 是q 的充分不必要条件；（2）若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；（3）若AB ，则p 是q 的必要不充分条件；（4）若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；（5）若A ⊈B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；知识点3充分、必要、充要条件的证明1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。
数学教学应充分展示数学的思维过程
数学教学应充分展示数学的思维过程作者：周丽娜来源：《中学教学参考·下旬》 2014年第4期浙江台州市椒江区第二职业技术学校（318000）周丽娜数学教学就是学生在教师的指导下，学习数学家的思维活动的过程.在数学教学中存在着三种思维活动：一是数学家的思维活动（它出现在教材中），二是数学教师的思维活动，三是学生的思维活动.这三种思维活动的协调过程可用图表表示为：其中教师在教学过程中起着主导作用，协调着这三种活动，使得学生的学习思维与数学家的思维同步，并逐步使其思维结构与数学家的思维相似.这样，学生提出问题、分析问题和解决问题的能力就会不断提高.一、在数学概念、定理（公式法则等）教学中，应充分展示数学结论的发现过程数学的每一个概念、定理在其发展的长河中是如何被提出、发现的，是如何被抽象、概括的，是如何被猜测、判断的，等等，这一系列的思维活动，都蕴含着极其丰富的思维因素与价值.只有揭示其发生的过程，才能更深刻地认识其本质，才能理解它本身的价值.因此，在数学教学中，教师要对教材进行“再创造”，要引导学生模拟数学家的思维去发现数学的概念和定理.案例1：《平面解析几何》“圆的一般方程”的教学.1.提出问题将圆的标准方程展开后得到一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.（1）那么反过来，形如（1）的方程表示的曲线是不是圆？2. 试验、猜想当同学们对教师提出的问题跃跃欲试的时候，教师趁热打铁，引导学生对方程（1）中的系数D、E、F取特殊值进行试验，经过试验，得出猜想：方程（1）表示的曲线是圆或点，也可能不表示任何图形.3.证明让学生对自己所猜想的结论进行证明.以上的教学过程，体现了“先合情推理，再演绎推理”的数学家的研究套路，让学生先用合情推理去发现数学结论，再用演绎推理证明所发现的数学结论，这不但能提高学生的数学推理能力，而且还能培养他们的创造性思维能力.二、在解题教学中，应充分展示解题思路的探索过程充分展示数学解题的思维过程，特别是解题思路的探索过程，是数学解题教学的灵魂.怎样引导学生进行解题思路的探索？数学家波利亚的“怎样解题”表为我们指明了方向.波利亚在其给出的“怎样解题”表中用了启发学生找到解题途径的一连串问句与建议，来表示思维过程的正确搜索程序，其解题的核心在于不断地变换问题，连续地化简问题，最终归结为熟悉的基本问题加以解决.对具体问题设问和引导学生思考，是教师主导作用发挥的主渠道.请看以下的教学片断.案例2：证明函数y=f（x）的图像和它的反函数y=f-1（x）的图像关于直线y=x对称.当学生通过作图猜想到这个结论时，接下来就是证明猜想的正确性.但证明的思路是怎样想到的呢？我是这样启发学生的：师：你见过类似的问题吗？（引导学生联想起熟悉的定理：奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图像关于y轴成轴对称图形.）它们是如何证明的？生：证明奇（偶）函数（x）图像上任意一点关于原点（y轴）的对称点都在这个函数的图像上.师：对！通过类比你能猜想该命题证明的思路吗？生：先证明函数y=f（x）图像上的任一点关于直线y=x的对称点都在它的反函数y=f-1（x）的图像上，再证明函数y=f-1（x）图像上任意一点关于直线y=x的对称点也都在它的反函数y=f（x）的图像上.在解题教学中充分展示解题思路的探索过程，既提高了学生的数学解题能力，又培养了他们的数学思维能力和研究数学的能力.三、要重视数学结论的引申和推广数学概念的完整性和数学模型的普遍性是数学探索的主要内容，对数学问题的引申和推广也是数学家常用的研究方法.数学研究的很多问题都是某种形式的推广，运用合情推理将问题进行推广，既符合数学知识本身发展的规律，也符合学生个体心理发展的规律.案例3：学习了圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0后，引导学生联想更一般的二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.（2）教师提问学生：如果方程（2）表示圆，那么它在形式上有什么特点？（①A=C≠0；②B=0）继续追问：如果方程（2）满足①A=C≠0，②B=0两条件，那么它是不是表示圆？如果不是，那么方程（2）表示圆的充要条件又是什么？学生经过探索得到：方程（2）表示圆的充要条件是：①A=C≠0；②B=0；③D2+E2 -4AF>0.案例4：当学生学习了完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2后，引导学生将（a+b）2的指数推广得：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5（a+b）6= a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6……（a+b）n=？（课外思考）探究上面展开式的系数关系有：1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1……探究展开式系数的美学价值得：①对称性：每行中与首末两端等距离的数相等（对称美）.②递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和（和谐美）.如果引导学生将（a+b）2的底的项数推广得：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+ac+bc）（a+b+c+d）2= a2+b2+c2+d2+2（ab+ac+bc+ad+bd+cd）……（x1+x2+x3+x4+...xn）2= x21+x22+x23+x24+...x2n+2（x1 x2 +x1 x3+...x1 xn +x2 x3 +...+x2 xn +...+xn-1 xn）以上的学习过程中，学生通过自主探索，合作交流，“创造”了自己所理解的数学，因此，印象也特别深刻，同时还获得了比单纯知识（结论）本身更重要的东西——数学思想方法.事实上，让学生探究数学结论引申和推广的过程，不仅会使他们感受和理解知识的产生和发展，掌握数学学习的策略与方法，而且对于他们积极的情感和进取人格的形成，会产生很大的作用.在数学教学中，重视展示数学知识的产生发展过程，重视展示数学学习的思维过程，必将调动学生学习数学的主动性和创造性，进而培养他们的思维能力，优化他们的思维品质.参考文献刘云章，赵雄辉.数学解题思维策略［M］.长沙：湖南教育出版社，1992.（责任编辑周侯辰）。
华师大版数学八年级上册13.5《逆命题与逆定理》说课稿
华师大版数学八年级上册13.5《逆命题与逆定理》说课稿一. 教材分析华师大版数学八年级上册13.5《逆命题与逆定理》是本节课的主题。
这部分内容是在学生已经掌握了命题与定理的基础上进行学习的，是进一步引导学生深入理解数学概念，培养学生逻辑思维能力的重要内容。
逆命题与逆定理是数学中的基本概念，理解这两个概念有助于学生更好地理解命题与定理的本质。
通过学习逆命题与逆定理，学生能够更深入地理解数学的逻辑结构，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习这部分内容时，已经有了一定的数学基础，对命题与定理有一定的了解。
但是，对于逆命题与逆定理的理解可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实例来理解逆命题与逆定理的概念，并通过练习来巩固所学知识。
三. 说教学目标本节课的教学目标是让学生理解逆命题与逆定理的概念，能够运用逆命题与逆定理来解决问题，提高学生的逻辑思维能力。
四. 说教学重难点本节课的重难点是逆命题与逆定理的理解和运用。
学生需要通过实例来理解逆命题与逆定理的概念，并通过练习来掌握运用逆命题与逆定理的方法。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用讲解法、示例法、练习法等教学方法。
通过讲解法，我来向学生解释逆命题与逆定理的概念；通过示例法，我来引导学生通过实例来理解逆命题与逆定理；通过练习法，我来让学生通过练习来巩固所学知识。
六. 说教学过程1.导入：我会通过一个简单的实例来导入本节课的内容，让学生初步感受逆命题与逆定理的概念。
2.讲解：我会详细讲解逆命题与逆定理的概念，并通过示例来让学生更好地理解这两个概念。
3.练习：我会给出一些练习题，让学生通过练习来巩固所学知识。
4.总结：我会对本节课的内容进行总结，让学生加深对逆命题与逆定理的理解。
七. 说板书设计板书设计如下：逆命题与逆定理逆命题：将一个命题的条件和结论互换得到的命题。
逆定理：如果一个命题的条件是另一个命题的结论，另一个命题的条件是这个命题的结论，那么这两个命题叫做逆定理。
理解初中数学的本质
理解初中数学的本质数学作为一门学科，无论是在初中阶段还是在更高的学术领域，都具有其独特的本质。
理解初中数学的本质，既有助于学生在学习过程中更好地掌握数学知识，也能够培养他们对数学的兴趣和思维能力。
初中数学的本质首先体现在其严谨的逻辑性上。
数学作为一门科学，追求精确性和严谨性。
在初中阶段，学生开始接触到严谨的数学证明和推理。
通过学习数学定理和公式的推导，学生学会了编写数学证明，培养了逻辑思维和严谨性。
掌握初中数学的本质，意味着了解到数学不仅仅是简单的计算和运算，更是一种推理和证明的方法。
这种严谨的逻辑性让学生在数学学习中培养了思考问题、解决问题的能力，这些能力也对其他学科和日常生活具有重大的影响。
其次，初中数学的本质体现在其抽象概念与实际问题的联系上。
数学在初中阶段开始引入了一些抽象概念，如方程、函数、平面几何等。
这些概念对初中学生来说可能比较抽象和难以理解，但实际上数学中的这些概念都是从实际问题中抽象出来的。
初中数学的本质就是要让学生明白数学是对于客观世界的一种描述和解释，通过抽象和数学模型的建立，将实际问题转化为数学问题进行解决。
通过学习初中数学，学生逐渐意识到数学并不是一些无关紧要的知识，而是与生活密切相关的工具和语言。
初中数学的本质还体现在培养学生的问题解决能力和创造性思维上。
数学学科强调的不仅仅是计算和运算的结果，更重要的是培养学生解决问题的能力。
初中数学的学习过程中，学生需要面对各种各样的问题，并通过运用数学知识和方法来解决。
这种解决问题的过程，培养了学生的逻辑思维能力、分析问题的能力以及创造性思维。
初中数学的本质就是让学生尝试寻找不同的解决路径和方法，从而培养他们思考问题的灵活性和创造性。
最后，初中数学的本质还包括培养学生的数学思维和数学语言能力。
数学思维是指通过数学方法来进行思考问题的能力，它强调的是逻辑、抽象和推理的能力。
通过学习初中数学，学生在解决问题的过程中逐渐培养了数学思维能力。
要正确理解数学命题的内涵
要正确理解数学命题的内涵
员连珠
【期刊名称】《小学教学研究(教学版)》
【年(卷),期】2007(000)002
【摘要】拜读了贵刊2006第9期《问题争鸣》栏目的《对一道判断题的争议》一文，笔者认为正确理解数学命题的内涵是解决“18的约数有2、3、6、9”这一命题正确与否的关键所在。
“18的约数有2、3、6、9”正确无误，其理由有以下两方面。
【总页数】1页(P48)
【作者】员连珠
【作者单位】内蒙古赤峰市克什克腾旗广兴源小学
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.正确理解数学概念内涵，提高解题的准确性 [J], 周建洋
2.理解数学命题的视角与策略 [J], 赵思林;王婷;余小芬
3.内涵命题和外延命题理论对解决直言命题问题的贡献 [J], 吴春红;张延伍
4.正确理解数学命题本质,充分展示数学思维过程 [J], 杨成国
5.正确认识和理解数学“综合与实践”课程内容 [J],
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第一节 数学学习的本质 (一) 数学学习的一般含义
第一节数学学习的本质 (一) 数学学习的一般含义认识数学学习的含义，首先必须理解数学学习与人的社会生活需要之间的关系。
众所周知，数学在社会发展中的地位越来越重要了。
国家的繁荣昌盛关键在于高新科技和高效率的经济管理，“高新技术的基础是应用科学，而应用科学的基础是数学”。
数学已成为自然科学、社会科学和行为科学的基础，数学的内容、思想、方法在人类社会生活中的应用越来越广泛，数学的符号和句法、词汇和术语已经成为表述关系和模式的通用工具；数学在提高一个民族的科学和文化素质上起着非常关键的作用，它不但给人以实用的技术，而且也给人以能力，“包括直观思维、逻辑推理、精确计算以及结论的明确无误”。
因此，从社会价值来说，数学为社会发展、人类文明和进步、生产力发展提供了知识资源与动力；从个体价值来说，数学为人们提供了探索客观世界发展规律的必要知识、思想和方法手段。
当今，数学已同时具有科学与技术两种品质，这是其它科学所难以具备的。
现代信息社会中，个体要适应社会发展的需要，就必须掌握必要的数学知识。
因此，数学学习是个体适应社会环境发展变化所必需的。
随着个体身心的发展、与社会环境相互作用过程的深入，个体对数学知识的需求会越来越多，从而刺激了个体数学学习的需求。
那么，从心理学角度看，究竟什么是数学学习呢？对此，必须了解以下几点。
1．数学学习首先是个体为适应数学知识的发展变化而进行的一种活动。
适应，心理学上指个体对环境变化所做出的反应。
就数学学习而言，这种适应具体落实在个体对数学知识体系的发展变化所做出的应答上，其结果是个体的数学认知结构获得发展。
个体数学认知结构发展变化的动力，宏观上，是因为现代社会处于一个数字化的信息时代，需要人们掌握较高水平的数学知识，需要人们不断进行新的数学学习；微观上，来自于个体的认知需要，数学学习过程是作为主体的个体与作为客体的数学知识体系之间进行相互作用的过程，是两者之间的平衡不断被打破，并在新的基础上建立新平衡的动态变化过程。
正确的数学教学本质观及其对数学教学的指导作用
正确的数学教学本质观及其对数学教学的指导作用数学是一门古老而重要的学科，它不仅仅是一种计算工具，更是培养逻辑思维、分析问题和解决问题能力的重要工具。
在数学教学中，教师的教学本质观起着至关重要的作用。
正确的数学教学本质观能够指导教师合理安排教学内容和方法，激发学生对数学的兴趣和学习动机，提高学生的数学素养和解决问题的能力。
本文将探讨正确的数学教学本质观及其对数学教学的指导作用。
一、正确的数学教学本质观正确的数学教学本质观是以培养学生数学思维为核心，注重学生数学概念的建构、数学思维的培养和解决问题的能力的培养。
它主要包括以下几个方面：1. 学生主体性。
强调学生是学习的主体，教师应尊重学生的个体差异和兴趣，采用多种教学策略，激发学生的学习动机，培养学生主动探究和合作学习的能力。
2. 经验积累。
认为学生的学习是建立在对数学概念和规律的积累和归纳总结上的。
因此，在教学中应注重让学生多进行实际操作、观察和实验，通过经验积累来理解和掌握数学知识。
3. 抽象思维。
强调抽象思维在数学学习中的重要性。
教师应帮助学生培养抽象思维能力，通过将具体问题抽象成符号和模型，让学生从具体到抽象，从而更好地理解和应用数学知识。
二、数学教学的指导作用正确的数学教学本质观对数学教学具有重要的指导作用。
它能够引导教师更好地组织和展开教学活动，培养学生的数学素养和解决问题的能力。
1. 教学内容的选择与安排。
基于正确的数学教学本质观，教师应根据学生的实际情况和学习需要，合理选择教学内容，并将其组织成一个有机的整体。
教师应注意将抽象的数学概念与学生日常生活和实际问题相结合，帮助学生理解和应用数学知识，培养学生将数学知识应用于实际问题的能力。
2. 教学方法的灵活运用。
正确的数学教学本质观要求教师采用多种教学方法，根据学生的不同学习风格和认知特点，采用灵活多样的教学策略，以激发学生的学习兴趣和主动性。
例如，教师可以引导学生通过分组合作、情境模拟、游戏等方式，让学生在具体的情境中进行数学思维和解决问题的训练。
教育部教育考试院：2023年高考数学全国卷试题评析
教育部教育考试院：2023年高考数学全国卷试题评析教育部教育考试院：2023年高考数学全国卷试题评析2023年教育部教育考试院命制4套高考数学试卷，分别是全国甲卷(文、理科)、全国乙卷(文、理科)、新课标Ⅰ卷、新课标Ⅱ卷。
高考数学全国卷全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，促进学生德智体美劳全面发展;反映新时代基础教育课程理念，落实考试评价改革、高中育人方式改革等相关要求，全面考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等学科核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，突出理性思维，发挥数学学科在人才选拔中的重要作用。
一、发挥基础学科作用助力创新人才选拔高考数学全国卷充分发挥基础学科的作用，突出素养和能力考查，甄别思维品质、展现思维过程，给考生搭建展示的舞台和发挥的空间，致力于服务人才自主培养质量提升和现代化建设人才选拔。
一是重点考查逻辑推理素养。
如新课标Ⅰ卷第7题，以等差数列为材料考查充要条件的推证，要求考生判别充分性和必要性，然后分别进行证明，解决问题的关键是利用等差数列的概念和特点进行推理论证。
又如新课标Ⅱ卷第11题，其本质是根据一元二次方程根的性质判定方程系数之间的关系，题中函数经过求导后既有极大值又有极小值的性质，可以转化为一元二次方程的两个正根。
再如全国乙卷理科第21题，要求考生根据参数的性质进行分类推理讨论，考查考生思维的条理性、严谨性。
二是深入考查直观想象素养。
如全国甲卷理科第15题，要求通过想象与简单计算，确定球面与正方体棱的公共点的个数。
又如全国乙卷理科第19题，以几何体为依托，考查空间线面关系。
再如新课标Ⅱ卷第9题，以多选题的形式考查圆锥的内容，4个选项设问逐次递进，前面选项为后面选项提供条件，各选项分别考查圆锥的不同性质，互相联系，重点突出。
三是扎实考查数学运算素养。
试题要求考生理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。
如新课标Ⅰ卷第17题，以正弦定理、同角三角函数基本关系式、解三角形等数学内容，考查数学运算素养。
培养数学创造性思维的方法技巧
培养数学创造性思维的方法技巧数学思维的展示主要包括三类人思维活动的展示，即数学家的，教师的，学生的思维活动。
下面是小编整理分享的如何培养数学创造性思维，欢迎阅读与借鉴，希望对你们有帮助!1如何培养数学创造性思维创造性思维是集中思维和发散思维的对立统一集中思维是指人们解决问题的思路朝一个方向聚敛前进，从而形成的、确定的答案。
发散思维则是指人们解决问题时，从某一特定目标出发，思维向外辐射，沿着各种不同的途径和方向，从多角度、多方面思考、想象，从而探索出多种多样的设想和解决问题的办法，即产生出大量的独特的新思想。
因此不少人认为，创造性思维只包含发散思维，这是很不完全的。
创造性思维应包含集中思维，是发散思维和集中思维的对立统一。
创造性思维是逻辑思维和直觉思维的对立统一逻辑思维是严格遵循逻辑规律，逐步分析与推导，最后得出合乎逻辑的正确答案和结论的思维活动。
直觉思维是一种没有完整的分析过程与逻辑程序，依靠灵感和顿悟，快速地作出判断和结论的思维活动。
直觉思维可以创造性地发现新问题、提出新概念、新思想、新理论，是创造性思维的主要形式。
当然，逻辑思维与直觉思维相互促进、相互联系，逻辑思维是直觉思维的基础，直觉思维是高度成熟的逻辑思维的产物。
没有直觉思维做先导，难以提出新问题、新设想，可以说，直觉思维在创造活动中起着决定性作用。
但新思想、新设想提出之后，仍需要用逻辑思维进行推理和论证，因此，我们不能排斥或贬低逻辑思维在创造活动中的作用。
事实上，整个创造性思维的发展都是在逻辑思维和直觉思维的交叉状态下进行的。
2数学创造性思维及其能力培养1.重视数学思维认识发生阶段。
数学思维活动大致分为数学发生阶段和知识整理阶段。
前者指概念如何形成，结论如何被发现的过程，后者是用演绎法进一步理解知识，推广知识的过程。
因此，前一阶段是引导学生探索知识的阶段，是培养创造性思维的好阶段，使学习与发现同步。
但是，在数学概念课教学中，只要结论，不要形成的本末倒置的新课匆匆带过，以腾出时间练习等做法，是阻碍创造性思维的培养的。
如何充分展示思维过程
如何充分展示思维过程如何充分展示思维过程著名的数学教育家斯托利亚指出：“数学教学是数学活动（思维活动）的教学，而不仅是数学活动的结果——数学知识的教学”。
因此，数学教学不仅要传授数学知识，更重要的是要传授获取数学知识的科学思维方法，发展学生的思维，形成数学能力，使学生从“学会”转变为“会学”，而实现这一目标的一条重要途径就是在课堂教学活动中，应充分展示数学思维过程，使数学教学真正成为数学教学活动。
一、展示思维过程的意义：展示思维过程有助于克服学生的学习心理障碍，培养学生的探索精神；展示思维过程有利于学生综合素质的提高；展示思维过程有利于培养学生科学的分析问题；展示思维过程能培养学生的创新意识。
二、如何充分展示思维过程：展示思维过程应体现在整个数学教学活动中，教师要结合学生的实际情况和教学内容、课型特点来设计教学，力争在每一类型的课中都设计出一个数学思维活动的小高潮。
以下主要谈谈本人的一点拙见。
（1）数学概念的教学要揭示概念的形成背景一个数学概念的形成都有着它的自然背景，揭示概念的抽象、概括过程及引入该概念的目的，对学生理解概念的本质特征，形成知识体系和网络，培养学生的抽象、概括能力及的定理、解题方法、解题规律），巧妙架桥沟通（如设辅助元、添加辅助线等），逐步向所求靠拢。
这样做，能使得观察、分析、联想、转化等思维过程，成为学生摸得着、看得见的东西，对提高教学质量，培养学生的能力有着至关重要的作用。
（4）习题教学应注意展示习题的演化、发展过程数学问题往往都是一些基本结论组合而成的。
习题教学中，题目的给出一般不应该太直接，而应该注意揭示题目的编写意图及演化过程，使学生在习题的演化、发展过程中接受思维熏陶，有助于学生形成科学的命题演化方法（如图形演化法、减弱条件、交换题设和结论、结论加强法、命题推广法、增设已知探索新结论法等），有助于提高学生思维的灵活性、广泛性、深刻性等。
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Ｖｏ ． ４． ． １２ Ｎｏ３
２０ ０ ６年 ６月
学命题本 质 ， 充分展 示数学思维过 程
杨成 国
（ 黔东南 州振华 民族 中学， 贵州 凯里 ５ ６ ０ ） ５ ０ ０
【 摘
要】在学 习数学活动 中， 努力 学会 思考 ， 挖掘数 学命题的信 息、 要 学会 本质 ， 进行各种数 学 变换 ， 充分展示数 学
学 习 ， 过 这 种 学 习 活 动 ， 巩 固 、 深 我们 对 数 学 基 础 知 通 能 加 识 的 理 解 ， 而 提 高 我们 分 析 问 题 、 决 问 题 的能 力 ． 种 进 解 这 数 学 活 动 对 于 学 习者 来 说 是 最 主 要 的活 动 ， 主 要 特 征 是 其 吸 收 、 化 、 解 、 用 、 高． 者 是 研 究 性 质 的 ， 是 研 消 理 应 提 后 它 究者用所学的知识 、 方法 、 能 主 动 地 探 求 的一 种 活 动． 技 这是 学 以致 用 的体 现 ． 学 习 中 研究 ， 研 究 中学 习 ， 在 在 这 是 一 种 最 高 形 式 的 学 习．在学 习研 究 数 学基 本 概 念 、 基 本知 识 、 本 方 法 的过 程 中要 特 别 重 视 解 题 方法 的 形 成 过 基
活动 的思 雏过 程 ， 断提 高理 解 、 析 问题 的 能 力 ． 不 分
【 关键词】数 学活动 ； 学思维； 学解题 的思维展 示 数 数 【 中图分 类号】 ３． 【 ６３ 文献标识码】 【 ６ Ａ 文章编号】０２ ６９（ ０） — ０５ ０ １０— ９１ ０６０ ０７— ３ ２ ３
程 ， 题思维的发生 、 展过程． 解 发 １ 充分展示人类思维的丰富性 、 生动 性
由此 可 知 ， 用 完 全 平 方 公 式 可 以把 ＋ ６联 系起 应 ６和 ｃ 来 ． 个 公 式 用 哪 一 个 好 呢 ？ 比 之 下 ， 一 个 更 能 体 现 两 相 后
ｂ ｃ ≠ 的特征． 由整体代人以及（ ￣＞ ， ｂ ｙ ｏ 就可 以得 出关 于口 － 的
的 活跃 ．
ｂｃ ，ｇ不 相等 的实数 ， 且满足ｂ＋ ２２２１ａ １ ，ｃ ２ｃ＝ 口＋ ６ ＋ ４ ｂ ＝
题 中， ， ，由两个 条件 约束 ， 口ｂＣ 它们应该 在一定的范 围内变
化 ， 以 问 题 应 该 能 够 得 到 解 决 ． 里 要求 实 数 口 取 值 范 所 这 的 围 ， 能 由 条 件 消 去ｂ Ｃ 最 后 得 到 只 含口 不 等 式 ， 若 ，， 的 由此 求
不 等 式 ． 不 难 求 出口 取 值 范 围 ． 由此 的
解 由 已知 条 件 得
（．） ｜ ｃ ｃ＝２ １叶 １）２ ４ ＿）２ａ ２ ． ６－ ２ ＿ ＋２（ ｃ ： ６ ４＿ － 口 ５＝ ４ ＋ ４
由于ｂ ， 以（． ）＞０ 从而有 ２ ａ＋２ ≠ｃ 所 ６－ ， ｃ ４ ４＞０ 于是 ，
过程 ：
下 面 笔 者 通 过 一 些 例 子 说 明 在 数 学 学 习 活 动 中 学 生 的 一些 思 维 活 动 ．
充分发掘命题 信息 ， 让思维来得 自然些．
例 １ 若 实 数 口ｂ ｃ 不 相 等 。且 满 足 ｂ＋。２２ １ａ ， ，互 ｃ＝ ａ＋ ６ ＋ １ ，ｃ ＿口 ５则 实 数 口 ４６＝ ４＿． 的取 值 范 围是 学 生 在 解 解 这 个 问 题时 ， 般 要 经 历 以 下 这 样 一 些 思 一
学 习 数 学 有 两 种 主 要 的活 动 ： 一种 是 解 决 别 人 提 出 的
问题 ， 一 种 是 自己提 出 问 题 ， 另 自己试 着 解 决 同题 ． 者 是 前
命 题 题 设 中涉 及 到 ｂｃ 平 方 和与 ｂ ｃ 乘 积 ， 们 自 ，的 ，的 我
然联 想 到 如 下 的两 个 完 全平 方公 式 （＋） ａ＋ａ ＋ （＿ ） ａ ｂ￣ ２２ｂ ｂ， 口 ６ － ２ｂ ｂ． ａ＋２
口＞ １所 以 ，的 取 值 范 围 是 口＞ １ －， 口 － 于是 问题 得 到 解决 ．
２ 深入 理 解 命 题 。 思 维 更 广 阔 更 深 刻 让 例１ 的另 一 种 解 法 解 决 完 刚 才 的 问题 ，我 们 不 能 就 此 停 住 思 维 的 步 伐 ， 是 让 我 们 的思 维 继 续 发 展 ， 我 们 的 而 让 思 维 更 广 阔 些 、 跃 些 ． 是 我 们 又 有 下 面 的 一 系 列 思 维 活 于
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第２ ４卷
第 ３期
黔 东 南 民族 师 范 高 等 专 科 学 校 学 报
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＳ ｕｈ ａｔ ｉｈ ｕＮａｉｎ ｌＴ ａ ｈ ｒｓＣ ｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｏ ｔｅｓ ｚ ｏ ｔ ａ ｅ ｃ ｅ ｏ ｅ ｅ ｏ Ｇｕ ｏ ｌ
维活动 ：
要求 口 取 值 范 围 ，就 要 消 去 ｂ Ｃ 的 ， ，得 出关 于口 不 等 的
式． 此 ， 去 ｂ ｃ 成 了解 决 同 题 的 关 键 ． 了前 面 我 们 用 因 消 ，就 除 过 的 完 全 平 方 公 式 外 ， 有 别 的方 法 吗 ？ 法 不 是 凭 空 产 还 方
（ 首先对 数学命 题有一定 的感性认 识 。 １ ） 也就是 常说 的
感 悟 ． 先 。 确 数 学 问题 给 出 的 条 件 ， 要 解 决 什 么 问 首 明 需 题 ， 达 到 什 么 目的 ， 何 寻 找解 决 问 题 的途 径 等 ． 本 问 要 如 在
生 的 ， 来 自仔 细 的 观 察 ， 富 的 想 象 ， 础 的 厚 实 ， 维 它 丰 基 思