河南省新乡市一中2017-2018九年级第22章二次函数培优测试

新乡市一中九年级数学培优测试（含答案）
第22章二次函数
时间：100分钟满分：100分
【二次函数的图象与性质——二次函数的增减性】
1．在二次函数y=−x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是()
A. x<1
B. x>1
C. x<−1
D. x>−1
解答：
y=−x2+2x+1=−(x−1)2+2，
抛物线的对称轴为直线x=1，
∵a=−1<0，
∴当x<1时，y随x的增大而增大.
故选A.
2．已知二次函数y=−x2+2bx+1,当x<1时,y的值随x值的增大而增大,则b的取值范围是()
A. b⩾−1
B. b⩽−1
C. b⩾1
D. b⩽1
∵a<0，
∴当x<b时，y随x的增大而增大，
∵当x<1时，y的值随x值的增大而增大，
∴b⩾1.
故选：C.
3.点A(2,y1)、B(3,y2)是二次函数y=x2−2x+1的图象上两点,则y1与y2的大小关系为
y1y2(填“>”、“<”、“=”).
解答：
当x=2时,y1=x2−2x+1=1；
当x=3时,y2=x2−2x+1=4；
∴y1<y2，
故答案为：<.
4.
系是.
解答：
∵二次函数y=(x−2)2−1，
∴对称轴为直线x=2，
根据二次函数图象的对称性可知,A(4,y1)与(0,y1)关于对称轴对称，
故答案为y2<y1<y3.
【二次函数的图象与性质——二次函数的对称性】
5.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为(−2，0)，抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为．
解答：
∵对称轴为直线x=2的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，
∴A、B两点关于直线x=2对称，
∵点A的坐标为(−2，0)，
∴点B的坐标为(6，0)，
AB=6−(−2)=8．
故答案为：8．
6.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是过点(1,0)且平行于y轴的直线,若点P(4,0)在该抛物线上，则4a−2b+c的值为.
设抛物线与x轴的另一个交点是Q，
∵抛物线的对称轴过点(1,0),抛物线与x轴的一个交点是P(4,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点Q(−2,0)，
把(−2,0)代入解析式得：0=4a−2b+c，
∴4a−2b+c=0，
故答案为：0.
【二次函数的图象与性质——二次函数的顶点坐标与图象性质】
7.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=−x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是.
解答：
∵A(0,3),B(2,3)是抛物线y=−x2+bx+c上两点，
∴c=3，−4+2b+c=3，
解得：b=2，c=2，
即抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
故抛物线的顶点坐标是：(1,4)，
故答案为：(1,4)
8.某班“数学兴趣小组”对函数y=x2−2|x|的图象和性质进行了探究.探究过程如下，请补充完整.
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表：
其中m=.
(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分.请画出该函数图象的另一部分.
(3)观察函数图象，写出两条函数的性质.
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2−2|x|=0有个实数根；
②方程x2−2|x|=2有个实数根；
③关于x的方程x2−2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是.
解答：
(1)当x=−2时,y=(−2)2−2×|−2|=0，
∴m=0，
故答案为：0;
(2)根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示.
(3)观察函数图象，可得出：①函数图象关于y轴对称，②当x>1时，y随x的增大而增大.
(4)①观察函数图象可知：当x=−2、0、2时，y=0，
∴该函数图象与x轴有3个交点，
即对应的方程x2−2|x|=0有3个实数根.
故答案为：3；3.
②由函数图象知：
∵直线y=2与该函数图象有两个交点，
∴方程x2−2|x|=2有2个实数根，
故答案为：2；
③由函数图象知：
∵关于x的方程x2−2|x|=a有4个实数根，
∴a的取值范围是−1<a<0，
故答案为：−1<a<0.
【二次函数图象的平移】
9.在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2−4先向右平移两个单位,再向上平移两个单位,得到的抛物线的解析式是()
A. y=(x+2)2+2
B. y=(x−2)2−2
C. y=(x−2)2+2
D. y=(x+2)2−2
解答：
函数y=x2−4向右平移2个单位,得：y=(x−2)2−4；
再向上平移2个单位,得：y=(x−2)2−2；
故选B.
∴n=4，
令y=0，
解得x=3，即A(3，0)，
(3)∵点P的横坐标为m，
当△BDP为等腰直角三角形时，PD=BD.
(i)若点P在y轴左侧，则m＜0，BD=−m．
(ii)若点P在y轴右侧，则m＞0，BD=m．
∴0=−2+c ，解得c =2， ∴B (0,2)，
∵M (m ,0)为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ，
∵M ，P ，N 三点为“共谐点”，
∴P 为线段MN 的中点或M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点，
(1)∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，∴C(0,8),A(−8,0)，
设抛物线解析式为：y=ax2+c，
则c=8，64a+c=0，
(2)正确，
∵D(0,6)，
∴PD−PF=2；
(3)在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，
∵PD−PF=2，∴PD=PF+2，
∴PE+PD=PE+PF+2，
∴当P、E. F三点共线时，PE+PF最小，
此时点P,E的横坐标都为−4,
1
∴P(−4,6)，此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点，
∴△PDE的周长最小时”好点“的坐标为：(−4,6)，
∵−8⩽a⩽0，
∴4⩽S△PDE⩽13，
∴△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，
所以面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，所以好点共11个，
综上所述：11个好点,P(−4,6).
13.在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(−4,0),B(0,−4),C(2,0)三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.
求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值.
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=−x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标。

解答：
(1)设此抛物线的函数解析式为：
y=ax2+bx+c(a≠0)，
将A(−4,0),B(0,−4),C(2,0)三点代入函数解析式得：
16a−4b+c=0，c=−4，4a+2b+c=0，
2
(2)∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，
∴S=−m2−4m=−(m+2)2+4，
∵−4<m<0，
当m=−2时，S有最大值，最大值为4.
当OB为边时,根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ=OB，∴Q的横坐标等于P的横坐标，
又∵直线的解析式为y=−x，
则Q(x,−x).
x=0不合题意，舍去.
如图,当BO为对角线时,知A与P应该重合,OP=4.四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4,Q横坐标为4,代入y=−x得出Q为(4,−4).。