十字相乘法解一元二次方程
十字相乘解一元二次方程方法
十字相乘解一元二次方程方法【原创版3篇】篇1 目录1.十字相乘法简介2.十字相乘法解一元二次方程的基本步骤3.示例：用十字相乘法解一元二次方程4.总结与拓展篇1正文【1.十字相乘法简介】十字相乘法是一种求解一元二次方程的简便方法，它是一种基于因式分解的解法。
这种方法之所以被称为“十字相乘”，是因为在分解因式的过程中，需要将常数项和一次项分别写在十字的两边，并通过交叉相乘得到二次项的系数。
【2.十字相乘法解一元二次方程的基本步骤】1) 确定一元二次方程的标准形式：ax + bx + c = 02) 计算判别式：Δ = b - 4ac3) 根据判别式的值判断方程的根的情况：- Δ > 0：方程有两个不相等的实根- Δ = 0：方程有两个相等的实根- Δ < 0：方程无实根4) 根据一元二次方程的求根公式，计算出方程的两个根：x1,2 = (-b ±√Δ) / (2a)5) 用十字相乘法分解因式：将根的形式代入原方程，得到一个关于 a、b、c 的因式分解式6) 根据因式分解式，得出方程的两个根【3.示例：用十字相乘法解一元二次方程】示例：求解方程 2x - 3x - 2 = 01) 确定方程的标准形式：2x - 3x - 2 = 0，a = 2, b = -3, c = -22) 计算判别式：Δ = (-3) - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 253) 根据判别式的值判断方程的根的情况：Δ > 0，方程有两个不相等的实根4) 根据求根公式，计算出方程的两个根：x1,2 = (3 ±√25) / (2* 2) = (3 ± 5) / 4，x1 = 1, x2 = -2/2 = -15) 用十字相乘法分解因式：将根的形式代入原方程，得到 2(x - 1)(x+ 2) = 06) 根据因式分解式，得出方程的两个根：x1 = 1, x2 = -2【4.总结与拓展】十字相乘法作为一种解一元二次方程的简便方法，在实际应用中具有较高的价值。
一元二次方程的解法-十字相乘法
首先观察一元二次方程的形式，确定二次 项系数和常数项系数。
根据二次项系数和常数项系数，将方程左 侧转化为两个一次项的乘积。
求解一次项系数
求解未知数
通过交叉相乘的方法，求解出一次项系数 。
将求得的一次项系数代入原方程，解出未 知数。
注意事项
适用范围
十字相乘法适用于解形式为 $ax^2+bx+c=0$的一元二次方
概念
十字相乘法基于因式分解的思想，通过将一元二次方程转化为两个一元一次方 程，进而求解未知数。
重要性及应用领域
重要性
十字相乘法是一元二次方程的重要解法之一，它能够直接求得方程的解，避免了 复杂的计算和求解过程。
应用领域
十字相乘法广泛应用于数学、物理、工程等领域，尤其在解决实际问题中，如代 数问题、几何问题、概率统计等，都经常需要使用到一元二次方程的解法，而十 字相乘法是其中的一种常用方法。
一元二次方程的解法-十相乘法原理 • 实例解析 • 与其他解法的比较 • 练习与巩固 • 总结与展望
01 引言
定义与概念
定义
十字相乘法是一种解一元二次方程的数学方法，通过将方程左侧的二次项和常 数项进行拆分，然后与右侧的一次项进行交叉相乘，得到两个一次方程，从而 求解一元二次方程。
02 十字相乘法原理
原理概述
十字相乘法是一种解一元二次方程的简便方法，通过将方程左侧的二次项和常数 项进行拆分，然后交叉相乘，得到两个一次项，从而找到方程的解。
该方法基于一元二次方程的因式分解，通过将方程左侧转化为两个一次项的乘积 ，简化了解的过程。
具体步骤
确定二次项系数和常数项系数
进行因式分解
与因式分解法的比较
适用范围
十字相乘法解一元二次方程 (2)
(3x) (5x) 8x
注意：
当常数项是正数时，分解的 两个数必同号，即都为正或都为 负，交叉相乘之和得一次项系数。 当常数项是负数时，分解的两个 数必为异号，交叉相乘之和仍得 一次项系数。因此因式分解时， 不但要注意首尾分解，而且需十 分注意一次项的系数，才能保证 因式分解的正确性。
右化零 两因式
简记歌诀： 左分解 各求解
SUCCESS
THANK YOU
2019/10/15
x2-5x+6 x2-5x-6 X2+5x-6 X2+5x+6
把下列各式分解因式
1. x2-11x-12 x23+.4xx-21-2x-12 x25-.5x-y124-11y+24
2. 4.
SUCCESS
THANK YOU
2019/10/15
例1：解方程： x2-3x+2=0 x2-3x+2=0可以写成 (x - 1)(x - 2) = 0 我们得出
十字相乘法
“十字相乘法”是乘法公
式：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
的反向运算，它适用于分解二 次三项式。
例1、把 x2＋6x－7分解因式
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
x
7
x 1
②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式
顺口溜：
x7x 6x
竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
试一试：
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
一元二次方程的解法十字相乘法
对于多项式 x2 +(a+b)x+ab
x
a
步骤：
1.竖分二次项与常数项；
x
b
2.交叉相乘，积相加；
3.检验确定，横写因式。
x2 ax＋bx=(a+b)x ab
即：x 2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b)
十字相乘法： 借助十字交叉线分解因式的方法
对于二次三项式的分解因式， 借用一个十字叉帮助我们分解因式， 这种方法叫做十字相乘法。
=(x-2)(x+5)
当常数项是负数 时，分解的两个 数异号，其中绝 对值较大数符号 与一次项系数符 号相一致。
因式分解时，不但要 注意首尾分解，而且 需十分注意一次项系 数，才能保证因式分 解的正确性。
练习 因式分解：
(1) x2 + 5x+ 6
(2)
课后练习：分解因式 (x-y)2+(x-y)-6
总结：
二次多项式x2+px+q在分解因式时： 如果常数项q是正数，那么把它分解成两个 同号因数，它们的符号与一次项系数p的符 号相同；
如果常数项q是负数，那么把它分解成两个 异号因数，其中绝对值较大的因数与一次 项系数p的符号相同； 对于分解的两个因数，还要看它们的和是 不是等于一次项系数。
总结：
2.
3.
4.
1.2 一元二次方程的解法
——十字相乘法
复习回顾
一、计算：
(1) (x+1)(x+ 2)
(2)
(3)
(4) 总结：
复习回顾
反过来： (1)
(2)
(3)
(4) 所以：
= (x+1)(x+2)
一元二次方程的解法十字相乘法技巧
一元二次方程的解法——十字相乘法技巧一元二次方程是初中数学中的重要内容，其解法多种多样，其中一种经典的解法就是十字相乘法。
本文将详细介绍一元二次方程的十字相乘法技巧，让读者能更加深入地理解和掌握这一解题方法。
一、什么是一元二次方程1. 一元二次方程的定义一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，它的一般形式可以表示为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知数，并且a≠0。
解一元二次方程即是求出方程的根，即满足方程的x取值。
2. 一元二次方程的解法解一元二次方程有多种方法，如因式分解法、配方法、公式法和图像法等，其中十字相乘法是一种较为经典和常用的解题方法，特别适合于无法直接因式分解出解的一元二次方程。
二、十字相乘法的基本思想1. 十字相乘法的定义十字相乘法又称“九宫勾叉法”，是一种通过分解和配方，将一元二次方程转换成完全平方式来求解的方法。
其基本思想是在解一元二次方程时，通过对方程的b项进行分解，找到两个数，使得它们的和为b，乘积为ac。
2. 十字相乘法的步骤（1）计算ac的值，找出两个数的乘积等于ac；（2）将b进行拆分，找出两个数的和等于b；（3）根据找到的两个数，将原方程改写为完全平方并进行化简；（4）利用完全平方式，解方程并求得方程的根。
三、十字相乘法的应用举例为了更直观地理解十字相乘法的应用，下面通过一个具体的例子来说明其解题过程。
1. 例题：求解方程x²+6x+5=0的根。
2. 解题步骤：（1）计算ac的值，即a=1，c=5，则ac=1×5=5；（2）找出两个数的乘积等于5且和等于6，即找出的两个数为1和5；（3）根据找到的两个数，将原方程改写为完全平方形式，得到(x+1)×(x+5)=0；（4）利用完全平方式，解方程(x+1)(x+5)=0，得到方程的根为x=-1和x=-5。
四、十字相乘法的总结通过以上介绍，我们可以看到十字相乘法在解一元二次方程中的重要性和灵活性。
十字相乘法求一元二次方程
十字相乘法求一元二次方程十字相乘法是一种求解一元二次方程的方法，它可以帮助我们快速地找到方程的两个解。
一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c均为实数且a ≠0。
首先，我们需要将方程化为标准形式，也就是将x²的系数设置为1。
我们可以通过将整个方程除以a来实现这个目标。
这样，方程就变成了x²+b'x+c'=0，其中b'=b/a，c'=c/a。
接下来，我们需要使用十字相乘法来求解方程。
这种方法的基本思路是将b'拆分成两个数的和，并且使这两个数的乘积等于c'。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行：1. 将b'拆分成两个数的和：b'=m+n。
2. 计算m×n=c'的值。
3. 找到两个数m和n，使它们的和等于b'。
4. 将x²+b'x+c'=0变形为(x+m)(x+n)=0。
5. 解方程x+m=0和x+n=0，得到方程的两个解。
需要注意的是，为了确保方程有实数解，我们需要保证m和n是实数。
如果c'为负数，方程没有实数解。
举个例子来说，假设我们要解方程2x²+5x+3=0。
首先，我们将方程化为标准形式，除以2得到x²+(5/2)x+3/2=0。
然后，我们将5/2拆分成2和3/2的和，计算2×3/2=3，找到两个数2和3/2，使它们的和等于5/2。
然后，我们将方程变形为(x+2)(x+3/2)=0，得到方程的两个解为x=-2和x=-3/2。
总之，通过十字相乘法，我们可以快速地找到一元二次方程的解。
十字相乘法解一元二次方程
初三数学《因式分解法解一元二次方程——十字相乘法》【典例】解方程 2-2-3=0x x解： －3 x 1所以2-2-3=x x （x- ）（x+ ）=0即（x- ）（x+ ）=0 即x- =0或x+ =0 ∴x 1=__________,x 2=__________ 【跟踪训练】①0652=++x x ②2560x x ③2560x x④2560x x ⑤09102=++x x ⑥021102=++x x【巩固训练】选择合适的方法解方程①22-3=0x x ②04632=-+x x③0472=--x x ④()()03734=+-+x x x2x －3⑤112942-=-+x x x ⑥()1284+=+x x x⑦()()224253+=-x x ⑧04132=--x x ⑨26135=0xx ⑩27196=0x x尝试解方程：（1）22730x x =-+ （2）26750x x =-- （3）26135=0x x初三数学家庭作业1、在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）． ①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-5x=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2、一元二次方程x 2-ax+1=0的两实数根相等，则a 的值为（ ）． A ．a=0 B ．a=2或a=-2 C ．a=2 D ．a=2或a=03、不解方程，判定2x 2-3=4x 的根的情况是____________________________（•填“二个不等实根”或“二个相等实根”或“没有实根”）．4、方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是 ( )A 、23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B 、2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C 、231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D 、以上都不对5、已知关于x 的方程（a 2-1）x 2+（1-a ）x+a-2=0，下列结论正确的是（ ）A 、当a ≠±1时，原方程是一元二次方程。
解一元二次方程的方法十字相乘法
解一元二次方程的方法十字相乘法一、什么是一元二次方程？一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知数，x为未知数，a≠0。
二、十字相乘法的思路十字相乘法（也叫配方法）是解一元二次方程的一种常用方法。
其思路是通过把x的系数b拆分成两个因数，每个因数与a相乘得到两个新的乘积，然后再寻找这两个乘积的和能否与c相加得到0，如果能，则把方程拆分成两个一次方程进一步求解。
三、详细步骤1. 将一元二次方程的形式化表示为ax² + bx + c = 0。
2. 将b拆分成两个数p和q，满足p + q = b，且p和q的积等于ac。
3. 列出一个新的二次方程(ax² + px) + (qx + c) = 0；这个新方程的实质是把原方程中的bx项分解成px和qx两项，把原来的一元二次方程变成两个一次方程。
4. 分别解出新方程中的两个一次方程。
5. 根据结果确定原方程是否有实数根，如果有，则输出解集；如果没有，则说明原方程的解是纯虚数。
四、举例说明假设要求解一元二次方程2x² + 5x - 3 = 0，按照十字相乘法的步骤，我们可以这么做：1. 把方程的形式化表示为2x² + 5x - 3 = 0。
2. 拆分系数b为2个数，即2和3，同时满足2 + 3 = 5，且2 × 3 = 6 =2 × 1 × 3。
3. 根据拆分得到的2个系数1和3，重写原方程为2x² + x + 3x - 3 = 0。
4. 把新方程转化成2个一次方程：(2x² + x) + (3x - 3) = 0。
5. 分别解出这两个一次方程：x(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0，即(2x + 1)(x + 3) = 0。
6. 根据解出的方程得到x = -3/2或x = -1/2，所以原方程的解集为{-3/2，-1/2}。
一元二次方程的十字相乘法公式(一)
一元二次方程的十字相乘法公式(一)
一元二次方程的十字相乘法公式
1. 公式
一元二次方程一般形式为ax2+bx+c=0，其中a≠0。
十字相乘法公式是一种求解一元二次方程的方法，通过找出方程中的两个数，使其乘积等于ac且和等于b，进而可以将原方程分解为两个一次方程的乘积。
公式为： - 方程的根为x=−b+√b2−4ac
2a 和x=−b−√b2−4ac
2a
2. 举例解释
假设有一个一元二次方程3x2+10x+8=0。
根据公式，我们需要找到两个数，使其乘积等于ac且和等于b。
因此，我们需要找到两个数，使其乘积为3×8=24且和为10。
通过观察和尝试，我们可以得出这样的两个数：4和6。
现在，我们将这两个数代入公式中：
x=−b+√b2−4ac
2a 会得到：x=−10+√102−4×3×8
2×3
x=−10+√100−96
6
x=−10+√4
6x=−10+2
6
x=−8
6
x=−4
3
x=−b−√b2−4ac
2a 会得到：x=−10−√102−4×3×8
2×3
x=−10−√100−96
6
x=−10−√4
6x=−10−2
6
x=−12
6
x=−2
因此，原方程3x2+10x+8=0的解为x=−4
3
和x=−2。
注意：在某些情况下，方程的根可能是复数。
10.十字相乘法解一元二次方程
－5
2
x2+2x－8=0 (x－2)(x+4)=0 x－2=0或x+4=0 ∴ x1=2 ,x2=-4
1 1
－2
4
∴ x1=5 ,x2=-2
竖分 叉乘 横写
竖分 叉乘 横写
⑴2x2－5x－3＝0；
竖分 叉乘 横写
2 1 1 －3
⑵ 3x2＋8x－3＝0
竖分 叉乘 横写 3 1 －1 3
对于某些一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，可以尝试运用十字相乘法 解一元二次方程，关键是对ax2+bx+c进行因式分解。 因式分解的操作要点为：竖分、叉乘、横写。
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她
“用好课堂40分钟最重要。我的经验是，哪怕 是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯 定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容， 有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真， 但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真， 后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可 能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是 基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内 容。”常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试 题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因
比如形如x2+(a+b)x+ab＝0的方程，可以将其变形为(x+a)(x+b)=0后
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
练习
2
解下列方程
(2) x 3x 2 0
2
(1) x 3x 2 0
(3) x x 2 0
2
(4) x x 2 0
2
(5) x 4 x 21 0
2
(6) x 6 x 8 0
2
因式分解法解题框架图
解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
十字相乘法
解下列方程 1、x2－3x－10=0 2、(x+3)(x－1)=5
解：原方程可变形为 解：原方程可变形为 (x－5)(x+2)=0 x2+2x－8=0 (x－2)(x+4)=0 x－5=0或x+2=0 x－2=0或x+4=0 ∴ x1=5 ,x2=-2 ∴ x1=2 ,x2=-4
例题欣赏
2
例2 解下列方程
(1)2 y 3 y 2 0 (2)3x 10 x 8 0
2
2
(3)4 x 31x 45 0
2
(4) 3x 22 x 24 0
2
先胜 为快
解下列方程
(2).3xx 2 4 2 x;
(1).x 1(5 x 4) 0;
1.用因式分解法解下列方程：
①(x－5 ）（x+2)=18
2=(a－2)(3a－4) ②(2a－3)
③
2
2=3y y
2+7x+12=0 ④x
⑤t(t+3)=28
2=(x+3)2 ⑥(4x－3)
(7) x ( 3 2 ) x 6 0
2
x 2 3
2
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
一次因式A
=0或 一次因式B =0
∴ x1= A解 , x2= B解
十字相乘法分解因式:
a1a2 x (a1c2 a2c1 ) x c1c2 a1
2
c1 c2
(a1x c1 )( a2 x c2 )
a2
(4)3x 7 x 2 0
(3).( 2 x 1)2 4(2 x 1);
(4).( x 1)( x 2) 12
解题步骤演示
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为 方程右边化为零 x2+2x－8 =0 (x－2)(x+4)=0 左边分解成两个一次因式 的乘积 至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程 x－2=0或x+4=0 ∴ x1=2 ,x2=-4 两个一元一次方程的解就是原方程的解
2
x 5 x 6 __________ ___
2
x x 20 __________ _____
2
归纳总结
十字相乘法分解因式: x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
十字相乘法解一元二次方程： x2+(a+b)x+ab=0
1 1
a b
(x+a)(x+b)=0
(x+a)=0 或(x+b)=0
解一元二次方程
十字相乘法
观察思考 1
(1)( x 2)( x 3) __________ _
(2)( x 3)( x 7) __________ _____
(3)( x 4)( x 5) __________ ___
由此你能将下面的多项式分解因式吗？
x 10 x 21 __________ _