初三数学阿氏圆与胡不归最值模型讲义

阿氏圆与胡不归双线段最值模型
一、学习目标
1、掌握阿氏圆知识点是构造母子型相似
2、2、理解胡不归双线段模型与最值问题的解决策略
二、知识梳理 1、阿氏圆
“阿氏圆”模型核心知识点是构造母子型相似，构造△PAB ∽△CAP 推出 PA 2
= PC PB •，即：半径的平方=原有线段⨯ 构造线段。

2、胡不归
胡不归模型问题解题步骤如下； 1、将所求线段和改写为“PA+a b PB ”的形式（a b <1），若a
b
>1，提取系数，转化为小于1的形式解决。

2、在PB 的一侧，PA 的异侧，构造一个角度α，使得sin α=a
b
3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题
三、模型展示
1、如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．
（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是△BAC 的角平分线，则
AB DB
AC DC
=
．
证明：ABD ACD
S BD S
CD =
，ABD ACD
S AB DE AB S
AC DF AC ⨯=
=⨯，即AB DB
AC DC
=
（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则
AB DB
AC DC
=
．
证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD△△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分△BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DB
AC DC
=
．
接下来开始证明步骤：
如图，PA ：PB=k ，作△APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PA
k MB PB ==，
故M 点为定点，即△APB 的角平分线交AB 于定点；
作△APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PA
k NB PB
==，故N 点为定点，即△APB 外角平分线交直线AB 于定点；
F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
又△MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．
2、如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使
21
AC BC
V V +
的值最小．
121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛
⎫++ ⎪⎝⎭
，记12V k V =， 即求BC +kAC 的最小值．
构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．
将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．
2
M
在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．
四、例题精讲
例1、如图，抛物线2
y ax bx c =++与x 轴交于A 0)，B 两点（点B 在点A 的左侧），
与y 轴交于点C ，且3OB OA ==，OAC ∠的平分线AD 交y 轴于点D ，过点A 且垂直于AD 的直线l 交y 轴于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，过点P 作
PF x ⊥轴，垂足为F ，交直线AD 于点H ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P 的横坐标为m ，当FH HP =时，求m 的值；
（3）当直线PF 为抛物线的对称轴时，以点H 为圆心，1
2
HC 为半径作H ，点Q 为H
上的一个动点，求
1
4
AQ EQ +的最小值．
例2、1、在平面直角坐标系中，将二次函数()2
0y ax
a =>的图象向右平移1个单位，再
向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，1OA =，经过点A 的一次函数()0y kx b k =+≠的图象与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5．
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方，求ACE ∆面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；
(3)若点P 为x 轴上任意一点，在(2)的结论下，求3
5
PE PA +的最小值．
五、课堂检测
2、如图1所示，△O 的半径为 r,点 A 、B 都在△O 外，P 为△O 上的动点， 已知 r=k·OB.连接 PA 、PB ，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？
1:连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP 、OB ；
2：计算连接线段OP 、OB 长度； 3：计算两线段长度的比值
k =OB
OP
； 4：在OB 上截取一点C ，使得
OB
OP
OP OC =
构建母子型相似: 5：连接AC ，与圆0交点为P ，即AC 线段长为PA+K*PB 的最小值。

3、如图，在中，△ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．
ABC ∆A
B
C
D
2、如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tanA ＝2，BE △AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，
则CD 的最小值是( )
3、已知抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠过点(1,0)A ，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，=3OC ．
(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
(2)过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；
(3)点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当PBC ∆面积最大时，求点P 的坐标； (4)若点Q 为线段OC 上的一动点，问：1
2
AQ QC +是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．
4、已知抛物线2y x bx c =-+（b c ，为常数，0b >）经过点(1,0)A -，点(,0)M m 是x 轴正半轴上的动点．
（△）当2b =时，求抛物线的顶点坐标；
（△）点(,)D D b y 在抛物线上，当AM AD =，5m =时，求b 的值；
（△）点1(,)2Q Q b y +2QM +时，求b 的值．
本次课课后练习
1、如图，已知正方ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，则
1
2
PD PC 的最大值为_______．
A
B C
D
P
2、如图，在平面在角坐标系中，抛物线y=x 2-2x -3与x 轴交与点A ，B （点A 在点B 的左侧）交y 轴于点C ，点D 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E ．
（1）连结BD ，点M 是线段BD 上一动点（点M 不与端点B ，D 重合），过点M 作MN△BD 交抛物线于点N （点N 在对称轴的右侧），过点N 作NH△x 轴，垂足为H ，交BD 于点F ，点P 是线段OC 上一动点，当MN 取得最大值时，求HF+FP+
1
3
PC 的最小值；
（2）在（1）中，当MN 取得最大值HF+FP+1/3PC 取得小值时，把点P 向上平移个
2
单位得到点Q ，连结AQ ，把△AOQ 绕点O 瓶时针旋转一定的角度α（0°<α<360°），得到△AOQ ，其中边AQ 交坐标轴于点C 在旋转过程中，是否存在一点G 使得''Q Q OG ∠=∠？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。