初中数学专题讲义-圆(含答案)

初中数学专题讲义-圆【考纲说明】【知识梳理】一、圆的定义1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、圆的各元素1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。

（1）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做半圆。

（1）劣弧：小于半圆的弧。

（2）优弧：大于半圆的弧。

5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

三、圆的基本性质 1、圆的对称性（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

（3）圆是旋转对称图形。

2、垂径定理（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

（2）推论：➢ 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

➢ 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。

圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

（1）同弧所对的圆周角相等。

（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。

4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。

5、夹在平行线间的两条弧相等。

6、点与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，OP=d 。

7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

（2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。

（直角三角形的外心就是斜边的中点。

）8、直线与圆的位置关系。

d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。

直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切；9、圆的切线判定。

（1）d=r 时，直线是圆的切线。

切点不明确：画垂直，证半径。

（2）经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。

d = r直线与圆相切。

d < r （r > d直线与圆相交。

d > r （r <d 直线与圆相离。

d= r 点P 在⊙O 上 d < r （r > d 点P 在⊙O 内 d > r （r <d 点P 在⊙O 外切点明确：连半径，证垂直。

10、圆的切线的性质（补充）。

（1）经过切点的直径一定垂直于切线。

（2）经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。

11、切线长定理。

（1）切线长：从圆外一点引圆的两条切线，切点与这点之间连线段的长叫这个点到圆的切线长。

（2）切线长定理。

∵ PA 、PB 切⊙O 于点 A 、B ∴ PA=PB ，∠1=∠2。

12、内切圆及有关计算。

（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。

（2）如图，△ABC 中，AB=5，BC=6，AC=7，⊙O 切△ABC 三边于点D 、E 、F 。

求：AD 、BE 、CF 的长。

分析：设AD=x ，则AD=AF=x ，BD=BE=5－x ，CE=CF=7－x. 可得方程：5－x ＋7－x=6，解得x=3 （3）△ABC 中，∠C=90°，AC=b ，BC=a ，AB=c 。

求内切圆的半径r 。

分析：先证得正方形ODCE ， 得CD=CE=r AD=AF=b －r ，BE=BF=a －r b －r ＋a －r=c 得r=2cb a -+ （4）S △ABC =)(21c b a r ++ 13、（补充）（1）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。

如图，BC 切⊙O 于点B ，AB 为弦，∠ABC 叫弦切角，∠ABC=∠D 。

（2）相交弦定理。

圆的两条弦AB 与CD 相交于点P ，则PA·PB=PC·PD 。

（3）切割线定理。

如图，PA 切⊙O 于点A ，PBC 是⊙O 的割线，则PA 2=PB·PC 。

（4）推论：如图，PAB 、PCD 是⊙O 的割线，则PA·PB=PC·PD 。

14、圆与圆的位置关系。

12（2）图P13(2)图6（1）图 （2）图 （3）图（4）图（1）外离：d>r 1＋r 2， 交点有0个； 外切：d=r 1＋r 2， 交点有1个； 相交：r 1－r 2<d<r 1＋r 2，交点有2个； 内切：d=r 1－r 2， 交点有1个； 内含：0≤d<r 1－r 2， 交点有0个。

（2）性质。

相交两圆的连心线垂直平分公共弦。

相切两圆的连心线必经过切点。

15、圆中有关量的计算。

（1）弧长有L 表示，圆心角用n 表示，圆的半径用R 表示。

L==⨯R nπ2360180R n π （2）扇形的面积用S 表示。

S=36036022R n R n ππ=⨯ S=lR R R n 212180=⨯π（3）圆锥的侧面展开图是扇形。

r 为底面圆的半径，a 为母线长。

✧ 扇形的圆心角α=0360⨯ar✧ S 侧=πar S 全=πar ＋πr 2【经典例题】1、垂径定理 【例1】（西城一）如图，AB 是⊙O 直径，弦CD ⊥AB 于点E ．若CD ＝8，OE =3，则⊙O 的直径为（ ）．A ． 5B ． 6C ．8D ． 10【解析】垂径定理基本模型：CE=DE=4， OE=3， 连接OD ，勾股定理得OD=5，直径为10． 2、与圆有关的角【例2】（宣武一模）如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，且点C 在弦AB 所对的优弧上，若︒=∠50ABO ，则ACB ∠的度数是（ ）．A ．20°B ．︒30C ．︒40D ．︒50【解析】根据圆的性质得OA=OB ， ︒=∠=∠50B AO ABO ，再由三角形内角和得︒=∠80O B A ，相切 相离 ABOC同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知︒=∠40ACB ．【例3】如图， ⊙O 的半径为2，点A 为⊙O 上一点， OD ⊥弦BC 于点D ， 1OD =，则BAC ∠=________︒．【解析】由OD ⊥弦BC 于点D ，构成垂径定理基本图形，可知BD=DC ，再OD=1，OC=2，勾股定理得DC=，∠DOC=60° ∠BOC=120°，∠BAC=1/2∠BOC=60°．（同弧所对圆周角等于圆心角的一半）．【例4】如图，⊙O 的直径AB 长为6，弦AC 长为2，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，求四边形ADBC 的面积．【解析】直径所对的圆周角为直角，所以∠ACB=∠ADB=90°，再由CD 平分∠ACB 得∠ACD=∠BCD=45°，同弧所对圆周角相等，∠DAB=∠DBA=45°得△ABC 为等腰直角三角形，边长可求，Rt △ACB 和Rt △ABD 可求，和值即为所求． 3、切线的证明 【例5】如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，OA ＝r ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）求OC AD ⋅的值； （3）若AD ＋OC ＝r 29，求CD 的长．【解析】（1）要证CD 是⊙O 的切线，由于D 在⊙O 上，所以只须连结OD ，证OD ⊥DC 即可；（2）求OC AD ⋅的值，一般是利用相似把OC AD ⋅转化为其它线段长的乘积，若其A· A B C OD它两条线段长的乘积能求出来，则可完成；（3）由OC AD ，AD ＋OC ＝r 29可求出AD 、OC ，根据勾股定理即可求出CD ． 【例6】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点D ．求证：AC 是⊙O 的切线．【解析】由于⊙O 与AC 有无公共点未知，因此我们从圆心O 向AC 作垂线段OE ，证OE 就是⊙O 的半径即可．4、扇形相关计算【例7】如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 夹角为120°，AB 的长为30cm ，贴纸部分BD 的长为20cm ，则贴纸部分的面积为（ ）．A ．2πcm 100B ．2πcm 3400C ．2πcm 800D ．2πcm 3800【解析】扇形面积公式的考察，要用两次扇形面积公式．【例8】如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，两等圆⊙A ，⊙B 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ）．A ．π425B ．π825 C ．π1625D ．π3225【解析】灵活应用扇形面积公式，两个圆心角相加即可． 【例9】（山东临沂） 如图，直径AB 为6的半径，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点'B ，则图中阴影部分的面积是（ ）O DBA ．6πB ．5πC ．4πD ．3π【解析】简单的割补法求不规则图形面积．【例10】如图，PA 、PB 与⊙O 相切，切点分别为A 、B ，PA=3， ∠P=60°，若AC 为⊙O 的直径，则图中阴影部分的面积为（ ）． A ．2πB ．36πC ．33πD ．π【解析】弓形面积的求法，或将不规则图形化为规则图形．5、圆锥 【例11】（山东济宁）如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）． A ．6cm B ．35cm C ．8cmD ．53cm【解析】圆锥和其展开图及高的求解．6、圆与正多边形 【例12】（台湾） 如，有一圆内接正八边形ABCDEFGH ，若△ADE 的面积为10，则正八边形ABCDEFGH 的面积为何？（ ）． A ．40 B ． 50 C ．60 D ． 80【解析】圆内接正多边形的面积求解，可用割补法．B A CDEF G H剪去【课堂练习】1．如图，点B 、C 在⊙O 上，且BO=BC ，则圆周角BAC ∠等于（ ） A ．60︒ B ．50︒ C ．40︒ D ．30︒2．如图，⊙O 的半径OC 为6cm ，弦AB 垂直平分OC ，则AB =______cm ，∠AOB =______．3．如图，一个宽为2 cm 的刻度尺在圆形光 盘上移动，当刻度尺的 一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2” 和“10”（单位：cm ），那么该光盘的直径是 cm ． 4．如图是一条水平铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽为1．6米，则这条管道中此时最深为 米．5．如图，⊙O 的弦AB 垂直于CD ，E 为垂足，AE =3，BE =7，且AB =CD ，则圆心O 到CD 的距离是______．6．如图，O ⊙是ABC △的外接圆，已知50ABO ∠=°，则ACB ∠的度数是 ． 7．（甘肃兰州）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为 （ ）A ．2B ．3C ．3D ．238．（山东青岛）如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC = 4 cm ，以点C 为圆心，以2 cm 的长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是（ ）．AOCBAA ．相离B ．相切C ．相交D ．相切或相交9．（浙江省温州）如图，在△ABC 中，AB=BC=2，以AB 为直径的⊙0与BC 相切于点B ，则AC 等于( ) A ．2 B ．3 c ．22 D ．2310．（四川南充）如图，直线l 1∥l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点A 和点B ．点M 和点N 分别是l 1和l 2上的动点，MN 沿l 1和l 2平移．⊙O 的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误．．的是（ ）．A ．43MN =B ．若MN 与⊙O 相切，则3AM =C ．若∠MON ＝90°，则MN 与⊙O 相切D ．l 1和l 2的距离为2 11．（广东珠海）如图，PA 、PB 是O 的切线，切点分别是A 、B ，如果∠P ＝60°，那么∠AOB 等于（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 12．（山东威海）一个圆锥的底面半径为6㎝，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为 （ ）．A ．9㎝B ．12㎝C ．15㎝D ．18㎝ 13．（嵊州市）如图，7根圆柱形木棒的横截面圆的半径均为1，则捆扎这7根木棒一周的绳子长度为_______________． 14．（浙江杭州）如图，5个圆的圆心在同一条直线上， 且互相相切，若大圆直径是12，4个 小圆大小相等，则这5个圆的周长的和为 （ ）A ． 48πB ． 24πC ． 12πD ． 6π 15．（江苏无锡）已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是（ ）A ．20cm 2B ．20πcm 2C ．10πcm 2D ．5πcm 2 16．（山东聊城）将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，l 1l 2MNO1CAO重叠部分（阴影）的量角器圆弧（»AB ）对应的中心角（∠AOB ）为120º，AO 的长为4cm ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．16(2)3π+cm 2B ．8(2)3π+cm 2C ．16(23)3π+cm 2D ．8(23)3π+cm 217．（山东济南） 如图，正六边形螺帽的边长是2cm ，这个扳手的开口a 的值应是（ ） A ．32 cm B ．3cmC ．332 cm D ．1cm 18．（浙江衢州）小刚用一张半径为24cm 的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm ，那么这张扇形纸板的面积是（ ） A ．120πcm 2 B ．240πcm 2C ．260πcm 2D ．480πcm 2 19．（山东莱芜）已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A ．2.5 B ．5 C ．10 D ．15 20．（东城一模）如图，在⊙O 中，AB 是直径，AD 是弦，∠ADE = 60°，∠C = 30°． （1）判断直线CD 是否为⊙O 的切线，并说明理由；（2）若CD = 33 ，求BC 的长．21．（石景山一模）已知：如图，AB 为⊙O 的直径，弦OD AC //，BD 切⊙O 于B ， 联结CD ．（1）判断CD 是否为⊙O 的切线，若是请证明；若不是请说明理由． （2）若2=AC ，6=OD ，求⊙O 的半径．24cmO B E A22．（海淀二模）已知：如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，点D 在AB 的延长线上，A BCD ∠=∠．(1)求证：CD 为⊙O 的切线；(2) 过点C 作AB CE ⊥于E ．若54cos ,2==D CE ，求⊙O 的半径．【课后作业】1. （安徽）如图，⊙O 的半径是1，A 、B 、C 是圆周上的三点，∠BAC =36°，则劣弧 ⌒BC 的长是（ ） A ．π5B ．25πDAOB CNM BAC ．35πD ．45π2. （福建福州）如图2,以O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 切小圆于点C ,若120AOB ∠=o,则大圆半径R 与小圆半径r 之间满足（ ） A ．3R r = B ．3R r = C ．2R r =D ．22R r =3. （山东泰安）如图，⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC ，若AB =6，则⊙O 的半径为（ ）A. 2B.2 2C.22D.624. （四川南充市）在圆柱形油槽内装有一些油。