磁场边界条件
从零开始3D maxwell磁场仿真之边界条件
从零开始学习3D MAXWELL之边界条件MAXWELL仿真电磁场的本质还是计算麦克斯维尔方程，所以要定义仿真的边界条件，这样才能得到方程的解。
3D仿真一共有六种求解类型，为静磁场/涡流/瞬态磁场/静电场/传导/瞬态电场。
每一种求解类型都有边界条件。
1，静磁场求解器边界条件默认边界条件示意图如下：（默认边界条件普遍存在于Maxwell 3D仿真的各种求解器中。
正确应用默认边界条件，求解域的设置非常关键。
尼曼边界条件将磁场限定在边界之内。
当磁场较封闭或求解域足够大时，应用尼曼边界条件才会得到相对正确的分析结果。
）磁场边界条件：磁场边界条件指定在求解域表面：1）定义切向方向磁场强度为零的边界条件：选择要添加边界条件的面--增加切线方向磁场强度为零的磁场；2）定义正切磁场边界条件：选择要添加边界条件的面--增加正切磁场--增加X/Y方向的磁场分量值--在坐标系统中定义X/Y矢量或是使用默认值；（正切方向为零，磁场方向与表面垂直）（磁场边界条件，磁场的切向分量被指定为预定义的值，但如果该分量的值被指定为0，则其效果与Zero Tangential H Field相同，磁场与该边界垂直，适用于施加外部磁场，如地磁仿真。
）绝缘边界条件，除电流无法穿过边界以外，其他特性与Neumann边界相同，适用于2个接触导体之间完美绝缘的薄片。
(未添加绝缘边界条件)（添加绝缘边界条件后）对称边界条件：对称边界条件适合几何对称或是磁场对称的结构。
对称边界条件，奇对称（磁力线正切），磁场与边界正切，磁场法向分量为0；偶对称（磁力线垂直），磁场与边界垂直，磁场切向分量为0。
对称边界条件主要用来减少仿真时间，增加计算效率。
匹配边界条件，有主边界（Master）和从边界（Slave）两种，需要配合使用。
偶对称时，Slave边界的磁场被定义为匹配Master边界的幅值和方向。
奇对称时，Slave边界的磁场与Master边界的幅值相同，方向相反。
磁场的边界条件
磁场的边界条件给出磁介质分界面处，磁场的物理
量所应遵守的规律。
高圆
以下讨论两种各向同性的均匀
斯柱
磁介 质分界面处，H、B 行为
B1
面形
H、B 的法向分量
高斯面上下底面积为
dS r 2高为 h
h
r 根据高斯定理 为一级无穷小
1
r1
2
B2
r
2
h为二级无穷小
B dS B1 cos1dS B2 cos2dS B侧面2rh 0
<<l ，气隙的B与铁环中的相同。
B
NI
i
H i li
Bl
0r
B 0
B 0 NI 0.114T l / r
由于空气的 r远小于铁芯 r ，所以即使一毫米的气隙 也会大大影响铁芯内磁场。本例题中，有气隙和没有
气隙相比，磁感应强度减弱到十分之一。
目录
§9.4磁场的边界条件 H、B 的法向分量
H、B 的切向分量
例题一：一个带有很窄缝隙的永磁环
§9.5 铁磁质
磁化曲线 铁磁质的应用 铁磁质磁化的机制
例题二：载流无限长磁介质圆柱磁场分布。
§9.6 简单磁路
磁路定理
例题三：铁环气隙中的磁感应强度。清华书P273
§9.4 磁场的边界条件
面处磁场强度矢量的
法向分量不连续。
B、H 的切向分量
在界面处做一个环路
l 为一级无穷小
H1 1
l r1
h
2H2
r2
h为二级无穷小
环
H dl L
第3章-2-磁化+边界条件+电感
(r
1)
J (b2 2b
a2 )
ez
磁介质中自由电流激发磁化电流。
思考：为什么r=a-，r=b+ 没有磁化电流？ 真空r＝1
例题3-8 删
19
3.4 恒定磁场的边界条件
S B dS 0
B 0
L H dl I
H J
B H
2A J
利用上面方程讨论介质分界面的B、H、A的变化规律
20
3.4 恒定磁场的边界条件
定义磁场强度:
B
0
Pm
J
H B Pm A / m
0
（3-30）
B 0(H Pm)
D 0E P
H J
磁介质中安培环路定理的微分形式。
（3-31）
12
3.3 磁偶极子与介质磁化
3.3.3 介质中的恒定磁场方程 1. 磁场强度、安培环路定理 磁介质中安培环路定理的积分形式。
H J
上式两边取面积分：
B1n =0
21
3.4 恒定磁场的边界条件
3.4.2 磁场强度的切向边界条件
en
H1
H dl I
△h→0H1
L
l1
H2
l2
Jsl
1
l 1 h
et
2
2
JS
H1 etl H2 etl Jsl
H2
积分方向与电流呈右手关系！
(H1 H2 ) et Js
（3-40）
H1t H 2t J s 讨论：1）如果JS =0, 则
即
A1n A2n
综合两个结论，有 A1 A2 （3-42）
表明在媒质分界面上磁矢位 A 是连续的。 23
3.4 恒定磁场的边界条件
磁场边界条件
磁场边界条件磁场边界条件是电磁学中的重要概念之一，它描述了磁场在介质或空间中的传播和转换规律。
磁场边界条件在解决电磁问题时起着关键作用，能帮助我们理解和分析各种电磁现象。
一、磁场边界条件的基本概念磁场边界条件是指在两个不同介质或空间中，磁场在界面上的行为规律。
根据不同的情况，可以有不同的磁场边界条件，主要包括磁感应强度的切向连续性和法向连续性。
1. 磁感应强度的切向连续性：在两个介质或空间的界面上，磁感应强度的切向分量在界面上是连续的。
这意味着磁场的切向分量在穿过界面时保持不变，不会发生跳跃或间断现象。
2. 磁感应强度的法向连续性：在两个介质或空间的界面上，磁感应强度的法向分量在界面上也是连续的。
这意味着磁场的法向分量在穿过界面时也保持不变，不会有突变或断裂。
二、常见的磁场边界条件根据具体情况，磁场边界条件可以有不同的形式和表达方式。
下面介绍几种常见的磁场边界条件。
1. 自由磁场边界条件：在自由空间中，磁场边界条件可以简化为磁感应强度的法向分量为零。
这意味着磁场在自由空间的边界上不存在法向分量，也就是说磁场不会通过自由空间的边界。
2. 介质边界条件：当磁场从一种介质进入另一种介质时，磁场边界条件可以表示为磁感应强度的法向分量和切向分量在界面上的关系。
根据不同介质的特性，可以有不同的表达形式。
3. 导体边界条件：当磁场与导体相互作用时，磁场边界条件可以表示为磁感应强度的切向分量在导体表面上为零。
这意味着磁场在导体表面的切向分量为零，也就是说磁场不会穿透导体。
4. 磁壁边界条件：在磁壁上，磁感应强度的切向分量和法向分量都为零。
这意味着磁场在磁壁上既没有切向分量，也没有法向分量，也就是说磁场在磁壁上完全消失。
三、磁场边界条件的应用磁场边界条件在电磁学中的应用非常广泛，可以帮助我们解决各种与磁场有关的问题。
以下是磁场边界条件的一些常见应用。
1. 磁场传播问题：当磁场在不同介质中传播时，磁场边界条件可以帮助我们确定磁场的传播方向和传播规律。
磁场的高斯定理
磁场的高斯定理摘要：首先推导出磁场的高斯定理，再由磁场的高斯定理和安培环路定理推导磁场在两种不同媒质分界面上必须满足的边界条件，最后由静电场与磁场的高斯定理比较引出关于磁单极子的问题。
1. 磁场的高斯定理在静电场中，高斯定理有01i SE S q ε⋅=∑⎰ ，所以静电场是有源场。
那么在磁场中，SB S ⋅⎰ 又得到什么呢？ 首先看一下磁感应强度B 。
B 的方向为磁力线的切线方向，大小为垂直B 的单位面积上穿过的磁力线的条数，即dN B dS ⊥=。
而通过面元的磁力线条数即为该面元的磁通量，于是m d B dS Φ=⋅ 。
对于有限曲面m B d S Φ=⋅⎰ ，对于闭合曲面m S B d S Φ=⋅⎰ 。
对于某一曲面，规定磁力线穿出为正，m Φ＞０；穿入为负，m Φ＜０。
而磁力线都是闭合的曲线，对于某一闭合的曲面，穿入到底总是等于穿出的，也就是说0m S B d S Φ=⋅=⎰ ，这就是磁场的高斯定理，也叫磁通连续性定理。
可以看出磁场是一个无源场。
2. 磁场的边界条件磁场的高斯定理（0S B d S ⋅=⎰ ）与安培环路定理（l H dl I ⋅=⎰ ）表征了恒定磁场的基本性质。
不论媒质分布情况如何，凡是恒定磁场，都具备这两个特性，它们称为恒定磁场的基本方程。
在两种不同媒质分界面上，围绕任一点Ｐ取一矩形回路，如右图，令20l ∆→，根据lH dl I ⋅=⎰ ，如果分界面上存在面自由电流，则有11211t t H l H l K l ∆-∆=∆即 12t t H H K -=根据B H μ= ，还可以写成1212t t B B K μμ-= 电流线密度Ｋ的正负要看它的方向与沿1t H 绕行方向是否符合右手螺旋关系而定。
写成矢量形式则为12()n H H e K -⨯= 。
其中n e 为分界面上从媒质１指向媒质２的法线方向单位矢量。
如果分界面上无电流，则12t t H H =说明在这种情况下磁场强度的切线分量是连续的，但磁感应强度切线分量是不连续的。
在两种媒质的边界上,电磁场所满足的边界条件
在两种媒质的边界上,电磁场所满足的边界条件一、定义电磁场，又称为电动场、磁和电场，是指一种可以在空气、介质或空间中产生或存在，以影响另一种物体表现或反应出来的能量场。
边界条件是指在一种媒质和另一种媒质之间的边界时，电磁场所满足的条件。
二、理论边界条件是建立在四种基本电动场和磁场的假设基础上的。
它的含义是，对于电动场的三个维度，即横向（Ex），纵向（Ey）和深向（Ez），在媒质的边界上，正好满足电动场的“接触分离”以及“跳变”原理；在边界上，磁力线的改变受到性质不同的两个媒质的影响，所以必须要满足磁力线不断、定向和磁场密度在方向上的改变，这三个对媒质之间的边界条件是不变的原则。
从另外一个角度来看，虽然单独的电动场和磁力线落实自身各自的电荷和磁矩，但是它们之间不可分割，相互影响，边界条件表明，电动场受到磁场的制约，具有界限概念，如果电动场沿某方向理想的存在，那么磁场也应遵守电动场，同样存在某种界限状态。
三、应用电磁场边界条件的应用非常广泛，它可以用来计算媒质区域内的电动场和磁场的交互作用，以及在电磁边界面上的电荷分布情况。
具体而言，电磁场边界条件被广泛应用于电子设备设计、高频通信与调制的研究、航天与卫星技术的发展、太阳能传感器的建立、声学行业中的声振调节、电动机驱动等方面。
电磁场边界条件所提供的数学知识为人类社会技术发展提供了最基础的理论和工具，广泛应用于这些方面有助于解决人类社会中技术上的挑战和问题。
四、总结由此可见，电磁场边界条件不仅具有实用性，而且非常有效。
它不仅可以帮助人们更好地理解及控制电磁场，而且可以用来设计更高效的系统并解决工程中的复杂问题，帮助技术的飞速发展。
历史证明，电磁场边界条件为人们在技术革新的道路上提供了巨大的支持和助力，取得了非常优秀的成果。
磁场边界条件
在实际工程中，往往要遇到由不同的媒质组成的电磁系统。
在不同媒质分界面上，由于媒质的特性发生了突变，相应的场量一般也将发生突变。
在这一节中，我们将研究电磁场在两种媒质分界面上的变化规律。
决定分界面两侧电磁场变化关系的方程称为边界条件。
研究边界条件的出发点，仍然是麦克斯韦方程组。
但在不同媒质的交界面处，由于媒质不均匀，媒质的性质发生了突变，因此，微分形式的方程不再适用，只能从麦克斯韦方程组的积分形式出发，推导边界条件。
3.5.1 电场法向分量的边界条件如图3.9所示的两种媒质的分界面，第一种媒质的介电常数、磁导率和电导率分别为，和，第二种媒质的介电常数、磁导率和电导率分别为，和。
在这两种媒质分界面上取一个小的柱形闭合面，如图3.9所示，其高为无限小量，上下底面与分界面平行，并分别在分界面两侧，且底面积非常小，可以认为在上的电位移矢量和面电荷密度是均匀的。
，分别为上下底面的外法线单位矢量，在柱形闭合面上应用电场的高斯定律故(3.48a)若规定为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ为正方向，则，，式(3.48a)可写为(3.48b)或(3.48c)式(3.48)称为电场法向分量的边界条件。
因为，所以式(3.48)可以用的法向分量表示(3.49a)或(3.49b)若两种媒质均为理想介质时，除非特意放置，一般在分界面上不存在自由面电荷，即，所以电场法向分量的边界条件变为(3.50a)或(3.50b)若媒质Ⅰ为理想介质，媒质Ⅱ为理想导体时，导体内部电场为零，即，，在导体表面存在自由面电荷密度，则式(3.48)变为(3.51a)或(3.51b) 3.5.2 电场切向分量的边界条件在两种媒质分界面上取一小的矩形闭合回路abcd，如图3.10所示，该回路短边为无限小量，其两个长边为，且平行于分界面，并分别在分界面两侧。
在此回路上应用法拉第电磁感应定律因为和故(3.52a)若为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ为正方向，式(3.52a)可写为(3.52b)式(3.52)称为电场切向分量的边界条件。
第3讲：准静电场和准静磁场及其边界条件
6.641 电磁场、电磁力和电磁运动Markus Zahn 教授第3讲：准静电场和准静磁场及其边界条件I. 准静电场的条件A. 大小评价系数 [ 特征长度L ，特征时间τ ]图3.3.1 包含一个典型长度的模型系统，（a）电动势源驱动一对半径和间距均为L量级的理想导体球的EQS系统。
Hermann A. Haus 和 James R. Melcher赠送，经过允许。
E LE E L ρρρεεε∇⋅=⇒=⇒=2E H E EL L H H t Lεερετττ∂∇×=⇒=⇒==∂232E H H L E E t LL µµρµρµτττ∂∇×=−⇒==⇒=∂误差误差()32222;E L L L C E L C µρµρετρττ====误差 11E LEC τ<<⇒<<误差B. 由准静电场近似引入的误差估计图3.3.2 由分布在外边缘的电动势源驱动的无电阻平行板电极。
Hermann A. Haus 和 James R. Melcher 赠送，经过允许。
0Z Z VE i E i d== 000su E Z d E Z εσε−=⎧=⎨+=⎩202022su su r r d d b b K b b K dtdt dt dEσσππε+=⇒=−=−()20022c SdE dE r H ds E da H r r H t dt φφεππε∂⋅=⋅⇒=⇒=∂∫∫ dt ε da tHds E Sc⋅∂∂−=⋅∫∫µ图3.3.3 表示包含下方平板的体积和平板末梢处的径向面电流密度的图3.3.2平行板。
Hermann A. Haus 和 James R. Melcher赠送，经过允许。
图3.3.4 表示用于计算修正电场的表面和周线的图3.3.2所示子系统的截面。
Hermann A. Haus 和 James R. Melcher赠送，经过允许。
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在实际工程中，往往要遇到由不同的媒质组成的电磁系统。
在不同媒质分界面上，由于媒质的特性发生了突变，相应的场量一般也将发生突变。
在这一节中，我们将研究电磁场在两种媒质分界面上的变化规律。
决定分界面两侧电磁场变化关系的方程称为边界条件。
研究边界条件的出发点，仍然是麦克斯韦方程组。
但在不同媒质的交界面处，由于媒质不均匀，媒质的性质发生了突变，因此，微分形式的方程不再适用，只能从麦克斯韦方程组的积分形式出发，推导边界条件。
3.5.1 电场法向分量的边界条件
如图3.9所示的两种媒质的分界面，
第一种媒质的介电常数、磁导率和电导
率分别为，和，第二种媒质的介
电常数、磁导率和电导率分别为，
和。
在这两种媒质分界面上取一个小的
柱形闭合面，如图3.9所示，其高为
无限小量，上下底面与分界面平行，并分别在分界面两侧，且底面积非
常小，可以认为在上的电位移矢量和面电荷密度是均匀的。
，
分别为上下底面的外法线单位矢量，在柱形闭合面上应用电场的高斯定律
故
(3.48a)
若规定为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ为正方向，则，，式(3.48a)可写为
(3.48b)
或
(3.48c)
式(3.48)称为电场法向分量的边界条件。
因为，所以式(3.48)可以用的法向分量表示
(3.49a)
或
(3.49b)
若两种媒质均为理想介质时，除非特意放置，一般在分界面上不存在自由面电荷，即，所以电场法向分量的边界条件变为
(3.50a)
或
(3.50b)
若媒质Ⅰ为理想介质，媒质Ⅱ为理想导体时，导体内部电场为零，即
，，在导体表面存在自由面电荷密度，则式(3.48)变为
(3.51a)
或
(3.51b) 3.5.2 电场切向分量的边界条件
在两种媒质分界面上取一小的矩形闭合回路abcd，如图3.10所示，该回路短边为无限小量，其两个长边为，且平行于分界面，并分别在分界面两侧。
在此回路上应用法拉第电磁感应定律
因为
和
故
(3.52a)
若为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ为正方向，式(3.52a)可写为
(3.52b)
式(3.52)称为电场切向分量的边界条件。
该式表明，在分界面上电场强度的切向分量总是连续的。
用表示式(3.52a)得(3.53)
若媒质Ⅱ为理想导体时，由于理想导体内部不存在电场，故与导体相邻的媒质Ⅰ中电场强度的切向分量必然为零。
即
(3.54)
因此，理想导体表面上的电场总是垂直于导体表面，对于时变场，理想导体内部不存在电场，因此理想导体的切向电场总为零，即电场也总是垂直于理想导体表面。
3.5.3 标量电位的边界条件
在两种媒质分界面上取两点，分别
为A和B，如图3.11所示。
A，B分
别位于分界面两侧，且无限靠近，两点
的连线，且与分界面法线
平行，从标量电位的物理意义出发，得
由于和为有限值，而所以由上式可知，即
或
(3.55)
式中S为两种媒质分界面。
该式表明在两种媒质分界面处，标量电位是连续的。
标量电位在分界面上的边界条件在静电场求解问题中是非常有用的。
考虑到电位与电场强度的关系：，由电场的法向分量边界条件式
(3.49b)得
(3.56)
式(3.56)称为静电场中标量电位的边界条件。
若两种媒质均为理想介质时，在分界面上无自由电荷，标量电位的边界条件为
(3.57)
若在理想导体表面上，标量电位的边界条件为
（常数）(3.58a)
(3.58b)
式中为导体表面外法线方向。
3.5.4 磁场法向分量的边界条件
在两种媒质分界面处作一小柱形
闭合面，如图3.12所示，其高度，
上下底面位于分界面两侧且与分界面
平行，底面积很小，为从媒质Ⅱ
指向媒质Ⅰ法线方向矢量，在该闭合面上应用磁场的高斯定律
则
(3.59a)
或
(3.59b)
式(3.59)为磁场法向分量的边界条件。
该式表明：磁感应强度的法向分量在分界面处是连续的。
因为，所以式(3.59b)也可以用的法向分量表示
(3.60)
若媒质Ⅱ为理想导体时，由于理想导体中的磁感应强度为零，故
(3.61)
因此，理想导体表面上只有切向磁场，没有法向磁场。
3.5.5 磁场切向分量的边界条件
在两种媒质分界面处作一小矩
形闭合环路，如图3.13所示。
环路
短边，两长边分别位于分
界面两侧，且平行于分界面。
在此
环路上应用安培环路定
律，即
穿过闭合回路中的总电流
为
式中为分界面上面电流密度，，分别为两种媒质中的传导电流体密度，和分别为两种媒质中的位移电流密度。
因为，除
外，回路中的其他电流成分均趋向零，即，于是
(3.62a)
式中方向与所取环路方向满足右手螺旋法则。
用矢量关系，式(3.62a)可表示为
(3.62b)
式(3.62)为磁场切向分量的边界条件。
式中为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ的法线单位矢量。
用表示式(3.62a)得
(3.63)
若两种媒质为理想介质，分界面上面电流密度，则磁场切向分量边界条件为
(3.64a)或
(3.64b)由式(3.59b)和式(3.64b)可得
若媒质Ⅱ为高磁导率材料，当小于时，将非常小。
换
句话说，在铁磁质表面上磁力线近乎垂直于界面。
当时，，即在理想铁磁质表面上只有法向磁场，没有切向磁场。
(3.6
5)若媒质之一为理想导体，电流存在于理想导体表面上，因理想导体内没有磁场，理想导体表面切向磁场为
(3.66a)或
(3.66b)若媒质的电导率有限，即媒质中有电流通过，其电流只是以体电流分布
的形式存在，在分界面上没有面电流分布，即，则分界面上磁场切向分量是连续的，即。
3.5.6 矢量磁位的边界条件
根据矢量磁位所满足的旋度和散度表示式，及磁场的基本方程，可推
导出的法向分量和切向分量在两种媒质分界面处是连续的，所以矢量在分界面处也应是连续的，即
(3.67)
由式(3.63)可得
(3.68) 3.5.7 标量磁位的边界条件
在无源区域，即无电流区域，安培环路定律的积分和微分形式为
(3.69)
(3.70)
根据矢量运算，由式(3.70)可引入一标量函数，令
(3.71)
该标量函数称为标量磁位，其单位是安培(A)。
式(3.71)中的负号是为了
与静电场中相对应而引入的。
引入标量磁位的概念完全是为了在某
些情况下使磁场的计算简化，并无实际的物理意义。
类似于电位差的计算，a点和b点的磁位差为
(3.72)
根据标量磁位定义和磁场的边界条件可得
(3.73a)
(3.73b)
式(3.73)为标量磁位的边界条件。
3.5.8 电流密度的边界条件
在两种导电媒质分界面处作一小柱形闭合面。
如图3.14所示，其高度，上下底面位于分界面两侧，且与分界面平行，底面面积很小。
为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ法线方向矢量。
根据电流连续性方程
(3.74)
在图3.14所示的闭合曲面上，
(3.75
)
(3.
76)
式中为闭合曲面包围的总电荷,当时，有
(3.77)
将式(3.77)代入式(3.76)得
(3.78)
将式(3.75)和式(3.78)代入式(3.74)中得
(3.79a)
或
(3.79b)
根据导电媒质中的物态方程，又已知在分界面处电场切向分量连续，即，所以电流密度的切向分量满足
(3.80a)
或
(3.80b)
式(3.79)和式(3.80)为电流密度满足的边界条件，对静态场和时变场均适用。
在这一节中，我们详细讨论了电磁场中各参量的边界条件，为明晰起见，归纳如下。
标量形式矢量形式
在应用这些边界条件时，必须牢记下列性质：
(1)在理想导体（）内部的电磁场为零，理想导体表面存在和。
(2)在导电媒质（）内部的电磁场不为零，分界面上存在，但为零。
(3)在理想介质（）内部的电磁场不为零，分界面上为零，如果不
是特意放置，也为零。