静电场边界条件证明
第三章静电场及其边值问题的解法
电路； • 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
减少电能的损失和提高电气设备的利用率；
如何求电容器的电容？
14
电磁场与波
1. 电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能
力的物理量。
孤立导体的电容
界条件为
或
ED11tn
s
0
介质1
nˆ
E1
1
1
注：媒质1为介质，媒质2为导体
导体
22
电磁场与波
静电位的边界条件
设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分
别为ϕ1和ϕ 2
当两点间距离⊿l→0时,C与D趋于同一 点，取作电位参考点
1 2
媒质1 1
1 A
B 2
媒质2 2
D
l
C
由
和
2
2
n
1
1
n
S
• 若介质分界面上无自由电荷，即 s 0
2
2
n
1
1
n
•
导体表面上电位的边界条件：
常数，
n
S
电磁场与波
例 3.5 无限长同轴线内外导体半径分别为a,b,外导体接地，内
导体电位为U，内外导体间部分填充介电常数为ɛ1的介质，其余部
分介电常数为ɛ2 ，(a)图中二介质层分界面半径为c；(b)图 0 1
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位的比值，即
Cq
电位参考点为 无穷远处
例： 真空中半径a的孤立带电导体球，其表面电荷量为q,则电位？
q 4 0 a
C 40a
静电场的边值问题
问题-02-7-1 静电场的边值问题可分为哪几类，是否均满足唯一性定理？
解答：静电场中的典型边值条件包括3类：（1）给定场域边界上的电位值，称为第一类边值条件；（2）给定场域边界上电位的法向导数值，称为第二类边界条件；（3）部分场域边界上给定电位、另一部分场域边界上给定电位的法向导数，称为混合边界条件。
上述三类边界条件与标量电位满足的泛定方程组合成相应的边值问题。
对于第一类边值问题，电位和电场强度的解均唯一；对于第二类边值问题，电场强度的解唯一，电位的解可以相差某一常数，若选定电位参考点，则电位的解也唯一；对于混合边值问题，电位和电场强度的解均唯一。
2.5 静电场的基本方程.分界面边界条件
2.5 静电场基本方程 分界面上的衔接条件2.5.1 静电场的基本方程总结静电场环量特性及闭合面通量特性，得到了反映静电场基本特性的方程⎰=⋅l 0d l E （2.5.1） ⎰=⋅S q S D d （2.5.2）0=⨯∇E （2.5.3） ρ=⋅∇D （2.5.4）称之为静电场的基本方程，方程（2.5.1）和（2.5.2）是基本方程的积分形式，它们从整体上以表明静电场的无旋性（守恒性）和静电场的有散性（有源性）这两个基本特征。
方程（2.5.3）和（2.5.4）是以上两基本方程对应的微分形式，它们更为直接地描述静电场的无旋性和有散性的分布特性。
基本方程的微分形式显得更为重要。
一方面，可以从散度和旋度角度描述静电场中各点场与源的关系；另一方面，在计算上反映静电场域空间各点场与源的变化情况。
从计算角度看：基本方程的积分形式适用于大范围的分析计算，它们在静电场的任何区域都成立；而微分形式适合于在同种介质中求解场量（指E 、D 、φ）的分布，在不同介质分界面上它不成立。
由唯一性定理可知，散度和旋度再加上边界条件共同唯一地确定静电场，这边界条件还需要基本方程的积分来推求。
研究介质极化的影响，有D = ε0E + P （2.5.5a ）D = ε E（2.5.5b ）方程（2.5.5a ）和（2.5.5b ）是联系D 、E 的媒质的构成方程，它们不是基本方程，但其重要性是不言而喻的。
（2.5.5a ）对任何介质均成立，方程（2.5.5b ）只适用于各向同性线性介质。
2.5.2 介质分界面上的衔接条件在不同介质的分界面上，可能存在极化电荷和自由电荷，它们使场量的大小和方向都可能发生突变，导致了在不同介质的分界面上D 、E 不连续。
在此处，静电场基本方程的微分形式不再适用，我们从基本方程的积分形式出发，导出介质的分界面衔接条件的出发点。
分界面两侧为各向同性线性介质，介电系数分别为ε1和ε2，同时还需要规定分界面正法线方向：由介质1指向介质2，有n e 。
第2章-3-泊松方程+拉普拉斯方程+边界条件
D2n en 2
D1
en
h
电位移矢量的法向边界条件：两介质分界面电位移法向 分量的变化量等于该出自由电荷面密度。
如果： s 0
D1n D2n
• 电位移矢量的法线分量连续。
11
2.8 静电场的边界条件
2.8.1 电位移矢量的法向边界条件
讨论： D1n D2n s
（2-37）
1. 电场： E1 1n 1E2n s
第二章 静电场与恒定电场
2.1 库仑定律和电场强度 2.2 电场强度的通量和散度 2.3 电场强度的环量及旋度 2.4 静电场的电位函数 2.5 电偶极子 2.6 静电场中的导体和介质 2.7 泊松方程与拉普拉斯方程 2.8 静电场的边界条件 2.9 导体系统的电容 2.10 静电场的能量与静电力 2.11 恒定电场
q (1 r 1) 4 a a b
7
2.8 静电场的边界条件
静电场方程 ——描述同一种媒质中电场与源的关系。 静电场的边界条件：
不同介质分界面；导体与介质分界面。
静电场方程 不同介质分界面的边界条件 导体与介质分界面的边界条件 小结
8
2.8 静电场的边界条件
静电场方程
在真空中有：
1
知识回顾：真空中的静电场方程
EdS= q
S
0
E 0
普适
l E dl 0
E 0
真空中的静电场方程的意义：
适于静电场 非普适
“电荷是电场的源头”，即，“ 电场是有源无旋场”。 电场线发于正电荷终于负电荷；
无旋力场：标量势；保守场；对电荷所做的功 与电荷移动的始点与终点有关，与路径无关。
例：如图示，已知V、d1、d2、ε1、ε2，计算两平行板间的电场 及电荷分布。
5 恒定电场的边界条件
15~16
十、恒定电场的基本方程 边界条件
20
第三章 静电场分析
5. 恒定电场的边界条件
用类比关系推导恒定电场边界条件。
15~16
十、恒定电场的基本方程 边界条件
(1) J 的边界条件
(2) E 的边界条件 (3) 电位边界条件
S
ˆ 0 J1n J 2 n J dS 0 ( J1 J 2 ) n
1 2
ˆE E dl 0 E n
l
ˆ E1t E2t n
1 2 1 2 n n 1 2 0
21
第三章 静电场分析
15~16
十、恒定电场的基本方程 边界条件 ˆ n J1 E1 5. 恒定电场的边界条件
(4) 折射关系
J 0 J 0( 0) t t
15
第三章 静电场分析
3. 恒定电场的本构关系
本构方程：
15~16
十、恒定电场的基本方程 边界条件
dS
低
J E
高
U E dl I J dS dl R dS
JE
dl
ˆ E lˆ (s ˆ lˆ) J s
l E1 D / 1 ˆr D e 2 r E2 D / 2
b
8
第三章 静电场分析
4.静电场的边界条件
U E1 dr E2 dr 6) 解： a c
c b
15~16
九、介质中的高斯定理 边界条件
2
a
1
c
21 2U l c b 2 ln 1 ln a c
电场。
传导电流(Conduction Current)：导电媒质中的恒定电流； 运动电流(Convection Current)：真空中电子或离子运 动形成的电流。 基本变量：电流密度 J 和电场强度 E ；
静电场的唯一性定理
北京大学物理学院王稼军编写
极大
几个引理
极小
引理一：在无电荷的空间里电势不可能 有极大值和极小值
证明（反证）若有极大，则
ΦE S E dS 0, 但面内无电荷，矛盾
U指 向P点 ,E U背 离P点
若有极小，同样证明
2005.2
北京大学物理学院王稼军编写
引理二：若所有导体的电势 即意味着空间
为0，则导体以外空间的电
电势有极大值， 里电势分布连续 变化，若空间有电势大于0 （或小于0）的点，而边界上 电势又处处等于零——必出现 极大值或极小值——矛盾
推广：若完全由导体所包围的空间里各导体
的电势都相等（设为U0），则空间电势等于 常量U0
2005.2
讨论：由Gaoss定理收敛于球面上的电通量为－Q’，Q’=球 面上的总感应电荷，它受电荷Q产生的电场吸引从接地处 传至导体球上，|Q’|<Q,Q发出的电力线只有一部分收敛于 导体球，剩下的伸展至无穷
2005.2
北京大学物理学院王稼军编写
电偶极层
设想一厚度均匀的曲 面薄壳，两面带有符
号相反的面电荷 e
北京大学物理学院王稼军编写
2005.2
北京大学物理学院王稼军编写
电像法——解静电问题的一种特殊方法
在一接地的无穷大平面导体前有一点电荷q求空间 的电场分布和导体表面上的电荷分布
基本思想：利用唯一性定理，边界条件确定了， 解是唯一的，可以寻找合理的试探解
像电荷
2005.2
北京大学物理学院王稼军编写
解： 任一P点的电势
U (x, y, z) 1 ( q q') z 0
唯一性定理
对于静电场，给定一组边界条件，空间能否 存在不同的恒定电场分布？——回答：否！
第二章静电场恒定电场和恒定磁场
介质中的高斯定理表示为 式中电位移矢量为
在线性的各向同性的电介质中
例2.1在空气中放入一个带电量为Q、半径为a的球体，该球体的 相对介电常数为εr。求该球体内、外任意一点的电场强度。
解（1） 球内任意一点，设到球心距离为r,做高斯面为以r为半径的球面， 如图2.2所示。
由电场的对称性可知，E和D的方向为er,所以
大小、它们之间的距离和周围的电介质，即可以不用电容器。
例2.10同心金属球与球壳系统如图2.12所示，内导体球半径为a，外导体 球壳的内外半径分别为b和c，导体球与导体球壳带有等量异号电荷，它
们之间充满相对介电常数为 r 的电介质，球外为空气。求该导体系统
的电容。
解:根据高斯定理不难求出空间各点的电场强度，设导体球和导体球壳的 带电量分别是q和-q，则导体和导体球壳之间的电场强度的大小为
电场能为
WeΒιβλιοθήκη 1 2dVv
（2） 对于多导体系统
We
1 2
dV
v
例2.12半径分别为a和b的同轴线，外加电压为U，内圆柱体电荷量为正，外圆柱 面单位长度上的电荷量与内圆柱体等值异号。如图2.16(a)所示，两电极间在θ1的 角度内填充介电常数为ε的电介质，其余部分为空气，求同轴线单位长度上储存 的电场能量。
示，求在l长度上的外电感。
图2.25例2.20用图
例2.21一个半径为a的无限长直导线，在导线均匀流过的电流为I，求这个导线
在单位长度上的内电感，如图2.26所示（设导体内部的磁导率近似为μ0）。 解:截面上的磁通并没有与全部电流I交链，而只是与一部分电流交链，交链的总 磁链为
图2.26
2. 互 有两感个回路l1和l2，如图2.27所示。
静电场边值问题的唯一性定理
静电场边值问题的唯一性定理摘要：静电场边值问题及其唯一性定理是一重要知识点，定理的表述和证明都涉及较多的数学知识。
由于唯一性定理的概念对于许多问题（如静电屏蔽）的确切理解有很大帮助，所以我们将给此定理一个物理上的论证，期待大家能从中有所受益. 关键词：静电场；边值；唯一性；静电屏蔽1、问题的提出实际中提出的静电学问题，大多不是已知电荷分布求电场分布，而是通过一定的电极来控制或实现某种电场分布。
这里问题的出发点（已知的前提），除给定各带电体的几何形状、相互位置外，往往是在给定下列条件之一；（1） 每个导体的电势U K ； （2） 每个导体上的总能量Q K ；其中K=1，2，……为导体的编号。
寻求的答案则是在上述条件（称为边界条件）下电场的恒定分布。
这类问题称为静电场的边值问题。
这里不谈静电场边值问题如何解决，而我们要问：给定一组边界条件，空间能否存在不同的恒定电场分布？唯一性定理对此的回答是否定的，换句话说，定理宣称：边界条件可将空间里电场的恒定分布唯一地确定下来。
2、几个引理在证明唯一性定理之前，先作些准备工作——证明几个引理。
为简单起见，我们暂把研究的问题限定为一组导体，除此之外的空间里没有电荷。
（1）引理一 在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极小值。
用反证法。
设电势U 在空间某点P 极大，则在P 点周围的所有邻近点上梯度U ∇ρ必都指向P 点，即场强U E ∇-=ρρ的方向都是背离P 点的（见图1-1a 。
）这时若我们作一个很小的闭合面S 把P 点包围起来，穿过S 的电通量为0)(>⋅=⎰S d E S E ρρϕ (1)根据高斯定理，S 面内必然包含正电荷。
然而这违背了我们的前提。
因此，U 不可能有极大值。
用同样的方法可以证明，U 不可能有极小值（参见图1-1b ）。
（2）引理二 若所有导体的电势为0，则导体以外空间的电势处处为0。
因为电势在无电荷空间里的分布是连续变化的，若空间有电势大于0（或小于0）的点，而边界上又处处等于0，在空间必然出现电势的极大（或极小）值，这违背引理一。
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1.分析方法
采用基本方程的积分形式。
、分解为与分界面垂直和平行的两个分量：
2.请考虑一下，下面的证明应该采用哪个定律或方程：
电场的环流方程 高斯通量定律
在分界面上取一小的矩形闭合路径，两个边 与分界面平行并分居于分界面
的两侧，高h为无限小量（如下图所示）。对于此矩形回路，电场强度变量
在此回路上的环量为零，可写作
是取矩形回路的边构成的矢量，其方向与介质1中绕行回路的方向一
取回路包围的矩形面积的法向单位矢量为，则有 ，代入
得
或改写成
图1.6.2 边界条件的证明2
因回路是任取的，对于不同的取向上式总成立，表明有 ，
即 或写成
所以，在不同的介质分界面上的电场强度变量的切向分量应该是连续的。电
场强度的切向分量连续的边界条件用电位函数表示时，可得到 表明
分界面上的电位函数也是连续的。
1.分析方法
采用基本方程的积分形式。
、分解为与分界面垂直和平行的两个分量：
2.请考虑一下，下面的证明应该采用哪个定律或方程：
电场的环流方程 高斯通量定律
首先在分界面上取一个小的柱形
闭合面，其上、下底面与分界面
平行并分居于分界面两侧，高h
为无 限小量（如图所示）。对于
此闭合面，高斯通量定律写成
得
是分界面上的自由电荷密度。
当分界面上没有自由电荷时则有
或， 可
得分界面上的法向分量的边界
条件。
图1.6.1 边界条件的证明1