静电场的边界条件
静电场边值问题的解法探讨
静电场边值问题指的是，在电场边界处，电势的变化要满足一定的条件。
这些条件可以用来求解电场的边界条件，也可以用来求解电场的分布情况。
常见的静电场边值问题有电势边界条件和电流边界条件。
电势边界条件：在某些情况下，电势的变化会受到一些限制，这种情况下，我们可以使用电势边界条件来解决问题。
常见的电势边界条件有以下几种：1.固定电势：在某些情况下，电势的值是固定的，这种情况下，我们可以使用固定电势边界条件来解决问题。
2.无穷大电势：在某些情况下，电势的值会无限增大，这种情况下，我们可以使用无穷大电势边界条件来解决问题。
电流边界条件：在某些情况下，电场中会存在电流，这种情况下，我们可以使用电流边界条件来解决问题。
常见的电流边界条件有以下几种：1.固定电流：在某些情况下，电流的值是固定的，这种情况下，我们可以使用固定电流边界条件来解决问题。
2.零电流：在某些情况下，电流的值为零，这种情况下，我们可以使用零电流边界条件来解决问题。
3.无限大电流：在某些情况下，电流的值会无限增大。
4.无穷小电流：在某些情况下，电流的值会无限减小，这种情况下，我们可以使用无穷小电流边界条件来解决问题。
5.常数电流：在某些情况下，电流的值为一个常数，这种情况下，我们可以使用常数电流边界条件来解决问题。
6.线性电流：在某些情况下，电流的值随着某个参数的变化而呈线性关系，这种情况下，我们可以使用线性电流边界条件来解决问题。
7.周期电流：在某些情况下，电流的值随着时间的变化而呈周期性变化，这种情况下，我们可以使用周期电流边界条件来解决问题。
8.随机电流：在某些情况下，电流的值随机变化，这种情况下，我们可以使用随机电流边界条件来解决问题。
9.随机电流：在某些情况下，电流的值随机变化，这种情况下，我们可以使用随机电流边界条件来解决问题。
这些电流边界条件都可以在求解静电场边值问题时使用。
静电场的边界条件
∴ n (D1 D2 ) s 或 D1n- D2n = s Normal
完纯介质分界面上，s= 0，则
n D1 n D2
或
D1n= D2n
二．不同介质分界面上切线方向的边界条件
n E1t E1
1 l
1
h
2 E2 2
c
E2t
Tangential
E
c
dl
E1
l
E2
l
0
l = s n l
在界面上，矢量场基本方程的微分形式不再适用
但积分形式仍然成立 SD dS q cE dl 0
边界条件: 两种介质分界面上，矢量场所满足的关系。
一．不同介质分界面上法线方向的边界条件
SD dS q
D S
பைடு நூலகம்
dS
D1
nS
D2
nS
sS
s 自由电荷面密度
D1n n D1
1 S
1
2
h
D2
2
D2n
n E,D
当分界面为导体与电介质的交界面时，由
于导体内电场和电位移矢量均为零，所以
D2 = E2 = 0
分界面上的衔接条件变为：
n D s
Dn s
Φ n
s
nE 0
Et 0
Φ c
结论：
（1）导体表面是一等位面；电力线与导体表面垂直，电场强度
只能垂直与导体表面；
（2）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷面密度 s。
E1 ( s n ) l = E2 ( s n ) l
s (n E1) = s (n E2)
回路 c 任意，所围s 也任意
n l s
∴ n E1 = n E2
第2章 静电场(6) 分界面上的边界条件(P20)
电后断开电源，然后在板间放入一块均匀介质板，
r=9。设介质的厚度比d略小一点，留下一小的空 气隙。求放入介质板前后平行板间的电场强度。
解：放入介质板前，平行板间的电场为均匀电场：
E0
d
U d
方向：从正极板指向负极板。
20
下极板与空气的分界面上：
D1n D2 n
d 1
D1 E1
sin 1 sin 2 D2 2 E2 2500 sin 20 sin 8
12
E2 E1
6144(V / m)
8.854 10
6144 5.44 10 (C / m )
2
ห้องสมุดไป่ตู้
8
24
思考题
介电常数为的无限大均匀各向同性、 线性介质中的电场强度为 E ， 如果在介质中沿电场方向挖一窄缝， 则缝中电场强度的大小为（ 垂直
（导体内场强为0）
E
D
D2
r 0
D0 9 0
0 U
9 0 d
U 9d
22
此即放入介质后平行板间的电场强度， 方向：从正极板指向负极板。
例2-13 P71
在聚苯乙烯（ =2.60 ）与空气的分界面两边，聚苯 乙烯中的电场强度E1=2500V/m，电场方向与分界面 法线的夹角是1=20°。 求：(1) 空气中电场方向与分界面法线的夹角2 ； (2) 空气中的电场强度E2和电位移D2 。
2 75.1
cos1 cos 2
由边界条件 D1 cos 1 D2 cos 2 可知
D2 D1 1 E1
2.6静电场的边界条件
D2n
用矢量表示 作的圆柱形表面。
将电场基本方程 D d S Q 用于所
s
n D1 D2 s
小圆 量柱 ，侧 该面 面积 积， 趋 于为 零无 穷 h
s为分界面上的自由电荷面密度
因为： D E
1E1n 2 E2n S
假设导体下标为2，介质下标为1。 导体内部有
E2 0,
D2 0
则在导体与电介质分界面上：
D1n D2n s
E1t E2t
D1n s
变为
E1t 0
2
2 1 1 S n S n S
1
1 S n S
1 2
1 2
2
E1
b
所以
tg1 E1t E2 n E2 n tg 2 E1n E2t E1n
E2 n D2 n
2 d
c
又由
2
E1n
D1n
E2t
1
D1n D2n ( s 0)
故
tg1 1 tg 2 2
可见，电场在分界面处发生了折射。
二、导体与电介质分界面上的边界条件
因为分界面上无电荷，故有边界条件 D1n D2n 60 0 所以 D1 0 (50i 60 j )
1
D1 E1 10i 12 j
【例2】 同心球电容器的内导体半径为a,外导体的内半径为b，
其间填充两种介质，上半部分的介电常数为 1 ，下半部分的介电 常数为 2 ，如图，设内外导体带电分别为q和-q。求各部分的电位 移矢量和电场强度。
当分界面上无自由电荷时
[理学]静电场边界条件证明
![[理学]静电场边界条件证明](https://img.taocdn.com/s3/m/def2f6fa112de2bd960590c69ec3d5bbfd0ada8f.png)
采用基本方程的积分形式。
、分解为与分界面垂直和平行的两个分量：
2.请考虑一下，下面的证明应该采用哪个定律或方程：
电场的环流方程高斯通量定律
在分界面上取一小的矩形闭合路径，两个边
与分界面平行并分居于分界面
的两侧，高h为无限小量（如下图所示）。
对于此矩形回路，电场强度变量在此回路上的环量为零，可写作
是取矩形回路的边构成的矢量，其方向与介质1中绕行回路的方向一
取回路包围的矩形面积的法向单位矢量为，则有
，代入
得
或改写成
图1.6.2 边界条件的证明2
因回路是任取的，对于不同的取向上式总成立，表明有
，
即
或写成
所以，在不同的介质分界面上的电场强度变量的切向分量应该是连续的。
电
场强度的切向分量连续的边界条件用电位函数表示时，可得到
表明
分界面上的电位函数也是连续的。
采用基本方程的积分形式。
、分解为与分界面垂直和平行的两个分量：
2.请考虑一下，下面的证明应该采用哪个定律或方程：
电场的环流方程 高斯通量定律
首先在分界面上取一个小的柱形
闭合面，其上、下底面与分界面
平行并分居于分界面两侧，高h
为无 限小量（如图所示）。
对于
此闭合面，高斯通量定律写成
得
是分界面上的自由电荷密度。
当分界面上没有自由电荷时则有或
， 可得分界面上
的法向分量的边界
条件。
图1.6.1 边界条件的证明1。
2.6静电场的边界条件
1 2 lim E dl lim( E1n
12 1 d 0
2
d d E2 n ) 0 2 2
因此
图2.6.5电位的衔接条件
1 2
2 n
表明: 在介质分界面上，电位是连续的。
D1n 1 E1n 1
1 n
,
D2 n 2 E2 n 2
( D E )
E dl 0 D dS q
l
S
A 3 xe x 4 ye y 5 ze z ，
ey y Ay
试判断它能否表示个静电场？
解：根据静电场的旋度恒等于零的性质,
ex A x Ax
ez Ay Ax Ax Az Az Ay z ( y z )e x ( z x )e y ( x y )e z 0 Az
D2 n D1n E1t E2 t
图2.6.3 导体与电介质分界面
D2 n E2 t 0
表明：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分 量；（2）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷密度 。 在交界面上不存在 时，E、D满足折射定律。
二、电位移矢量D的边界条件 以分界面上点P作为观察点，作一 小扁圆柱高斯面（ L 0）。 根据
D dS q
D1n S D2 n S S
D2 n D1n
则有
图2.6.1 在电介质分界面上应用高斯定律
分界面两侧的 D 的法向分量不连续。当
0
时，D 的法向分量连续。
1 E1 2 E2
E1d1 E2 d 2 U0
静电场的边界条件
静电场的边界条件一、介绍静电场是电荷相互作用的结果，它在物理学中有着重要的应用。
在讨论静电场的问题时，我们需要考虑边界条件，即影响电荷分布和电场分布的物体或介质的边界条件。
本文将对静电场的边界条件进行全面、详细、完整的探讨。
二、电场的基本概念回顾在深入讨论静电场的边界条件之前，我们先回顾一下电场的基本概念。
电场是指空间中某一点周围的电力场，它由电荷所产生。
电场的强度用电场强度表示，通常用符号E表示，其单位为N/C（牛顿/库仑）。
电场的方向是从正电荷指向负电荷。
三、边界条件的意义静电场的边界条件对于解决各种实际问题非常重要。
在处理实际问题时，我们常常需要考虑到材料接触面上的边界条件，以确定电场分布和电荷分布。
四、电场的边界条件在讨论静电场的边界条件时，我们主要关注以下几个方面：4.1 自由边界条件自由边界条件指在物体表面没有约束电荷和电场的存在。
在这种情况下，电荷和电场可以自由传播。
4.2 导体表面的边界条件导体表面的边界条件是我们最常见的一种情况。
导体表面上，电场与导体表面垂直。
这是因为在导体表面上，导体内部的电荷会受到表面电荷的驱动，沿着导体表面朝水平方向运动，最终达到平衡状态。
4.3 介质表面的边界条件介质表面的边界条件与导体表面的边界条件相似，但不完全相同。
在介质表面上，电场仍然与表面垂直，但电场的强度在介质表面的两侧有所变化。
4.4 电势的边界条件电势是电场的一种特殊形式，它表示单位正电荷在电场中移动所具有的能量。
在讨论边界条件时，我们也需要考虑电势的变化情况。
五、总结静电场的边界条件是解决静电场问题的关键之一。
在实际问题中，我们需要根据具体情况来确定相应的边界条件。
不同的边界条件将会对电场和电荷分布产生影响，因此我们必须认真考虑边界条件的选择和分析。
通过对静电场的边界条件的全面、详细、完整的探讨，我们可以更好地理解和应用静电场的理论，解决实际问题。
关于静电场和恒定磁场的边界条件的几点讨论
关于静电场和恒定磁场的边界条件的几点讨论赵东广（安徽大学 文典学院 安徽 合肥 230039）摘要：本文对不同介质组成的静电场和恒定磁场场域的边界条件进行了整理和讨论，并用高斯定理等对两种介质分界面上的电磁场边值关系进行了简洁推导并以这种普遍关系为基础导出了理想导体表面上的边界条件，并对该边界条件做了详细说明。
关键词：静电场，恒定磁场，边界面。
引言：对于不同媒质所组成的电磁场场域在分界面上介质性质有突变，则电磁场在分界面两侧发生突变。
而我们把分界面电磁场突变关系称为电磁场的边值关系或边界条件。
1 静电场的边界条件1.1 法向边界条件或 ，如果界面上没有自由电荷，即，边界条2121()S S D n S D n S q S n D D ρρ⋅∆-⋅∆==∆⋅-=21n n S D D ρ-=0S ρ=2121()00n n n D D D D ⋅-=-=件变为 或 。
1.2 切向边界条件即静电场的切向分量连续，意味着电位连续，即 ，又因为所以法向分量的边界条件用电位表示为在 时，则即为静电场的折射定律。
导体内的静电场在静电平衡时为零，设导体外部的场为E ，D ，导体的法向量为n ，则导体表面的边界条件简化为 。
2 恒定磁场的边界条件2121()0t tn E E E E ⨯-==21ϕϕ=nE D n E D n n n n ∂∂-==∂∂-==2222211111ϕεεϕεεSnnρϕεϕε=∂∂-∂∂22110S ρ=2121tan tan εεθθ=0=t E S n D ρ=2.1 法向边界条件 即 ，SB d s ⋅=⎰120B n S B n S -⋅∆+⋅∆=12n nB B =2.2 切向边界条件即 当分界面上没有自由电流时， ，当分界面两边为理想介质，分界面上无自由电流，则上式表面媒质两边的磁场方向与媒质本身特性有关。
下面我们讨论几种特殊情况l J l H l H S t t ∆=∆-∆21S t t J H H =-210S J = tt H H 21=12n H n H ⨯=⨯ 12n nB B =tt H H 21=1221112212tan tan μμθθ===nn nt n t H H H H H H1 若当媒质1为空气，媒质2为铁磁媒质。
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二、电场强度
电场与电场强度
1. 电场强度的定义
微小正点电荷在电场中任一点所受电场力与此微小正点
电荷电量之比的极限，通常以 E 表示
E
lim
F
q0 q
Δq为正的试验点电荷的电量，国际单位制，单位为库仑(C)；
F 为正的试验点电荷所受的电场力，单位为牛顿(N)。
E 电场强度的单位为牛顿每库仑(N/C)，国际单位制 单位为 伏特每米(V/m) 。
0
R
2 1
ex
9ex
V
/
m
E2
q2
4
0
R
2 2
ey
3ex
V
/
m
E3
q3
4
0
R
2 3
4 5
ex
3 5
ey
14.4ex
10.8ey
V
/
m
E
5.4ex 7.8ey V / m
研究对象：静电场
定义：
指对研究者（所采用的 坐标）而言，电场与激 发电场的电荷的分布都 是相对静止的，不随时 间的变化而改变。
内容： 静电场的基本规律 这些规律的简单应用 即求解一些简单的静电 场问题。
1
静电场
静电场的基本特征： 对静止电荷施力。
静电场的基本规律： 两个积分形式的定理 两个微分形式的定理
表达式
10
电场的叠加原理
二、电荷作任意分布时电场强度的计算
线电荷 电荷线密度
lim q dq
l0 l dl
dq为线元dl上所具有的电量。
τ 的单位为库仑每米(C/m)。
当电荷沿空间曲线 l 连续分布时，
空间任一点的场强
E
l
dl 4 0R2
R0
R0
dl
q1 16 109C P1(4,0) q2 3 109C P1(0,3) q3 50 109C P1(4,3)
F E
q0E1 F q0
q0E2 q0E3 E1 E2 E3
8
电场与电场强度
E1
q1
4
12
体电荷 电荷体密度 lim q dq
V 0 V dV
ρ 的单位为库伦每立方米(C/m3)
当电荷在空间作体积分布
空间任一点的电场强度为
E
V
dV 4 0R
2
R0
R为体积元dV至研究点的距离
R0 为体积元dV指向研究点方向上之
单位矢量。 13
本节小结
电场的定义 叠加原理 点电荷、线电荷、面电荷、体电荷 电场的计算
11
面电荷
电荷面密度 lim q dq
S0 S dS
dq为面元 dS 上所具有的电荷量
σ 的单位为库仑每平方米(C/m2)
电荷沿空间曲面S连续分布
空间任一点的电场强度为
E
S
dS 4 0R2
R0
R为面元
dS
至研究点的距离
R0 为面元 dS 指向研究点方向上的单位矢量。
§1-11
§1-12 静电场的边值问题
3
§1-1 电场与电场强度
一、电场的物质性
电场与电场强度
带电体周围的空间，存在着一种特殊形态的 物质——电场
当电荷(或带电体)进入电场时，电荷将受到电 场给予的力，通常称之为电场力
电场能对电荷施力作功，说明电场具有能量， 这是电场物质性的重要表现。两点电荷间(或两带 电体间)的力，正是通过电场而进行传递的。
静电场的求解： 边值问题－边界条件
泊松方程 拉普拉斯方程
2
第一章 静电场(一)
§1-1 电场与电场强度
§1-2
§1-3 电场的图示
§1-4 真空中的高斯通量定理
§1-5 电介质中的高斯通量定理
§1-6 §1-7
电场强度 的环路定理与电位函数
电位梯度
E
§1-8 静电场的边界条件
§1-9
§1-10 微分形式的电场强度环路定理
定义：力－叠加原理 点电荷电场强度－线、面、体积分－线 电 荷、面电荷、体电荷分布的电场强度
电荷任意分布时电场强度计算思路列表
14
例1-1 真空中长度为2L的均匀带电直线，它所带的电 荷量为q，试确定直线外任一点处的电场强度。
解：建立一直角坐标系
坐标原点o位于带电直线 的中点
电场对带电直线作轴对称 分布
研 究 坐 标 平 面 xoz 上 的 电 场分布具有普遍性
取圆柱坐标系α ＝0的半 平面上任一点P，令其圆柱坐 标为(r，0，z)，此点即在平面 xoz上。
15
线电荷密度τ为
q
2L
线电荷元dq=τdl在场点P处场强
dE的方向是不同
dEz
dE
cos
dl 4 0R2
cos
2. 说明 5
三、点电荷的电场强度
电场与电场强度
1. 库仑力,库仑定律
F21
F12
q1q2
4 0R2
R21F21 q2 F12 q1
q1
4 0R2
q2
4 0R2
R210 R120
6
电场与电场强度
2. 点电荷电场强度
E
q
1 4 0 r csc 2
4
0r
(sin2
9
§1-2 电 场 的 叠 加 原 理
电场的叠加原理
一、电场的叠加原理
“力”服从叠加原理
电场强度是单位正点电荷所受的电场力。线性媒质（在 媒质电容率与场强无关)中，电场强度亦服从叠加原理。
在由若干个点电荷共同激发的电场中，任一点的电场强 度，等于每一个点电荷单独存在时，该点所具有的电场强度的 矢量和(矢量叠加)。这一结论称之为场的叠加原理。
4 0R2
R0
R0 为从点电荷q指向场中任意被研究点的单位矢量
注意：(1)这一表达式只适用于点电荷的情况。
(2)在数学中的“点”没有大小而仅有几何 位置。在实际问题中，只要判定带电体的几何尺寸远 小于带电体至被研究点的距离时，不管带电体的形状 如何。库仑定律都适用。
7
电场与电场强度
例：真空中XOY平面上有三个点电荷，已知他们所带的 电量和位置，试确定坐标原点处的电场强度。
dEr
dE sin
dl 4 0R2
sin
R r / sin r csc
l z rctg
dl r csc2 d
l、R、θ对于不同的线电荷元都是变量，有联系
可统一用一个变量θ来表示
16
点P处场强的z轴分量Ez为
Ez
L
L dEz
2 r csc2 cosd