静电场的边界条件
2.6静电场的边界条件
1 2 lim E dl lim( E1n
12 1 d 0
2
d d E2 n ) 0 2 2
因此
图2.6.5电位的衔接条件
1 2
2 n
表明: 在介质分界面上，电位是连续的。
D1n 1 E1n 1
1 n
,
D2 n 2 E2 n 2
( D E )
E dl 0 D dS q
l
S
A 3 xe x 4 ye y 5 ze z ，
ey y Ay
试判断它能否表示个静电场？
解：根据静电场的旋度恒等于零的性质,
ex A x Ax
ez Ay Ax Ax Az Az Ay z ( y z )e x ( z x )e y ( x y )e z 0 Az
D2 n D1n E1t E2 t
图2.6.3 导体与电介质分界面
D2 n E2 t 0
表明：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分 量；（2）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷密度 。 在交界面上不存在 时，E、D满足折射定律。
二、电位移矢量D的边界条件 以分界面上点P作为观察点，作一 小扁圆柱高斯面（ L 0）。 根据
D dS q
D1n S D2 n S S
D2 n D1n
则有
图2.6.1 在电介质分界面上应用高斯定律
分界面两侧的 D 的法向分量不连续。当
0
时，D 的法向分量连续。
1 E1 2 E2
E1d1 E2 d 2 U0
静电场的边界条件
静电场的边界条件一、介绍静电场是电荷相互作用的结果，它在物理学中有着重要的应用。
在讨论静电场的问题时，我们需要考虑边界条件，即影响电荷分布和电场分布的物体或介质的边界条件。
本文将对静电场的边界条件进行全面、详细、完整的探讨。
二、电场的基本概念回顾在深入讨论静电场的边界条件之前，我们先回顾一下电场的基本概念。
电场是指空间中某一点周围的电力场，它由电荷所产生。
电场的强度用电场强度表示，通常用符号E表示，其单位为N/C（牛顿/库仑）。
电场的方向是从正电荷指向负电荷。
三、边界条件的意义静电场的边界条件对于解决各种实际问题非常重要。
在处理实际问题时，我们常常需要考虑到材料接触面上的边界条件，以确定电场分布和电荷分布。
四、电场的边界条件在讨论静电场的边界条件时，我们主要关注以下几个方面：4.1 自由边界条件自由边界条件指在物体表面没有约束电荷和电场的存在。
在这种情况下，电荷和电场可以自由传播。
4.2 导体表面的边界条件导体表面的边界条件是我们最常见的一种情况。
导体表面上，电场与导体表面垂直。
这是因为在导体表面上，导体内部的电荷会受到表面电荷的驱动，沿着导体表面朝水平方向运动，最终达到平衡状态。
4.3 介质表面的边界条件介质表面的边界条件与导体表面的边界条件相似，但不完全相同。
在介质表面上，电场仍然与表面垂直，但电场的强度在介质表面的两侧有所变化。
4.4 电势的边界条件电势是电场的一种特殊形式，它表示单位正电荷在电场中移动所具有的能量。
在讨论边界条件时，我们也需要考虑电势的变化情况。
五、总结静电场的边界条件是解决静电场问题的关键之一。
在实际问题中，我们需要根据具体情况来确定相应的边界条件。
不同的边界条件将会对电场和电荷分布产生影响，因此我们必须认真考虑边界条件的选择和分析。
通过对静电场的边界条件的全面、详细、完整的探讨，我们可以更好地理解和应用静电场的理论，解决实际问题。
关于静电场和恒定磁场的边界条件的几点讨论
关于静电场和恒定磁场的边界条件的几点讨论赵东广（安徽大学 文典学院 安徽 合肥 230039）摘要：本文对不同介质组成的静电场和恒定磁场场域的边界条件进行了整理和讨论，并用高斯定理等对两种介质分界面上的电磁场边值关系进行了简洁推导并以这种普遍关系为基础导出了理想导体表面上的边界条件，并对该边界条件做了详细说明。
关键词：静电场，恒定磁场，边界面。
引言：对于不同媒质所组成的电磁场场域在分界面上介质性质有突变，则电磁场在分界面两侧发生突变。
而我们把分界面电磁场突变关系称为电磁场的边值关系或边界条件。
1 静电场的边界条件1.1 法向边界条件或 ，如果界面上没有自由电荷，即，边界条2121()S S D n S D n S q S n D D ρρ⋅∆-⋅∆==∆⋅-=21n n S D D ρ-=0S ρ=2121()00n n n D D D D ⋅-=-=件变为 或 。
1.2 切向边界条件即静电场的切向分量连续，意味着电位连续，即 ，又因为所以法向分量的边界条件用电位表示为在 时，则即为静电场的折射定律。
导体内的静电场在静电平衡时为零，设导体外部的场为E ，D ，导体的法向量为n ，则导体表面的边界条件简化为 。
2 恒定磁场的边界条件2121()0t tn E E E E ⨯-==21ϕϕ=nE D n E D n n n n ∂∂-==∂∂-==2222211111ϕεεϕεεSnnρϕεϕε=∂∂-∂∂22110S ρ=2121tan tan εεθθ=0=t E S n D ρ=2.1 法向边界条件 即 ，SB d s ⋅=⎰120B n S B n S -⋅∆+⋅∆=12n nB B =2.2 切向边界条件即 当分界面上没有自由电流时， ，当分界面两边为理想介质，分界面上无自由电流，则上式表面媒质两边的磁场方向与媒质本身特性有关。
下面我们讨论几种特殊情况l J l H l H S t t ∆=∆-∆21S t t J H H =-210S J = tt H H 21=12n H n H ⨯=⨯ 12n nB B =tt H H 21=1221112212tan tan μμθθ===nn nt n t H H H H H H1 若当媒质1为空气，媒质2为铁磁媒质。
静电场的边界条件
E d E d U 1 1 2 2 0 2 U 0 E a 1 x d d 12 21
U 1 0 E a 2 x d d 12 21
S1 E ax 1 E 2
S1 S2 1 2
S S
1
电磁场理论基础第二章
0 2
2 C
例 如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知 上总电荷 ,试分别求其中的电场强度。
2
和q0 ,
且填充介质为均匀的。图(a)已知极板间电压U0 , 图(b)已知极板
（ a）
（ b）
解：忽略边缘效应 图（a）
s
1 1 n
图（b）
S S q S 1 1 S 2 2 0
n 1 1 2 2 S
2 1 2 1 S n n
E E n 1 1 2 2 S
E E 1 1 n 2 2 n S
1、两种媒质为电介质，且 分界面上无自由面电荷。
2-32 在介电常数为 的无限大均匀介质中存在电场强度 E ， 0 今在其内开如下的空腔，求空腔中心处附近的 E 和 D： ①平行于的 E0 细长圆柱空腔； ②底面垂直于 E0的薄圆片形空腔。
电磁场理论基础第二章
解：① 由切向场分量的边界条件：通过界面时，
的切向分量连续。 E
n n
2 C
二、切向边界条件
n l1
1
1
E1
l2
E 1 1
E 2 2
E d l E l sin E l sin 0 1 1 1 2 1 2
静电场的边界条件
1
Φ1 n
2
Φ2 n
1 = 2
四. 理想导体表面的边界条件
n E,D
当分界面为导体与电介质的交界面时，由
于导体内电场和电位移矢量均为零，所以
分界面上的衔接条件变为：
D2 = E2 = 0
n• D s
Dn s
Φ n
s
nE 0
结论：
Et 0
Φ c
1导体表面是一等位面；电力线与导体表面垂直，电场强度 只
第 2 章 静电场
2.5 静电场的边界条件
2.5.1 静电场的边界条件
• 介质表面存在的束缚电荷：
ps P • n s
n—介质的外法线方向
n
0
• 两种介质分界面上存在的束缚电荷：
n
ps P2 • n s P1 • ( n ) s (P2 P1) • n s
1 2
n—由介质2指向介质1
1
1
n
2
2
n
s
表明: 一般情况下，介质分界面上电位的导数是不连续的。
总结
不同介质分界面上的边界条件（衔接条件）为
特别注意：下式中 n 的方向为由介质2指向介质1
D1n- D2n = s E1t = E2t
（s= 0）
D1n= D2n E1t = E2t
1
Φ1 n
2
Φ2 n
s
1 = 2
（s= 0）
D2
•
nS
sS
s 自由电荷面密度
D1n n D1
1 S
1
2
h
D2
2
D2n
∴ n • ( D 1 D2 ) s 或 D1n- D2n = s Normal
.静电场的边界条件
或
D2 n D1n 0
第二章 静 电 场
图 2 - 10 切向边界条件
第二章 静 电 场
E dl E l E l 0 1 1 2 2
l
因为Δl2=l°Δl，Δl1=-l°Δl, l°是单位矢量，上式变为
( E2 E1 ) l 0
注意到n⊥l°，故有
第二章 静 电 场 解：
E1 E2 Eer
21r 2 E1 2 2 r 2 E2 2 (1 2 ) r 2 E q q E 2 (1 2 ) r 2
在半径为r的球面上作电位移矢量的面积分，有
1q D1 er 2 2 (1 2 ) r 2q D2 er 2 (1 2 ) r 2
第二章 静 电 场 在ρS=0时，
1 2 1 2 0 n n
设区域 1 和区域 2 内电力线与法向的夹角分别为θ1、θ2，
tan1 1 tan 2 2
导体的外法向为n，则导体表面的边界条件简化为
导体内的静电场在静电平衡时为零。设导体外部的场为E、D，
Et 0
n ( E2 E1 ) 0 E2t E1t
第二章 静 电 场 场强度的切向分量连续，意味着电位是连续的，即
1 2
由于
1 D1n 1E1n 1 n 2 D2 n 2 E2 n 2 n
法向分量的边界条件用电位表示为
1 2 1 2 S n n
Dn S
第二章 静 电 场 例 2-9 同心球电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为 b，其间填充两种介质，上半部分的介电常数为ε1，下半部分的 介电常数为ε2，如图 2 - 11 所示。设内、外导体带电分别为q和-q， 求各部分的电位移矢量和电场强度。
27-28静电场边界条件(10学时).
§2.8 导体系统的电容
电磁场与电磁波
1
§2.7 静电场的边界条件
问题的提出
一般情况下求电位或场强 两个“方程”：
无源——Laplace’s Equation 有源——Poission’s Equation
边值问题：在给定边界条件下求解偏微分方程。
边界条件就是不同介质(或导体)分界面两侧的场量之间 的关系。
边界条件的作用：
确定方程的解中的待定因素； 使方程通解成为适用于具体问题的特解。
电磁场与电磁波
2
边界的分类
边界的分类：
第1类: 已知整个边界上的电位
Dirichlet Problems 狄理赫利问题
第2类: 已知整个边界上电位的法导
Neumann Problems 纽曼问题
第3类: 已知部分边界电位+另一部分边界电位法 导
电磁场与电磁波
8
介质分界面上电位的连续性
a1n
b
E1
a E2
a2 n
1 2
b a lim E dl lim Em h 0
ba b h0
a
b a
电磁场与电磁波
9
电介质的边界条件-小结
1. 法向：
D1n D2n s
2. 切向：
a 3 2 (r ) 3 0 r
0ra ar
电场强度（球坐标梯度公式）：
E1 (r ) 1
1 r er er r 3 0
0ra
2 a 2 E2 (r ) 2 er e 2 r r 3 0 r
ar
对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程 积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由 得到电场强度 E E的分布。 电磁场与电磁波 12
静电场的边界条件
0 2
1E 1 n S
n n
2 C
二、切向边界条件
n l1
1
1
E1
l2
E 1 1
E 2 2
E d l E l sin E l sin 0 1 1 1 2 1 2
C
E 1 t E 2t
第二章 静电场
2.1 库仑定律与电场强度 2.2 静电场的散度
2.3 静电场的旋度
2.4 电介质的极化
2.5 介质中静电场的基本方程 2.6 静电场的边界条件
2.7 静电场的能量
一、法向边界条件
n
1
S
D1
h
E 1 1
E 2 2
E E d,S,S, 1 1 2 2d, D D D n 或 D
1、两种媒质均为电介质，且 分界面上无自由面电荷。
D n D n或 D 1 n D 2 n 1 2
2、媒质2为导体，媒质1为电介质。 n E 0 D 1 S 2
2 1 E E 1 1 n 2 2 n 2 1 n n
2-32 在介电常数为 的无限大均匀介质中存在电场强度 E ， 0 今在其内开如下的空腔，求空腔中心处附近的 E 和 D： ①平行于的 E0 细长圆柱空腔； ②底面垂直于 E0的薄圆片形空腔。
电磁场理论基础第二章
解：① 由切向场分量的边界条件：通过界面时，
的切向分量连续。 E
D 1t 0
0 2
2 C
例 如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知 上总电荷 ,试分别求其中的电场强度。
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∴ n (D1 D2 ) s 或 D1n- D2n = s Normal
完纯介质分界面上，s= 0，则
n D1 n D2
或
D1n= D2n
二．不同介质分界面上切线方向的边界条件
n E1t E1
1 l
1
h
2 E2 2
c
E2t
Tangential
E
c
dl
E1
l
E2
l
0
l = s n l
在界面上，矢量场基本方程的微分形式不再适用
但积分形式仍然成立 SD dS q cE dl 0
边界条件: 两种介质分界面上，矢量场所满足的关系。
一．不同介质分界面上法线方向的边界条件
SD dS q
D S
பைடு நூலகம்
dS
D1
nS
D2
nS
sS
s 自由电荷面密度
D1n n D1
1 S
1
2
h
D2
2
D2n
n E,D
当分界面为导体与电介质的交界面时，由
于导体内电场和电位移矢量均为零，所以
D2 = E2 = 0
分界面上的衔接条件变为：
n D s
Dn s
Φ n
s
nE 0
Et 0
Φ c
结论：
（1）导体表面是一等位面；电力线与导体表面垂直，电场强度
只能垂直与导体表面；
（2）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷面密度 s。
E1 ( s n ) l = E2 ( s n ) l
s (n E1) = s (n E2)
回路 c 任意，所围s 也任意
n l s
∴ n E1 = n E2
-l
E1sin 1 = E2 sin 2 或 E1t = E2t
三．用电位表示的介质分界面边界条件
1.切向:
设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间
第 2 章 静电场
2.5 静电场的边界条件
2.5.1 静电场的边界条件
介质表面存在的束缚电荷：
ps P n s
n—介质的外法线方向
n
0
两种介质分界面上存在的束缚电荷：
n
ps P2 n s P1 (n) s (P2 P1) n s
1 2
n—由介质2指向介质1
ps 的存在使 E、D 发生突变，因而场量不连续
五．折 射 关 系
两种理想（完纯）介质的分界面上，
一般不存在自由电荷，s= 0
1
D1n= D2n
1E1 cos1 2E2 cos2 2
E1t E2t
E1 sin1 E2 sin2
E2
tan 1 1 tan 2 2
折射定律
n
1
E1
2
距为d，d →0, 则
1
2
lim 12
2
E
dl
1
ldim0(E1n
d 2
E2n
d 2
)
0
∴ 1 2
2.法向:
表明: 在介质分界面上，电位是连续的。
D1n
1E1n
1
1
n
,
D2n
2E2n
2
2
n
D1n- D2n = s
1
1
n
2
2
n
s
表明: 一般情况下，介质分界面上电位的导数是不连续的。
总结
不同介质分界面上的边界条件（衔接条件）为 特别注意：下式中 n 的方向为由介质2指向介质1
D1n- D2n = s E1t = E2t
（s= 0）
D1n= D2n E1t = E2t
1
Φ1 n
2
Φ2 n
s
1 = 2
（s= 0）
1
Φ1 n
2
Φ2 n
1 = 2
四. 理想导体表面的边界条件