“不定积分的概念与性质”教案
不定积分的概念与性质ppt课件
例4 求 tan2 xdx
例6 求
1 sin2 x cos2 x dx
22
小结
一、不定积分的概念
（原函数、不定积分的定义及几何意义）
二、不定积分的性质
（互逆性质、线性性质）
三、直接积分法
可导函数F(x),使对任一 x I 都有F ( x) f ( x)
➢唯一性
(F(x)) f (x) (F(x) C) f (x)
若函数f(x)在区间I上存在原函数，则原函数不唯一
➢结构
F(x)的一个原函数
{f (x)的原函数} {F(x)+C} 设( x)是f (x)的另一个原函数任,则意常数( x) F( x) C
三、直接积分法举例
(8)
dx cos 2
x
sec2
xdx
tan x C
(9)
d sin
x
2
x
csc2
xdx
cot x C
(10) sec x tan xdx sec x C (11) csc x cot xdx csc x C (12) ex dx ex C (13) a xdx a x C
( k 为常数)
(2)
x dx
1
1
x
1
C
( 1)
(3)
dx x
ln
x
C
(4)
1
dx x
2
arctan
x
C
或 arc cot x C
(5)
dx arcsin x C 1 x2
或 arc cos x C
(6) cos xdx sin x C (7) sin xdx cos x C
ln a
《高职应用数学》教案 第22课 不定积分的概念与性质
第22课不定积分的概念与性质积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数．由以上定义可知，若()()F x f x'=，则有()d()f x x F x C=+⎰．求2dx x⎰．解由于323xx'⎛⎫=⎪⎝⎭，即33x是2x的一个原函数，因此231d3x x x C=+⎰．（例2、例3详见教材）【学生】理解原函数和不定积分的定义第二节课讲授新课（22 min）【教师】通过图形介绍不定积分的几何意义当积分常数C取不同值时，不定积分表示的不是一个函数，而是一族函数．从几何上看，它们代表一族曲线，称为函数()f x的积分曲线族，如图5-11所示．图5-11积分曲线族具有以下两个显著的特点：（1）积分曲线族中所有的曲线都可以由其中任意一条曲线沿着y轴的方向上下平移得到；（2）对应同一横坐标x的点，其所有切线互相平行．【教师】介绍13个基本积分公式和不定积分的性质，并通过例题讲解基本积分公式的运用在导数知识的基础上，我们可以利用积分与导数互为逆运算的性质得到以下一些常用的积分公式．（1）d k x kx C=+⎰；（2）11d(1)(1)n nx x x C nn+=+≠-+⎰；学习不定积分的几何意义和性质，基本积分公式及其应用。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化例1（3）1d ln ||x x C x=+⎰；（4）1d ln x xa x a C a=+⎰； （5）e d e x x x C =+⎰；（6）cos d sin x x x C =+⎰； （7）sin d cos x x x C =-+⎰；（8）221d sec d tan cos x x x x C x==+⎰⎰； （9）221d csc d cot sin x x x x C x==-+⎰⎰；（10）sec tan d sec x x x x C =+⎰； （11）csc cot d csc x x x x C =-+⎰；（12）21d arcsin 1x x C x =+-⎰；（13）21d arctan 1x x C x =++⎰．注：以上13个公式为积分常用公式，请熟记． 不定积分的性质如下： （1）被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号前面，即()d ()d kf x x k f x x =⎰⎰ (0k ≠)．（2）两个函数代数和的不定积分等于这两个函数不定积分的代数和，即1212[()()]d ()d ()d f x f x x f x x f x x ±=±⎰⎰⎰．性质（2）可以推广到任意有限多个函数代数和的情形．求221sin d 1x x x x ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭⎰．解 222211sin d d sin d d 11x x x x x x x x x x ⎛⎫+-=+- ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 31cos arctan 3x x x C =--+．（例5～例11详见教材）例4。
第一节-不定积分的概念与性质
第一节 不定积分的概念与性质教学目的：使学生了解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的性质。
教学重点：原函数与不定积分的概念。
教学难点：原函数的求法。
教学内容：一、原函数与不定积分的概念定义1 如果对任一I x ∈，都有)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(=则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。
例如：x x cos )(sin ='，即x sin 是x cos 的原函数。
2211)1ln([x x x +='++，即)1ln(2x x ++是211x +的原函数。
原函数存在定理：定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任一I x ∈，有)()(x f x F ='。
评注：⑴如果)(x f 有一个原函数，则)(x f 就有无穷多个原函数。
设)(x F 是)(x f 的原函数，则)(])([x f C x F ='+，即C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。
⑵如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则)(x F 与)(x G 之差为常数，即C x G x F =-)()( （C 为常数）⑶ 如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数，则C x F +)(（C 为任意常数）可表达)(x f 的任意一个原函数。
定义2 若函数F (x ),是f (x ) 在区间I 上,的一个原函数，则表达式()F x C +（其中C 为任意常数）称为()f x 在区间I 上的不定积分, 记作⎰dx x f )(. 其中⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。
例1：因为 23)3(x x ='， 得 ⎰+=C x ds x 332例2：因为，0>x 时，x x 1)(ln ='；0<x 时，xx x x 1)(1])[ln(='--='-，得 x x 1)||(ln ='，因此有⎰+=C x dx x||ln 1例3：设曲线过点)2,1(，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。
不定积分的概念教案
不定积分的概念教案Lesson Plan on the Concept of Indefinite Integral教学目标：1.了解不定积分的基本概念及意义。
2.掌握不定积分的符号表示和性质。
3.学会计算基本的不定积分。
教学内容：Introduction:In this lesson, we will introduce the concept of indefinite integral and understand its significance.We will also explore the notation and properties of indefinite integrals.引入：本节课我们将介绍不定积分的基本概念及其意义。
我们将探讨不定积分的符号表示和性质。
Section 1: Definition and Significance of Indefinite Integral1.1 Definition:An indefinite integral of a function f(x) is a function whose derivative is f(x), and it is denoted by ∫f(x)dx.The process of finding an indefinite integral is called antiderivative.1.2 Significance:Indefinite integrals play a crucial role in calculus.They are used tosolve problems involving area, volume, and accumulation.They also provide the foundation for calculating definite integrals, which are used to find exact values of functions.1.1 定义：函数f(x)的不定积分是一个导数为f(x)的函数，用符号∫f(x)dx表示。
不定积分-教案
不定积分 的几何意义就是，其表示了 的一族积分曲线 .这族积分曲线可由积分曲线 向上或向下平移得到，且在相同的横坐标的点处，任一曲线的切线有相同的斜率，即有平行的切线.
4.1.3基本积分公式表
1.求原函数或不定积分与求导数或求微分互为逆运算.
(1) ，或 ;
(2) ，或 .
（2） ；
（3） ；
（4） ;
（5） ;
（6） ;
*（7） ;
*（8） ;
*（9） ;
*（10） ．Biblioteka 授课序号03教 学 基 本 指 标
教学课题
第4章第3节分部积分法
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
分部积分法
教学难点
分部积分法
参考教材
作业布置
课后习题微积分标准化作业
例题讲解
例4.38求不定积分 ．
例4.39求不定积分 ．
例4.40求不定积分 ．
注多次使用分部积分时， 和 的选取类型要与第一次的保持一致，否则将回到原积分.本例选取幂函数为 ，正(余)弦函数为 ．并两次使用了分部积分法．
分部积分法的使用熟练后， 与 的选取不必写出，只要把被积表达式凑成 的形式，即可使用分部积分公式．
大纲要求
熟练掌握分部积分法.
教 学 基 本 内 容
定理4.4设 ， 在区间 上都有连续的导数，则有 ，即 ，简记为 ．
注1.分部积分法应用的基本步骤可归纳为：
= ．
2. 和 的选取非常关键．选取 和 一般要遵循下面两个原则：
(1)由 要容易求得 ；
(2) 要比 容易积分．
不定积分教案范文
不定积分教案范文一、教学目标：1.熟练掌握不定积分的概念和性质。
2.能够运用基本积分公式求不定积分。
3.能够运用换元法、分部积分法、有理函数积分法等方法求解不定积分。
4.能够运用不定积分的性质解决实际问题。
二、教学内容：1.不定积分的基本概念和性质。
2.基本积分公式及其运用。
3.换元法求不定积分。
4.分部积分法求不定积分。
5.有理函数积分法求不定积分。
6.不定积分的应用。
三、教学过程：1.不定积分的基本概念和性质：不定积分是微积分中的重要内容，是函数的一个全体定义域上的原函数集合。
具体来说，设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，则函数 F(x)在区间 [a, b] 上的不定积分是 f(x) 的一个原函数，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中 F(x) 称为 f(x) 的一个原函数，C 为任意常数。
不定积分具有以下性质：（1）积分的线性性质：∫[af(x)+bg(x)]dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx；（2）积分和求导的逆关系：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则F'(x)=f(x)；（3）换元积分法：设 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，g(x) 是可导函数，则∫f[g(x)]g'(x)dx=F[g(x)]+C；（4）分部积分法：设 F(x) 和 G(x) 分别是 f(x) 和 g(x) 的原函数，则∫f(x)g'(x)dx=F(x)g(x)-∫F'(x)g(x)dx。
2.基本积分公式及其运用：（1）常数函数积分：∫kdx=kx+C，其中 k 为常数。
（2）幂函数积分：∫x^n dx=(n+1)x^(n+1)/(n+1)+C，其中 n 为任意实数，n ≠ -1（3）指数函数积分：∫e^xdx=e^x+C。
（4）三角函数积分：a. ∫sinxdx=-cosx+C；b. ∫cosxdx=sinx+C。
（5）倒数函数积分：∫1/xdx=ln，x，+C。
微积分 不定积分 教案
微积分不定积分教案一、教学目标1. 理解不定积分的概念和物理意义。
2. 掌握基本积分公式和积分方法。
3. 能够运用不定积分解决实际问题。
二、教学内容1. 不定积分的定义和性质。
2. 基本积分公式：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的积分。
3. 换元积分法：代数换元、三角换元。
4. 分部积分法。
5. 积分在物理、经济学等领域的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：不定积分的概念、性质和基本积分公式。
2. 难点：换元积分法、分部积分法的运用。
四、教学方法与手段1. 采用讲授法，讲解不定积分的概念、性质和积分方法。
2. 利用多媒体课件，展示积分过程和应用实例。
3. 引导学生通过讨论、练习，巩固所学知识。
五、教学安排1. 第一课时：介绍不定积分的定义、性质和基本积分公式。
2. 第二课时：讲解换元积分法。
3. 第三课时：讲解分部积分法。
4. 第四课时：举例分析不定积分在实际问题中的应用。
5. 第五课时：课堂练习和总结。
六、教学评估1. 课堂练习：布置相关的不定积分题目，检查学生对基本积分公式和积分方法的掌握程度。
2. 课后作业：布置综合性的不定积分题目，要求学生在课后完成，以检验学生对课堂内容的理解和应用能力。
3. 课堂讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，提问和解答问题，评估学生对不定积分概念的理解和分析问题的能力。
七、教学资源1. 教材：选用权威的微积分教材，提供系统的理论知识。
2. 多媒体课件：制作精美的多媒体课件，通过图像、动画等形式展示积分过程，增强学生的直观理解。
3. 练习题库：整理一套丰富的练习题库，包括不同难度层次的题目，以满足不同学生的学习需求。
4. 应用案例：收集一些实际问题，用于讲解不定积分在实际中的应用。
八、教学建议1. 强化基础知识：在学习不定积分之前，确保学生掌握了函数、极限、导数等基本概念，以便能够顺利理解不定积分的性质和计算方法。
2. 逐步引导：从简单的积分公式开始，逐步引导学生掌握更复杂的积分方法，避免一开始就给出复杂的公式和方法，让学生能够逐步建立信心。
高职高等数学教案第四章不定积分
第四章 不定积分§4-1 不定积分的概念与性质一、不定积分的概念1.原函数定义定义1：如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任一xI ，都有()()F x f x 或()()dF x f x dx ，则称()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数。
例：(sin )cos x x ，则sin x 是cos x 的一个原函数；1(sin 1)(sin )(sin 3)cos 2x xx x ，则都是cos x 的原函数。
2.原函数性质定理1：如果()f x 在区间I 上连续，则在该区间原函数一定存在。
定理2：如果()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C 是()f x 的全体原函数，且任一原函数与()F x 只差一个常数。
例：验证2211cos 2,sin 2,cos 233x x x 都是sin 2x 的原函数 证：2211(cos 2)sin 233(sin 2)sin 2(cos 2)sin 2x x x x xx，则三个函数都是sin 2x 的原函数3.不定积分定义定义2：()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()f x dx ，其中称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。
说明：如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则()F x C 就是()f x 的不定积分，即()()f x dxF x C例1：求23x dx解：因为32()3x x ，所以3x 是23x 的一个原函数则233x dx x C例2：求1dx x解：当0x时，1(ln )x x当0x 时，11ln()x xx 所以1 ln ||(0)dx x C xx4.不定积分几何意义在相同横坐标的点处切线是平行的，切线斜率都为()f x ，可由()yF x 沿y 轴平移得到。
例：一条积分曲线过点(1,3)，且平移后与231y x x 重合，求该曲线方程解：设2()31f x x x C由于曲线过(1,3) 则3131C ，2C2()31f x xx二、不定积分性质性质1：[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx性质2：()(0)()0(0)kf x dx k kf x dxdxC k性质3：(())(),()()f x dx f x f x dx f x C三、基本积分表(1)kdx kx C (k 是常数) (2)111ααx dxx C α(3)1ln ||dx x C x (4)x xe dx e C (5)ln x xa a dxC a(6)sin cos xdxxC(7)cos sin xdx x C (8)221sec tan cos dx xdx x C x(9)221csc cot sin dx xdx x C x (10)sec tan sec x xdx xC(11)csc cot csc x dx xC (12)21arctan 1dxx C x(13)21arcsin 1dx x C x例1：求51dx x解：55154111514dx x dxx CC x x例2：求x xdx解：313522223512x x xdx x dxCx C例3：求3(sin )xx dx解：433(sin )sin cos 4x x x dx xdxx dxxC例4：求2(1)x dx x解：22(1)211(2)x x x dx dx x dx xx x2122ln ||2x xdx dxdx xx C x注：根式或多项式函数需化成αx 形式，再利用公式。
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“不定积分的概念与性质”教案
教案：不定积分的概念与性质
一、教学目标
1.理解不定积分的概念，能够正确地定义不定积分。
2.掌握不定积分的基本性质，能够正确地应用不定积分求解一些简单的函数积分。
3.培养学生的逻辑思维能力和数学分析能力。
二、教学重点
1.不定积分的概念和定义。
2.不定积分的基本性质。
三、教学难点
1.不定积分的概念和定义的理解。
2.不定积分的基本性质的掌握和应用。
四、教学过程
1.引入（5分钟）
请学生回顾在微积分第一节课中所学的导数的概念和定义，提醒学生导数与积分的关系。
2.概念讲解（20分钟）
解释不定积分的概念，即初等函数的原函数。
示意图解，帮助学生理
解不定积分的几何意义。
引导学生注意不定积分的一般形式f(x)dx中，
f(x)的变量是x，x是积分变量。
3.定义说明（25分钟）
通过具体的例子和讲解，引导学生理解不定积分的定义并能够正确地
定义不定积分。
4.基本性质的讲解（20分钟）
讲解不定积分的一些基本性质，如线性性质、常数性质、分部积分法等。
通过具体的例子演示和讲解，引导学生掌握这些基本性质，并能够正
确地应用。
5.练习（20分钟）
布置一些基本性质练习题，让学生独立完成。
通过做题，巩固和拓展
学生对不定积分的理解和掌握。
6.拓展延伸（10分钟）
让学生思考不定积分与定积分的关系，引导学生思考什么条件下不定
积分可以变成定积分。
7.总结与反思（10分钟）
对本节课内容进行总结，检查学生对不定积分概念和性质的掌握情况。
针对学生可能存在的困惑和问题进行解答和引导。
五、作业布置
1.完成课堂练习题。
2.预习下一节课内容。
六、板书设计
不定积分的概念与性质
概念：
不定积分的定义
性质：
1.线性性质
2.常数性质
3.分部积分法
七、教学反思
本节课通过引入导数和积分的关系，让学生能够更容易理解不定积分的概念。
通过具体的例子和讲解，引导学生正确地定义不定积分，并能够掌握不定积分的基本性质。
通过练习题的布置，巩固和拓展学生对不定积分的理解和应用能力。
在教学过程中，结合具体例子和图解，注重概念的引入和性质的讲解，帮助学生更好地理解和掌握不定积分的概念和性质。