高中数学抛物线课件
新教材2023版高中数学第二章平面解析几何2.7抛物线及其方程2.7.1抛物线的标准方程课件
答案： C
解析：如图所示，过点P作PM⊥准线l，垂足为M， 则|PF|＝|PM|，当且仅当A，P，M三点共线时， |PF|＋|PA|取得最小值|AM|＝2＋32＝3.5.
(3)若位于y轴右侧的动点M到F(12，0)的距离比它到y轴的距离大12.求 点M的轨迹方程．
解析：设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，
由抛物线定义得5＝|AF|＝
m
+
p 2
.
又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
题型2 抛物线定义的应用 【思考探究】
1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，这句话的含义是什么？ [提示] 抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M； 一个定点F，即抛物线的焦点；一条定直线l，即为抛物线的准线；一个定 值，即点M与点F的距离和M到l的距离之比等于1.定点F不能在直线上，否 则，动点M的轨迹就不是抛物线． 2．如何通过抛物线定义实现距离转化？ [提示] 根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准 线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从 而简化某些问题． 3．如何利用抛物线定义解决与抛物线有关的最值问题？ [提示] 在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用 抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
方向也随之确定．
基础自测
1.抛物线x＝－18y2的焦点坐标是(
)
A．(－2，0) B．(2，0)
C．(0，312)
D．(0，－312)
答案：A
2．抛物线x2＝4y的准线方程是( ) A．x＝1 B．x＝－1 C．y＝1 D．y＝－1
抛物线课件-2025届高三数学一轮复习
A. 2
B. 3
[解析]
2
C. 4
2
D. 8
由题意，知抛物线的焦点坐标为( ，0)，椭圆的焦点坐标为(±
2
所以 ＝ 2 ，解得 p ＝8，故选D.
D )
2 ，0)，
5. 已知抛物线 y 2＝2 px ( p ＞0)的焦点为 F ，点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，则
｜MF｜＝(
A. 2
2
即 p ＝2，所以A选项正确.
＝ − 3（ − 1),
对于B，不妨设 M ( x 1， y 1)， N ( x 2， y 2)， x 1＜ x 2，联立方程得 2
= 4，
1
消去 y 并整理得3 x 2－10 x ＋3＝0，解得 x 1＝ ， x 2＝3.由抛物线的定义得，｜ MN｜＝
x 1＋ x 2＋ p ＝
B )
B. 3
C. 4
D. 5
[解析] 因为点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，所以将点 M 的坐标代入抛物线的方程
y 2＝2 px ( p ＞0)，可得 p ＝2，所以抛物线的方程为 y 2＝4 x ，可得其准线方程为 x ＝
－1.根据抛物线的定义，得｜ MF ｜＝2－(－1)＝3.故选B.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
1
S △ AOB ＝ ×｜ AB ｜× ×
2
2
由(2)的推导过程可得，
sin
1
｜｜
2
＋
＝ 2 ，
1−cos
1+cos
si
1
2
α＝ × 2 × ×
2
si
2
＋
高中数学抛物线的几何性质总结课件
开口方向与开口大小的关系
开口方向与开口大小的相互影响
开口方向和开口大小是相互影响的，一般来说，向上开口的抛物线开口会逐渐变小，向下开口的抛物线开口会逐 渐变大。
特殊情况下的关系
当a=0时，抛物线退化为一条直线，此时开口方向和大小无法定义。
04 抛物线的对称性
抛物线的对称轴
抛物线关于其对称轴对称，对称轴是 一条垂直于x轴的直线。
对称轴是抛物线几何性质的一个重要 特征，它决定了抛物线的形状和位置 。
对于标准形式的抛物线 y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程是 x=-b/2a。
抛物线的对称中心
抛物线的对称中心是其顶点的位 置，顶点坐标可以通过二次函数 的顶点式y=a(x-h)^2+k得到。
抛物线上的任意一点 到焦点的距离等于该 点到准线的距离。
抛物线的标准方程
开口向右的抛物线方程为 $y^2 = 2px$，其中 $p$ 是焦 距。
开口向左的抛物线方程为 $y^2 = -2px$，其中 $p$ 是 焦距。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
抛物线的标准方程可以根据焦 点和准线的位置进行变换。
抛物线的几何性质
01
02
03
开口方向与函数值变化趋势
开口方向与函数值随x的变化趋势一致，向上开口时函数值随x增大而增大，向 下开口时函数值随x增大而减小。
抛物线的开口大小
开口大小与二次项系数的绝对值大小
开口大小由二次项系数的绝对值|a|决定，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛 物线开口越大。
开口大小与函数值变化幅度的关系
2025届高中数学一轮复习课件《抛物线(一)》ppt
答案
高考一轮总复习•数学
第29页
解析：(1)∵抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，∴准线为 x＝－p2.
∵点 P(2，y0)到其准线的距离为 4，∴－p2－2＝4. ∴p＝4(负值舍去)，∴抛物线的标准方程为 y2＝8x.
(2)因为△FPM 为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得 PM 垂直于抛物线的准 线，设 Pm，m2p2，则点 Mm，－p2.因为焦点为 F0，p2，△FPM 是等边三角形，所以|PM|＝4，
高考一轮总复习•数学
抛物线定义的应用策略
第17页
高考一轮总复习•数学
第18页
对点练 1 (1)(2024·陕西榆林模拟)如图 1，某建筑物的屋顶像抛物线，若将该建筑外形 弧线的一段按照一定的比例处理后可看成如图 2 所示的抛物线 C：x2＝－2py(p>0)的一部分， P 为抛物线 C 上一点，F 为抛物线 C 的焦点．若∠OFP＝120°，且|OP|＝ 221，则 p＝( )
高考一轮总复习•数学
第10页
2．过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1＋x2 ＝6，则|PQ|＝( )
A．9
B．8
C．7
D．6
解析：抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.根据题意，得|PQ|＝|PF|＋ |QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选 B．
即 px0＝4.又 C 的准线方程为 x＝－p2， 易知|FM|＝x0＋p2，显然|DM|＝x0－p2.
由焦点联想准线．
因为 cos∠MFG＝2 3 2，所以 sin∠MFG＝13，因此||DFMM||＝sin∠MFG＝13，即xx00＋－p2p2＝13， 整理得 x0＝p，与 px0＝4 联立，解得 p＝x0＝2，
高中数学高二下册-12.8 抛物线的性质 课件
当把汽车的前灯开关从 亮转到暗时，就有数学 在起作用。具体地说， 是抛物线原理在玩花招。
例3，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物 线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴 垂直，灯泡位于抛物线的焦点处，已知灯口 直径是24cm, 灯深10cm,求灯泡离反射镜的顶 点的距离。
F
一建二设三列四解
解：取反射镜的轴即抛物线的 对称轴为x轴，抛物线的顶点 为原点，建立直角坐标系。
求以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且 经过点 (3，－6）的抛物线的方程。
解：所求抛物线的方程y2=12x 或x2=－1.5y 。
例2，求过定点（0，－2）且与抛物线 y2=4x只有一个公共点的直线的方程。
思考：求直线l过定点（－2，0）且与 抛物线 y2=4x有两个公共点,求直线l的
斜率的范围方程。
课堂小结
1.掌握抛物线的性质，重点在于抓住 两点（一顶点一焦点） 两线（一准线一对称轴） 一方向（开口方向） 2.解抛物线等圆锥曲线的问题，借助
图形更加直观。 3.学会类比，提高学习效率
回家作业：
1.书本P125练习12.8中1～4 2.补充练习 3.思考题
能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。 世上所有美好的感情加在一起，也抵不上一桩高尚的行动。 读一本好书，就如同和一个高尚的人在交谈。——歌德 任何人都可以变得狠毒，只要你尝试过嫉妒。 连一个好朋友都没有的人，根本不值得活着。 战士的意志要象礁石一样坚定，战士的性格要象和风一样温柔。 当你劝告别人时，若不顾及别人的自尊心，那么再好的言语都没有用的。 坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿 努力向上的开拓，才使弯曲的竹鞭化作了笔直的毛竹。 没有失败，只有暂时停止的成功。
人教A版高中数学选择性必修第一册3-3-1抛物线及其标准方程课件
|素养达成|
1．对抛物线定义的两点说明 (1)定直线l不经过定点F． (2)定义中包含三个定值，分别为一个定点、一条定直线及一个确定 的比值．
2．四种位置的抛物线标准方程的对比 (1)相同点：①原点在抛物线上； ②焦点在坐标轴上； ③焦点的非零坐标都是一次项系数的14．
(2)不同点：①焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦 点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2．
这时点M的纵坐标为2，可设M(x0,2)，代入抛 物线方程得x0＝2，即M(2,2)．
抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的 距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现“点点距”与 “点线距”的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最 小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问 题．
为
()
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【答案】D
【解析】依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距
离，故点P的轨迹是抛物线．
微思考 定义中为什么要求直线l不经过点F? 【答案】提示：当直线l经过点F时，点的轨迹是过点F且垂直于直
线l的一条直线，而不是抛物线．
抛物线的标准方程
图形
标准方程 y_2_＝__2_p_x(_p_＞__0_)
焦点坐标
准线方程 p 的几何
意义
p2，0 x＝－p2
_y2_＝__－__2_p_x(_p_＞__0_) _x_2＝__2_p_y_(_p_＞_0_)_ x_2_＝__－__2_py_(_p_＞__0)
－p2，0 x＝2p
抛物线及其标准方程 课件
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
[解析] (1)设所求的抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)或 x2＝ 2py(p>0)，
∵过点(－3,2)，∴4＝－2p·(－3)或 9＝2p·2． ∴p＝23或 p＝94． 故所求的抛物线方程为 y2＝－43x 或 x2＝92y， 对应的准线方程分别为 x＝13，y＝－98．
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
[方法规律总结] 利用抛物线的定义可以将抛物线上的点 到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系会给解 题带来方便．要注意灵活运用定义解题．
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
抛物线及其标准方程
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
抛物线的定义及标准方程 思维导航 1．我们已知二次函数的图象为抛物线，生产生活中我们 也见过许多抛物线的实例，如跳绳时绳子的弧线、探照灯的纵 截面，那么抛物线是怎样定义的？有什么特点？如何画出抛物 线？
__F__(0_，__－__p2_) __y_＝__p2_____ x_2＝__－__2_p_y_(_p_>_0_)
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
5.过抛物线焦点的直线与抛物线相交，被抛物线所截得的 线段，称为抛物线的__焦__点__弦____．
[分析] 图(2)是图(1)中位于直线O′P右边的部分，故O′B为 水池的半径，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立平面 直角坐标系，则易得P点坐标，再由P在抛物线上求出抛物线方 程，再由B点纵坐标求出B点的横坐标即可获解．
高中数学课件-第7讲 抛物线
第7讲 抛物线1.理解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的考试要求简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解抛物线的简单应用.01聚焦必备知识知识梳理1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程和几何性质常用结论夯基诊断××√×2.回源教材(1)抛物线y 2＝10x的焦点到准线的距离是________.答案：5抛物线的方程为y 2＝10x ，则p ＝5，所以抛物线y 2＝10x 的焦点到准线的距离是5.(2)过点P(－2，3)的抛物线的标准方程为________.(3)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A为抛物线C上一点，若|AF|＝3，则点A的横坐标为________.答案：202突破核心命题例1 (1)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD ⊥l ，交l 于D .若|AF |＝4，∠DAF ＝60°，则抛物线C 的方程为________.考 点 一 抛物线的方程与几何性质答案：y 2＝4x(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.训练1 (1)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )C答案：16例2 (2024·福州质检)在平面直角坐标系Oxy 中，动点P (x ，y )到直线x＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P 的轨迹方程为( )A.y 2＝2xB.y 2＝4xC.y 2＝－4xD.y 2＝－8x考 点 二抛物线的定义及应用考向 1求轨迹方程DD 由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2，0)的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2，0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.例3 若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为__________.2最值问题与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.反思感悟DA考 点 三抛物线的综合问题1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.反思感悟训练3 过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程.03限时规范训练(六十三)A级 基础落实练1.(2023·临汾第一次适应性训练)已知抛物线C的焦点F关于其准线对B称的点为(0，－9)，则C的方程为( )A.x2＝6yB.x2＝12yC.x2＝18yD.x2＝36y2.(2024·昆明一中月考)过抛物线y2＝8x的焦点的直线l与抛物线相交于M，N两点.若M，N两点到直线x＝－3的距离之和等于11，则这样的直线l( C )A.不存在B.有且仅有一条C.有且仅有两条D.有无穷多条C 由题意知M，N两点到准线x＝－2的距离之和等于9，由抛物线定义得|MN|＝9.又抛物线y2＝8x的通径长为2p＝8＜|MN|＝9根据过焦点的弦的对称性知，这样的弦有且仅有两条，故选C.图① 图②A.1 B.2C.3D.4ABB6.(多选)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m，2)是线段AB的中ACD点，则下列结论正确的是( )A.p＝4B.抛物线方程为y2＝16xC.直线l的方程为y＝2x－4D.|AB|＝10。
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高中数学抛物线课件
高中数学抛物线课件
教学目标
1.抛物线的定义
2.抛物线的四种标准方程形式及其对应焦点和准线
教学重难点
教学重点：1.抛物线的定义和焦点与准线
2.抛物线的四种标准形式，以及p的意义。
教学难点：抛物线的四种图形，标准方程的推导及其焦点坐标和准线方程。
教学过程
一、知识回顾：
二次函数中抛物线的图象特征是什么?(平行于y轴，开口向上或者向下)
如果抛物线不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了，今天我们来突破研究中的限制，从一般意义上来研究抛物线。
二、课堂新授：
(讲解抛物线的作图方法)
定义：平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
如图建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l ，垂足为K，并使原点与线段
KF的中点重合。
结合表格完成下列例题：
1. 已知抛物线的标准方程是 y2=6x,求它的`焦点坐标和准线方程。
2. 已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2),求它的标准方程。
解：1.∵抛物线的方程是 y2=6x,
∴p=3
∴焦点坐标是(，0)，
准线方程是x=-
2.∵焦点在y轴的负半轴上，且，
∴p=4
∴所求的抛物线标准方程是 x2=-8y。
三、随堂练习：
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
四、课堂小结：
由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式都只含有一个参数p，因此只要给出确定的p的一个条件就可以求出抛物线的标准方称。
当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就可以唯一的确定下来。
五、课后作业：P119 习题8.5 2、4。