简谐振动动力学特性

2
x 2 x 0 （1）
弹簧振子作简谐振动的动力学方程。
总结：
如质点运动的动力学方程可归结为：x
2 0
x
0的形式，且其中
决0
定于振动系统本身的性质。⑴式的形式就是简谐振动的动力学方程式。
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2. 单摆
建立自然坐标系：(ˆ , nˆ )
ˆ : mg sin
ma
m
dv dt
ml
d
dt
ml
nˆ : T mg cos m v2
§9.1 简谐振动的动力学特征
一. 基本概念
1.
质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于零，
该位置即为平衡位置。
2. 线性回复力
力
若作用于质点的力与质点相对于平衡位置的位移
学
（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则
此作用力称作线性回复力。
f x kx , k 0 , x是相对于平衡位置的位移。
l
nˆ
若 很小，则近似：sin,则： l 0
g
因此，
02
0，
2 0
l g
（2）
上式即为单摆简谐振动的动力学方程
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3. 复摆（物理摆）
任何物体悬挂后所做的摆动叫复摆。如图示：
一刚体悬挂于O 点，刚体的质心C 距刚体的悬挂点O
之间的距离是a。选 角增加的方向为正方向，即：z 轴垂 直纸面向外， M z mga sin I， 很小时： sin ，故：
v
0t
2
,
a 0t
则，
v
x
2
,av源自2,a x
所以：速度的位相比位移的位相超前 / 2；
加速度的位相比速度的位相超前 / 2 ； 加速度的位相比位移的位相超前 。
理解：加速度对时间的积累才获得速度，速度对时间的积累获得位移。
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总结：
⑴简谐振动是周期性运动；
⑵简谐振动各瞬时的运动状态由振幅A、频率 0 及初相位 决定，
如图示： x Acos0t
v
A0
cos
0
t
2
Asin0t
a
x
A02
cos0t
A
2 0
cos0t
A为 一长度不变的矢量，
时，矢量 与坐标轴的夹角为
的，A始矢点量在坐以标角A轴速的度原点逆处时，0针记匀时速起转点动t=。0
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由此可见：
⑴匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方 程。
讨论：
（1）若(1 2 ) 是2k的整2数倍，则振动同相位； （2）若 (1 2 ) 是k 的奇数倍，则振动相位相反； （3）若 (1 ，2 )则 称0 超前1 ；2 （4）若2 (1 2，) 则称 落后1 ；2
相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。
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例1
一弹簧振子，t＝0 时，
一、简谐振动的运动学方程
方程
d2x dt 2
2 0
0 的解为：
x Acos(0t ) （1）
上式就是简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数， 故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。
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二、描述简谐振动的物理量
1. 周期（T）
完成一次全振动所用的时间： T 2
对弹簧振子： T 2 2 k
m
因此，
mga 0
I
02 0，
0
mga I
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4. L-C振荡回路（详见《电磁学》）
总结：
任何物理量 （x 例：长度，角度，电量等）的变化规律
满足方程⑴式，且常量 理量作简谐振动。
决0定于系统本身的性质，则该物
判断：是否简谐振动，看是否满足简谐振动的动力学方程式⑴。
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§9.2 简谐振动的运动学
3.
质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。
1
二、简谐振动的几个例子
1. 弹簧振子
如图示：弹簧自由伸展时，滑块的位置为原点 （即平衡位置），x 表示位移：
f x kx
由牛顿第二定律：
mx kx x k x 0 m
令 k ，可2 得到如下二阶常系数齐次线性方程：
m
x 2 x 0 （1）
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例1 （1）一简谐振动的运动规律为 x 4cos8t / 4 ，若计时起
点提前0.5s，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或 推迟若干？
（2）一简谐振动的运动学方程为 x 8sin3t ， 若计时起点推迟
或者说，由振幅和相位决定。 ⑶简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相位
不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。
三、 简谐振动的图象：x-t 图线
描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。 中学里经常作正弦、余弦函数的图象，故不再多讲。
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四、 简谐振动的矢量表示法
用旋转矢量的投影表示简谐振动。
x0
1 2
A, v0
0
求振动的初位相。
解：
cos x0 1
A2
sin v0x 0 A0
因此，
在第一象限，＝
3
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例2 讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。
解： x cos(0t )
v
x
Asin0t
A0
cos
0
t
2
a
v
x
A
2 0
cos 0 t
A
2 0
cos 0 t
设： x 0t ,
因此，
A
x02
v02x
2 0
（2）
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4. 位相和初位相
振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够，
还须知道 才能完全决定系统的运动状态。
0t 叫简谐振动的相位。
当 t 0 时， 叫初相位。
由：
x Acos(0t ) Acos v A0 sin(0t ) A0 sin
可得： cos x ; sin v （3）
A
A0
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若已知初始条件：t =0时， x x0 , v v0 x ，则⑶式有：
cos x0 ; sin v0x
A
A0
tg v0x 0 x0
( )
（4） （5）
⑷、⑸式中的任意二个即可确定初位相。
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相位差：两振动相位之差(1 2 ) 。
2. 频率（）
单位时间内完成的全振动的次数：
1 2 T 2
的含义： 2个 单位时间内完成的全振动的次数，即圆频率。
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3. 振幅
定义：物体离开平衡位置的最大位移。
振幅可以由初始条件决定。如：t =0时刻，x x0 , v v0 x
由⑴式可得：
x0 Acos , x t0 v A0 sin
⑵矢端的速度大小为 0 A ，在x 轴上的投影为：
0
A cos
0t
2
⑶矢端沿圆周运动的加速度即向心加速度的大小为： 的投影：
A
2，在
0
x
轴上
2 0
A
cos0t
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总结：
旋转矢量、旋转矢量端点沿圆周运动的速度和 加速度在坐标轴上的投影等于特定的简谐振动的 位移、速度和加速度。因此，用旋转矢量在坐标 轴上的投影描述简谐振动的方法叫简谐振动的矢 量表示法。