机械振动之简谐振动
五、机械振动
第一节、 第一节、简谐振动
一、简谐振动(simple harmonic vibration )的基本特征 简谐振动 的基本特征 以弹簧振子为例讨论， 以弹簧振子为例讨论， 弹簧振子是典型的简谐 振动 弹簧的弹力
O
x
M x
F = -kx
根据牛顿第二定律有 所以 其解
医学物理学
x = Acos(ωt +ϕ)
二、同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成 两简谐振动分别为
x1 = A1 cos( ω 1t + ϕ 1 )
x 2 = A2 cos( ω 2 t + ϕ 2 )
y
ω1
合振动 x = x1 + x2 = A1 cos(ω1t + ϕ1 ) + A2 cos(ω 2t + ϕ 2 ) 合振动不再是简谐振动， 合振动不再是简谐振动， 而是一种复杂振动 如图] 矢量图解法 [如图 如图 由矢量图得合振动的振幅为
一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成 设有两个同频率的简谐振动 x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) x2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 ) 合振动 x = x1 + x2 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) + A2 cos(ωt + ϕ 2 ) 由矢量图得 而
仍为同频率谐振动） x = A cos( ω t + ϕ ) （仍为同频率谐振动）
医学物理学
v A2 v A1
v A
• 推广：多个同方向同频率简谐振动的合成 推广： 合振动仍是简谐振动。
x = Acos(ω⋅t +ϕ)
tgϕ =
∑ A sinϕ
i =1 n i i =1 i
《力学》机械振动
A1 A2
x1
T
o
- A2 -A1
t x2
2 1
注意
2
即x2比x1超前
2
22
领先、落后以< 的相位角来判断
同相和反相
当 = 2k , ( k =0,1,2,…), 两振动步调相同,称同相
x
A1
x2
当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,…), 两振动步调相反,称反相
a > 0
减速
a > 0
加速
9
四、 描述简谐振动的特征量--周期、振幅、相位
1、周期T: 物体完成一次全振动所需时间。
频率f:
物体在单位时间内完成振动的次数。 1 f T
2 2f T
2
角频率:
k 对弹簧振子： m
T 2
m k
1 f 2
k m
2. 振幅 A: 谐振动物体离开平衡位置的最大位移的 10 绝对值。
加速度
2
d x 2 a 2 A cos( t ) dt
也是简谐振动
8
2
a(t ) A cos( t )
x.v.a.
A A A
2
a
o
x
T t
A A 2A
> 0
< 0
< 0
> 0
a < 0
减速
a < 0
加速
谐振动频率相同 X 2
= ( t + 2)- ( t + 1) = 2- 1
A 初相差 （1） （2）
0
-A/2 -A/2 -A
机械振动简谐振动和波动
机械振动简谐振动和波动机械振动：简谐振动和波动机械振动是物体在外力作用下沿某个方向上的周期性运动。
简谐振动是机械振动的一种特殊形式，它是指物体在恢复力作用下，其加速度与其位移成正比且方向相反。
简谐振动的数学描述可以用以下公式表示：x(t) = A * sin(ωt + φ)其中，x(t)是物体在时间t时刻的位移，A是振幅，ω是角频率，φ是初相位。
简谐振动具有以下几个特点：1. 周期性：简谐振动的运动是周期性的，即物体在一个周期内重复相同的位移和速度变化。
2. 等幅振动：简谐振动的振幅保持不变，即振幅A是一个常量。
3. 谐波运动：简谐振动的位移和速度随时间变化呈正弦函数关系。
4. 对称性：简谐振动的振动曲线关于平衡位置对称。
除了简谐振动，机械振动还包括其他形式的振动，如阻尼振动和强迫振动。
阻尼振动是在有阻力存在的情况下的振动，外力会通过摩擦或空气阻力对物体的振动进行阻尼。
强迫振动是外力对振动系统施加周期性扰动，使系统执行非自由振动。
与简谐振动相比，波动是一种沿介质传播的幅度和能量传递的周期性变化。
波动可分为机械波和电磁波两种形式。
机械波是指通过一种介质的振动传播的波动，如水波、声波等。
电磁波是指由电场和磁场相互垂直且相互作用的波动，如光波、电磁辐射等。
波动具有以下特点：1. 传播性：波动是通过媒介或空间传播的，能够传递能量和动量。
2. 反射和折射：波动在传播过程中遇到界面时会发生反射和折射现象。
3. 干涉和衍射：当两个或多个波动相遇时，会发生干涉和衍射现象，形成新的波动模式。
4. 周期性：波动是周期性的，其振幅和频率可以随时间和空间的变化而改变。
机械振动和波动在物理学中扮演着重要的角色。
它们不仅存在于自然界中，也广泛应用于工程、医学、地球科学等领域。
对机械振动和波动的深入理解可以帮助人们解释自然界中的现象，同时也对技术和科学的发展产生重要影响。
简谐振动的概念
简谐振动的概念
简谐运动随时间按余弦（或正弦）规律的振动，或运动。
又称简谐振动。
简谐运动是最基本也最简单的机械振动。
当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置。
它是一种由自身系统性质决定的周期性运动。
（如单摆运动和弹簧振子运动）实际上简谐振动就是正弦振动。
故此在无线电学中简谐信号实际上就是正弦信号。
扩展资料
简谐振动位移公式：x=Asinωt
简谐运动恢复力：F=-KX=-md^2x/dt^2=-mω^2x
ω^2=K/m
简谐运动周期公式：T=2π/ω=2π(m/k)^1/2
如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。
R是匀速圆周运动的半径，也是简谐运动的振幅；ω是匀速圆周运动的角速度，也叫做简谐运动的圆频率,ω=√(k/m)；
φ是t=0时匀速圆周运动的物体偏离该直径的角度(逆时针为正方向)，叫做简谐运动的初相位。
在t时刻，简谐运动的位移x=Rcos(ωt+φ)，简谐运动的速度v=-ωRsin(ωt+φ)，简谐运动的加速度a=-(ω^2)Rcos(ωt+φ),这三个式子叫做简谐运动的方程。
机械振动和简谐振动
机械振动和简谐振动机械振动是自然界和工程实践中常见的现象，而简谐振动则是机械振动中最为基本和重要的模型。
本文将介绍机械振动和简谐振动的概念、特点以及一些应用。
一、机械振动的概念和特点机械振动是物体围绕平衡位置做周期性的往复运动。
它可以是机械系统中的部件振动，也可以是整个机械系统的振动。
机械振动往往由质点或弹簧等弹性元件的弹力引起。
其特点如下：1. 周期性：机械振动的运动是周期性的，当物体围绕平衡位置做一次完整的往复运动后又回到同样的位置和状态。
这一周期性使得机械振动具有可预测性和可重复性。
2. 频率：机械振动的频率是其运动的重要特征，代表了单位时间内振动的次数。
频率与振动周期的倒数成正比，可以通过实验或计算得到。
3. 幅度：机械振动的幅度代表了振动的最大位移或最大速度。
幅度与振动的能量大小相关，可以通过实验或计算得到。
4. 阻尼和驱动力：机械振动中常常存在阻尼和外加驱动力。
阻尼消耗了振动的能量，而驱动力则为物体提供了能量，影响了振动的稳定性和特性。
5. 谐振现象：在机械振动中，当外加力的频率接近物体的固有频率时，会出现谐振现象。
谐振时，振动幅度最大，能量传递效率高。
二、简谐振动的概念和特点简谐振动是机械振动中最简单的一种形式，其模型假设了无阻尼和驱动力的作用。
简谐振动具有以下特点：1. 一维振动：简谐振动在物理模型中往往被假设为一维振动，即物体围绕一个平衡位置在一条直线上往复振动。
2. 束缚性：简谐振动在一个有限范围内进行，物体保持在某个平衡位置附近做往复运动，不会无限制地扩散或发散。
3. 固有频率：简谐振动的频率与物体的固有特性有关，而与外界的驱动力无关。
物体的固有频率可以通过实验或计算得到。
4. 振幅和相位：简谐振动的振幅和相位是其两个重要的参数。
振幅代表振动的最大位移或速度，而相位则代表振动的位置关系。
5. 能量守恒：在简谐振动中，能量在势能和动能之间周期性转换，总能量保持不变，体现了能量守恒定律。
机械振动和简谐运动
机械振动和简谐运动机械振动是指物体围绕平衡位置做周期性的来回摆动或震动运动。
而简谐运动是一种特殊的机械振动，它遵循简谐规律，即物体的加速度与到平衡位置的距离成正比，方向相反。
本文将深入探讨机械振动和简谐运动的原理、特性以及应用。
一、机械振动的原理机械振动是由于物体受到外力的作用而做周期性运动。
当物体受到外力推动或扰动时，会发生位移、速度和加速度的变化，从而形成振动运动。
机械振动的原理包括弹性恢复力和阻尼力。
1. 弹性恢复力弹性恢复力是导致振动的主要力量。
当物体发生位移时，如果存在恢复力使其向平衡位置回归，就会产生周期性的振动。
弹性恢复力遵循胡克定律，即恢复力与位移成正比。
2. 阻尼力除了弹性恢复力，振动运动还会受到阻尼力的影响。
阻尼力是由摩擦或其他阻碍物体运动的因素引起的，它会减弱振动的幅度和频率。
二、简谐运动的特性简谐运动是一种理想化的振动运动，具有以下特性：1. 平衡位置与振幅在简谐运动中，物体的平衡位置是振动的中心位置，振幅是物体离开平衡位置的最大位移距离。
2. 周期与频率简谐运动具有恒定的周期性和频率。
周期是振动完成一个完整往复运动所需的时间，频率是单位时间内完成的振动次数。
3. 加速度与位移的关系根据简谐运动的规律，物体的加速度与位移成正比，方向相反。
加速度最大值出现在平衡位置两侧的最大位移处，而在平衡位置的位移为零，加速度也为零。
4. 能量转换与守恒简谐运动过程中，物体的动能和势能会不断转化。
当物体位移最大时，动能最大，而当物体位移为零时，势能最大。
整个过程中，机械能保持不变。
三、机械振动的应用机械振动作为一种常见的物理现象，具有广泛的应用。
以下是几个常见的机械振动应用：1. 振动传感器振动传感器可以检测物体的振动状态，并将其转化为电信号。
它在工业生产、航空航天等领域具有重要作用，可用于监测设备的运行状况和诊断故障。
2. 摆钟摆钟利用物体的机械振动实现时间测量。
当钟摆摆动时，其周期可用于计时，摆钟被广泛应用于家庭和公共场所。
机械振动公式总结
机械振动公式总结机械振动是指物体在作有规律的往复运动时所表现出的现象，它广泛应用于工程领域，例如机械工程、建筑工程、航空航天工程等。
机械振动公式是描述机械振动性质和特点的数学公式，可以用于计算、分析和预测机械振动的参数和行为。
下面是一些常见的机械振动公式的总结。
1.简谐振动公式简谐振动是指在没有外力或外力恒定时，物体的振动是以弹性势能和动能的相互转化为基础的。
简谐振动公式可以表示为：x = A sin(ωt + φ)其中，x表示位移，单位为米；A表示振幅，单位为米；ω表示角速度，单位为弧度/秒；t表示时间，单位为秒；φ表示初相位，单位为弧度。
2.弹性力系数公式弹性力系数是描述弹性材料力学性质的一个参数，也是机械振动中重要的参数之一、弹性力系数公式可以表示为：F = kx其中，F表示受力，单位为牛顿；k表示弹性力系数，单位为牛顿/米；x表示位移，单位为米。
3.自然频率公式自然频率是指物体在没有外力作用时，在固有的弹性约束条件下产生的振动频率。
自然频率公式可以表示为：f=1/(2π)*√(k/m)其中，f表示自然频率，单位为赫兹；k表示弹性力系数，单位为牛顿/米；m表示质量，单位为千克。
4.阻尼振动公式阻尼振动是指在振动过程中存在能量损失的振动，由于摩擦、空气阻力等因素的存在。
阻尼振动公式可以表示为：x = e^(-βt) * (Acos(ωdt + φ1) + Bsin(ωdt + φ2))其中，x表示位移，单位为米；β表示阻尼系数，单位为弧度/秒；ωd表示阻尼角频率，单位为弧度/秒；t表示时间，单位为秒；A、B、φ1、φ2表示振动的参数。
5.多自由度振动公式多自由度振动是指多个物体同时进行复杂的振动过程，可以通过多自由度振动公式来描述。
多自由度振动公式可以表示为：M¨+KX=0其中，M表示质量矩阵，K表示刚度矩阵，X表示位移矩阵。
通过这些机械振动公式，我们可以计算出机械系统的振幅、频率、质量、弹性力系数等参数，进而进行分析和预测。
机械振动——简谐运动的基本概念
式中的比例系数k为弹簧的劲度系数（Stiffness），它反映弹簧的固有性质，负号表示力的方向与位移的方向相反，它是始终指向平衡位置的。离平衡位置越远，力越大；在平衡位置力为零，物体由于惯性继续运动。这种始终指向平衡位置的力称为回复力。
2．动力学方程及其解
根据牛顿第二定律，
f=ma
可得物体的加速度为
对于给定的弹簧振子，m和k均为正值常量，令
则上动的微分方程。
三、简谐运动的运动学特征：
1．简谐振动的表达式（运动学方程）
简谐运动的微分方程的解具有正弦、余弦函数或指数形式。我们采用余弦函数形式，即
这就是简谐运动的运动学方程，式中A和φ是积分常数。
说明：
1）简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的，只有正弦函数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质，这里我们采用余弦函数。
定义：物体在2π秒时间内所作的完全振动的次数，用ω表示，单位为弧度/秒(rad. s-1或s-1)。
说明：
1）简谐运动的基本特性是它的周期性；
2）周期、频率或圆频率均有振动系统本身的性质所决定，故称之为固有周期、固有频率或固有圆频率。
3）对于弹簧振子， ， ， 。
4）简谐运动的表达式可以表示为
三、相位(Phase)—反映振动的状态
物体在B、C之间来回往复运动。
结论：物体作简谐运动的条件：
物体的惯性——阻止系统停留在平衡位置
作用在物体上的弹性力——驱使系统回复到平衡位置
二、弹簧振子的动力学特征：
1．线性回复力
分析弹簧振子的受力情况。取平衡位置O点为坐标原点，水平向右为X轴的正方向。由胡克定律可知，物体m(可视为质点)在坐标为x(即相对于O点的位移)的位置时所受弹簧的作用力为
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自由振动：指系统只受外界一次性扰动，而后的运动只在系
统内部回复力作用下运动。
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（1）平衡位置与坐标原点：
平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为坐标原 点。
（2）弹性回复力的特点： K
回复力与位移正比而反 向（线性回复力），即
F= -kx
此处位移特指系统偏离平衡位置的位移。
简谐振动：一个作往复运动的物体，其偏离平衡
位置的位移x（或角位移）随时间t按余弦（或正
弦）规律变化的振动。
x A cos(t 0 )
2
§4-1 简谐振动的动力学特征
一、几个谐振动的实例
１、弹簧振子
构成：轻质弹簧与刚体联结 条件：位移在弹性限度内，
无阻尼时的自由振动
X
0
阻尼： 干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射
v
X
0
❖ t=0时, x0=-A, v0=0
X
-A 0
❖ t=0 时，x0=A, v0=0.
vx00
Acos0 Asin 0
A
0
0 0
vx00
Acos0 Asin 0
0
0
0
2
vx00
Acos0 Asin 0
A 0
0
15
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❖ t=0时, x0=0, v0>0 v
x Acos(t 0 ) Acos(t T ) 0
Acos(t 0 2 )
T 2
或 T 2
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(2)频率：单位时间内所完成的完全振动的次数 1 T 2
(3)圆频率：２秒内完成的完全振动的次数
即＝２
(4)固有圆频率：仅由振动系统的力学性质所决定的频率
固有角频率
mgh
令 2 mgh
I
则得
d 2
dt 2
2
0
方程的解为
0 cos t 0
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二、简谐振动的特征
1、动力学特征：
振动系统所受的力是线性回复力（力矩）
F= -kx M mgl
M mgh
其谐振动的微分方程：
d2x dt 2
2x
0
2、运动学特征：
物体振动时，它离开平衡位置的位移是时间的余弦函数。
令 2 g
l
则得
d 2
dt 2
2
0
方程的解为 0 cost 0
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３、复 摆
构成：刚体绕水平光滑轴转动
1）定义：
条件：同单摆
2）复摆运动微分方程
⊙⊙
h
●c
M mgh sin M mgh
mg
──式中h指质心到悬点的距离
由定轴转动的转动定律：
I
d 2
dt 2
固有振动周期
单摆 弹簧振子 复摆
2 g
l
2 k
m
2 mgh
I
T 2
T 2
T 2
l g
m k
I mgh
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3、位相：(位——位置；相——变化的态势）
位相是描述系统的机械运动状态的物理量。（相又指月相之 相──取其具有周期性。）
1
x v
Acos(t 0 ) Asin(t
m
d2x dt 2
k(x
l)
mg
式中 l 是弹簧挂上重物后的静伸长
A 0 xF
mg x
因为 kl mg
m d 2 x kx, dt 2
即有：d 2 x dt 2
2
x
0
这说明：若一个谐振子系统受到一个恒力作用，只要将其坐
标原点移至恒力作用下新的平衡位置，该系统仍是一个与原
系统动力学特征相同的谐振子系统。
第4章 机械振动
§4-1 简谐振动的动力学特征 §4-2 谐振动的运动学 §4-3 简谐振动的能量 §4-4 简谐振动的合成 §4-5 阻尼振动 受迫振动 共振
1
狭义振动：物体在一固定位置附近作来回的往复
运动，称为机械振动。
广义振动：任一物理量(如位移、电流等) 在某一 数值附近反复变化。
振动中最简单最基本的是简谐振动。
ll
oooo/
/
T
R
0 mg0
6 回首页 回上页 下一页
根据麦克劳林展开 sin 1 3 1 5
3! 5!
略去高阶无穷小后
M mgl
（3）惯性的作用：
此处的惯性指摆球对过 0 的水平轴的
转动惯量
I ml 2
（4）单摆的运动微分方程
由定轴转动的转动定律：
ml
2
d 2
dt 2
mgl
谐振动的运动学方程 x A cos(t 0 )
式中A、 0 是由初始条件所决定的两个积分常数
9 回首页 回上页 下一页
例1: 弹簧下面悬挂一物体，不计弹簧 重量和阻力，试证其在平衡位置附近的 振动是谐振动。
证：以平衡位置A为原点，向下为x
轴正向， 设某一瞬时m的坐标为x， 则物体在振动过程中的运动微分方程 为
２、单摆
构成 : 一端固定的不可伸长的轻绳与质点固联
条件 : 在重力作用下,在竖直平面内作小角度的摆动( 50 )
（1）平衡位置与坐标原点：
铅直位置为角平衡位置，o为角坐标 原点。
（2）回复力矩的特点： 重力对过悬点0/的水平轴的力矩为： M mgl sin
负号表示力矩方向始终与角位置方 向相反
0)
2x
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二、描述谐振动的三个物理量
1、振幅A──由初始条件x0、v0决定
x V
Acos(t 0 Asin(t
)
0)令 t=0来自则x0 Acos0 (1)
V 0
Asin0
(2)
12 22
得
A
x0 2
V0 2
2
2、周期T（频率、圆频率ω 、固有圆频率）
（1）周期T：完成一次完全振动所需的时间
0
)
能确定系统运动状态，而又能反映其周期性特征的是
(2)初位相
t 0
t=0 时的位相 0
(0, 2 ) or ( , )
x0 v0
A cos 0 Asin 0
tg 0
v0
x0
取使x0 、 v0 均满足的值
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用分析法确定初位相
X
0 X0=+A ❖ t=0时, x0=0, v0<0
（3）惯性的作用
F 0 xX
整个系统是在内部线性回复力和惯性的交互作用下来实现振动的。
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（4）弹簧振子的运动微分方程
以振子为对象, 由牛顿定律：
d2x m dt 2 kx
令 2 k
m
则得
d2x dt 2
2
x
0
解微分方程得： x A cos(t 0 )
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§4- 2 谐振动的运动学
一、谐振动的运动学方程
以弹簧振子为例，其动力学方程为
d2x dt 2
2x
0
该方程的解 x A cos t 0 即为谐振动的运动学方程
式中A和0为由初始条件所决定的两个积分常数。
v
dx dt
A
sin( t
0)
a
dv dt
A 2
cos( t