简谐振动的动力学特征.
1、简谐振动的特征、能量
4
2
4
T
t
1 2 2 2 Ek m A sin t 2
1 2 E kA 2
简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
A
O
B
Ek
Ep
x
A
x
能量守恒
推导
1 2 1 2 E mv kx 2 2
d 1 1 2 2 ( mv kx ) 0 dt 2 2 dv dx mv kx 0 dt dt
2
其解为∶
x A cos( t )
──谐振动的运动学方程 (简称振动方程)
x A cos( t )
运动学方程
描述作谐振动物体位置随时间变化的关系
dx v A sin(t ) dt
描述作谐振动物体振动速度随时间变化的关系
dv 2 a A cos(t ) dt
相位差只能在同频率的振动间比较 当 2n
当 （ 2n 1 ） 若 0
n 0, 1, 2
n 0, 1, 2
时
两振动步调相同，称同相
时
两振动步调相反，称反相
2 超前于 1 或 1滞后于 2
相位差反映了两个振动不同程度的参差错落
四、振幅和初相确定
波动篇
内容： 机械振动 机械波
波动光学
前
言
人们习惯于按照物质的运动形态，把经典物理学 分成力（包括声）、热、电、光等子学科。然而，某 些形式的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的 要算振动和波了。在力学中有机械振动和机械波，在 电学中有电磁振荡和电磁波，声是一种机械波，光则 是一种电磁波。在近代物理中更是处处离不开振动和 波，仅从微观理论的基石——量子力学又称波动力学 这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重 要性了。
高中物理：简谐运动的特征及分析方法
一、简谐运动特征
1、动力学特征：，注意k不等同于弹簧的劲度系数，是由振动装置本身决定的常数；动力学特征也是判断某机械运动是否为简谐运动的依据。
2、运动学特征：，此式表明加速度也跟位移大小成正比，并总指向平衡位置。
由此可见，简谐运动是一变加速运动，且加速度和速度都在做周期性的变化。
3、能量特征：机械能守恒，注意振动物体通过平衡位置时势能为零的说法不够确切，应说成此位置势能最小。
4、对称特征：关于平衡位置对称的两点等物理量的大小相等，此外还体现在过程量上的相等，如从某点到平衡位置的时间和从平衡位置到与该点关于平衡位置对称点的时间相同等等。
二、简谐运动的分析方法
1、判断振动是简谐运动的思路：正确受力分析；找出平衡位置
（）；设物体偏离平衡位置位移为x，找到，即可得证。
2、判断简谐运动的变化的思路：
例、如图所示，一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3s质点第一次经过M点，再继续运动，又经过2s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点所需的时间是_______________。
解析：设图中a、b两点为质点振动过程中的最大位移处，若开始质点从O
点向右运动，O→M历时3s，M→b→M历时2s，则＝4s，T＝16s，质点第三次经过M点所需时间
t＝16s－2s＝14s。
若开始计时时刻质点从O点向左运动，O→a→O→M历时3s。
M→b→M历时2s，则，质点第三次经过M点所需时
间
本题的求解关键在于灵活运用简谐运动中的对称性，同时还要注意振动方向的不确定性造成此题的多解；除此之外，对简谐运动过程中各个物理量在四个T/4时段内和五个特殊时刻的情况分析也要清楚。
简谐振动的动力学特征
x +
2
v
ω
2 0
= A2
o
v
x
简谐振动的相轨迹是椭圆，其形状大小取决于初始条件。
三、简谐振动的矢量表示法
现在讨论用旋转矢量的投影表示简谐振动。讨论振动合成 等问题时，用这种方法很方便，如图所示 A 为一长度保持不变 的矢量，A 的始点在 x 坐标轴的原点处，计时起点 t = 0时，矢 量与坐标轴夹角为 α ，矢量 A 以角速度 ω 0 逆时针匀速转动， 因此，矢量 A 在任一瞬时与 x 轴夹角为 ω 0t + α ，用 x 表示矢 量在坐标轴上的投影，有 x = A cos(ω 0t + α ) 可见，匀速旋转 矢量在坐标轴上 的投影即表示一 特定的简谐振动 的运动学方程。
讨论的步骤为： （1）先确定振动系统的平衡位置，并以平衡位置为坐标原点， 建立坐标系；（2）让振动系统偏离平衡位置，然后分析系统 的受力情况，求出系统所受的合外力；（3）根据牛顿运动定 律，导出简谐振动的运动微分方程。
一、弹簧振子的振动
一端固定、质量可忽略、劲度系数为 K 的弹簧，在另一端 固结一个质量为 m 的物体，就构成一个弹簧振子。把它平放在 光滑水平面上。
π
π
ω−
3
=
3
.
∴
2 ω = π. 3
于是求得质点的振动式为
2 π x = 4 cos( πt − ) 3 3
ϕ 本题在计算过程中取 ω 的单位为 rad/s，t 的单位为 s ， 的单 位为 rad ，x 和A的单位为 cm。
另一种描述运动状态的方法是利用相平面——坐标和速度 构成的坐标系。其上一点给出质点在某时刻的运动状态，随时 间推移，质点运动状态在相平面上的代表点移动而画出曲线， 称相轨迹或相图。 位置和速度的关系曲线就是它的相图
简谐振动与谐振子的动力学特性
简谐振动与谐振子的动力学特性简谐振动是一种物理现象，描述了一个物体在没有外力作用下，以相对平衡位置为中心，围绕着这个平衡位置做往复运动的情况。
谐振子是指能够进行简谐振动的物体或系统。
简谐振动的动力学特性有很多值得探讨和讨论的方面，其中包括振动的周期、频率、振幅和相位。
首先，简谐振动的周期是指一个完整的振动往复运动所需要的时间。
对于一个谐振子来说，其周期由振子的质量和弹簧的劲度系数决定。
根据牛顿第二定律和胡克定律，可以通过以下公式计算谐振子的周期：T = 2π√(m/k)其中，T表示周期，m表示质量，k表示弹簧的劲度系数。
从公式可以看出，质量越大，周期越长；劲度系数越大，周期越短。
其次，简谐振动的频率与周期有着密切的关系。
频率是指单位时间内振动的次数，用赫兹（Hz）来表示。
频率可以通过周期的倒数来计算，即f = 1/T。
从公式可以看出，频率是周期的倒数，所以周期越短，频率越高。
振幅是指简谐振动的最大位移，即物体运动离开平衡位置的最大距离。
对于谐振子来说，振幅是通过外力施加的能量来决定的。
振幅越大，说明被施加在谐振子上的力越大，振动幅度也就越大。
最后，相位是指简谐振动的起始位置。
相位可以通过计算振动的位移与时间的关系来确定。
相位是一个角度或相对于某一点的偏移量。
相位的变化可以告诉我们在一个振动周期内，振动物体的位置变化情况。
除了上述动力学特性，简谐振动的能量也是一个非常重要的方面。
在谐振子运动过程中，弹簧对物体施加的力会不断改变物体的动能和势能。
当物体通过平衡位置时，动能最大，而当物体离开平衡位置最远时，势能最大。
这种动能和势能的不断转换使得谐振子的能量保持不变。
简谐振动是自然界中广泛存在的一种运动形式，许多物理学原理和现象都与谐振相关。
例如，在机械系统中，钟摆和弹簧振子都是简谐振动的典型例子。
在电磁系统中，射频电路和天线振动也可以用简谐振动的概念来描述。
总之，简谐振动是一种极为重要和普遍的物理现象。
简谐振动的动力学特征
= A [cosω0t cosα1 sinω0t sinα1] + A2 [cosω0t cosα2 sinω0t sinα2 ] 1 = ( A cosα1 + A2 cosα2 ) cosω0t ( A sinα1 + A2 sinα2 ) sinω0t 1 1
令:
Acosα = A cosα1 + A2 cosα2 1 Asinα = A sinα1 + A2 sinα2 1
x = cos(ω0t +α)
2 2 & x a = v = && = Aω0 cos(ω0t +α ) = Aω0 cos(ω0t +α +π ) π 设: φx = ω0t +α , φv = ω0t +α + , φa = ω0t +α +π 2 π π 则, φv φx = , φa φv = , φa φx = π
x = Acos(ω0t +α)
1 2 2 1 2 1 Ek = kA sin (ω0t +α ), Ep = kx = kAcos2 (ω0t +α ) 2 2 2
弹簧振子的总能为: 故,弹簧振子的总能为:E = E
k
+ Ep
由此可见:动能和势能互相转化. 由此可见:动能和势能互相转化.
22
2 例 若单摆的振幅为 θ0 ,试证明悬线所受的最大拉力等于 mg(1+θ0 )
23
24
§9-4 简谐振动的合成 一,同方向同频率简谐振动的合成
设质点参与同方向同频率的两个简谐振动: 设质点参与同方向同频率的两个简谐振动:
x1 = A cos(ω0t +α1 ) 1
动力学中的简谐振动与振幅频率关系
动力学中的简谐振动与振幅频率关系在物理学中，简谐振动是指一个物体围绕平衡位置做往复运动的现象。
它可以被广泛地应用于机械、电学、光学等领域，并且对于理解动力学和波动现象非常重要。
在研究简谐振动时，我们往往会关注振动的振幅和频率之间的关系。
一. 简谐振动的定义与特征简谐振动是指一个物体围绕其平衡位置进行的周期性往复运动。
它的特点包括以下几个方面：1. 平衡位置：简谐振动的平衡位置是物体在不受外力作用时所处的位置，也是振动的中心点。
2. 振幅：振幅是指物体离开平衡位置的最大位移，通常用字母A表示。
3. 周期：简谐振动的周期是指物体完成一次完整振动所需要的时间，通常用字母T表示。
4. 频率：频率是指单位时间内振动的次数，通常用字母f表示。
二. 简谐振动的振幅频率关系简谐振动的振幅和频率之间存在着一定的关系，这种关系可以通过振动的数学表示来推导。
1. 数学表示我们可以通过物体的位置随时间的变化来描述简谐振动。
设物体的运动方程为x(t)，其中x表示位置，t表示时间。
根据数学分析，可以得到以下表示：x(t) = A * cos(ωt + φ)在上述公式中，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初始相位。
2. 振幅与角频率的关系通过上述公式可以看出，振幅A对应于cos函数的最大值，即A是振动的最大位移。
而角频率ω则决定了振动的快慢程度，它与振动的周期T之间存在如下关系：ω = 2π / T由此可见，振幅与周期的倒数成正比，振幅越大，周期越短。
3. 频率与角频率的关系频率f是指单位时间内振动的次数，它与角频率ω之间存在如下关系：f = 1 / T = ω / 2π也就是说，频率和角频率之间是相等的。
频率能够直接反映振动的快慢程度，频率越大，振动越快。
综上所述，简谐振动的振幅和频率具有一定的关系：振幅与周期的倒数成正比，而频率与角频率相等。
我们可以通过实验数据或者数学推导来验证这种关系，并且可以利用这种关系来解决相关的物理问题。
简谐振动需要特别注意的知识要点
机械振动
需要特别注意的要点：
一.振动及描述振动的物理量：
1.位移x:由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段，是矢量，其最大值等于振幅。
无论质点从什么位置开始振动，其位移总是以平衡位置为初位置。
二.简谐振动的特征：
1.动力学特征：F=-kx
2.运动学特征：x、v、a均按正弦或者余弦规律发生周期性变化（v和a变化趋势相反）
3.能量特征：系统的机械能守恒，振幅A不变
三.简谐振动的两个典型模型-------弹簧振子与单摆
弹簧振子是一种忽略摩擦、弹簧质量的理想化的模型。
对弹簧振子来说，弹簧振子的劲度系数、振子的质量确定了，其振子的周期和频率也就确定了。
无论是在地球上、其他星球上，或者是在完全失重的人造卫星中，T和f均不变，完全由系统本身的性质决定。
大学物理第10章2
[
C
]
1 2
o
1
t( s)
[例1] 已知某质点作简谐运动 , 振动曲线如图. 试根据 图中数据写出振动表达式. x /m 解:设运动表达式 x A cos ( 0 t ) 由图可见: A = 2m , 当t = 0 时有： x 0 2 cos
或 4 4
1 1 2 2 2 2 E EK EP m A sin (t 0 ) kA cos 2 (t 0 ) 2 2
k m
2
1 2 E kA 2
简谐振动的机械能守恒
能量平均值:
1 T1 1 2 2 2 2 EK m A sin (t 0 ) d t kA T 0 2 4
2 2 1 d d l 2 由转动定律： - mgsinθ J 2 ml 2 3 dt2 dt
O
l M mg sin 2
l
mg
1 2 d2 l g 0 θ很小，则： l 2 3 dt 2
d2 3g 即： 2 0 dt 2l
3g 2l
20 10 2kπ， k 0， 1， 2，
同相叠加，合振幅最大。
A A1 A2
x
O
x1 x2
t
A
A A 2 A1 A2 cos( 20 10 )
2 1 2 2
k 0， 1， 2， 2、两振动反相 20 10 (2k 1)π，
利用旋转矢量法得 10 10 3 x A/2 4 利用旋转矢量法得 20 3 4 0 20 10
3 3
四、几种常见的谐振动
1、单摆 (取逆时针为正方向) 回复力矩为： M mgl sin
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或者：由简谐 振动的旋转矢量法表示： A1、A2以
频率 0 旋转， A1 、 A2 之间的夹角不变， A1 A2 也 以 0 旋转，平行四边形的形状不变。
27
讨论：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
总结：
旋转矢量、旋转矢量端点沿圆周运动的速度 和加速度在坐标轴上的投影等于特定的简谐振动 的位移、速度和加速度。因此，用旋转矢量在坐 标轴上的投影描述简谐振动的方法叫简谐振动的 矢量表示法。
18
例1 （1）一简谐振动的运动规律为 x 4cos8t / 4 ，若计时起
点提前0.5s，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或 推迟若干？
(20
10
2
)
令：
A平
(10
20
2
)
A调＝ 20
10
2
⑶式就成为：
x A调 cos平t
平均圆频率 调制圆频率
（3）’
31
x A调 cos平t
（3）’
（3）’式即：合振动为圆频率等于平均圆频率的“简谐振动”，其振 幅作缓慢的周期变化。
拍：振动方向相同，频率之和远大于频率之差的两个简谐振动合成时， 合振动振幅周期变化的现象叫拍。
相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。
12
例1
一弹簧振子，t＝0 时，
x0
1 2
A, v0
0
求振动的初位相。
解：
cos x0 1
A2
sin v0x 0 A0
因此，
在第一象限，＝
3
13
例2 讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。
解： x cos(0t )
振幅可以由初始条件决定。如：t =0时刻，x x0 , v v0x
由⑴式可得：
x0 Acos , x t0 v A0 sin
因此，
A
x02
v02x
Байду номын сангаас
2 0
（2）
9
4. 位相和初位相
振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够，
还须知道 才能完全决定系统的运动状态。
ˆ : mg sin
ma
m dv dt
ml
d
dt
ml
nˆ : T mg cos m v2
l
nˆ
若 很小，则近似：sin ,则： l 0
g
因此，
02
0，
2 0
l g
（2）
上式即为单摆简谐振动的动力学方程
（1）若相位差 (2 1) 2n ，即同相位，则：A A1 A2 ，振
幅最大；
（2）若相位差 (2 1) (2n 1) ，即反相位，则：A A1 A2 ，
振幅最小；
（3）一般情况下，振幅 A 介于 A1 A2 与 A1 A2 之间。
同方向同频率简谐振动的原理，在光波、声波等的干涉和衍射中很有用。
16
由此可见：
⑴匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方 程。
⑵矢端的速度大小为 0 A ，在x 轴上的投影为：
0
Acos
0t
2
⑶矢端沿圆周运动的加速度即向心加速度的大小为：A
的投影：
2 0
，在
x
轴上
02 Acos0t
17
则：
x x1 x2 Acos10 t Acos20 t
2Acos (20 10 ) t cos (20 10 ) t
2
2
（2）
29
假如： 20 10 20 10
则： cos (20 10 ) t
2
的周期远大于
cos (20 10 ) t 的周期。
2
令：
A调
2Acos (20
10 ) t＝2Acos
2
调
t
调
20
10
2
则⑵式就成为：
x
A调
cos
(20
10
2
)
t
（3）
30
x
A调
cos
(20
10
2
)
t
（3）
⑶式可以看作：振幅按照 A调 缓慢变化的，而圆频率等于
的准简谐振动。即：振幅有周期变化的简谐振动。
1. 周期（T）
完成一次全振动所用的时间： T 2
对弹簧振子： T 2 2 k
m
2. 频率（）
单位时间内完成的全振动的次数：
1 2 T 2
的含义： 2 个单位时间内完成的全振动的次数，即圆频率。
8
3. 振幅 定义：物体离开平衡位置的最大位移。
位不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。
三、 简谐振动的图象：x-t 图线
描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。 中学里经常作正弦、余弦函数的图象，故不再多讲，请看书。
15
四、 简谐振动的矢量表示法
用旋转矢量的投影表示简谐振动。
如图示： x Acos0t
v
A0
cos
本节主要讲解：根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程，并讨论简谐运动 的运动学特征。
一、简谐振动的运动学方程
方程
d2x dt 2
02
0 的解为：
x Acos(0t ) （1）
上式就是简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数，故简谐振动 是围绕平衡位置的周期运动。
7
二、描述简谐振动的物理量
v
x
A sin 0t
A0
cos0t
2
a
v
x
A
2 0
cos0t
A
2 0
cos0t
设：x 0t ,
v
0t
2
,
a 0t
则，
v
x
2
,
a
v
2
,
a x
所以：速度的位相比位移的位相超前 / 2；
加速度的位相比速度的位相超前 / 2 ； 加速度的位相比位移的位相超前 。
理解：加速度对时间的积累才获得速度，速度对时间的积累获得位移1。4
总结：
⑴简谐振动是周期性运动；
⑵简谐振动各瞬时的运动状态由振幅A、频率 0 及初相位 决定，
或者说，由振幅和相位决定。 ⑶简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相
§9.1 简谐振动的动力学特征
一. 基本概念
1. 平衡位置 质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于零，该位置即为平 衡位置。
2. 线性回复力 若作用于质点的力与质点相对于平衡位置的位移（线位移或角位移） 成正比，且指向平衡位置，则此作用力称作线性回复力。
公式：f x kx , k 0, x是相对于平衡位置的位移。
cos x0 ; sin v0x
A
A0
tg v0x 0 x0
( )
（4） （5）
⑷、⑸式中的任意二个即可确定初位相。
11
相位差：两振动相位之差 (1 2 ) 。
讨论：
（1）若(1 2 ) 2k 是2 的整数倍，则振动同相位； （2）若 (1 2 ) k 是 的奇数倍，则振动相位相反； （3）若 (1 2 ) 0，则称 1 超前 2 ； （4）若 2 (1 2 ) ，则称 1 落后 2 ；
（2）一简谐振动的运动学方程为 x 8sin3t ， 若计时起点推
迟1s，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？ （3）画出上面两中简谐振动在计时起点改变前后t=0时的旋转矢量的
位置。
19
20
21
22
§9.3 简谐振动的能量转换
简谐振动系统的总机械能守恒。
由弹簧振子系统： x Acos0t
I
02 0，
0
mga I
5
4. L-C振荡回路（详见《电磁学》）
总结：
任何物理量 x（例：长度，角度，电量等）的变化规 律满足方程⑴式，且常量 0 决定于系统本身的性质，则
该物理量作简谐振动。 判断：是否简谐振动，看是否满足简谐振动的动力学方程式⑴。
6
§9.2 简谐振动的运动学
23
例
若单摆的振幅为
0
，试证明悬线所受的最大拉力等于
mg
(1
2 0
)
24
25
§9.4 简谐振动的合成
一、同方向同频率简谐振动的合成
设质点参与同方向同频率的两个简谐振动：
合位移：
x1 A1 cos0t 1 x2 A2 cos0t 2
x x1 x2 A1 cos0t 1 A2 cos0t 2
0t 叫简谐振动的相位。
当 t 0 时， 叫初相位。
由：
x Acos(0t ) Acos v A0 sin(0t ) A0 sin