电磁场与电磁波第2章 静态电磁场及其边值问题解
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电磁场与电磁波静态场的边值问题
s c
B ds 0 H dl I
B 0 H J
这是恒定磁场的基本方程。
磁介质中的本构方程为
B H
从以上方程可知，恒定磁场是一个旋涡场，电流是这个旋 涡场的源，电流线是闭合的。
静态场的位函数
1、静电场的位函数分布
静电场可以用一个标量函数 即
的梯度来表示它:
+
A C B
-
恒定电流的形成 要想在导线中维持恒定电流，必须依靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电场力搬
到A极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。
若一闭合路径经过电源，则：
ò E ?dl
c
eE
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
即电场强度的线积分等于电源的电动势 E 若闭合路径不经过电源，则：
c
E dl 0
2、恒定电场的位函数分布
在无电源区域，恒定电场是一个位场，即有 E 0
这时同样可以引入一个标量位函数
使得
E
根据电流连续性方程 J 0 及物态方程 J E 并设电导率 为一常数（对应于均匀导电媒质），则有
2 J ( E) ( ) 0
恒定电场在无电源区的基本方程的积分形式和微分形式分别为
J ds 0 E dl 0
s
c
J 0 E 0
导体中的本构方程为
J E
3、恒定磁场的基本方程 恒定电流的导体周围或内部不仅存在电场，而且存在 磁场，但这个磁场不随时间变化，是恒定磁场。假设导体
中的传导电流为I，电流密度为 J ,则有
第 5章
静态场的边值问题
电磁场与电磁波期末复习知识点归纳
自由空间
0
1
36 109
F
/m
0 4 107 H / m
得自由空间中电磁波的速度
v c 3108m / s
★ 理想介质中的均匀平面波的传播特点为：
● 电场和磁场在空间相互垂直且都垂直于传播方向。E、H、en
（波的传播方向）呈右手螺旋关系，是横电磁波（TEM波）；
电力线起始于正电荷，终止于负电荷。
2、 B磁场0 没有散度源。磁场是无散场。磁力线是无头无
尾的闭合。磁通连续性原理表明时变场中无磁荷存在。 3、 E 变化B的磁场是涡旋电场的旋涡源。与电荷产生的
t
无旋电场不同，涡旋电场是有旋场，其电力线是无头无尾的闭 合曲线，并与磁力线相交链。
第一章 矢量分析
标量场:梯度描述
静态场(稳态场):不随t变
场
场 矢量场:散度和旋度描述 时变场：随t变化
单位矢量：模为1的矢量
与矢量 A同方向的单位矢量：
eA
Aˆ
A A
A eAA
坐标单位矢量：与坐标轴正向同方向的单位矢量
如：ex
ey
ez或者xˆ
yˆ
zˆ
A Axex Ayey Azez
x
E
H
z
y
均匀平面波
无界理想介质中的均匀平面波
周期: T 2
频率: f 1 T 2
2 →波长
k
k 2 →波数（2内包含的波长数）
相速 v 1 k
k
注意，电磁波的相速有时可以超过光速。因此，相速不一定代表 能量传播速度。定义群速：包络波上一恒定相位点 推进的速度。
3 电磁场与电磁波--静态电磁场及其边值问题的解
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
电位差（电压） 将 E 两端点乘 dl ，则有 E dl dl dl d l 上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力 做的功
Q
P
Q E dl d ( P) (Q)
2
1 P1 2 Δl
P2
1 2 1 2 S n n
若介质分界面上无自由电荷，即S=0
1 2 1 2 n n
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
或
D1n D2n S
表明在两种媒质的分界面上存在自由面电荷分布时，电位移 矢量的法向分量是不连续的。
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
若分界面上不存在自由面电荷，即S=0，则
en (D1 D2 ) 0
或
D1n D2n
此时，在分界面上，电位移矢量的法向分量是连续的。由 边界条件： E E 和 E E ，可得场矢量在分界 1t 2t 1 1n 2 2n 面上的折射关系：
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析
3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性原理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法 3.7 有限差分法
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析
R
z L
( , , z)
2 ( z z ) 2 ，则
R
1 dz
L L
(r ) l 0 4 π 0
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
电位差（电压） 将 E 两端点乘 dl ，则有 E dl dl dl d l 上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力 做的功
Q
P
Q E dl d ( P) (Q)
2
1 P1 2 Δl
P2
1 2 1 2 S n n
若介质分界面上无自由电荷，即S=0
1 2 1 2 n n
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
或
D1n D2n S
表明在两种媒质的分界面上存在自由面电荷分布时，电位移 矢量的法向分量是不连续的。
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
若分界面上不存在自由面电荷，即S=0，则
en (D1 D2 ) 0
或
D1n D2n
此时，在分界面上，电位移矢量的法向分量是连续的。由 边界条件： E E 和 E E ，可得场矢量在分界 1t 2t 1 1n 2 2n 面上的折射关系：
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析
3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性原理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法 3.7 有限差分法
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析
R
z L
( , , z)
2 ( z z ) 2 ，则
R
1 dz
L L
(r ) l 0 4 π 0
静态电磁场边值问题精品PPT课件
φ=0 h r2
场源、边界条件不变
-q
19
待求电位：
点电荷q与-q各自产生电位的叠加：
q q
qq
4r1 4r2
20
待求区域电场强度：
Ex
4qx
1 r13
1 r23
Ey
4qy
1 r13
1 r23
Ez 4qzr13hzr23h
21
导体平面上的感应电荷：
s DnEz
qh
2 x2y2h2 3
qs sdS
n Si gi
i 1,2,, n
gi：边界Si上的位函数外法向偏导数值
10
第三类边值问题
边界条件：求解区域边界分为两部分，一部分边 界上给定位函数值，另一部分边界上 给定位函数沿边界外法向的偏导数值
2
F 0
Si
fi
i 1,2, , k
n Si gi
i k 1, k 2, , n
电磁场与电磁波
静态电磁场边值问题
内容
边值问题 唯一性定理 镜像法 分离变量法
2
作业
1. P137：4.1、4.2、4.3 2. 矩形槽沿直角坐标y方向无限延伸，槽两侧电位为 零，当y→∞时，电位φ→0，底部电位为φ(x, 0) =U0 ， 求槽内电位分布。
3
边值问题
概述
静态场问题
分布型问题：已知场源（电荷、电流），直接计 算空间各点的场强或位函数 边值型问题：已知⑴.位函数方程；⑵.空间某一 确定区域内的场源分布；⑶.该区域的边界条件 （边界面上的位函数或位函数的法向导数），求 区域内位函数的分布
分析：待求电位由q与导体平面感应电荷共同产生；
导体平面感应电荷未知，其
场源、边界条件不变
-q
19
待求电位：
点电荷q与-q各自产生电位的叠加：
q q
4r1 4r2
20
待求区域电场强度：
Ex
4qx
1 r13
1 r23
Ey
4qy
1 r13
1 r23
Ez 4qzr13hzr23h
21
导体平面上的感应电荷：
s DnEz
qh
2 x2y2h2 3
qs sdS
n Si gi
i 1,2,, n
gi：边界Si上的位函数外法向偏导数值
10
第三类边值问题
边界条件：求解区域边界分为两部分，一部分边 界上给定位函数值，另一部分边界上 给定位函数沿边界外法向的偏导数值
2
F 0
Si
fi
i 1,2, , k
n Si gi
i k 1, k 2, , n
电磁场与电磁波
静态电磁场边值问题
内容
边值问题 唯一性定理 镜像法 分离变量法
2
作业
1. P137：4.1、4.2、4.3 2. 矩形槽沿直角坐标y方向无限延伸，槽两侧电位为 零，当y→∞时，电位φ→0，底部电位为φ(x, 0) =U0 ， 求槽内电位分布。
3
边值问题
概述
静态场问题
分布型问题：已知场源（电荷、电流），直接计 算空间各点的场强或位函数 边值型问题：已知⑴.位函数方程；⑵.空间某一 确定区域内的场源分布；⑶.该区域的边界条件 （边界面上的位函数或位函数的法向导数），求 区域内位函数的分布
分析：待求电位由q与导体平面感应电荷共同产生；
导体平面感应电荷未知，其
《电磁场与电磁波》习题参考答案
况下，电场和磁场可以独立进行分析。（ √ ）
12、静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（ × ）
13、静电场是有源无旋场，恒定磁场是有旋无源场。（ √ ） 14、位移电流是一种假设，因此它不能象真实电流一样产生磁效应。（
×）
15、法拉第电磁感应定律反映了变化的磁场可以产生变化的电场。（ √ ） 16、物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不
D.有限差分法
6、对于静电场问题，仅满足给定的泊松方程和边界条件，
而形式上不同的两个解是不等价的。（ × ）
7、研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物 质内发生的静电现象。（ √ ）
8、泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ × ）
9、静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方 程的解都是唯一的。（ √ ）
是（ D ）。
A．镜像电荷是否对称
B．电位所满足的方程是否未改变
C．边界条件是否保持不变 D．同时选择B和C
5、静电场边值问题的求解，可归结为在给定边界条件下，对拉普拉斯
方程的求解，若边界形状为圆柱体，则宜适用( B )。
A.直角坐标中的分离变量法
B.圆柱坐标中的分离变量法
C.球坐标中的分离变量法
两个基本方程：
3、写出麦克斯韦方程组，并简述其物理意义。
答：麦克斯韦方程组的积分形式：
麦克斯韦方程组的微分形式：
每个方程的物理意义： (a) 安培环路定理，其物理意义为分布电流和时变电场均为磁
场的源。 (b) 法拉第电磁感应定律，表示时变磁场产生时变电场，即动
磁生电。 (c) 磁场高斯定理，表明磁场的无散性和磁通连续性。 (d)高斯定理，表示电荷为激发电场的源。
《电磁场与电磁波》习题参考答案
《电磁场与电磁波》知识点及参考答案第1章 矢量分析1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F∇⋅≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。
2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ∇⨯≡，则矢量场是无旋场，由散度源所产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。
3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是：散度（高斯）定理：SVFdV F dS ∇⋅=⋅⎰⎰和斯托克斯定理：sCF dS F dl∇⨯⋅=⋅⎰⎰。
4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。
（ √ ）5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。
（ √ ）6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。
（ √ ）7、梯度的方向是等值面的切线方向。
（× ）8、标量场梯度的旋度恒等于0。
（ √ ） 9、习题1.12, 1.16。
第2章 电磁场的基本规律（电场部分）1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。
2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。
3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是：V V sD d S d V Q ρ⋅==⎰⎰和0lE dl ⋅=⎰。
4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ∇⋅=和0E∇⨯=。
5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。
6、在两种媒质分界面的两侧，电场→E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→B 的法向分量B 1n －B 2n ＝0。
7、在介电常数为e 的均匀各向同性介质中，电位函数为 2211522x y z ϕ=+-,则电场强度E=5x y zxe ye e --+。
8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。
电磁场与电磁波 静态场边值问题
代入上式， 代入上式，得
1 d 2 f ( x ) 1 d 2 g ( y ) 1 d 2 h( z ) ⋅ + ⋅ + ⋅ =0 2 2 2 g h dz f dx dy
上式中每项都只是一个变量的函数， 上式中每项都只是一个变量的函数，其成立的唯一条件是 三项中每项都是一个常数， 三项中每项都是一个常数，故有
d 2 f ( x) = −k 2 x f ( x) dx 2
d 2 g ( y) = −k 2 y f ( y ) dy 2
d 2 h( z ) = −k 2 z f ( z ) dz 2
分离常数， 其中 k x，k y，k z 为分离常数，且 ※ 分析 与 讨论 ① 当 kx2 = 0 时
2010-12-8
边值问题 是指存在边界面的电磁问题。 是指存在边界面的电磁问题。 根据给定边界条件对边值问题分类： 根据给定边界条件对边值问题分类： 第一类边值问题： 第一类边值问题： 已知位函数在全部边界面上的分布值 边值问题
φ
∂φ ∂n
S
= f
= f
S
狄里赫利问题（ 狄里赫利问题（Dirichlet） ）
第二类边值问题：已知位函数在全部边界面上的法向导数值 第二类边值问题： 边值问题 诺埃曼问题 （Neumann） ）
解： 选择直角坐标系
在区域 0<x<a、0<y<b内 、 内
y y
∇ φ =0
2
b b
φ φ = 0(x) =U φ =0
0 0
∂φ ∂φ + 2 =0 2 ∂x ∂y
2 2
∂φ =0 ∂x
φ =0 φ =U φ =0 φ =0
a a
x x
1 d 2 f ( x ) 1 d 2 g ( y ) 1 d 2 h( z ) ⋅ + ⋅ + ⋅ =0 2 2 2 g h dz f dx dy
上式中每项都只是一个变量的函数， 上式中每项都只是一个变量的函数，其成立的唯一条件是 三项中每项都是一个常数， 三项中每项都是一个常数，故有
d 2 f ( x) = −k 2 x f ( x) dx 2
d 2 g ( y) = −k 2 y f ( y ) dy 2
d 2 h( z ) = −k 2 z f ( z ) dz 2
分离常数， 其中 k x，k y，k z 为分离常数，且 ※ 分析 与 讨论 ① 当 kx2 = 0 时
2010-12-8
边值问题 是指存在边界面的电磁问题。 是指存在边界面的电磁问题。 根据给定边界条件对边值问题分类： 根据给定边界条件对边值问题分类： 第一类边值问题： 第一类边值问题： 已知位函数在全部边界面上的分布值 边值问题
φ
∂φ ∂n
S
= f
= f
S
狄里赫利问题（ 狄里赫利问题（Dirichlet） ）
第二类边值问题：已知位函数在全部边界面上的法向导数值 第二类边值问题： 边值问题 诺埃曼问题 （Neumann） ）
解： 选择直角坐标系
在区域 0<x<a、0<y<b内 、 内
y y
∇ φ =0
2
b b
φ φ = 0(x) =U φ =0
0 0
∂φ ∂φ + 2 =0 2 ∂x ∂y
2 2
∂φ =0 ∂x
φ =0 φ =U φ =0 φ =0
a a
x x
静态电磁场及其边值问题的解
E dl
A
P
定义点A电位： A
E dl
A
(P 为参考点，P 0 )
说明：
① 电位有明确的物理意义；
② 电位差与参考点的选择无关；
③ 同一问题中只能有一个参考点；
④ 选择电位参考点的原则是电位表达式要有意义，
应使电位表达式最简单：
电荷分布在有限区域时一般是无穷远为参考点，
, )
C
C
p cos 4 0r 2
中，p、0 为常数
故 等位面方程：r C1 cos (可画出 r 对 的曲线) ，而
dr Er
rd
E
r sind
E
dr
2 cos
rd sin
dr r
2d (sin sin
)
r
C2 sin2
第19页
[例] 求如图所示同轴电容器的电场和单位长度电容。
解：问题的边界条件是：
① a ， a ； b ， b
② 介质分界面上: E1t E2t，D1n D2n
用高斯定律试探解： E 1 , D 1
设
C
E1 E2 e
，C为常数，则
4 0r1r2 4 0r 2
定义电偶极矩矢量：
p qd
(单位 C m )
p cos 4 0r 2
p er
4 0r 2
p r
4 0r 3
p
4 0
1 r
第17页
电磁场与电磁波 第三章__静态电磁场及其边值问题的解
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D 0, B 0, V 0
t
t
t
– 静态场包括静电场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电磁
场的特例。
– 静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的 电场。
– 恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场。
– 恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静 磁场。
又称狄里赫利问题。如在静电场中，已知各导
体表面的电位，求解空间的电位问题。
第二类：给定边界上每一点位函数的法向导数
值。
又称诺依曼问题。如在静电场中，已知各导体
表面的电荷密度分布，求解空间的电位问题，此
时的电荷密度分布可表达为
n
的形式。
第三类：给定一部分边界 S1 上每一点的位函数，
同时给定另一部分边界 S2 上每一点的位函数的法
(2)静电场与恒定电场 • 对偶方程 • 对偶量
静电场(无源区域) 恒定电场(电源外区域)
E 0
E
D 0
D E
2 0
q S D dS
E 0
E
Jc 0
J E
2 0
I S Jc dS
(3)静电场与恒定磁场 • 对偶方程 • 对偶量
r r r
R2 R1
由边界条件 U A ln R1 B 0 Aln R2 B
A
U ln R1
R2
B
U ln R1
ln
R2
R2
则：
U ln R2
ln
R2 r
R1
E
E
U r ln R2
aˆr
R1
在第 1 章中指出电磁场能量密度为
w(r,
t
)=
1 2
(H
B+E
E D E V
() V 2 V ——泊松方程
无源区域
0
2 0 ——拉普拉斯方程
*恒定电场的拉普拉斯方程 恒定电场基本方程
l E dl 0 S Jc dS 0
Jc E
E 0 J 0
dS
1 2
dV
S
V
对整个稳恒电场，面积分在无穷远处进行，
向导数，这类问题又称混合问题。
*问题的分类
狄利克雷问题：给定整个场域边界上的位函数值 f (s) 聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 f (s)
n
混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合
f1
(s)
n
f2(s)
1. 惟一性定理：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解
是惟一的。
①用反证法可以证明。
惟一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论 根据。镜像法就是惟一性定理的直接应用。
2.3.1 静态场特性 1. 静态场基本概念
2.3 稳恒电场分析
– 静态场是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场。
D)
据此可将电场的能量表示为
We
=
1 2
E DdV
V
因 E ，所以电场的能量可表示为
We
=
1 2
(
)
DdV
=
1 2
[
(
D)
(
D)]dV
V
V
将 D= 代入并注意 (D)dV = (D) dS
V
S
得
We
=
1 2
(
D)
r
)
1 r2
2 2
2
z 2
球坐标系
2
1 R2
R
(R2
)
R
1
R2 sin
(sin
)
1
R2 sin2
2 2
**稳恒场的重要原理和定理
1. 对偶原理
(1)概念：如果描述两 种物理现象的方程 具有相同的数学形 式，并具有对应的 边界条件，那么它 们解的数学形式也 将是相同的，这就 是对偶原理，亦称 为二重性原理。具 有同样数学形式的 两个方程称为对偶 方程，在对偶方程 中，处于同等地位 的量称为对偶量。
——导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征， 是保守场
E Jc E 0
() 0
2 0 ——拉普拉斯方程
拉普拉斯算子 2
直角坐标系
2
2
x2
2
y 2
2
z 2
圆柱坐标系
2
1 r
r
(r
2.3.2 稳恒场的麦克斯韦方程组
– 稳恒场与时变场的最本质区别：稳恒场的电场和磁场
是彼此独立存在的。
E dl 0
L
D dS = dV Q
S
V
H dl = Jf dS
L
S
B dS = 0
E 0
D =
例1: 已知无限长同轴电缆内、外半径分别为 R1 和 R2（如图所 示），电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为 U，
外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。
解：根据轴对称的特点和无限长的假设， 可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程， 采用圆柱坐标系
1 (r ) 0 积分 Aln r B
H = Jf B = 0
S
J 0 积分形式？
2.3.3 位函数及泊松方程 1. 静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 静电场基本方程
l E dl 0
D dS S
V V dV
D E
E 0
D V
——静电场是有散(有源)无旋场，是保守场。
第2章 静态场分析
2.1 边值问题的分类 2.2 标量格林定理和唯一性定理 2.3 稳恒电场分析 2.4稳恒磁场分析 2.5 镜像法 2.6 分离变量法
2.1 边值问题的分类
我们把用微分方程及相关边界条件描述的
问题，称为边值问题。根据边界条件不同，将边
值问题分为三类：
第一类：给定整个边界S 上的位函数值。
静电场(无源区域)
E 0 D 0 D E
q S D dS
2 0
恒定磁场(无源区域)
H 0
B 0
B H
qm
B dS
S
2m 0
(4)有源情况下的对偶关系 • 对偶关系存在 • 不像上述两种情况那样一目了然
(5)应用 • 电偶极子和磁偶极子辐射的对偶关系， • 某些波导中横电波(TE波)和横磁波(TM波)间的对偶关系