第五章波动率的估计(GARCH模型)
波动率的估计(ARCH模型)
异方差性破坏了古典模型的基本假定，如果
我们直接应用最小二乘法估计回归模型，将得 不到准确、有效的结果。
异方差性
异方差性另一例子：波动率据聚类性。
资本市场的波动性通常用收益率的标准差 来度量,也称为波动率.大量研究表明股票 收益率表现为在某个时间段波动大,而在 另一个时间段收益率波动又比较小的现 象, 这种现象被称为波动率聚类性。
异方差性例子：在实际经济问题中，随机
扰动项Ui往往是异方差的，例如
（1）调查不同规模公司的利润，发现大公 司的利润波动幅度比小公司的利润波动幅度大；
（2）分析家庭支出时发现高收入家庭支出 变化比低收入家庭支出变化大。
在分析家庭支出模型时，我们会发现高收入 家庭通常比低收入家庭对某些商品支出有更大 的方差。
HEW0.8
HEWV0.2
波动率的特性： P194, (1)-(6)
实现的波动率
使用日内数据计算样本方差做为一天内波 动率的估计。
假设一天内收集到价格 计算日内收益率
pt,0, pt,1,..p.t,n
r t,1 ,r t,2 ,.r t.,n ,.r t,i, ln p t,i 1 ( ) ln p t,i)(
50
40
30
20
10
0 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
H30V
H120V
H60V
H240V
滑动平均波动率
30天与240天 60
50
40
30
20
10
0 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
H30V
H240V
滑动平均波动率－关于n的选择
garch波动率模型
garch波动率模型GARCH波动率模型是金融领域中常用的一种波动率预测模型，它基于过去的波动率信息来预测未来的波动率。
本文将介绍GARCH 模型的原理、应用和局限性。
一、GARCH模型的原理GARCH模型是由Engle于1982年提出的，它的全称是Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity model，翻译过来就是广义自回归条件异方差模型。
GARCH模型的基本思想是通过对过去一段时间的波动率进行建模，来预测未来的波动率。
GARCH模型的核心是通过对过去的波动率进行建模，来捕捉波动率的自相关性和异方差性。
在GARCH模型中，波动率是一个时间序列，它的波动会受到过去一段时间内的波动率的影响。
GARCH 模型通过引入自回归项和移动平均项，来捕捉波动率的自相关性和异方差性。
二、GARCH模型的应用GARCH模型在金融领域有着广泛的应用，特别是在风险管理和衍生品定价中。
通过对未来波动率的预测，可以帮助投资者和交易员更好地管理风险和制定交易策略。
1. 风险管理：GARCH模型可以用来估计金融资产的风险价值，即在给定的置信水平下，资产可能的最大损失。
通过对不同资产的风险价值进行估计，可以帮助投资者更好地分散风险，保护资产。
2. 衍生品定价：GARCH模型可以用来估计衍生品的隐含波动率，从而为衍生品的定价提供基础。
隐含波动率是指市场上衍生品的价格中所隐含的未来波动率，通过GARCH模型的预测，可以帮助交易员判断衍生品的市场价格是否合理。
三、GARCH模型的局限性尽管GARCH模型在金融领域有着广泛的应用，但它也存在一些局限性。
1. 假设限制：GARCH模型假设波动率是一个时间序列，它的波动受到过去波动率的影响。
然而，在实际应用中，市场的波动率可能受到其他因素的影响，如宏观经济变量、政治事件等，这些因素无法被GARCH模型捕捉到。
2. 参数估计：GARCH模型的参数估计比较复杂，需要通过最大似然估计等方法来求解。
波动率模型_ARCH_GARCH
波动率模型在金融领域主要有两个方面的重要作用：
衍生证券定价 风险管理
自回归条件异方差模型(ARCH)
ARCH模型的定义：Engle(1982)
ARCH(p)：p-阶自回归条件异方差过程
t ht vt
vt i.i.d .N (0,1) E (vt ) 0, E (vt2 ) 1 ht 0 j t2 j
识别ARCH模型的阶数，估计模型；
检验ARCH模型的残差是否满足独立同分布条件， 根据情况修改模型。
方法一：检验残差平方是否存在自相关。 计算残差的无条件方差：
ˆ
2
ˆ ( L) ˆ ˆ yt ， ˆ 计算出估计的残差值 t yt X 或ut ˆ ( L)
t2 / T ˆ
ARCH(1)过程{εt}的条件期望仍然是常数，但是条件 方差不再是常数。这样的过程根据定义是不相关的， 但是并不独立。
ARCH模型表明，如果εt-1异常地偏离它的条件期望，
那么εt的条件方差ht要比通常情况下大，所以有理由 预期εt会比较大，这样使得ht+1比较大；反之，如果 εt-1异常地小，那么条件方差ht要比通常情况下小，所 以有理由预期εt会比较小。这样使得ht+1比较小。虽然
所以{t2} 的形式类似于AR(1)。虽然过程{εt}不相关，但
{ t2}，在1 1 时的自相关函数为： 是过程
(h) 1|h| , h
2
{ t } 更高阶次的矩： 容易证明：
Et 1 ( t4 ) 3( 0 1 t21 )2
2 E ( t4 ) [3 0 (1 1 )] /[(1 1 )(1 312 )] 2 3 0 (1 1 ) (1 1 ) 2 峰度 E ( t4 ) / E ( t2 )2 2 (1 1 )(1 31 ) 02
第五章波动率的估计(GARCH模型)
EGARCH模型
1）重要特征是引入不对称性 2）参数没有大于0的约束，因为对求对数后 的条件方差建模，，可以保证方差为对数。 3）可以假设νt~广义误差分布 4）假设vt是正态分布时E(|vt|)= (2X t′β + δg (ht ) + ε t
g()是条件方差的函数通常是ht ，ln ht
2 利用 E(vT +1 − 1 | FT ) = 0 从而得GARCH(1,1)以T为 预测原点的向前两步预测公式 hT (2) = E(hT +2 | FT )
2 t
= ht v
2 t
将
2 = E[α 0 + (α1 + β1 )hT +1 + α1hT +1 (vT +1 − 1) | FT ]
ε t = htν t
ht = α 0 + α ε
2 1 t −1
+L+α ε
2 p t −q
反映波动率的非对称性 ε t = htν t
S-1是虚拟变量，如果εt-1<0，则S-1取值为1， 如果εt-1≥0则S-1取值为0。 通过画出响应曲线，看到市场利空和利好 消息对波动率的不同影响
GJR模型
响应曲线
20
15
SIG2
10
5
0 -10
-5
0 Z
5
EGARCH 指数广义条件异方差模型
ln ht = k 0 + β 1 ln ht −1 + L + β r ln ht − r +
= α 0 + (α1 + β1 )hT (1)
一般地，GARCH(1,1)模型的向前预测l 步的公式
波动率预测GARCH模型与隐含波动率
波动率预测GARCH模型与隐含波动率一、本文概述波动率预测一直是金融领域的核心问题之一，对于投资者、风险管理者和市场监管者都具有重要意义。
本文旨在探讨GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）在波动率预测中的应用，并与隐含波动率进行比较分析。
通过这一研究，我们希望能够更深入地理解这两种波动率预测方法的原理、优缺点及适用范围，为金融市场的稳定和发展提供理论支持和实践指导。
本文首先将对GARCH模型进行详细介绍，包括其理论基础、模型构建过程以及在实际应用中的表现。
随后，我们将对隐含波动率的概念、计算方法和应用领域进行阐述。
在此基础上，我们将对GARCH模型预测波动率与隐含波动率进行比较分析，探讨它们之间的异同点以及在不同市场环境下的适用性。
通过本文的研究，我们期望能够为投资者提供更准确的波动率预测方法，帮助他们在金融市场中做出更明智的投资决策。
我们也希望为风险管理者提供有效的风险管理工具，以降低投资风险并保护投资者的利益。
我们还将为市场监管者提供政策建议和监管思路，以促进金融市场的健康稳定发展。
二、波动率与金融市场在金融市场中，波动率是一个至关重要的概念，它反映了资产价格变动的幅度和不确定性。
对于投资者和风险管理者来说，理解并预测波动率是做出有效决策的关键。
因此，波动率预测在金融领域中具有广泛的应用，包括但不限于资产配置、风险管理、衍生品定价和投资策略制定等。
在众多波动率预测模型中，GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）因其能够捕捉金融时间序列数据的波动性聚集现象而备受关注。
波动性聚集是指资产价格在大幅波动后往往伴随着更大的波动，而在小幅波动后则可能出现较小的波动。
GARCH模型通过引入条件方差的概念，允许波动率随时间变化，并能够在一定程度上解释这种波动性聚集现象。
除了GARCH模型外，隐含波动率也是金融市场中的一个重要概念。
隐含波动率是指从金融衍生品价格中反推出的波动率，它反映了市场对未来资产价格波动的预期。
基于非参数GARCH模型的一种波动率估计方法
基于非参数GARCH模型的一种波动率估计方法非参数GARCH模型是一种用来估计金融资产的波动率的方法，它不需要对模型的参数进行先验设定，而是根据历史数据来估计波动率的方法。
非参数GARCH模型可以更准确地捕捉金融市场的波动性，因为它不受参数设定的限制。
非参数GARCH模型是基于李晓华等人提出的方法发展起来的。
该方法首先对数据进行预处理，然后通过将预处理后的数据分箱，再根据每个箱子中的数据计算平均差和标准差等参数，进而计算出波动率。
具体而言，非参数GARCH模型的估计步骤如下：1.数据预处理：首先，对原始数据进行筛选和清洗，排除异常值和缺失值等干扰因素。
然后，对数据进行收益率计算，得到每个观测期的收益率序列。
2.数据分箱：将收益率序列分成若干个箱子，每个箱子中包含相同数量的收益率观测值。
通常情况下，可以将数据分为等宽箱或等频箱。
3.参数估计：计算每个箱子的平均差和标准差，其中平均差表示每个箱子中的平均波动性，标准差表示每个箱子中的波动性差异。
可以使用有监督学习方法，如回归分析或支持向量机等，来估计平均差和标准差。
4.波动率计算：根据每个箱子的平均差和标准差计算波动率。
可以使用线性插值或其他方法来计算波动率。
非参数GARCH模型的优点在于它不需要对模型的参数进行预设，因此可以更灵活地适应不同类型的数据。
此外，非参数GARCH模型还能够更准确地表达金融市场的异常波动情况。
然而，非参数GARCH模型也存在一些限制。
首先，该方法需要对数据进行分箱，而箱宽的选择会对波动率估计结果产生影响。
其次，由于计算每个箱子的参数估计需要大量的计算资源和时间，在处理大规模数据时可能面临挑战。
总而言之，非参数GARCH模型是一种基于历史数据的波动率估计方法。
它通过对数据进行预处理、分箱和参数估计，最终计算出波动率。
非参数GARCH模型能够更准确地估计波动率，但也面临一些限制。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择适合的波动率估计方法。
金融工程学Chapter5
金融工程学 Chapter5引言金融工程是一门综合性学科，旨在运用数学、统计学和计算机科学等工具，研究金融市场和金融产品，以解决金融领域的实际问题。
本章将探讨金融工程学中的第五章内容，包括期权定价、风险中性测度以及波动率的估计等。
1. 期权定价1.1 期权的基本概念期权是一种金融衍生品，它给予持有者在未来某个时间点或某个特定时间段内购买或卖出某种资产的权利。
期权的价值在很大程度上取决于标的资产价格的变动。
1.2 期权定价模型1.2.1 Black-Schole模型Black-Schole模型是一个用于计算欧式期权定价的数学模型。
它假设市场中不存在任何交易费用和税收，并且市场是完全有效的。
在这个模型中，期权的价格是由标的资产的价格、执行价格、时间、无风险利率和标的资产的波动率来决定的。
1.2.2 套利定价原则套利定价原则是一种通过构建无风险套利组合来确定期权合理价格的方法。
这个原则基于市场无套利的假设，套利定价原则的核心思想是通过一系列交易来合成与期权相同的现金流。
1.3 期权定价的实证方法1.3.1 历史模拟法历史模拟法是通过使用历史价格和波动率来估计期权的价值。
这种方法的优点是计算简单，但缺点是对未来的不确定性没有考虑。
1.3.2 蒙特卡洛模拟法蒙特卡洛模拟法是一种基于随机数和模拟的方法，用于估计期权的价值。
这种方法通过生成许多随机价格路径，并计算每个路径上期权的价值，然后取平均值作为估计结果。
2. 风险中性测度风险中性测度是金融工程学中的重要概念，它给出了无套利投资策略的概率分布。
风险中性测度可以用于定价衍生品，管理风险以及进行投资决策。
风险中性测度是指在特定的投资环境下，投资者对未来收益的偏好是中性的，即对风险和收益没有明显的倾向。
2.2 风险中性测度的性质风险中性测度有以下几个重要的性质：•风险中性测度下的资产价格过程是一个马尔可夫过程，即未来的价格只依赖于当前的价格。
•在风险中性测度下，市场是完全有效的，不存在任何的套利机会。
基于GARCH模型的股价波动预测
基于GARCH模型的股价波动预测基于GARCH模型的股价波动预测一、引言股票市场中的波动性一直是投资者关注的焦点之一。
准确预测股价波动有助于投资者制定合理的投资策略，降低风险并获得收益。
GARCH（Generalized AutoregressiveConditional Heteroscedasticity）模型是一种常用于金融市场波动预测的统计模型，本文将介绍GARCH模型的原理和应用，以及通过该模型进行股价波动预测的方法和步骤。
二、GARCH模型原理GARCH模型通过建模误差项的波动性，捕捉到股票市场的异方差性（Heteroscedasticity）。
GARCH模型基于时间序列分析的基本原理，认为过去的波动对未来波动有重要影响。
该模型通过拟合历史波动性数据，生成一个条件波动性序列，从而预测将来的波动性水平。
GARCH模型由ARCH（Autoregressive Conditional Heteroscedasticity）模型发展而来。
ARCH模型是通过引入滞后误差项的平方，捕捉到异方差性。
然而，ARCH模型只考虑到了平方的影响，而在金融市场中，波动性的影响可能是各种方面的。
GARCH模型在ARCH模型的基础上引入了滞后条件波动性的平方，将过去波动性的信息作为一个冗余变量，从而更好地捕捉到波动性的特征。
三、GARCH模型的应用GARCH模型广泛应用于金融市场，已成为预测股价波动性常用的统计模型。
GARCH模型的应用可以分为两个方面：条件波动性的建模和波动性预测。
1. 条件波动性建模条件波动性建模是GARCH模型的核心内容，通过拟合历史波动性数据，得到一个条件波动性序列。
条件波动性序列可以反映股票市场的波动性水平，投资者可以根据这一信息制定风险管理策略。
条件波动性建模的关键是选择适当的GARCH模型，常用的有GARCH(1,1)、GARCH(1,2)等。
2. 波动性预测GARCH模型的另一个重要应用是波动性预测。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
2 t 1
1ht1
0
1
2 t 1
1 ( 0
1
2 t2
1ht2 )
0
(1
1)
1
2 t 1
1
1
2 t2
12 ht 2
0 (1
1
12
)
1
2 t 1
2
2 t2
2
2 t3
是无穷阶ARCH过程
2)
过程
2 t
是一个ARMA(r,p)过程,其中
r
max(p, q)
对于GARCH(p,q),
t ht vt
GARCH性质
3）参数i , i=1,2,…,q和i , i=1,2,…,p大 于零是保证条件方差为正的充分条件,而 不是必要条件。
4)可以证明 {2t}平稳的条件是1+…+q+1+…+ p <1。
GARCH预测
考虑GARCH(1,1)模型，假定T为预测原点。对 向前一步预测，我们有，
hT 1
0
1
2 T
1hT
于是
hT
(1)
E(hT 1
|
FT
)
0
1
2 T
1hT
GARCH（1，1）的向前多步预测
对向前多步预测，我们用
2 t
ht vt2
将
GARCH(1,1)公式改写为
ht1 0 1htvt2 1ht
0 (1 1)ht 1ht (vt2 1)
利用 E(vT21 1| FT ) 0 从而得GARCH(1,1)以T为 预测原点的向前两步预测公式
金融时间序列模型
第五章：波动率的估计
金融时间序列模型
其它ARCH类模型
ARCH(q)模型
t ht t
ht
0
1
2 t 1
q
2 tq
Vt是独立白噪声过程
为反映收益率波动的异方差性， ARCH模型将条件
方差 ht 表示为滞后残差平方的线性函数
引入GARCH模型的背景：
ARCH模型虽然简单但为了充分描述波动 性聚类的特点往往需要很多参数，即要 提高ARCH模型的阶数p。但p较大时，参 数估计不再精确，由此计算出的条件方 差也不精确，存在较大误差。为克服这 一问题，Bollerslev1986提出了广义的 ARCH模型。
hT (2) E(hT 2 | FT )
E[ 0 (1 1 )hT 1 1hT 1 (vT21 1) | FT ] 0 (1 1 )hT (1)
一般地，GARCH(1,1)模型的向前预测l 步的公式
hT (l) 0 (1 1 )hT (l 1) l 1
对上式重复迭代我们得到向前l步预测能够写成
ht
2 t
0
1
(
2 t 1
ht
1
)
p
(
2 t
p
ht p )
1
2 t 1
p
2 t
p
1
2 t 1
q
2 tq
2 t
变形有
ht
0
1ht1
phtp
1
2 t 1
q
2 t q
令 wt
2 t
ht 合并同类项有
2 t
0
wt
1wt 1
p wt p
j q 时 j 0
(1
1
)
2 t 1
(
p
r
)
2 tr
l p 时 l 0
实际例子5.3
ARCH与GARCH模型一些共同的缺点
不能反应波动率的非对称特点 约束强，要求系数非负，如果要求高阶
矩存在，还有更多的约束 不能解释为什么存在异方差，只是描述
了条件异方差的行为
GJR模型
反映波动率的非对称性
t ht t
ht
k0
1ht1
phtp
1 t21
2
q tq
ARCH-M模型
yt X t g(ht ) t
g()是条件方差的函数通常是ht ，ln ht
t ht t
ht
0
1
2 t 1
p
2 t q
E(vt ) 0, Var(vt ) 1.
ARMA和GARCH过程的比较
性质
髙斯
ARMA
白噪声
GARCH ARMAGARCH
条件均值 条件方差 条件分布 边际均值 和方差 边际分布
常数 常数 正态 常数
正态
非常数 常数 正态 常数
正态
0 非常数 正态 常数
厚尾
非常数 非常数 正态 常数
厚尾
实际例子5.2
而
wt
2 t
ht 满足：
E(wt ) 0
cov(wt , wt j ) 0, j 1
但 wt 一般不是独立同分布的
GARCH(1,1)过程的峰度公式
GARCH(1,1)过程的峰度刻画波动率的厚尾性
峰度=4阶原点矩/标准差的四次方
正态分布的峰度=3意味着 E(vt4 ) 3
E(
4 t
GARCH（p,q） 广义条件异方差模型
t ht t
ht
0
1ht1
phtp
1
2 t 1
q
2 tq
相比ARCH模型：
1) GARCH (p,q)模型是ARCH模型的扩展,
即GARCH模型的条件方差不仅是滞后残差
平方的线性函数,而且是滞后条件方差的线
性函数。
2) GARCH模型适合在计算量不大时,方便地描述了
高阶的ARCH过程,因而具有更大的适用性
GARCH(1,1)
t ht t
ht
0
1 ht 1
1
2 t 1
ht是条件方差，随时间变化而变化。
无条件均值 E( t ) 0
无条件方差
Var ( t
)ห้องสมุดไป่ตู้
1
0 1
1
GARCH(1,1)的性质： 1) GARCH(1,1)等价一个无穷的ARCH过程
ht
0
hT
(l)
0[1 (1 1 1
1 )l1 ] 1
(1
1 )l1 hT
(1)
0 , (l ) 1 1 1
GARCH(1,1)的无条件方差
练习题1：求GARCH(1,2)的向前一步和向
前两步预测公式
GARCH(1,2)模型：
t ht vt
ht
0
1ht1
1
2 t 1
2
2 t2
vt 是独立同分布的白噪声过程，并且
>0同等程度的正扰动引起条件方差的变化比负 扰动要大；<0同等程度的正扰动引起条件方差 的变化比负扰动要小; =0同等程度的正扰动引 起条件方差的变化与负扰动相等。
EGARCH模型
1）重要特征是引入不对称性 2）参数没有大于0的约束，因为对求对数后
的条件方差建模，，可以保证方差为对数。 3）可以假设t~广义误差分布 4）假设vt是正态分布时E(|vt|)= (2/)1/2
)
3E (ht2
)
GARCH(1,1)过程的峰度
K
E(
4 t
)
3
612
[
E
(
2 t
)]2
1 212 (1 1 )2
GARCH性质
1)当p=0时,GARCH过程成为ARCH过程,ARCH过程 是GARCH的特例，这也是该过程被称为广义 的原因。
2)和GARtC-1H,过t-程q的的函含数义。是条件方差ht是ht-1,…ht-p
S
1
2 t 1
S-1如是果虚拟t-1变0则量S，-1如取果值为t-10<。0，则S-1取值为1， 通过画出响应曲线，看到市场利空和利好
消息对波动率的不同影响
GJR模型
响应曲线 20
15
SIG2
10
5
0
-10
-5
0
5
Z
EGARCH 指数广义条件异方差模型
ln ht k0 1 ln ht1 r ln htr 1g(vt1 ) ... q g(vtq ) g(vt ) {| t | E(| t |)} t