方差分析(二)

4.结核病
20
21
20 20 19 100 按B水平合计 ni T Y
i i k
i k
25
28 30 31 137 20
25
30 26 23 128 20 365 60 9107
20
ijk
557
16613
596
18000
659
22843
1812
57456
2 Si Yijk
处理因素A与B每种组合的合计数列于每个格子下部。从表9-3的边 际值看出，处理因素A中肿瘤与脑血管意外的访视时间较长。处理因 素B有随年龄增长而访视时间增加的趋势。两因素析因实验的方差分 析模型为：
随机区组设计的方差分析
一、随机区组设计方差分析的基本思想 随机区组设计（randomized block design）是事先将全部 受试对象按某种可能与实验因素有关的特征分为若干个区 组（block），使每一区组内的受试对象例数与处理因素的
分组数相等，使每个实验组从每一区组得到一例受试对象。
设共有n个区组，处理因素有a个水平（a个实验组），受试 对象总数为N＝n×a。（配对试验设计的扩大）
将以上计算结果列于方差分析表中见表9-2。
查附表5：F界值表得F0.05(2,14)=3.74, F0.01(2,14)=6.51。故处理
因素在α ＝0.05水准上不拒绝无效假设，不同营养素对小鼠 所增体重的差别无统计学意义。区组因素在α ＝0.05水准上
拒绝无效假设，故窝别对小鼠所增体重的差别具有统计学意
例9-l 采用随机区组设计方案，以窝作为区组标志，给
断奶后的小鼠喂以三种不同的营养素A、B、和C。四周后检 查各种营养素组的小鼠所增体重（g）。资料列于表9-1第一 部分。
block
区组（j） 1 2 3 4
表9-1 三种营养素喂养四周后 营养素分组（i） 1 （A ） 57.0 55.0 62.1 74.5 2（B） 64.8 66.6 69.5 61.1 3（C） 76.0 74.5 76.5 86.6 按区组求和 nj 3 3 3 3
表9-3 护士进行家庭访视所花费的时间（分钟） 因素A 病种(i) 1.心脏病 按A水平合计 2 Si Yijk 1(20岁以上) 2(30岁以上) 3(40岁以上) T Y j k
i ijk j k
因素B：护士年龄组（j） 25
20
24
25
22 27 21 115 2.肿瘤 30 45
令Tij Yijk , Ti Tij , T j Tij , T Ti T j ,
k 1
n
n
b
a
a
b
j 1
i 1
i 1
j 1
Si (Y ), S j (Y ), S Si S j
j 1 k 1 2 ijk i 1 k 1 2 ijk i 1 j 1
对上式的等号两边取平方后按i与j两个方向求和就得到总离均
差平方和的分解公式为：
(Yij Y )2 (Y i Y Y j Y Yij Y i Y j Y )
i j i j
2
(Y i Y )2 (Y j Y )2 (Yij Y i Y j Y ) 2
22析因设计模型 设：因素A有二个水平
a1 a2 b1
因素B有二个水平
b2
因素B a1 b1 a1b1
因素A a2 a2b1
b2
a1b2
a2b2
一、两因素析因实验的方差分析模型
处理因素 A及B分别有 a及b个水平，总共有a×b种组合。在每一种组 合下即每一个格子中配有 n 个受试对象。全部实验受试对象总数 N ＝
Y
i ij
197.8 196.1 208.1 222.2
5
6 7
86.7
42.0 71.9
91.8
51.8 69.2
94.7
43.2 61.1
3
3 3
273.2
137.0 202.2
8
ni Y
j
51.5
8 500.7 62.6 32783.4
48.6
8 523.4 65.3 35459.1
54.4
vB＝b-1
A与B交互作用的离均差平方和为：
SS AB
1 1 1 T2 2 2 2 ( Tij ) Ti Tj ; n i j bn i an j N
vAB＝（a-1）（b-1）
误差项的离均差平方和
(9-3)
1 SS误差＝S ( Tij2 )， 可用减法得到为： n i j
SS误差＝SS总－SSA-SSB-SSAB；v误差=N-(a-1)-(b-1)-(a-1)(b-1)-1
二、方差分析的步骤
1．整理及描述资料 将实验所得资料按表9-3的格式整理后， 分别求出处理因素A及必理因素 B各水平观察值之和 Ti及Tj， 各组观察值平方和 Si及 Sj，总和 T，总平方和 S等。 2．提出检验假设 对模型中三种效应分别提出检验假设。 （1）处理因素A的假设：
2
2
随机误差离均差平方和
SS误差＝ (Yij Y i Y j Y ) SS总 SS处理 SS区间
2 i j
v总＝N-1，v处理＝a-1，v区组＝n-1，v误差＝(a-1)(n-1)
二、方差分析步骤 1.整理和描述资料 参见表9-1的资料整理格式。
2.提出检验假设及给定Ⅰ 类错误概率水准α 对随机区组设
b
a
n
a
b
表达式中各项的意义及计算公式为：
T2 总离均差平方和 SS总＝S N
v总＝N-1
处理因素A的组间离均差平方和 vA＝a-1
1 T2 2 SS A Ti b n i N
2 1 2 T SS B Tj an j N
处理因素B的组间离均差平方和
义。有时研究者只注重处理因素的效应而不大关心区组因素 的效应。这时只要把区组效应从随机误差项中分离开来就达 到了设计者的目的。
表9-2 例9-1资料的方差分析表 变异来源 处理 区组 误差 总 离均差平方和 283.83 3990.31 690.07 4964.21 自由度 2 7 14 23 均方 141.92 570.04 49.29 F 2.88 11.56 P ＞0.05 ＜0.01
总离均差平方和
2 ( Yij ) Yij 2 i j , 处理组间离均差平方和SS处理＝ (Y i Y ) j n N i j i
2
Y ( Yij ) ij 2 i j , i ( Y Y ) i 区组间离均差平方和 a N i j j
5.计算F值
（1）关于处理间变异的F值计算公式为：
布。
MS处理 141.92 F处理 2.88 MS误差 49.29
F处理服从v1＝v处理， v2＝v误差的F分
（2）关于区组间变异的F值计算公式为：
F区组
布。
MS区组 570.04 11.56 MS误差 49.29
F区组服从v1＝v区组， v2＝v误差的F分
Yijk i j ( )ij ijk 或Yijk i j ( )ij ijk
式中i=1,2,…,a；j=1,2,…,b；k=1,2,…,n。模型中的

为常数项，相
当于总平均值。 i 及 j 分别代表处理因素A取i水平、处理因B取j水 ( )ij 代表处理因素 A 与 B 处于（ ij ）组合水平时的交互 平的主效应。
8 567.0 70.9 42205.0
3
24
154.5
1591.1 66.3 110447.5ijຫໍສະໝຸດ iYj
Yij2
令Yij表示第i（i=1,2,…，a）处理组第j（j=1,2,…，n）区组受
试对象的应变量观察值，随机区组设计的方差分析模型：
Yij i j ij或写为Yij i j ij
j 与 i 计的方差分析模型中的两个参数 分别提出检验假设。 （1）H0： i 0; H1： i 0, 至少有一个不等式成立。
（2）H1 : j 0; H1 : j 0, 至少有一个不等式成立。
给定Ⅰ类错误概率水准α ＝0.05。
3.计算各种离均差平方和与自由度将例9-1的有关数据（见表 9-1）代入式（9-2），计算各种离均差平方和及自由度为： SS总＝4964.21；v总＝24-1＝23 SS处理＝283.83；v处理＝3-1＝2
(9 1)
即：SS总＝SS处理+SS区组+SS误差 式（9-1）中
i
j
i
j
i
j

i
和 分别表示对i从1到a求和与j从1到n求和。 j
Y ij i j SS总＝ (Yij Y ) 2＝ Yij2 N i j i j
2
式中各符号的意义及简化计算公式为：
方差分析（二）：双向方差分析
上一章介绍的单向方差分析只考虑处理因素的效应和随机效
应两项，是方差分析中最简单的一种。双向方差分析是从纵
横两个方向分析，不仅分析处理因素的效应，还可根据不同 设计分析区组效应、交互作用等，从而得到更多的信息。本
章将介绍关于随机区组设计、析因设计和裂区设计的方差分
析。
第一节
SS区组＝3990.31；v区组＝8-1＝7
SS误差＝690.07；v误差＝(3-1)(8-1)=14
4.计算相应的均方
SS区组 3990.31 SS处理 283.83 MS处理 414.92，MS区组 570.04 处理 3 1 区组 8 1