三角函数化简技巧

三角函数化简技巧

北京 科维家教 QQ:33869167

一、化简要求：

将一个三角函数式化简，最终结果一般都是出现两种形式：1、一元一次（即类似B x A y ++=)sin(ϕω）的标准形式；2、一元二次（即类似

y=A(cosx+B)2

+C ）的标准形式。 二、三角化简的通性通法：

1、切割化弦；

2、降幂公式；

3、用三角公式转化出现特殊角；

4、 异角化同角；

5、异名化同名；

6、高次化低次；

7、辅助角公式；

8、分解因式。

三、例题讲解：

（例1）f(x)=2cosxsin(x+3

π)－3sin 2

x+sinxcosx

解：f (x )=2cos x sin(x +

3

π)－3

sin 2

x +sin x cos x

−−−−−→

用三角公式展开2cos x (sin x cos

3

π+cos x sin 3π

)－3

sin 2

x +sin x cos x

−−−−→降幂公式sin2x +

3cos2x −−−−→辅助角公式

2sin(2x +

3

π).

（例2）y =2cos 2

x －2a cos x －(2a +1) 解：y =2cos

2

x －2a cos x －(2a +1) −−−

→配方

2(cos x －2

a

)

2

－2

242+-a a .

（例3）若tan x =2，则

x

x x x

cos sin 1sin 2cos 22

+--=_______.

（例4）sin 4α+cos 4

α=_______.

解：sin 4α+cos 4α−−

→（sin 2α+cos 2α）2－2sin 2αcos 2

α−−→1－2

1

sin 22α−−→1－11-cos22

2

α⋅

=13cos 24

4

α+.

（例5）函数y =5sin x +cos2x 的最大值是_______.

（例6）函数y =sin （3

π－2x ）+sin2x 的最小正周期是

（例7）f （x ）=2cos 2

x +

3

sin2x +a （a 为实常数）在区间［0，2

π］上

的最小值为－4，那么a 的值等于

A.4

B.－6

C.－4

D.－3

（例8）求函数f （x ）=x

x

x x x 2sin 2cos sin cos sin 2244-++的最小正周期、最大值和

最小值.

（例9）f （x ）=－sin 2

x +sin x +a

（例10）函数y =sin 4x +cos 2

x 的最小正周期为( )

A.4

π B.2

π C.π D.2π

y =sin 4

x +cos 2

x −−−−−−−−−−→异角化同角+高次化低次+异角化同角

（22cos 1x

-）2+2

2cos 1x +−−→432cos 2+x

−−−−→高次化低次424cos 1x

++43=81cos4x +8

7

（例11）2、函

数

222

y sin x x =--+

的最小正周期

（ ）

A 、2π

B 、π

C 、3π

D 、4π （例12）化简：42212cos 2cos 2.2tan()sin ()

44

x x x x ππ

-+

-+ （例13）设3177cos(),45124

x x π

ππ+=<<，求2sin 22sin 1tan x x

x

+-的值。

（例14）已知函数2()2sin sin 2,[0,2].f x x x x =+∈π求使()f x 为正值的x 的集合.

（例15）已知函数f (x )＝－3sin 2

x ＋sin x cos x ．

(Ⅰ) 求f (256

π)的值； (Ⅱ) 设α∈(0，π)，f (2

α)＝4

1

－

2

，求sin α

的值．

（例16）已知cos(4

π

+x )=53，(12

17π

＜x ＜4

7π

)，求

x

x

x tan 1sin 22sin 2-+的值.

（例17）已知 )2(cot tan 22≥=+m m x x ，求x

x

4cos 14cos 3-+的值。

（例18）化简表达式：)]24tan(2)

2

4(cos 2cos 3)[sin 1(2x

x x x -π--π+

（例19）

x

x

x x x x cos 1sin cos 1cos 2cos 12sin -⋅

+⋅+的最简形式为 .