2018版高考数学(人教A版理)一轮复习课件：第5章 第2节 等差数列及其前n项和
(2)等差数列{an}中，设 Sn 为其前 n 项和，且 a1>0，S3＝S11，则当 n 为多少时， Sn 取得最大值．
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(1)C
[法一：第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有 a41＋a42＋a43＝
3a42，同理第二行也有 a51＋a52＋a53＝3a52，第三行也有 a61＋a62＋a63＝3a62，又每 列也成等差数列，所以对于第二列，有 a42＋a52＋a62＝3a52，所以 a41＋a42＋a43＋ a51＋a52＋a53＋a61＋a62＋a63＝3a42＋3a52＋3a62＝3×3a52＝63，所以 a52＝7，故选 C. 法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这 9 个数均相同， 显然满足题意，所以有 63÷ 9＝7，即 a52＝7，故选 C.]
课 时 分 层 训 练
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1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从 第2项 起，每一项与它的前一项的 差 都等于同 一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为 an＋1－an＝d (n∈N*，d 为常数)．
a＋ b (2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 A＝ 2 ，其中 A 叫
1 bn ＝ . an－1 1 1 所以 n≥2 时，bn－bn－1＝ － an－1 an－1－1 ＝ 2 － －1 a n－1 1 1 an－1 1 1 － ＝ － ＝1.5 分 an－1－1 an－1－1 an－1－1
1 5 又 b1 ＝ ＝－2， a1－1 5 所以数列{bn}是以－2为首项，1 为公差的等差数列.7 分
高三一轮总复习 na1＋an S3 S2 Sn a1＋an (1)C (2)－72 [(1)∵Sn＝ ，∴ n ＝ 2 ，又 3 － 2 ＝1， 2
a1＋a3 a1＋a2 得 2 － 2 ＝1，即 a3－a2＝2， ∴数列{an}的公差为 2. (2)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d， a12＝a1＋11d＝－8， 由已知，得 9d×8 S ＝9a1＋ 2 ＝－9， 9 16×15 ∴S16＝16×3＋ 2 ×(－1)＝－72.]
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等差数列的基本运算
(1)(2015· 全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为 1 的等差数列，Sn 为{an}的前 n 项和，若 S8＝4S4，则 a10＝( 17 A. 2 C．10 ) 19 B. 2 D.12
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(2)(2017· 云南省二次统一检测)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，S11＝22，a4 ＝－12，若 am＝30，则 m＝( A．9 C．11 ) B.10 D.15
a1＝3， 解得 d＝－1.
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等差数列的判定与证明
3 1 已知数列{an}中，a1＝5，an＝2－ (n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足 an－1 1 bn＝ (n∈N*)． an－1 (1)求证：数列{bn}是等差数列． (2)求数列{an}中的通项公式 an.
高三一轮总复习 1 [解] (1)证明：因为 an＝2－ (n≥2，n∈N*)， an － 1
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2．求等差数列前 n 项和 Sn 最值的两种方法 (1)函数法：利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Sn＝an2＋bn，通过配方或借 助图象求二次函数最值的方法求解． (2)邻项变号法： ①当 a1>0，d<0
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[变式训练 2] (1)若{an}是公差为 1 的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是( )
【导学号：01772177】 A．公差为 3 的等差数列 B．公差为 4 的等差数列 C．公差为 6 的等差数列 D．公差为 9 的等差数列 (2)已知每项均大于零的数列{an}中，首项 a1＝1 且前 n 项和 Sn 满足 Sn Sn－1－ Sn－1 Sn＝2 SnSn－1(n∈N*且 n≥2)，则 a61＝__________.
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抓 基 础 · 自 主 学 习
第二节
[考纲传真]
等差数列及其前 n 项和
1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前 n
明 考 向 · 题 型 突 破
项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列 的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．
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法三：由 S3＝S11，可得 2a1＋13d＝0， 即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，5 分 故 a7＋a8＝0，又由 a1>0，S3＝S11 可知 d<0，9 分 所以 a7>0，a8<0，所以当 n＝7 时，Sn 最大.12 分
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[规律方法]
1.等差数列的性质
am－an (1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔ ＝d(m≠n)，其几何 m－n 意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差． (2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn 为其前 n 项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S2n－1＝(2n－1)an.
a1＝－33， d＝7，
∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.]
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[规律方法]
1.等差数列的通项公式及前 n 项和公式， 共涉及五个量 a1， an， d，
n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用． 2．数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1 和 d 是 等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．
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5．(教材改编)在 100 以内的正整数中有__________个能被 6 整除的数．
16 [由题意知，能被 6 整除的数构成一个等差数列{an}，
则 a1＝6，d＝6，得 an＝6＋(n－1)6＝6n. 4 2 由 an＝6n≤100，即 n≤166＝163， 则在 100 以内有 16 个能被 6 整除的数．]
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(1)B (2)B [(1)∵公差为 1， 8×8－1 ∴S8＝8a1＋ ×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6. 2 1 ∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得 a1＝2， 1 19 ∴a10＝a1＋9d＝2＋9＝ 2 .
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11×11－1 S11＝11a1＋ d＝22， 2 (2)设等差数列{an}的公差为 d， 依题意 解得 a4＝a1＋3d＝－12，
∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故选 C.
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法二：∵{an}是等差数列， 9 ∴S9＝2(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 在等差数列{an}中，a5，a10，a15，„，a100 成等差数列，且公差 d′＝a10－a5 ＝8－3＝5. 故 a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故选 C.]
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2 法二：由法一可知，d＝－13a1. 要使
an≥0， Sn 最大，则有 an＋1≤0，
5分
2 －13a1≥0， a1＋n－1 即 a1＋n－ 2 a1≤0， 13
9分
解得 6.5≤n≤7.5，故当 n＝7 时，Sn 最大.12 分
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等差数列的性质与最值
(1)(2017· 东北三省四市一联)如列，如果数阵中所有数之和等于 63，那么 a52＝( )
A．2 C．7
B.8 D.4
a41 a42 a43 a a a 51 52 53 a61 a62 a63 图 521
md 的等差数列． ______
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1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是 等差数列．( )
(2) 数列 {an} 为等差数列的充要条件是对任意 n ∈ N* ，都有 2an ＋ 1 ＝ an ＋ an ＋
)
D [依题意得 S3＝3a2＝6，即 a2＝2，故 d＝a3－a2＝－2，故选 D.]
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3．(2015· 全国卷Ⅱ)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＋a3＋a5＝3，则 S5 ＝( ) A．5 C．9 B.7 D.11
5a1＋a5 A [a1＋a3＋a5＝3a3＝3⇒a3＝1，S5＝ ＝5a3＝5.] 2
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(1)C (2)480
[(1)∵a2n－1＋2a2n－(a2n－3＋2a2n－2)
＝(a2n－1－a2n－3)＋2(a2n－a2n－2) ＝2＋2× 2＝6， ∴{a2n－1＋2a2n}是公差为 6 的等差数列． (2)由已知 Sn Sn－1－Sn－1 Sn＝2 SnSn－1可得， Sn－ Sn－1＝2，所以{ Sn}是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，故 Sn＝2n－1，Sn＝(2n－1)2，所以 a61＝S61－S60 ＝1212－1192＝480.]
做 a，b 的 等差中项 ．
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2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝ a1＋(n－1)d ，an＝am＋
(n－m)d .
nn－1d na1＋an na1＋ 2 2 (2)前 n 项和公式：Sn＝__________________ ＝___________.
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3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋ (n－m)d (n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an . (3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差为 2d . (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，„(k，m∈N*)是公差为
2018版高考数学人教A版理一轮复习课件：第5章 第1节 数列的概念与简单表示法 精品
[导学心语] 1．重视等差、等比数列的复习，正确理解等差、等比数列的概念，掌握等差、 等比数列的通项公式、前 n 项和公式，灵活运用公式进行等差、等比数列基本量 的计算． 2．重视 an 与 Sn 关系、递推关系的理解与应用，加强由 Sn 求 an，由递推关系 求通项，由递推关系证明等差、等比数列的练习．
易错警示：本题(1)，(2)中常见的错误是忽视验证 a1 是否适合所求式，(3)中常 见错误是忽视判定首项是否为零．
[变式训练 3] (2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足 a1＝1，a2n－ (2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求 a2，a3； (2)求{an}的通项公式．
已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn，求{an}的通项公式： (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b. [解] (1)a1＝S1＝2－3＝－1， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，3 分 由于 a1 也适合此等式，∴an＝4n－5.5 分
项数__有__限___ 项数__无__限___
单调性
递增数列
an＋1 > an
递减数列
an＋1 < an
其中n∈N*
常数列
an＋1＝an
从第2项起，有些项大于它的前一项， 摆动数列
有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是 列表法 、 图象法 和 解析法 ．
4．数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与 序号n 这个公式叫做这个数列的通项公式．
抓 基 础
· 自
主
学 习
第五章 数 列
课 时
分
高考数学第一轮知识点 第2课时 等差数列及其前n项和课时复习课件 理
∴数列的中间项为 11，项数为 7.
【变式训练】 3.在等差数列{an}中，Sn 表示其 前 n 项和． (1)若 a3＋a17＝10，求 S19 的值； (2)若 S4＝124，Sn－4＝54，Sn＝210，求项数 n； (3)若 S4＝1，S8＝4，求 a17＋a18＋a19＋a20 的值．
解析： (1)S19＝a1＋a219×19＝a3＋a217×19
＝95.
(2)SS4n＝－aS1n＋－4＝a2＋an＋a3＋ana－41＝＋1a2n－42，＋an－3＝156，
由两式相加得 a1＋an＝70. ∴Sn＝a1＋a2n×n＝70×2 n＝210. ∴n＝6. (3)S4＝1，S8－S4＝3，S12－S8，S16－S12，S20 －S16 成等差数列，首项为 1，公差为 2，
解得ad1＝＝21. 2，
所以 an＝2n＋10.
(2)由 Sn＝na1＋nn2－1d，Sn＝242， 得 12n＋nn2－1×2＝242.解得 n＝11 或 n＝ －22(舍去)．
等差数列的性质
1．等差数列的单调性 等差数列公差为 d，若 d＞0，则数列递增； 若 d＜0，则数列递减；若 d＝0，则数列为常数 列． 2．等差数列的最值 若{an}是等差数列，求前 n 项和的最值时， (1)若 a1＞0，d＜0，且满足aann≥ ＋1≤0，0， 前 n 项和 Sn 最大；
等差数列的判断与证明
判断或证明数列{an}为等差数列，常见的方法 有以下几种： (1)利用定义：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)； (2)利用等差中项：2an＋1＝an＋an＋2；
(3)利用通项公式：an＝dn＋c(d、c 为常数)，d 为公差．当 d≠0 时，通项公式 an 是关于 n 的 一次函数；d＝0 时为常函数，也是等差数列； (4)利用前 n 项和公式：Sn＝an2＋bn(a、b 为常 数)．若一个数列的前 n 项和为关于 n 的二次
【课堂新坐标】2018版高考数学(人教A版理)一轮复习：教师用书 第5章 第2节 等差数列及其前n项和
第二节 等差数列及其前n 项和[考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n )2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.()(3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，则公差d 等于( ) A ．－1 B.1 C ．2D.－2D [依题意得S 3＝3a 2＝6，即a 2＝2，故d ＝a 3－a 2＝－2，故选D.] 3．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )A ．5 B.7 C ．9D.11A [a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3⇒a 3＝1，S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5.]4．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100 B.99 C ．98D.97C [法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C. 法二：∵{a n }是等差数列， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5.故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.故选C.]5．(教材改编)在100以内的正整数中有__________个能被6整除的数． 16 [由题意知，能被6整除的数构成一个等差数列{a n }， 则a 1＝6，d ＝6，得a n ＝6＋(n －1)6＝6n . 由a n ＝6n ≤100，即n ≤1646＝1623， 则在100以内有16个能被6整除的数．]n n 为{a n }的前n项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172 B.192 C ．10D.12(2)(2017·云南省二次统一检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( )A ．9 B.10 C ．11D.15(1)B (2)B [(1)∵公差为1，∴S 8＝8a 1＋8×(8－1)2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12， ∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧S 11＝11a 1＋11×(11－1)2d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－33，d ＝7，∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10.][规律方法] 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．[变式训练1] (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A.12B.1 C ．2D.3(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝__________.【导学号：01772176】(1)C (2)－72 [(1)∵S n ＝n (a 1＋a n )2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又S 33－S 22＝1， 得a 1＋a 32－a 1＋a 22＝1，即a 3－a 2＝2， ∴数列{a n }的公差为2.(2)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎨⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9d ×82＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.]已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列． (2)求数列{a n }中的通项公式a n . [解] (1)证明：因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1.所以n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1 ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.5分又b 1＝1a 1－1＝－52，所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列.7分 (2)由(1)知，b n ＝n －72，9分 则a n ＝1＋1b n＝1＋22n －7.12分[规律方法] 1.判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．[变式训练2] (1)若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( )【导学号：01772177】A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列(2)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 61＝__________.(1)C (2)480 [(1)∵a 2n －1＋2a 2n －(a 2n －3＋2a 2n －2) ＝(a 2n －1－a 2n －3)＋2(a 2n －a 2n －2) ＝2＋2×2＝6，∴{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列． (2)由已知S nS n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，所以{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，所以a 61＝S 61－S 60＝1212－1192＝480.]三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a 52＝( )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 41a 42 a 43a 51 a 52 a 53a 61a 62 a 63 图5-2-1 A ．2 B.8 C ．7D.4(2)等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 取得最大值．(1)C [法一：第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a 41＋a 42＋a 43＝3a 42，同理第二行也有a 51＋a 52＋a 53＝3a 52，第三行也有a 61＋a 62＋a 63＝3a 62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a 42＋a 52＋a 62＝3a 52，所以a 41＋a 42＋a 43＋a 51＋a 52＋a 53＋a 61＋a 62＋a 63＝3a 42＋3a 52＋3a 62＝3×3a 52＝63，所以a 52＝7，故选C.法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这9个数均相同，显然满足题意，所以有63÷9＝7，即a 52＝7，故选C.](2)法一：由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，4分 即d ＝－213a 1.7分从而S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，因为a 1>0，所以－a 113<0.9分 故当n ＝7时，S n 最大.12分 法二：由法一可知，d ＝－213a 1. 要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，5分即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，9分解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大.12分 法三：由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0， 即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，5分故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d <0，9分所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大.12分 [规律方法] 1.等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎨⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[变式训练3] (1)在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( )A ．18 B.99 C ．198D.297(2)已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝__________.(1)B (2)20 [(1)因为a 3＋a 9＝27－a 6,2a 6＝a 3＋a 9，所以3a 6＝27，所以a 6＝9，所以S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6＝99.(2)法一：设数列{a n }的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d ＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d ＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.法二：由等差数列的性质，可知S3，S6－S3，S9－S6，…，S21－S18成等差数列，设此数列公差为D.所以5＋2D＝10，所以D＝5 2.所以a19＋a20＋a21＝S21－S18＝5＋6D＝5＋15＝20.][思想与方法]1．等差数列的通项公式，前n项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a1和d.(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….2．等差数列{a n}中，a n＝an＋b(a，b为常数)，S n＝An2＋Bn(A，B为常数)，均是关于“n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程．3．等差数列的四种判断方法：(1)定义法：a n＋1－a n＝d(d是常数)⇔{a n}是等差数列．(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列．(4)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列．[易错与防范]1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．3．求等差数列的前n项和S n的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．。
人教版高三数学一轮复习优质课件：第2讲 等差数列及其前n项和
(2)法一 设数列{an}的首项为 a1，公差为 d，由 S3＝6， S4＝12，可得SS34＝ ＝34aa11＋ ＋36dd＝ ＝61， 2，解得ad1＝＝20，， 即 S6＝6a1＋15d＝30. 法二 由{an}为等差数列，故可设前 n 项和 Sn＝An2＋Bn， 由 S3＝6，S4＝12 可得SS34＝ ＝91A6A＋＋3B4B＝＝6， 12， 解得AB＝ ＝1－，1，即 Sn＝n2－n，则 S6＝36－6＝30.
第2讲 等差数列及其前n项和
最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项 公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等 差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了 解等差数列与一次函数的关系.
君不见，黄河之水天上来，奔流到海不复回。 君不见，高堂明镜悲白发，朝如青丝暮成雪。 人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。 天生我材必有用，千金散尽还复来。 烹羊宰牛且为乐，会须一饮三百杯。 岑夫子，丹丘生，将进酒，杯莫停。 与君歌一曲，请君为我倾耳听。 钟鼓馔玉不足贵，但愿长醉不复醒。 古来圣贤皆寂寞，惟有饮者留其名。 陈王昔时宴平乐，斗酒十千恣欢谑。 主人何为言少钱，径须沽取对君酌。 五花马，千金裘，呼儿将出换美酒，与尔同销万古愁
答案 (1)C (2)30
规律方法 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及 五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个， 体现了用方程的思想来解决问题. (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换 作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已 知和未知是常用方法.
数.( )
(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( )
解析 (4)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数. (5)若公差d＝0，则前n项和不是二次函数. 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)×
2018秋新版高中数学人教A版必修5：第二章数列 2.3.2
答案:C
【做一做1-2】 等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a1=4,则公
差d等于( ).
A.1
B.
5 3
C.
−2D.
3
答案:C
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典例透析
HONGNANJUJIAO IANLITOUXI
等差数列前n项和的性质 剖析数列{an}是公差为d的等差数列,其前n项和具有下列性质: (1)Sn=a1+a2+…+an, S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n=(a1+a2+…+an)+n2d, S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=(a1+a2+…+an)+2n2d, 则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是公差为n2d的等差数列,且有Sn+S3n-S2n=2(S2nSn).
∴S110-S100=S10+(11-1)D=100+10×(-22)=-120.∴S110=-120+S100=-
110.
题型一 题型二 题型三
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HONGNANJUJIAO IANLITOUXI
解法四∵S100-S10=a11+a12+…+a100
(2������-1)(������1
+ +
������2������-1) ������2������-1)
=
������������22������������--11.
2018年高考数学(人教A版)一轮复习课件：5.2等差数列及其前n项和
【解析】选A.a1+a3+a5=3a3=3⇒a3=1,S5= =5a3=5.
4.(2016·北京高考)已知{an}为等差数列,Sn为其前n 项和,若a1=6,a3+a5=0,则S6=________. 【解析】a3+a5=(6+2d)+(6+4d)=0,所以公差d=-2, S6=6×6+ 6 5 ×(-2)=6.
(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求 结果都用a1,d表示,寻求两者联系,整体代换即可求解. (3)利用性质:运用等差数列性质,可以化繁为简、优化 解题过程.
易错提醒:要注意性质运用的条件,如m+n=p+q,则 am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*),只有当序号之和相等、项 数相同时才成立.
【解析】选C.等差数列中,S15=15 a8=15(a1+7d), a2+a13=2a1+13d,a2a13=(a1+d)(a1+12d),a1+a8+a15= 3(a1+7d),a1a8a15=a1(a1+7d)(a1+14d),其中只有
是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项
和,若S8=4S4,则a10=
17 A. 2 19 B. 2
(
) C.10 D.12
(2)(2017·沧州模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,已 知a5=8,S3=6,则S10-S7的值是 ( A.24 B.48 C.60 ) D.72
【解题导引】(1)由S8=4S4求出首项,再由a10=a1+(101)d求出a10的值. (2)列出关于a1,d的方程组求解.
高考数学一轮复习第五章数列推理与证明第2讲等差数列课件理
考点(kǎo di等ǎn)差1数列的基本(jīběn)运算 例 1：(1)(2017 年新课标Ⅰ)记 Sn为等差数列(děnɡ chā shù liè){an}的前n项 和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
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解析：方法一，设公差为 d，a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝2a1 ＋7d＝列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝15，且满足2ann－＋13＝
2na－n 5＋1，已知 n，m∈N*，n>m，则 Sn－Sm 的最小值为(
第2讲 等差数列(děnɡ chā shù liè)
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1.理解(lǐjiě)等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解
决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
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1.等差数列的定义
7.等差数列的最值
在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若
a1<0，d>0，则Sn存在(cúnzài)最_小_____值.
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1.(2015 年重庆(zhònɡ qìnɡ))在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6 ＝( B )
A.－1
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考点(kǎo diǎ等n) 差2 数列的基本性质(xìngzhì)及应用 例2：(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝5，则S40 ＝( ) A. 思路点拨：思路1，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，根据 (gēnjù)题意列方程组求得a1，d，进而可用等差数列前n项和公式求S40； 思路2，设{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn，由题意列出方程组求得A， B，从而得Sn，进而得S40；
高考数学总复习 第5章 第2讲 等差数列及其前n项和课件 理 新人教A版
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3. 利用Sn的图象(túxiànɡ)确定其最值时，最高点不一定是最 大值，最低点不一定是最小值.
[解析] (1)本题考查等差数列的基础量运算． 设{an}的公差为 d，由 S2＝a3 可得 d＝a1＝12，故 a2＝a1 ＋d＝1，Sn＝na1＋nn－2 1d＝14n(n＋1)． (2)设等差数列的公差为 d，由于数列是递增数列，所以 d>0，a3＝a1＋2d＝1＋2d，a2＝a1＋d＝1＋d，代入已知条件： a3＝a22－4 得：1＋2d＝(1＋d)2－4，解得 d2＝4，所以 d＝2(d ＝－2 舍去)，所以 an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. [答案] (1)1 14n(n＋1) (2)2n－1
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(3)d>0⇔{an}是递增数列，Sn 有最小值；d<0⇔{an}是递 减数列，Sn 有最大值；d＝0⇔{an}是常数数列．
(4)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为 kd. (5)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (6)S2n－1＝(2n－1)an. (7)若 n 为偶数，则 S 偶－S 奇＝n2d. 若 n 为奇数，则 S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．
常数． [解]
证明：由题设知 an＋1＝ aan＋2n＋bbnn2＝
1＋bann ＝ 1＋bann2
bn＋1 ，所以bn＋1＝
1＋abnn2
an＋1
1＋bann2，从而abnn＋＋112－bann2＝1(n
高考数学一轮复习第五章数列2等差数列课件理高三全册数学课件
＋a3＋a10＝9，则 S9＝( D )
A．3
B．9
C．18
D．27
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【解析】 (1)∵在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，∴ 由等差数列的性质可得 a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，∴a8＝24，∴ a2＋a14＝2a8＝48.故选 D.
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(2)由n＋112n＋1<2nn1＋1
＝121n－n＋1 1，
可得数列a1n的前 n 项和 Sn＝a11＋a12＋…＋a1n≤16＋12×12－13
＋13－14＋…＋1n－n＋1 1＝16＋1212－n＋1 1<16＋14＝152，即
5 Sn<12.
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2．若等差数列{an}的公差为 d，则数列{a2n－1}是( B )
A．公差为 d 的等差数列 B．公差为 2d 的等差数列 C．公差为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱnd 的等差数列 D．非等差数列
解析：数列{a2n－1}其实就是 a1，a3，a5，a7，…，奇数项组成 的数列，它们之间相差 2d.
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∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选 B.
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解法 2：设等差数列{an}的公差为 d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3 ＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋3×2 2d＝d，∵a1＝2， ∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选 B.
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知识点二 等差数列的通项公式与前 n 项和公式
2018高考数学(文理通用版)一轮复习课件：第五章 数列 第2讲
等差数 ★★★★ (1)理解等差数列的 列的概 ★ 概念． 念及运 5年5考 (2)掌握等差数列的 算 通项公式与前n项和 公式． (3)能在具体的问题 情境中识别数列的 等差数 ★★★☆ 等差关系，并能用 列的性 ☆ 有关知识解决相应 质及应 5年3考 的问题． 用
知 识 梳 理
• 知识点一 等差数列的有关概念 第2项 • 1．定义：一般地，如果一个数列从 差 同一个常数 __________ 起，每一项与它的前一项的 a －a ＝d 公差 _______ 等于____________，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列 a＋b 的__________，公差通常用字母A d 表示．数 ＝ 2 学语言表示为____________ (n∈N＋)，d为 等差中项 常数．
精准高 考
数 学
文理(合订)
第五章 数 列
第二讲 等差数列及其前n项和
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3 4 5 6
考纲解读
知识梳理 考点突破
名师讲坛 思想方法 复习练案
考 纲 解 读
考点展 考查频率 示
考纲要求
高考命题探究 1.内容探究：等差 数列的定义、通 项公式及前n项和 公式，等差数列 的性质是高考热 点，以求a1、d、 an、Sn为主要考查 内容． 2．形式探究：本 讲内容高考多以
2． 已知等差数列{an}中， a4＋a5＝a3， a7＝－2， 则 a9＝ 导学号 30071483 ( A．－8 C．－4 B．－6 D．－2
2a1＋7d＝a1＋2d 解法一：由已知可得 a1＋6d＝－2
B
)
[解析]
，解得：a1＝10，d＝－2，
所以 a9＝10＋(－2)×8＝－6，选择 B． 解法二：∵a4＋a5＝a3，∴a3＋a6＝a3，a6＝0，又 a7＝－2， ∴d＝－2，a9＝－2＋(－2)×2＝－6，选择 B．