第2章 弹性力学基础和地震波

则： du 0 1
e12 0 0
du2 e21 du 3 0
0 dx1 0 dx2 0 dx3
即：
du1 e21 dx2轴之间的夹角变化的一半，称为切应变 它是每边旋转的角度（弧度，不是度数！）。 x1和x2 轴之间的夹角通常为p/2，变形后变成：= p/2-2e12
du 0

u1 x1 du 1 u 2 du2 x du 1 3 u 3 x 1
令
u1 x1 u 2 J x1 u 3 x 1
u1 x 2 u 2 x 2 u 3 x 2
dv

V
fdV
：体积V上的力
f
例如，重力引起的体力为 f g （方向向下）
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面力（Surface Force）是介质中某局域平面上受到的力，力 的大小与面积成正比，压强或应力是最常见的面力。
弹性力学中定义为单位面积的力.用 f 表示 s
f s dS ：作用在微元dS面上的力
u1 x3 u 2 x3 u 3 x3
eΩ
(eij e ji )，这里旋转张量W是反对称的 应变张量e是对称的
我们可以把矩阵J 分成对称和反对称部分，把刚性旋转部分离出来。
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应变Strain
应变张量e 旋转张量W
1 u1 u 2 ( ) 2 x 2 x1 u 2 x 2 1 u 3 u 2 ( ) 2 x 2 x3 1 u1 u 3 ( ) 2 x3 x1 1 u 2 u 3 ( ) 2 x3 x 2 u 3 x3
, x2 , x3 x1
）
ij 0(i j)
新坐标系下 ij是对角矩阵。 1 1 22 33 叫主应力 , x2 , x3 叫主应力轴。 x1
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2.1.2 应变Strain
连续介质的位移包括刚体的平移(Translation)、旋转 (Rotation)和变形(Deformation)。 在弹性理论中，我们主要考虑介质的变形。

O B
n
A O
x2
x3 x1

1n：作用在AB面上的应力在 x1方向的应力分量； 2n：作用在AB面上的应力在 x2方向的应力分量；
S：AB面的面积； S1：OB面的面积； S1 = S cos θ = Sn1 S2：OA面的面积。S2 = S sin θ = Sn2
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应力（stress） 2维应力张量（Stress Tensor） 这样，作用在三角形横梁BOA上的力列表为：
1 u1 u 3 ( ) 2 x3 x1 1 u 2 u 3 ( ) 2 x3 x 2 0
则
u1 x1 1 u 2 u1 e ( ) 2 x x 1 2 1 u 3 u1 2 ( x x ) 1 3
e11 e e21 e 31
e12 e22 e32
e13 e23 e33
其中e11 ，e22 ，e33 称为正应变。e12,e13,e23 称为切应变。
由9 个元素组成的应变张量完全描述连续介质中任意一点 的应变。6个独立元素的应变张量。 通常
1 ui u j eij ( ) 2 x j xi
P和Q两点的距离为 dx
两点的位移分别为 u 和u du 如果 u = u + du
即
du = 0
这样 u 仅表示刚体的平移 表示旋转和变形 du
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应变Strain
应变张量e 旋转张量W
u1 x 2 u 2 x 2 u 3 x 2 u1 x3 u 2 x3 u 3 x3 dx1 dx2 dx 3
第二章 弹性力学基础和地震波
2.1弹性理论回顾 2.1.1应力 2.1.2应变 2.1.3广义胡克定律 2.2波动方程和地震波 2.2.1均匀弹性杆的一维波动方程 2.2.2三维均匀介质中的波动方程 2.2.3波动方程的解 2.2.4地震P波和S波 2.3地球介质 2.4地震波的衰减
2.1.1应力（stress）
x2 x3 O x1 B

O
n

平衡状态下，合力为零。
得到：
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A
1n 11 n1 12 n2 2 n 21 n1 22 n2
或
1n 11 12 n1 n 22 2 2 n 21
J eΩ
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应变Strain
应变张量e
对于应变张量：
u1 x1 1 u u e ( 2 1) 2 x1 x 2 1 u 3 u1 2 ( x x ) 1 3 1 u1 u 2 ( ) 2 x 2 x1 u 2 x 2 1 u 3 u 2 ( ) 2 x 2 x3 1 u1 u 3 ( ) 2 x3 x1 1 u 2 u 3 ( ) 2 x3 x 2 u 3 x3
考虑一个平衡变形弹性体，P点面元dS分正负两个面
n ： 单位法向矢量 ，从“-”指向“+”方向。
F- ：指负向面元上的受力。 F+ ：指正向面元上的受力。 F- + F+ =0 F P点面元dS正向的应力定义为：f n lim dS 0 dS
n =1
-
n
ds
f n ：是矢量，单位面积的力，称为应力。
O
x3
x1
物体在x3方向无限延伸，垂直于纸面。
考虑垂直于x1 的面元dS1， 沿x1 正方向的面记为M+， 沿x1负方向记为M-，
B

O
n
A
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应力（stress） 2维应力张量（Stress Tensor）
σ11 , σ21 :分别表示作用dS 、M+面上x 和 x 上的应力分量 1 1 2 -σ11 ,-σ21 :分别表示作用dS1、M- 面上x1 和 x2上的应力分量
0 Ω 3 2
3 0 1
2 1 0
旋转张量中当ω1 = ω 2 = 0 ， 3 0
du1 0 du2 3 du 0 3 3 0 0 0 dx1 0 dx2 dx 0 3
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应变Strain 对旋转张量
W
旋转张量W
旋转张量的物理意义
1 u1 u ( 3 ) 2 x 3 x 1 1 u1 u 1 u 2 u 3 ( 2) 0 ( ) 2 x 2 x 1 2 x 3 x 2 1 u1 u 1 u u 3 ( 3) ( 2 ) 0 2 x 3 x 1 2 x 3 x 2 0 1 u1 u ( 2) 2 x 2 x 1
du1 = e11 dx1 这意味着在x1方向微元dx1变形量为： 表示在 x1方向单位长度的伸展量(-e11表示压缩量)——正应变。
而 x2方向微元dx2的形变量 du2 = 0 x3方向的微元dx3形变量
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du3 = 0
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应变Strain
应变张量e
切应变的物理意义
如果应变张量中仅 e12 0 和 e21 0
1n 11 12 n1 n 22 2 2 n 21
11 1n 2 n 21 3n 31
12 22 32
x2
第一个下标:截面元上应力分量 方向.第二个下标:截面元的法向矢量 方向 表示曲面法向j、坐标轴i方向 的应力分量
同理，可以考虑垂直于x2 的面元dS2
σij
x3 O x1
B

O
A
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应力（stress） 2维应力张量（Stress Tensor） 考虑横截面积无限小三角形横梁BOA内一点P的应力 n1：法向n在 x1方向的分量 n2：法向n在 x2方向的分量
1 u1 u 2 0 ( ) 2 x 2 x1 1 u u Ω ( 1 2 ) 0 2 x x 2 1 1 u 2 u 3 1 u1 u 3 ( ) ( ) 2 x x 2 x x 3 1 3 2
位移表示的应变，应变和位移之间的关系
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应变Strain
应变张量e
正应变的物理意义
如果应变张量中仅 e11 0 ，即：
e1 du1 du2 0 du 3 0 0 0 dx1 0 0 dx2 dx 0 0 3
因为对称性,三维应力张量仅有6个独立的元素。
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应力（stress）
正应力、切应力和主应力 Normal, Shear, Principal Stresses
我们将作用在dS面上的力分解成两个分量 nn：正应力，平行于面的法向n nt：切应力，垂直于面的法向n 在任意P点，我们选择一个直角坐标系（ 使
弹性理论中我们先考虑两种力:体力(Body Force)、面力 (Surface Force) 体力(Body Force)：介质内某点单位体积受到的力，力的大 小与体积或质量成正比，常见的体力有重力和离心力等。
f
: 定义为介质中单位质量受的力 :单位体积的体力. ：体积为dV 介质受的力
ρf