无理数的发现 确定
关于无理数的发现
关于无理数的发现
关于无理数的发现
古希腊的毕达哥拉斯学派认为,世间任何数都可以用整数或分数表示,将此作为信条.这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,希伯斯被抓住扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯发现的这类数被称为无理数.无理数的发现,导致了第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献.。
无理数发展简史
无理数发展简史引言概述：无理数是数学中一个重要的概念，它指的是不能表示为两个整数的比值的实数。
无理数的发展历程可以追溯到古希腊时期，随着数学的发展，无理数的概念逐渐被完善和扩展。
本文将从古希腊时期开始，介绍无理数的发展历史。
一、古希腊时期1.1 毕达哥拉斯学派的发现毕达哥拉斯学派是古希腊数学的重要学派之一。
在公元前5世纪，毕达哥拉斯学派成员发现了无理数的存在。
他们通过对勾股定理的研究，发现了不能表示为整数比值的边长关系，从而确立了无理数的概念。
1.2 伊壁鸠鲁学派的质疑伊壁鸠鲁学派是古希腊哲学的一支。
该学派对毕达哥拉斯学派的无理数概念提出了质疑。
他们认为无理数是不存在的，一切都可以用有理数表示。
这一争论持续了一段时间，直到欧几里得给出了无理数存在的证明，才解决了这一争议。
1.3 欧几里得的证明欧几里得是古希腊数学家，他在《几何原本》中给出了无理数存在的证明。
他通过反证法证明了不能用有理数表示的线段存在，从而证明了无理数的存在。
欧几里得的证明为无理数的研究奠定了基础。
二、中世纪的发展2.1 无理数的被遗忘在中世纪，无理数的概念被遗忘了一段时间。
由于宗教和哲学的影响，数学的发展受到了限制，无理数的研究停滞不前。
2.2 无理数的重新发现到了16世纪，无理数的概念重新被人们关注。
意大利数学家维埃塔在《无理数的存在》一书中重新提出了无理数的概念，并给出了更加严谨的证明。
这使得无理数的研究重新得到了推动。
2.3 无理数的应用随着无理数概念的重新被接受，人们开始发现无理数在数学中的广泛应用。
无理数在几何、代数等领域中起着重要作用，为数学的发展带来了新的动力。
三、无理数的扩展3.1 无理数的无限性无理数的一个重要特点是无限性。
无理数的小数表示无限不循环，这使得无理数的研究更加复杂和有趣。
3.2 无理数的无穷性无理数的无穷性是指无理数的小数位数无限多。
这使得无理数可以无限接近任何有理数，为数学中的近似计算提供了便利。
无理数发展简史
无理数发展简史无理数是数学中的一个重要概念，它是指不能表示为两个整数的比值的数。
无理数的发展历程可以追溯到古希腊时期，经过了许多数学家的努力和探索，才逐渐被人们所认识和接受。
本文将从古希腊时期开始，详细介绍无理数的发展历史。
1. 古希腊时期在古希腊时期，人们对数的概念还不够清晰，只认识到有理数，即可以表示为两个整数的比值的数。
然而，古希腊的数学家毕达哥拉斯发现了一个有趣的现象，即勾股定理中的斜边长度不能用有理数表示。
这个发现引起了人们对无理数的思量。
2. 无理数的发现在古希腊时期，数学家们通过几何方法逐渐发现了一些无理数。
最著名的例子是毕达哥拉斯学派发现的根号2是一个无理数。
他们通过构造一个等腰直角三角形，假设斜边长度为有理数，然后推导出矛盾的结论，从而证明了根号2是一个无理数。
3. 无理数的定义在17世纪，法国数学家笛卡尔提出了无理数的定义，他将无理数定义为不能表示为有理数的数。
这个定义为后来对无理数的研究提供了基础。
4. 无理数的性质无理数具有许多特殊的性质。
首先，无理数是无限不循环的小数，即它的小数部份永远不会重复。
其次，无理数是无限不重复的数字序列，即它的数字序列永远不会重复。
此外，无理数还具有无穷多的近似值，可以用有理数来逼近，但永远无法精确表示。
5. 无理数的应用无理数在数学和物理中有广泛的应用。
在几何学中，无理数被用来表示无法用有理数表示的长度或者面积。
在物理学中，无理数被用来描述自然界中的一些现象，例如波长、频率等。
6. 无理数的发展随着数学的发展，无理数的研究也在不断深入。
19世纪，德国数学家戴德金提出了连分数的概念，通过连分数可以更好地逼近无理数。
20世纪，数学家们通过代数方法对无理数进行了更深入的研究，发现了许多无理数的性质和特点。
7. 现代无理数的研究在现代数学中，无理数的研究已经成为一个重要的分支领域。
数学家们通过使用复数、实数、超实数等概念，对无理数进行了更加深入的研究。
无理数发展简史
无理数发展简史一、引言无理数是数学中的一个重要概念，它们无法表示为两个整数的比值，也无法表示为有限小数或循环小数。
本文将为您介绍无理数的发展历程，从古希腊的发现到现代数学的应用，帮助您更好地理解和认识无理数。
二、古希腊的发现古希腊的数学家毕达哥拉斯首次发现了无理数的存在。
他们发现了一个无法表示为两个整数的比值的线段，即平方根。
例如，根号2无法表示为两个整数的比值，因为它是一个无限不循环的小数。
这一发现震惊了古希腊数学界，并被称为“无理数”。
三、欧几里得的贡献古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中对无理数进行了更深入的研究。
他提出了无理数的一个重要性质，即无理数可以通过无限循环的连分数来表示。
这种表示方法将无理数表示为一个整数加上一个无限循环的分数，使得无理数的逼近更加精确。
四、无理数的发展与推广随着数学的发展，人们对无理数的认识逐渐深入。
十九世纪末，德国数学家戴德金提出了无理数的代数理论，将无理数与有理数统一起来，形成了现代数学中的实数系统。
这一理论的提出为无理数的应用奠定了基础。
五、无理数的应用无理数在现代数学和科学中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，无理数被用来描述自然界中的一些现象，如波动和震动。
在金融学中，无理数被用来计算复利和利率等问题。
在计算机科学中，无理数被用来进行精确的计算和模拟。
六、无理数的研究进展随着数学研究的深入，人们对无理数的认识仍在不断拓展。
例如，二十世纪初，法国数学家勒贝格提出了超越数的概念，这是一类无理数，它们无法通过有限次代数运算来表示。
这一概念进一步丰富了无理数的研究领域。
七、结论无理数作为数学中的一个重要概念，经历了从古希腊的发现到现代数学的应用的发展过程。
它们的研究不仅丰富了数学理论，也为现实世界中的问题提供了解决方法。
通过对无理数的深入研究，我们可以更好地理解数学的本质和应用，推动数学科学的发展。
以上是关于无理数发展简史的详细内容，希望对您有所帮助。
如有任何问题，请随时向我提问。
无理数的历史论文
无理数的历史论文无理数在数学中占据着重要的地位，它们的发现和研究对数学理论的发展和应用具有深远影响。
无理数的概念首次出现在古希腊时期，而其真正的理解和确立是在19世纪。
在古希腊时期，数学家们对数的性质进行了深入探讨。
在这个时期，希腊数学家毕达哥拉斯提出了著名的毕达哥拉斯定理，由此引出了有理数和无理数的概念。
然而，毕达哥拉斯并不相信无理数的存在，他认为所有数都可以表示为两个整数的比值。
直到公元前5世纪，数学家黑甲狄斯证明了根号2是无理数，从而确立了无理数的存在和性质。
在随后的几个世纪中，无理数的研究并不是主要关注点。
直到19世纪，法国数学家孔多塞和德国数学家费尔马特得出了无理数的一些重要性质和性质。
他们的工作为无理数的进一步研究和发展奠定了基础。
随着时间的推移，无理数的研究变得越来越重要，它们被广泛应用于数学的各个领域，包括解析几何、数学分析和代数等。
无理数的发现和研究为数学理论的深化和发展做出了重要贡献，也为现代科学技术的发展提供了重要的数学基础。
总的来说，无理数的发现和研究对数学理论的发展和应用具有深远影响。
它们的概念和性质在现代数学中发挥着重要作用，无理数的历史及其在数学中的地位不容忽视。
无理数的概念和性质引领着数学领域不断的发展。
无理数的发现和研究不仅推动了数学理论的进步，也深刻地影响了现代科学和技术的发展。
在现代数学中，无理数是不可数的、无限不循环小数，无法通过有理数表达的数。
根号2、圆周率π和自然对数e都是著名的无理数。
它们在几何、代数、分析、概率论等多个数学领域中发挥着重要作用。
无理数的发现和研究为这些数学理论的发展提供了坚实的基础，也为现代科学技术的发展做出了重要的贡献。
无理数的概念也被广泛应用于日常生活中的各个领域。
在金融领域，无理数的概念被用于金融工程学中的衍生金融产品、风险管理和投资组合优化等。
在工程科学领域，无理数的概念则被应用到电子电路设计、信号处理、图像处理和控制系统等方面。
无理数发展简史
无理数发展简史1. 引言无理数是数学中的一个重要概念，它们是不能被表示为两个整数的比值的实数。
无理数的发展历程可以追溯到古希腊时期，随着数学的发展，无理数逐渐被人们所认识和探索。
本文将从古希腊的发现开始，介绍无理数的发展历史。
2. 古希腊的发现在古希腊时期，人们已经知道了有理数，即可以表示为两个整数的比值的实数。
然而，他们发现了一些数无法用有理数表示，比如根号2。
这个发现对古希腊数学家来说是一个巨大的挑战，因为它违背了他们向来以来的数学观念。
3. 毕达哥拉斯学派的反应毕达哥拉斯学派是古希腊最重要的数学学派之一，他们强调数学中的和谐与美。
然而，无理数的发现对于他们来说是一个巨大的冲击。
据传，毕达哥拉斯学派的成员发现了根号2是无理数后，为了保护数学的完美和谐，他们选择保密这个发现，并且禁止将无理数的存在公之于众。
4. 欧多克索斯的证明欧多克索斯是古希腊著名的数学家和几何学家，他是第一个证明根号2是无理数的人。
他的证明方法被称为“反证法”，即假设根号2是有理数，然后通过推理推出矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。
这个证明方法被广泛应用于后来的数学研究中。
5. 无理数的发展随着时间的推移，人们对无理数的认识逐渐深入。
在16世纪，数学家卡尔丹尼提出了无理数的概念，并给出了无理数的定义。
17世纪，数学家笛卡尔将无理数的概念与代数学相结合，为无理数的研究提供了新的思路。
18世纪，数学家康德尔提出了无理数的连续小数表示法，进一步推动了无理数的研究。
6. 无理数的应用无理数在数学和其他学科中有着广泛的应用。
在几何学中，无理数可以用来表示无限不循环小数，如圆周率π。
在物理学中，无理数可以用来描述自然界中的一些现象，如黄金分割比。
在计算机科学中，无理数的计算和处理也是一个重要的研究方向。
7. 结论无理数是数学中的一个重要概念，它们的发展历程可以追溯到古希腊时期。
从古希腊的发现开始，无理数经过数学家们的努力和探索，逐渐被人们所认识和应用。
什么是无理数及其定义是什么
什么是无理数及其定义是什么什么是无理数及其定义是什么无理数最早是由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现，那么什么是无理数?下面店铺就带大家一起来详细了解下吧。
无理数基本定义无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等。
无理数的另一特征是无限的连分数表达式。
传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟-子希伯斯发现。
他以几何方法证明无法用整数及分数表示。
而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。
但是他始终无法证明不是无理数，后来希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死，其罪名等同于“渎神”。
无理数是无限不循环小数和开方开不尽的数. 如圆周率、√2(根号2)等。
有理数是所有的分数，整数，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。
如22/7等。
实数(real number)分为有理数和无理数(irrational number)。
有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数) 也可分为正有理数，0，负有理数。
除了无限不循环小数以外的数统称有理数。
1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。
2、无理数不能写成两整数之比。
利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。
证明：假设√2不是无理数，而是有理数。
既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：√2=p/q再假设p和q没有公因数可以约，所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式。
把√2=p/q 两边平方得 2=(p^2)/(q^2)即 2(q^2)=p^2由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m由 2(q^2)=4(m^2)得 q^2=2m^2同理q必然也为偶数，设q=2n既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q 是最简分数矛盾。
无理数发展简史
无理数发展简史引言概述：无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数，它的发展历程可以追溯到古希腊时期。
本文将从古希腊的发现开始，逐步介绍无理数的发展历史，并探讨无理数在数学领域的重要性。
一、古希腊的发现1.1 毕达哥拉斯学派的发现毕达哥拉斯学派在尝试将所有数都表示为有理数的比值时，发现了无法表示为有理数的平方根。
例如，根号2的值不是一个有理数，这一发现颠覆了他们的理论。
1.2 伊壁鸠鲁的观点伊壁鸠鲁认为，世界上存在着无法用有理数表示的长度和数量，这些无法用数字精确表示的现象被称为“无限小”和“无限大”，为无理数的概念奠定了基础。
1.3 古希腊数学的限制古希腊数学在无理数的研究上存在一定的局限性，他们只能通过几何方法来描述无理数，无法进行更深入的数学推导。
二、欧几里得的贡献2.1 欧几里得的《几何原本》欧几里得的《几何原本》中，他提出了一个著名的命题：根号2是一个无理数。
这个命题的证明过程非常复杂，但它确立了无理数的存在。
2.2 欧几里得算法欧几里得算法是一种用于求解最大公约数的方法，它的发展过程中涉及到了无理数的运算。
这一算法为后来无理数的研究提供了基础。
2.3 欧几里得对无理数的认识欧几里得认识到无理数的重要性，并将其与有理数一同纳入到数学体系中，为后来无理数的研究奠定了基础。
三、无理数的形式化3.1 连分数表示法连分数是一种将无理数表示为无限循环分数的方法，它可以用于近似计算无理数的值。
这种表示法在无理数的研究中起到了重要作用。
3.2 实数系统的建立实数系统是由有理数和无理数组成的数学体系，它的建立使得无理数有了更加严谨的定义和运算规则。
3.3 无理数的性质和应用无理数具有无限不循环的小数表示形式，它们在数学和物理等领域的应用非常广泛，例如在几何、分析和概率等方面的研究中都起到了重要作用。
四、无理数的发展与挑战4.1 狄利克雷的密度定理狄利克雷的密度定理证明了有理数和无理数在实数轴上的分布情况，这一定理对无理数的研究起到了重要推动作用。
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无理数的发现──第一次数学危机大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。
当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。
他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。
这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。
到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。
欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。
今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。
第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。
这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。
危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！无穷小是零吗？──第二次数学危机18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。
1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。
他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）n，从中减去xn 以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。
这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。
"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，"dx为逝去量的灵魂"。
无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。
导致了数学史上的第二次数学危机。
18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。
其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。
直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。
从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。
悖论的产生--- 第三次数学危机数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。
这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。
由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。
1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。
两年后，康托发现了很相似的悖论。
1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。
罗素悖论曾被以多种形式通俗化。
其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。
理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。
当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸？"如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了。
无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第２卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。
于是终结了近12年的刻苦钻研。
承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。
尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。
现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。
所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。
无理数的发现──第一次数学危机大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。
当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。
他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。
这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。
到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。
欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。
今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。
第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。
这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。
危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！无穷小是零吗？──第二次数学危机18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。
1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。
他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。
这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。
"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，"dx为逝去量的灵魂"。
无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。
导致了数学史上的第二次数学危机。
18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。
其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。
直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。
从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。
悖论的产生--- 第三次数学危机数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。
这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。
由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。
1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。
两年后，康托发现了很相似的悖论。
1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。
罗素悖论曾被以多种形式通俗化。
其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。
理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。
当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸？"如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了。
无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第２卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。
于是终结了近12年的刻苦钻研。
承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。
尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。
现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。
所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。
无理数的发现在代数中，无理数是一类极其重要的数，但它是通过几何图形发现的。
活跃于公元前6世纪后半期的希腊的毕达哥拉斯学派，认为世间万物都是由数组成的。
他们特别重视对整数的研究。
通过对音乐中音阶的数学基础的分析，他们发现音乐的和声与自然数1，2，3，4，5，…之间有着奇妙的联系。
我们弹一根弦，它发出了一个音；再去弹一根长度恰好是2倍的弦，就会听到它发出的音比原来的音恰好低8度。
进一步又发现：如果把发出c 音的弦的长度看作1，那么长度为,,,,,,2，（注意，这些长度都可以表示为自然数或自然数的比）的弦会分别发出下8度的B 音、A 音、G 音、F 音、E 音、D 音和C 音。
从这一发现开始，他们进一步坚信：一切和声，一切真善美，一切自然现象都可以用整数之间的关系来表示，甚至一切行星在它们的轨道上运行时，也一定会发出一种天上的、整数比的音乐来，即所谓“天体音乐”。
可是不久，他们却发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能表示成两个整数的比。
他们费了九牛二虎之力，找不出一个整数或分数，可以用作度量这个正方形的边长和对角线长的单位长度。