数值模拟的概念与方法
数值模拟的概念与方法
他对中科院计算数学所的研究生们说：“从采矿、水库大坝到地下隧道 工程等，世界各国的工程师面临太多的危险。在这些方面，数学是非常有用 的，我们周围的人都需要数学。我希望下一代的数学家们，特别是你们，站 在计算数学与工程之间，最重要的是用发明出的一些数学方法和工具，写出 很好的教科书，把数学交给工程师，追上这个时代。”
且计算精度、计算效率高， 更适用于均质材料和线性性 态情况。
➢软件：Examine2D、Examine3D
C 离散单元法（DEM）
岩体往往为众多的节理或结构面所切割，在某些情况下， 岩体不能视为连续介质，具有明显的不连续性，很难用连 续介质力学方法如有限单元法来处理。
离散单元法是处理非连续介质力学的数值方法，特别适用 于节理岩体的应力分析，在土木工程方面应用广泛，尤其 在边坡稳定分析方面。
.点 (质量)
. . 线(弹簧，梁，杆，间隙)
面 (薄壳, 二维实体,
.. .. 轴对称实体)
.. . .... 体(三维实体)
节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。
J
三维杆单元 (铰接)
UX, UY, UZ
I
I
L
K
二维或轴对称实体单元
L
UX, UY
I
I
J
P M
L
I
O 三维实体结构单元
N
UX, UY, UZ
载荷 约束
节点 单元
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
结构 DOFs
科学计算与数值模拟
科学计算与数值模拟科学计算与数值模拟在现代科学研究中扮演着重要的角色。
无论是在物理学、化学、生物学还是工程学等领域，科学家们都需要使用计算机进行复杂的数值模拟和计算，以便更好地理解和预测自然现象。
本文将介绍科学计算与数值模拟的基本概念和方法，以及其在不同学科领域中的应用。
一、科学计算的概念和方法科学计算是利用计算机进行科学研究和问题求解的一种方法。
与传统的实验方法相比，科学计算具有成本低、效率高、可控性强等优点。
科学计算通常包括以下几个主要步骤：1. 建立数学模型：科学计算首先需要建立与实际问题相符的数学模型，以描述系统的运行规律和特性。
2. 离散化：将连续的数学模型转化为离散的数值模型，以便于计算机进行处理。
3. 数值方法：选择合适的数值方法对离散化后的模型进行求解。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法、蒙特卡洛方法等。
4. 编程实现：将数值方法转化为计算机程序，通过编程语言的实现来进行计算。
5. 求解和分析：运行计算机程序，求解数值模型，并对结果进行分析和解释。
根据需要，可以进行参数敏感性分析、误差分析等进一步研究。
二、数值模拟在物理学中的应用物理学是研究物质及其运动规律的学科，数值模拟在物理学中有广泛的应用。
例如，在天体物理学中，科学家们使用数值模拟来研究宇宙的形成和演化过程。
他们通过模拟星系的形成、恒星的诞生和死亡等过程，来揭示宇宙的奥秘。
另外，在固体物理学中，数值模拟可以用来研究材料的性质和行为。
科学家们可以通过模拟原子或分子的运动，来计算材料的力学性质、电子结构等参数，并预测材料的行为。
三、数值模拟在化学中的应用化学是研究物质的组成、结构、性质以及变化规律的学科，数值模拟在化学中也有着广泛的应用。
例如，在计算化学中，科学家们使用数值模拟来研究分子的结构和性质。
他们可以通过计算不同原子之间的相互作用力，来预测分子的空间结构、能量变化等。
此外，数值模拟还可以用于研究化学反应的动力学过程。
数值模拟的概念与方法
数值模拟的概念与方法数值模拟是利用计算机和数值方法对真实世界或抽象模型的问题进行仿真和求解的一种方法。
数值模拟已经广泛应用于科学、工程、经济等领域，帮助人们理解复杂系统的行为、研究问题的性质，并能在其中一种程度上指导实际问题的解决。
首先，离散化是将现实中的连续问题转化为离散的数值问题。
连续问题通过将时间或空间分成有限个部分，用数值代替函数来描述物体的状态或行为，从而将问题转化为有限个运算的步骤。
其次，建立数值模型是在离散化的基础上构建数学模型。
通过分析问题的性质和特点，选择适当的数学方法和数值方法，将问题转化为数学模型。
数值模型通常采用偏微分方程、代数方程、差分方程等形式进行描述。
然后，选择数值方法是指根据问题的特点和数值模型的形式，选择适当的数值方法来求解问题。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法、蒙特卡洛方法等。
选择合适的方法能够提高模拟的准确性和效率。
最后，编写数值程序是将数值模型和数值方法转化为具体的计算机程序。
编写程序需要考虑计算精度、计算效率、程序可读性等因素，程序的正确性对于数值模拟能否得到准确结果至关重要。
在数值模拟中，常常需要进行数值实验和验证。
数值实验是通过选取一组预先设定的输入条件和参数来进行模型仿真，观察模型的输出行为和结果，进而评估模型的可靠性和有效性。
验证是将数值模拟的结果与真实数据进行比较，检验模拟结果的准确性和可信性。
数值实验和验证是数值模拟过程中的不可或缺的环节。
数值模拟能够模拟各种现象和问题，比如流体力学、结构力学、电磁场、量子力学和经济学等。
数值模拟在科学研究、工程设计和决策制定中具有重要作用。
通过数值模拟，人们可以对复杂系统进行分析和预测，优化设计方案，减少试错成本，加快产品开发进程，同时也可以促进科学理论的发展和创新。
此外，数值模拟也存在着一些限制和挑战。
首先，数值模拟需要建立适当的数学模型，但有些问题的模型较复杂，难以准确描述或存在数学上的困难。
其次，数值模拟需要进行大量的计算，对计算机的计算能力和存储能力要求较高，而大规模的模拟可能需要花费很长的时间和计算资源。
数学的数值计算与模拟
数学的数值计算与模拟数学作为一门基础科学，对于解决实际问题具有重要意义。
在现代科技的支持下，数学的数值计算与模拟已经成为了解决复杂问题的重要方法之一。
本文将探讨数学的数值计算与模拟在实际应用中的重要性和应用场景，并分析其中的一些常见的数值计算方法和模拟技术。
一、数值计算与模拟的定义和概念数值计算与模拟是指利用计算机进行数学运算和模拟实验，通过数值计算方法和模拟技术来解决数学问题或模拟实际过程。
数值计算与模拟的基本思想是将实际问题转化为数学方程或模型，并利用计算机对其进行求解或模拟。
通过数值计算和模拟，可以获得数学方程的近似解或者对实际过程进行仿真，从而提供定量的数据和分析结果。
二、数值计算与模拟的应用场景1. 物理问题的数值计算与模拟：在物理学中，有许多复杂的物理问题往往无法通过传统的解析方法求解。
这时候，可以利用数值计算与模拟的方法来对问题进行求解或者通过模拟实验来验证理论。
例如，通过数值模拟可以模拟天体运动、流体流动等现象，为科学家的研究提供重要的数据和结论。
2. 工程问题的数值计算与模拟：在工程领域，数值计算与模拟可以用于分析和优化工程结构、预测材料疲劳寿命、模拟工程流程等。
例如，在飞机设计中，通过数值计算和模拟可以优化机翼的结构设计，预测疲劳寿命，提高安全性和性能。
3. 经济和金融领域的数值计算与模拟：在经济学和金融学中，数值计算与模拟可以用于预测市场走势、评估金融风险等。
例如，通过数值计算可以模拟金融市场的波动，评估各种投资组合的风险和收益，帮助投资者做出更明智的决策。
三、数值计算方法1. 插值与拟合：插值与拟合是一种常用的数值计算方法，它可以通过已知数据点推算出数据点之间的数值。
插值与拟合在数据处理、图像处理、函数逼近等领域有广泛的应用。
最常见的插值与拟合方法有线性插值、多项式拟合、样条插值等。
2. 数值积分：数值积分是一种通过离散化求解定积分的方法。
对于某些无法通过解析法求解的积分问题，可以利用数值积分方法对其进行近似计算。
3-1数值模拟的基本理论和方法
计算机模拟的作用
• 有助于认识一些铸造缺陷的形成 • 优化工艺参数,协助提高产品质量 • 缩短试制周期,降低成本
Return
教学的主要目的
一.了解该数值模拟的理论基础 二.建立数值模拟在金属材料科研中应用的 基本概念 三.掌握模拟工具软件的使用流程。
教 材
主要内容
• 数值模拟的基本理论和方法 • 数值模拟在材料科学研究中的应用 • 模拟前的预备工作 • 模拟软件的使用方法与结果分析 • 铝合金的半固态压铸成形过程的模拟 • CAE在生产实践中的应用 • 配套的网络课程(主要解决动画显示) http://202.121.199.249/ytyang/Network -ngmn/
x
2! x x
2 2
T
3 3 i
3! x x
3 3
T
2 i
2! x
T
3 i
3! x
若两式相加
T
2
x
2
i
T i 1 2 T i T i 1 x
2
x 12
2
T
4
x
4
i
(∂4T/∂x4)以上的项 忽略不计
C pV
T
t t
T
t
t
(
q x
) x
因为V=1· △x、考虑无限小单元(△x→0)、无限小 时间增量(△t→0)
C p
T t
q x
T x
此处代入傅立叶(Fourier)定律
C p
T t
x
(
)
即热传导微分方程式
数值计算方法在气象学中的应用
数值计算方法在气象学中的应用一、引言数值计算方法在气象学中的应用，是指数学模型和计算方法与气象学相结合，进行天气和气候预测、空气质量研究、气候变化模拟等领域。
目前，气象数值模拟技术已成为气象学中不可或缺的重要工具之一，也是各国气象预报事业发展的重要法宝。
二、气象数值模拟的概念及方法气象数值模拟是通过数学模型来描述、分析、模拟大气环流、气象要素变化等规律的一种模拟技术。
主要分为两个方面：气象数值模拟方法和气象数值模拟的嵌套方法。
（一）气象数值模拟方法气象数值模拟方法需要借助大规模计算机进行数值计算，其基本原理是将大气运动分割为微小的网格点，通过计算每个微小网格点上的能量平衡、动量守恒以及相关化学反应等规律，再通过微积分和数值分析等方法，对大气中的各种动力学和物理过程进行计算模拟。
气象数值模拟方法由于其模拟精度高、计算效率高、适应性广等优点，被广泛用于气象学、地理信息系统等领域。
根据模拟空间尺寸和时间尺度的不同，气象数值模拟方法又可以分为：天气数值预报模拟和气候变化模拟。
（二）气象数值模拟的嵌套方法气象数值模拟的嵌套方法，是指通过将人工站点观测资料和雷达、卫星等远程探测资料与模型模拟数据嵌套，以获得对现实的更为准确的预测。
嵌套方法的实现需要借助于数据同化技术，即不断校正模型计算结果，减少误差。
其中，奇异扰动同化方法被广泛用于气象乃至地球科学中，可获得比其他传统方法更为优秀的数据同化效果。
三、气象数值模拟应用场景数值计算方法在气象预报、气象变化模拟等应用中起到重要的作用。
以下列举几个应用场景：（一）天气预报天气预报是气象学中的重要内容，其预测准确率关系到人们的生产生活。
为了提高预报准确性，气象学家采用了气象数值模拟技术。
他们使用计算机对各种运动过程、能量传输过程、水循环过程等进行模拟，得到各种气象要素的变化情况，从而预测天气变化。
（二）气象灾害预警数值计算方法在气象预警中也有广泛应用。
针对强降雨、强台风、大雾等天气灾害，气象学家通过计算模拟，提前进行预警，以保障人们的生命财产安全。
物理学中的数值模拟：蒙特卡洛方法、有限元分析等
• 计算速度快，尤其适合大规模问
• 对于某些问题，收敛速度较慢，
• 适用于量子力学、统计物理等领
题的计算
需要大量迭代
域的研究
• 结果具有统计意义，可以给出误
• 难以处理非线性问题，可能需要
差估计
结合其他数值方法
03
有限元分析在物理学中的应用
有限元分析的基本原理及步骤
有限元分析是一种基于离散化的数值计算方法
• 量子力学：研究微观粒子的行为，如电子、原子等
• 电磁学：研究电磁场的性质和相互作用，如电压、电流等
物理学数值模拟的发展趋势
• 物理学数值模拟的发展趋势
• 高性能计算技术的发展，使得数值模拟能够处理更复杂的问题
• 多学科交叉融合，推动数值模拟方法的创新和应用
• 人工智能和机器学习的应用，提高数值模拟的精度和效率
有限元分析的基本原理
• 将复杂的物理问题分解为简单的有限
• 离散化：将连续的物理问题分解为离
元模型
散的有限元模型
• 通过求解有限元方程，得到物理问题
• 插值：在有限元模型上构造插值函数，
的近似解
表示原始函数的近似值
• 求解：通过求解有限元方程，得到物
理问题的近似解
有限元分析在物理学中的典型应用案例
有限差分法是一种基于差分方程的数值计算方法
• 通过将物理问题转化为差分方程，然后求解差分方程得到近似解
• 适用于一维、二维和三维问题的求解
有限体积法在物理学中的应用
有限体积法是一种基于积分方程的数值计算方法
• 通过将物理问题转化为积分方程，然后求解积分方程得到近似解
• 适用于二维和三维问题的求解
有限体积法在物理学中的应用案例
地下水数值模拟蒸发量计算公式
地下水数值模拟蒸发量计算公式
（原创版）
目录
1.引言
2.地下水数值模拟的概念和方法
3.蒸发量的计算公式
4.影响蒸发量的因素
5.结论
正文
1.引言
地下水是中国水资源的重要组成部分，对地下水的研究具有重要的实践意义。
地下水数值模拟是研究地下水的一种有效方法，可以通过模拟地下水的运动和变化规律，预测地下水的未来发展趋势。
在地下水数值模拟中，蒸发量是一个重要的参数，其计算公式对于模拟的准确性具有重要影响。
2.地下水数值模拟的概念和方法
地下水数值模拟是指通过数值方法，求解描述地下水流动和变化规律的偏微分方程组，从而模拟地下水的运动过程。
地下水数值模拟的方法包括：有限差分法、有限元法、有限体积法等。
3.蒸发量的计算公式
蒸发量是指在一定时间内，地下水由液态变为气态的量。
蒸发量的计算公式为：
蒸发量 = 地下水质量 * 蒸发系数
其中，地下水质量可以通过地下水数值模拟求得，蒸发系数是一个与
地下水相关的常数，与地下水的物理性质有关。
4.影响蒸发量的因素
蒸发量的大小受多种因素影响，主要包括：
（1）地下水的温度：温度越高，蒸发量越大。
（2）地下水的含盐量：含盐量越高，蒸发量越大。
（3）气候条件：温度、湿度、风速等都会影响蒸发量。
（4）地表覆盖情况：地表植被、建筑物等都会影响蒸发量。
5.结论
地下水数值模拟蒸发量的计算公式是一个重要的参数，其准确性对于模拟结果具有重要影响。
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23
由于单元可以被分割不同的形状和大小，所以它能很好的 适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件。
加之成熟的大型软件系统支持，有限元法成为一种应用广 泛的数值计算方法。
载荷
约束
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节点 单元
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
结构 DOFs
26
结构分析常用的有限元单元
以ANSYS软件为例，常用结构分析有限元单元有如 下几种：
✓ 质点元（MASS） ✓ 杆单元 （LINK） ✓ 梁单元（BEAM） ✓ 实体元（SOLID） ✓ 壳元（SHELL） ✓ 接触元（CONTACT） ✓ 连接元（COMBINATION）
（主要讲授）
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21
1.2 有限单元法
• 基本原理：
• 将一个连续的求解域分割成有限个单元，用未知参数方程 表征单元的特性，然后将各个单元的特征方程组合成大型
代数方程组，通过求解方程组得到结点上的未知参数，获 取结构内力等需要考察的输出结果。
载荷
节点
单元
约束
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22
有限单元法的基本思想早在上世纪40年代 初期就有人提出，但真正用于工程中则是 在电子计算机出现后。
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27
.点 (质量)
. . 线(弹簧，梁，杆，间隙)
面 (薄壳, 二维实体,
.. .. 轴对称实体)
位
复杂科学问题解答的一般思路
模型的概念与数学建模
寻求科学的计算方法是解决问题的重要
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3
➢ 数值分析方法的必要性和重要 性：
有很多问题无法建立解析方程 即使建立了解析方程，但无法求得解析解 试验方法费时、费力 有很多情况，如核爆炸等无法或很难进行试验
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4
数值法涉及的复杂运算有 哪些？
件保证 数学建模为计算提供有利的工具
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6
1.工程地质数值计算的作用
中国的大型和巨型工程建设
300m级高坝 500m级高边坡 10km以上深埋长隧道
西部地形急变带及极端条件下的交通工 程
长距离跨流域调水
跨海大桥
跨海峡隧道
。。。。。
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7
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8
90年代-21世纪我国水电建设的标志性工程
工程动力地质现象及过程的模拟研究
工程岩土体应力场和位移场的分析
岩土体稳定性的模拟
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11
梁承受均布载荷：1.0e5 Pa
10m
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12
No 1049面回采完成后覆岩离层及最大主应力图
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13
回采过程中控顶区上覆岩层裂隙发育模拟研究
支架支护阻力为3600KN
支架支护阻力为6400KN
但能用解析方法求出精确解的只是方程性质比较简单， 且几何边界相当规则的少数问题。
梁 承 受 均 布 载 荷 ： 1 . 0 e 5 P a
1 0 m
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16
固体力学中的位移场和应力场分析
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17
整理ppt
18
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19
1.1 数值模拟概念
大多数的工程问题，物体的几何形状较复杂或者 其某些特征是非线性的，很少可直接获得问题的 解析解。
工程地质数值模拟技术与应用
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1
一、工程地质数值计算的意义 、任务
工程地质数值计算：应用工程地质 学原理、现代数学力学方法和计算
机技术，研究、解决工程地质（岩
土）学中的定量（半定量）化问题
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2
岩土工程中为什么要进行 数值计算？
本专业的工作内容涉及大量的复杂计算
数值方法在工程实践和科学研究中的地
不同支护阻力作用下的控顶区岩层裂隙和离层发育图
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14
工作面开采90m
火成岩 粉砂岩 细砂岩 粉砂岩 中砂岩 泥岩 细砂岩 粉砂岩 细砂岩 粉砂岩 细砂岩 粉砂岩 细砂岩 粉砂岩 泥岩 细砂岩
工作面开采110m
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数值模拟的概念与方法
许多工程分析问题，都可转化为在给定边界条件下求解 其控制方程的数学问题
目前解决途径:
✓ 简化假设，（只在有限的情况可行，过多的简化将可能导 致不正确的甚至错误的解）
✓ 借助计算机来获得满足工程要求的数值解，这就是数值模 拟技术
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20
目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有：
➢ 有限单元法：ANSYS、NASTRAN、ABAQUS、MARC ➢ 边界元法：Examine2D、Examine3D ➢ 离散单元法：UDEC、3DEC、PFC ➢ 有限差分法：FLAC3D、 FLAC2D ➢ 数值流形元法（Numerical Manifold Method,简称NMM ） 但就其实用性和应用的广泛性而言，有限单元法更为突出。
钢筋砼 结构力学 土压力、挡土墙、堤坝 地基承载力、最终沉降量 基坑、边坡 桩基础 锚杆的设计 地铁、隧道工程、地下洞室、矿山开采 特点：精度、深度、难度、数据量
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5
数值方法的研究地位
理论与方法并重 试验、数值计算与工程实践相互检验 现代计算机技术为数值方法的发展提供硬件和软
有限单元法的应用已广泛涉及各个工程领域。
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24
有限元发展历程
50年代，发展与萌生，单一功能程序，简单单元；
60年代，数学基础与证明，单一功能程序，多种单元；
70年代，单元库丰富，线性到非线性通用程序，如SAP；
80年代，多种功能扩大，大型通用程序如ADINA等；
90年代，应用领域扩大，前后处理功能增强，大型商用软 件，如ANSYS、MARC、NASTRAN等；
目前，有限元方法与CAD结合成为面向工程的CAE（计算机 辅助工程）体系。
A1
A2 A2 A2
A1
H1
H2
H1
整理ppt25ຫໍສະໝຸດ 有限元法的基本要素节点：连接单元的空间点（由空间坐标确定），具有一定 自由度。
自由度：用于描述一个物理场（位移）的响应特性的参量。 单元：分割连续体的小区域，有线、面或实体等种类。
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9
工程规划分东线、中线和西线三部分，东线从长江江苏扬州段调水，经过江苏、山东到
达河北、天津。中线从湖北丹江口水库调水经河南、河北到北京、天津，西线规划从长
江上游调水到黄河上游，供应西北和华北，正在规划中。
整理ppt
10
2.工程地质数值计算的任务
工程地质条件的定量化及岩土体赋存环境 的模拟