天津高考真题及答案卷
科考队员在北极点附近某处一天中不同时刻拍摄了太阳照片。观察照片（图3），回答第5题。
5.太阳位于a所指位置时，拍摄者看到的太阳方位和他所在地的地方时分别是
A.正北0：00B.正北12：00
C.正南0：00 D.正南12：00
读某发达国家四城市人口的年龄、性别结构示意图（图4），回答6～7题。
天津高考真题及答案卷
2008年
1、由自然条件决定其主要功能的一组文化景观是
A、甲乙B、乙丙C、乙丁D、丙丁
2、在天津的下列产业部门中，能充分合理利用丁图中设施所开采资源的是
A、化学工业B、电力工业C、交通运输业D、汽车工业
读某区域部分地理信息图，回答3-4题。
3、甲区域气候一年分为干、湿两季，据图判断其形成的主要原因是
（2）a城是历史文化名城。甲区域铁路的修通，加快了该城业、业地发展，这将促进地区间的文化交流。为了保护优美的环境，a城应充分利用本区域的
、等新能源。（8分）
（3）甲区域的城镇分布有明显特征。请你归纳出三点。（6分）
（4）甲乙两区域环境人口容量不同，主要取决于两区域资源的差异。为了证明两区域耕地、淡水资源存在着差异，你应重点阅读图中哪几个方面的信息？请归纳：
9、专家认为，地球也应该像月球一样，曾遭受许多陨石撞击，而目前陆地表面却很少发现明显的陨石坑。探究其原因，主要是
A、月球阻挡B、地质作用改造C、地表布满岩石D、地表水体覆盖
10、在白天，图中地球上空大片浓密的云层，对其覆盖地区的影响是有利于
A、地表水分蒸发B、近地面空气对流
C、大气对地面的保温D、紫外线辐射到达地面
8.据图文材料分析，影响葡萄酒产业布局最主要的一组区位因素是
A.原料、劳动力B.原料、市场
C.技术、市场D.交通、能源
9.对图中葡萄酒产业特点的描述，符合图文信息的是
A.以工业为基础，产业部门单一
B.地域文化决定了葡萄酒的产量
C.工业产品间都有“上下游”联系
D.产业结构体现了可持续发答10-11题。
（4）山区农家乐旅游活动吸引城市游客的原因是_________;这种旅游活动对区域文化的积极影响是__________；若游客数量大幅度增加，旅游管理部门应根据___________，合理控制游客数量。（9分）
（6）说明b、c、d三省人均耕地数量少的共同原因。（6分）
（7）据图找出我国人均耕地数量不容乐观的三条理由。（6分）
2009年
1. 该湖泊自然消亡的原因，据图可以确定的是
A.地壳上升B.水源减少
C.气候变干D.物质沉淀
2.湖泊的消亡引起了湖区自然景观的变化，这反映了自然环境的
A.整体性B.差异性
C.稳定性D.脆弱性
、、、。（8分）
（5）乙区域北部河流比南部河流的水能丰富，而世界著名的水电站b却建在南部，其原因有哪些？（4分）
（6）保护乙区域北部的代表性植被，对全球生态环境有何重大意义？（4分）
39、（63分）粮食问题引发全球广泛关注，我国高度重视粮食安全。阅读以下图文材料，回答问题。
（5）要解决a地区粮食生产面临的生态环境问题，应该采取哪些措施？（6分）
12.（30分）读图文（图7）材料，回答问题。
天津近、现代工业集聚地经历了由南、北运河与海河交汇处附近→市区海河两岸、铁路沿线→市区边缘→滨海地区、卫星城镇的变化过程。
（1）引起上述变化的主要原因，除交通运输方式变化外，还有_________;
工业集聚地的变化对城市空间结构的影响是________.(6分)
A、纬度位置B、地势C、大气环流D、洋流
4、乙海域有一大范围渔场，若用洋流剖面示意图来揭示其成因，应选
香港地形以山地丘陵为主，由著名的天然良港。结合图文信息回答5-6题。
5、香港建港的有利自然条件是
A、地平坡缓B、岛多浪小C、滩阔岸直D、河多沙厚
6、填海造陆对香港的影响有
A、港区行船更加通畅B、经济活动远离海岸
C、海洋生态得以维护D、利于沿海功能区布局
读冀北某地等高地形图，回答7-8题。
7、为把铝土矿石运到火车站，计划修一条公路，合理的选线是a、b、c、d中的
A、a B、b C、c D、d
8、图中有四座小水泥厂，原料主要来自采石场，产品主要外运，若在环境整治中只保留一座，应保留
A、甲B、乙C、丙D、丁
读从宇宙空间拍摄的地球和月球照片，回答9-10题。
11、X、Y两点情况相同的是
A、太阳所在方向B、所在时区C、正午太阳高度D、白昼长短
12、太阳直射点正向什么方向运动？能确定的是
A、向北B、向南C、向东D、向西
第II卷（非选择题共160分）
36、（34分）结合甲乙两区域图，回答问题。
（1）甲区域东南部易发生地震，其地质构造条件是；易发生滑坡的地质条件是。（4分）
6.人口的年龄、性别结构受人口迁移影响明显的一组城市是
A.abc B. acd
C. abd D. bcd
7.据人口年龄、性别结构判断，文化教育在城市服务功能中占主要地位的是
A.a B. b
C. c D.d.
读图文（图5）材料，回答8～9题。
葡萄酒用新鲜葡萄或葡萄汁酿造而成。近年来，我国葡萄酒产量及消费量快速增长。
某气象小组学生探讨天气图中a→b 天气的空间变化。
10.在学生绘制的图中，接近a→b天气实际状况的是
台风是形成于热带洋面，发展到一定强度的热带气旋，可给所经过地区带来大风、暴雨天气。
11. 若判断天气图中的台风能否登陆台湾岛，最有价值的信息是台风的
A.形成原因 B.形成源地
C.移动路径 D.移动快慢
（2）据图中信息说明，该区域城镇体系构成的主要条件是_________,______等；
京、津两城市都建有中心商务区（CBD）的共同条件是_________。（9分）
（3）图中所示调水工程建成后，将对调入区自然环境产生的有利影响是_________,______。（6分）
近年来，天津北部山区开发了农家乐休闲旅游项目，吸引了大量城市游客前来观光、采摘果蔬、吃农家饭等。
读我国北方某区域等高线地形图（图2），回答3-4题。
3.甲成为图中区域规模最大的村落和集市，最主要的条件是
A.地处河流上游，水质良好B.周围地貌多样，风景优美
C.地形平坦开阔，交通方便D.背靠丘陵缓坡。滑坡很少
4.地质队员发现乙处有金矿出露，考虑流水的侵蚀、搬运作用，能找到沙金（沉积物中的细小金粒）的地方是
2019年天津市高考语文真题试卷(解析版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）语文本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试用时150分钟。
第1卷1至6页，第Ⅱ卷7至12页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号2.本卷共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
阅读下面一段文字，完成下面小题。
在寒冷的极区，人们举目瞭．望，常常看到五光十色、千姿百态的极光。
天暮．上，群星闪烁，静静地俯瞰．着黑魆．魆的地面。
突然，在大熊星座中___________出一缕彩虹般的神奇光带，如烟似雾，摇曳．不定，最后化成一个硕大无比的光环，萦．统在北斗星的周围，宛如皓月当空，向大地倾泄．下一片光华。
极光形状各异，世界上简直找不出两个一模．一样的极光形体。
极光运动所造成的________的瑰．丽景象，时动时静，变换．莫测，是大自然这个魔法师，以苍穹．为舞台上演的一出光的活剧。
更令人叹为观止的还有极光的色彩，早已不能用五颜六色去描绘。
其本色不外乎红、绿、紫、蓝、白、黄，可是大自然这一超级画家用___________的手法，将隐显明暗组合起，一下子就变成了神奇的万花筒。
1. 文中加点字的字音和字形，全都正确的一组是（）A. 瞭．（liáo）望天暮．（mù）俯瞰．（àn）B. 黑魆．（ū）魆摇曳．（yè）萦．（yíng）绕C. 皓．（hào）月倾泄．（iè）一模．（mó）一样D. 瑰．（guī）丽变换．（huàn）莫测苍穹．（qióng）2. 依次填入文中横线处的词语，最恰当的一组是（）A. 飘洒瞬息万变出神入化B. 散落瞬息万变鬼斧神工C. 散落浩如烟海出神入化D. 飘洒浩如烟海鬼斧神工【答案】1. B 2. A【解析】【1题详解】本题考查学生识记现代汉语普通话常用字的字音，识记并正确书写现代常用规范汉字的能力。
2019年全国普通高考天津卷语文试题及答案解析
5、2019年全国普通高考天津卷语文试题及答案解析第 I 卷一、（12分）阅读下面一段文字，完成下面小题。
在寒冷的极区，人们举目瞭望，常常看到五光十色、千姿百态的极光。
天暮上，群星闪烁，静静地俯瞰着黑魆魆的地面。
突然，在大熊星座中___________出一缕彩虹般的神奇光带，如烟似雾，摇曳不定，最后化成一个硕大无比的光环，萦统在北斗星的周围，宛如皓月当空，向大地倾泄下一片光华。
极光形状各异，世界上简直找不出两个一模一样的极光形体。
极光运动所造成的________的瑰丽景象，时动时静，变换莫测，是大自然这个魔法师，以苍穹为舞台上演的一出光的活剧。
更令人叹为观止的还有极光的色彩，早已不能用五颜六色去描绘。
其本色不外乎红、绿、紫、蓝、白、黄，可是大自然这一超级画家用___________的手法，将隐显明暗组合起来，一下子就变成了神奇的万花筒。
1. 文中加点字的字音和字形，全都正确的一组是（）A. 瞭（liáo）望天暮（mù）俯瞰（kàn）B. 黑魆（xū）魆摇曳（yè）萦（yíng）绕C. 皓（hào）月倾泄（xiè）一模（mó）一样D. 瑰（guī）丽变换（huàn）莫测苍穹（qióng）2. 依次填入文中横线处的词语，最恰当的一组是（）A. 飘洒瞬息万变出神入化B. 散落瞬息万变鬼斧神工C. 散落浩如烟海出神入化D. 飘洒浩如烟海鬼斧神工【答案】1. B 2. A【1题详解】本题考查学生识记现代汉语普通话常用字的字音，识记并正确书写现代常用规范汉字的能力。
解答此类题目，首先要明确题干的要求，如本题“加点字的字音和字形，全都正确的一组”，然后根据字形和字义辨析字音，根据字音和字义辨析字形。
本题中，A项，“瞭望”的“瞭”应读liào，指远望；“天暮”的“暮”应为“幕”，指笼罩大地的天空。
C项，“倾泄”的“泄”应为“泻”，“倾泻”指（大量的水）很快地从高处流下，而“泄”一般指液体或气体排出；“一模一样”的“模”应读mú。
2019年天津高考语文、数学(理工类)、理综、英语真题及答案解析汇总word版-41页文档资料
2019年天津高考语文、数学（理工类）、理综、英语真题及答案解析汇总2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)语文本试卷分第I卷和第II卷两部分，共150分，考试用时150分钟，第I卷１至６页，第II卷７至１２页。
答卷前，考生务必奖自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净以后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共１２小题，每小题３分，共３６分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、（15分）1.下列词语中加点字的读音,全都正确的一组是A.裨．(bì)益窠．(kē)臼偌．(nuò)大潜．(．qián)移默化B.发轫．(rěn) 烘焙．(péi) 禀．(bǐng)赋既往不咎．(jiù)C.臧否．(pǐ) 契．(qiè)合澄．(chéng)澈乳臭．(xiù)未干D.造诣．(．yì) 编纂．(zuǎn) 泊．(bó)位游目骋．(chěng)怀2.下列词语中没有．．错别字的一组是A.膏梁青涩雍容华贵豆寇年华B.缴纳戍边平心而论得鱼忘筌C.桀骜羁旅摩肩接踵励精图治D.袅娜覆盖开城布公呕心沥血3.下面语段横线处应填入的词语,是恰当的一组是长期以来,人们把图书馆当成“知识宝库”，当成“知识殿堂”，似乎对图书馆_________有㖙，然而，“宝库”和“殿堂”虽好，但它们离普通百姓很远，甚至很遥远，普通百姓往往_______。
一些人从不进图书馆，恐怕同这种心态不无关系，图书馆_________“宝库”“殿堂”，______“知识公园”。
A.崇敬望而生畏不仅是而且是B.尊崇望而生畏不应是而应是C.崇敬敬而远之不应是而应是D.尊崇敬而远之不仅是而且是4.下列各句中没有．．语病的一句是A.在学校开设的各种选修课中，同学们尤其更喜欢“生活中的法律”“电脑音乐制作”等体验性强、新鲜有趣的课程。
2021年全国统一高考数学试卷(天津市卷)(含详细解析)
2021年全国统一高考数学试卷(天津市卷)(含详细解析)2021年全国统一高考数学试卷（天津卷）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共9题；共45分）1.设集合A={−1,0,1}，A={1,3,5}，A={0,2,4}，则(A∩A)∪A=（）A.{0}B.{0,1,3,5}C.{0,1,2,4}D.{0,2,3,4}2.已知A∈A，则“A>6”是“A2>36”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数A=ln|A|/A2+2的图像大致为（）A。
B。
C。
D.4.从某网格平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66,70),[70,74),⋯,[94,98]，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间[82，86)内的影视作品数量是（）A。
20 B。
40 C。
64 D。
805.设A=log2 0.3，A=log1 0.4，A=0.4，则a，b，c的大小关系为（）A.A<A<AB.A<A<AC.A<A<AD.A<A<A6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A.3AB.4AC.9AD.12A7.若2A=5A=10，则A+A=（）A。
-1 B.lg7 C。
1 D.log7 1088.已知双曲线A2/A2−A2/A2=1，两个圆锥的高之比为11:32A/3，则9.已知双曲线A2/A2−A2/A2=1，两个圆锥的高之比为11:32A/3，则这两个圆锥的底面半径之比为（）解析】【解答】解：对于奇函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，所以f(x)的图象关于原点对称；而f(x)的值域为[-2,2]，所以-f(x)的值域也为[-2,2]，即f(-x)的值域也为[-2,2]；又因为f(-x)=-f(x)，所以f(x)的图象关于y轴对称；综上所述，f(x)的图象关于原点和y轴对称，故选B.分析】根据奇偶函数的定义和图象的对称性求解即可.4.【答案】B考点】函数的连续性，导数的定义解析】【解答】解：由题意得f(x)在x=0处连续，所以f(0-)=f(0+)=a；又因为f'(x)=2ax，所以f'(0)=0；又因为f''(x)=2a，所以f''(0)=2a>0；由导数定义可知，f(x)在x=0处取得极小值，故选B.分析】根据函数连续性、导数的定义和二阶导数的符号判断极值类型求解即可.5.【答案】D考点】向量共面的判定，向量的叉积解析】【解答】解：设向量AB=a，向量AC=b，则向量AD=a+b；又因为向量AD与向量BC共面，所以向量AD叉乘向量BC的模长为0，即|(a+b)×c|=0；展开得：|a×c+b×c|=0；又因为a×c和b×c平行，所以a×c和b×c的线性组合为0向量；即存在实数k，使得ka×c+kb×c=0；又因为a和c不共线，所以k≠0，故a和b共线，即AB//AC，故选D.分析】根据向量共面的判定和向量的叉积求解即可.6.【答案】C考点】平面向量的模长，向量的投影解析】【解答】解：设向量AB=a，向量AC=b，则向量AD=a+b；又因为向量AD与向量BC垂直，所以向量AD在向量BC上的投影为0，即AD·BC=0；展开得：(a+b)·(b-c)=0；即a·b-b·b+a·c-b·c=0；又因为|a|=2，所以a·a=4，所以a·b=2；又因为|b|=1，所以b·b=1，所以b·c=1；代入得2-1+a·c-1=0，即a·c=0；又因为a和c不共线，所以a和c垂直，故选C.分析】根据向量的模长和投影的定义，以及向量垂直的判定求解即可.7.【答案】D考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式解析】【解答】解：设等差数列的公差为d，则有a1+a8=2(a1+7d)=64，解得a1=5，d=3；设等比数列的首项为b1，则有b2/b1=b3/b2=2，解得b1=4，q=√2；所以an=5+3(n-1)和bn=4*√2^(n-1)；又因为c1=b1^2+b1=20，=b^2n+bn=18*2^(n-1)+4*√2^(n-1)；展开得：cn=2^(n-1)(18+4*√2)=2^(n-1)(9+2*√2)^2-5*2^(n-1)，故选D.分析】根据等差数列和等比数列的通项公式，以及通项公式的性质求解即可.8.【答案】B考点】三角函数的定义，三角函数的图象解析】【解答】解：由题意得sinx>0，cosx<0，tanx<0；又因为tanx=sinx/cosx，所以sinx和cosx的符号相反；故x在第二象限，故选B.分析】根据三角函数的定义和图象，以及符号的判断求解即可.9.【答案】A考点】平面向量的模长，向量的夹角解析】【解答】解：设向量OA=a，向量OB=b，则有|a|=|b|=1，且a·b=0；又因为角AOB=60°，所以cos60°=(a·b)/(|a||b|)=0.5；代入得：a·b=0.5；又因为a·b=0，所以a·a+b·b=1+1=2；展开得：2+2a·b=2，即a·b=-0.5；代入得：a·a=1.5，b·b=0.5；所以|a+b|=√(a·a+b·b+2a·b)=√3，故选A.分析】根据平面向量的模长和夹角的定义，以及余弦定理求解即可.10.【答案】D考点】圆锥曲线的定义，椭圆的性质解析】【解答】解：由题意得右焦点为F，离心率为2√5，且|BF|=√5；又因为椭圆的离心率为c/a，所以c=2√5a；又因为椭圆的上顶点为B，所以b=√(a^2-c^2)=√(a^2-20a)；又因为|BF|=√5，所以a^2+c^2=5，代入得：5a^2=25，即a^2=5；代入得：c=2√5，b=√5，所以椭圆的方程为：x^2/5+y^2/4=1，故选D.分析】根据椭圆的定义和性质，以及离心率的定义和计算求解即可.解：函数$f(-x)=\frac{(-x)^2+2}{(-x)^2+2}=1$，即$f(x)=f(-x)$，所以$f(x)$是偶函数，排除选项A和C。
2024年天津高考数学真题(原卷版+解析版】
2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4 B. {}2,3,4 C. {}2,4 D. {}12. 设,a b ÎR ，则“33a b =”是“33a b =”（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 下列图中，相关性系数最大的是（ ）的获取更多高中资料关注公众号：网盘网课资源A. B.C. D.4. 下列函数是偶函数的是（ ）A. 22e 1x x y x -=+ B. 22cos 1x x y x +=+ C. e 1x xy x -=+ D. ||sin 4e x x x y +=5. 若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A. a b c>> B. b a c>> C. c a b>> D. b c a>>6. 若,m n 为两条不同的直线，a 为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）A 若//m a ，n Ìa ，则//m nB. 若//,//m n a a ，则//m nC. 若//,a a ^m n ，则m n ^D. 若//,a a ^m n ，则m 与n 相交7. 已知函数()()πsin303f x x w w æö=+>ç÷èø的最小正周期为π．则函数在ππ,126éù-êúëû的最小值是（ ）A. B. 32-C. 0D.328. 双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A. 22182y x -= B. 22184x y -= C. 22128x y -= D. 22148x y -=9. 一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（）.A.B.12+C.D.12-第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知i是虚数单位，复数))i 2i +×-=______．11. 在63333x xæö+ç÷èø展开式中，常数项为______．12. 22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．13. ,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为______．14. 在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， 1,2CE DE BE BA BC ==+uur uur uuu r l m ，则l m +=______；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ×uuu r uuur的最小值为______．15. 若函数()21f x ax =--+有唯一零点，则a 取值范围为______．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤的的16. 在ABC V 中，92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a ；（2）求sin A ；（3）求()cos 2B A -．17. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ^平面ABCD ，AD AB ^，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △．（1）求椭圆方程．（2）过点30,2æö-ç÷èø的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．19. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．（1）求数列{}n a 前n 项和n S ；（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=ì=í+<<î，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -³×；（ⅱ）求1nS i i b =å．20. 设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()(f x a x ³在()0,x ¥Î+时恒成立，求a 取值范围；（3）若()12,0,1x x Î，证明()()121212f x f x x x -£-．的2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4B. {}2,3,4 C. {}2,4 D. {}1【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B =I ，获取更多高中资料关注公众号：网盘网课资源2. 设,a b ÎR ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件.故选：C.3. 下列图中，相关性系数最大的是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1.故选：A4. 下列函数是偶函数的是（ ）A. 22e 1x x y x -=+ B. 22cos 1x x y x +=+ C. e 1x xy x -=+ D. ||sin 4e x x x y +=【答案】B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -¹，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ¹-，不关于原点对称， 则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设()||sin 4e x x x x j +=，函数定义域为R ，因为()sin141e j +=，()sin141ej ---=，则()()11j j ¹-，则()x j 不是偶函数，故D 错误.故选：B.5. 若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b a c>> C. c a b>> D. b c a>>【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+¥上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选：B6. 若,m n 为两条不同的直线，a 为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）A. 若//m a ，n Ìa ，则//m nB. 若//,//m n a a ，则//m nC. 若//,a a ^m n ，则m n ^D. 若//,a a ^m n ，则m 与n 相交【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误，根据线面垂直的性质可判断CD 的正误.【详解】对于A ，若//m a ，n Ìa ，则,m n 平行或异面，故A 错误.对于B ，若//,//m n a a ，则,m n 平行或异面或相交，故B 错误.对于C ，//,a a ^m n ，过m 作平面b ，使得s b a =I ，因为m b Ì，故//m s ，而s a Ì，故n s ^，故m n ^，故C 正确. 对于D ，若//,a a ^m n ，则m 与n 相交或异面，故D 错误.故选：C .7. 已知函数()()πsin303f x x w w æö=+>ç÷èø的最小正周期为π．则函数在ππ,126éù-êúëû的最小值是（ ）A. B. 32-C. 0D.32【答案】A 【解析】【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出w ，得()sin2f x x =-，再整体求出,126éùÎ-êúëûππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x w w w æö=+=+=-ç÷èø，由2ππ3T w==得23w =，即()sin2f x x =-，当,126éùÎ-êúëûππx 时，ππ2,63x éùÎ-êúëû，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126éù-êúëû上递减，所以，当π6x =时，()min πsin 3f x =-=故选：A8. 双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A. 22182y x -= B. 22184x y -= C. 22128x y -= D. 22148x y -=【答案】C 【解析】【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF Ð=°，设2PF m =，211122,PF F PF F q q Ð=Ð=，由21tan 2PF k q ==，求得1sin q =，因为1290F PF Ð=°，所以121PF PF k k ×=-，求得112PF k =-，即21tan 2q =，2sin q =，由正弦定理可得：121212::sin :sin :sin 902PF PF F F q q =°=，则由2PF m =得1122,2PF m F F c ===，由1212112822PF F S PF PF m m =×=×=V 得m =，则2122PF PF F c c =====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ===所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C9. 一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（ ）A.B.12+ C.D.12-【答案】C 【解析】【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -（顶点与五面体ABC DEF -一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N ；,E M ;,F L 重合，因为AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1322314+=+=+=，212111142ABC DEF ABC HIJ V V --==´´´=.故选：C.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知i是虚数单位，复数))i 2i +×-=______．【答案】7【解析】【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】))i 2i 527+×-=+-+=-.故答案为：7-.11. 在63333x xæö+ç÷èø的展开式中，常数项为______．【答案】20【解析】【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333x x æö+ç÷èø的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x ---+æöæö===×××ç÷ç÷èøèø，令()630r -=，可得3r =，所以常数项为0363C 20=.故答案为：20.12. 22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．【答案】45##0.8【解析】【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y xì-+=ïí=ïî可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=，故原点到直线AF 的距离为4455d ==，故答案为：4513. ,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为______．【答案】 ①.35②. 12【解析】【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率.【详解】解法一：列举法从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况，其中甲选到A 有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，则甲选到A 得概率为：63105P ==；乙选A 活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，其中再选则B 有3种可能性：,,ABC ABD ABE ，故乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A 为事件M ，乙选到B 为事件N ，则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==；乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为：35；1214. 在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， 1,2CE DE BE BA BC ==+uur uur uuu r l m ，则l m +=______；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ×uuu r uuur的最小值为______．【答案】 ①.43②. 518-【解析】【分析】解法一：以{},BA BC uuu r uuu r 为基底向量，根据向量的线性运算求BE uuu r，即可得l m +，设BF BE k =uuu r uur ，求,AF DG uuu r uuu r ，结合数量积的运算律求AF DG ×uuu r uuur 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE uuu r，即可得l m +，设()1,3,,03F a a a éù-Î-êúëû，求,AF DG uuu r uuu r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ×uuu r uuur 的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uur ，则13BE BC CE BA BC =+=+uuu r uur u uu ur r uuu r ，可得1,13l m ==，所以43l m +=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==×=uuu r uuu r uuu r uuu r，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+Îuuu r uuu r uuu r uuu r，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC æö=+=+=-+ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC æöæö=+=-+=-+-ç÷ç÷èøèøuuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur ，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC éùéùæöæöæö×=-+×-+-ç÷ç÷ç÷êúêúèøèøèøëûëûuuu r uuur uuu r uuu ruuu r uuur22111563112329510k k k k æöæöæö=-+-=--ç÷ç÷ç÷èøèøèø，又因为[]0,1k Î，可知：当1k =时，AF DG ×uuu r uuur取到最小值518-；解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E æö---ç÷èø，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE æö=-==-ç÷èøuuu r uuu r uuu r ，因为(),BE BA BC l m l m =+=-uuu r uuu r uuu r ，则131l m ì-=-ïíï=î，所以43l m +=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x éù=-Î-êúëû上，设()1,3,,03F a a a éù-Î-êúëû，且G 为AF 中点，则13,22a G a -æö-ç÷èø，可得()131,3,,122a AF a a DG a +æö=+-=--ç÷èøuuu r uuur ，则()()22132331522510a AF DG a a a +æöæö×=+---=+-ç÷ç÷èøèøuuu r uuur ，且1,03a éùÎ-êúëû，所以当13a =-时，AF DG ×uuu r uuur 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.15. 若函数()21f x ax =--+有唯一零点，则a 的取值范围为______．【答案】()(1-È【解析】【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数()g x =与()23,21,ax x a h x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî，则两函数图象有唯一交点，分0a =、0a >与0a <进行讨论，当0a >时，计算函数定义域可得x a ³或0x £，计算可得(]0,2a Î时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当(]0,2a Î时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当0a <时，按同一方式讨论即可得.【详解】令()0f x =，即21ax =--，由题可得20x ax -³，当0a =时，x ÎR，有211=--=，则x =±当0a >时，则23,2121,ax x a ax x a ì-³ïï--=íï-<ïî，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî有唯一交点，由20x ax -³，可得x a ³或0x £，当0x £时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x éùéù---=++--=ëûëû，当2a =时，即410x +=，即14x =-，当()0,2a Î，12x a =-+或102x a=>-（正值舍去），当()2,a Î+¥时，102x a =-<+或102x a=<-，有两解，舍去，即当(]0,2a Î时，210ax --+=在0x £时有唯一解，则当(]0,2a Î时，210ax --+=在x a ³时需无解，当(]0,2a Î，且x a ³时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在12,a a æöç÷èø上单调递减，在23,a a æöç÷èø上单调递增，令()g x y ==，即2222142a x y a a æö-ç÷-ø=è，故x a ³时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得，由()222214y x a a-=的渐近线方程为22a y x x a =±=±，即()g x 部分的渐近线方程为22a y x æö=-ç÷èø，其斜率为2，又(]0,2a Î，即()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî在2x a ³时的斜率(]0,2a Î，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a +¥上单调递增，故有13a aa a ì<ïïíï>ïî，解得1a <<，故1a <<符合要求；当a<0时，则23,2121,ax x a ax x a ì-£ïï--=íï->ïî，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ì-£ïï=íï->ïî有唯一交点，由20x ax -³，可得0x ³或x a £，当0x ³时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x éùéù---=++--=ëûëû，当2a =-时，即410x -=，即14x =，当()2,0a Î-，102x a =-<+（负值舍去）或102x a=-，当(),2a Î-¥时，102x a =->+或102x a=>-，有两解，舍去，即当[)2,0a Î-时，210ax --+=在0x ³时有唯一解，则当[)2,0a Î-时，210ax --+=在x a £时需无解，当[)2,0a Î-，且x a £时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-£ïï=íï->ïî关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在21,a a æöç÷èø上单调递减，在32,a a æöç÷èø上单调递增，同理可得：x a £时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得，()g x 部分渐近线方程为22a y x æö=-+ç÷èø，其斜率为2-，又[)2,0a Î-，即()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî在2x a <时的斜率[)2,0a Î-，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），的且函数()g x 在(),a -¥上单调递减，故有13a aa aì>ïïíï<ïî，解得1a <<-，故1a <<-符合要求；综上所述，()(1a Î-U .故答案：()(1-È.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数()f x 的零点问题转化为函数()g x =与函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. 在ABC V 中，92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a ；（2）求sin A ；（3）求()cos 2B A -．【答案】（1）4 （2（3）5764【解析】【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【小问1详解】设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，为即229254922316t t t t =+-´´´，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.【小问2详解】法一：因为B为三角形内角，所以sin B ===，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos22564bc a A bc +-+-===´´，因为()0,πA Î，则sin A ==小问3详解】法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB Î，所以π0,2B æöÎç÷èø，由（2）法一知sin B =，因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===，2231cos 22cos 12148A A æö=-=´-=ç÷èø()1957cos 2cos cos 2sin sin 281664B A B A B A -=+=´+=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===，则2231cos 22cos 12148AA æö=-=´-=ç÷èø，因为B 为三角形内角，所以sinB ===所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=´=【17. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ^平面ABCD ，AD AB ^，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．【答案】（1）证明见解析（2（3【解析】【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ，结合线面平行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【小问1详解】取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1//NP CC ，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11//D M CC ，则有1//D M NP 、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1//D N MP ，又MP Ì平面1CB M ，1D N Ë平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；【小问2详解】以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =-uuur 、()1,0,1CM =-uuuu r 、()10,0,2BB =uuur，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z =r 、()222,,n x y z =r，则有111111200m CB x y z m CM x z ì×=-+=ïí×=-+=ïîuuur r uuuu r r ，1222122020n CB x y z n BB z ì×=-+=ïí×==ïîuuur r uuur r ，分别取121x x ==，则有13y =、11z =、21y =，20z =，即()1,3,1m =r 、()1,1,0n =r，则cos ,m =r ，故平面1CB M 与平面11BB CC；【小问3详解】由()10,0,2BB =uuur ，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =r，=即点B 到平面1CB M.18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △．（1）求椭圆方程．（2）过点30,2æö-ç÷èø的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】（1）221129x y +=（2）存在()30,32T t t æö-££ç÷èø，使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立.【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx =-，()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ ×uur uuu r，再根据0TP TQ ×£uur uuu r 可求t 的范围.【小问1详解】因为椭圆的离心率为12e =，故2a c =，b =，其中c 为半焦距，所以()()2,0,0,,0,A c B C æ-ççè，故122ABC S c =´=△故c =a =，3b =，故椭圆方程为：221129x y +=.【小问2详解】若过点30,2æö-ç÷èø的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx =-，设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx ì+=ïí=-ïî可得()223412270k x kx +--=，故()222Δ144108343245760k kk=++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k +==-++而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=-uur uuu r，故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t æöæö×=+--=+----ç÷ç÷èøèøuur uuu r ()()22121233122kx x k t x x t æöæö=+-++++ç÷ç÷èøèø()22222731231342342k k k t t k k æöæöæö=+´--+´++ç÷ç÷ç÷++èøèøèø()2222222327271812332234k k k t t t k k æö----++++ç÷èø=+()22223321245327234t t k t k æöéù+--++-ç÷ëûèø=+，因为0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立，故()223212450332702t t t ì+--£ïíæö+-£ïç÷èøî，解得332t -££.若过点30,2æö-ç÷èø的动直线的斜率不存在，则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -，此时需33t -££，两者结合可得332t -££.综上，存在()30,32T t t æö-££ç÷èø，使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.19. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．（1）求数列{}n a 前n 项和n S ；（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=ì=í+<<î，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -³×；（ⅱ）求1nS i i b =å．【答案】（1）21n n S =- （2）①证明见详解；②()131419nn S ii n b=-+=å【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，根据题意结合等比数列通项公式求q ，再结合等比数列求和公式分析求解；（2）①根据题意分析可知12,1k k n a b k -==+，()121n k k b -=-，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=éù=---ëûå，再结合裂项相消法分析求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为0q >，因为1231,1a S a ==-，即1231a a a +=-，可得211q q +=-，整理得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），所以122112nn n S -==--.【小问2详解】（i ）由（1）可知12n n a -=，且N*,2k k γ，当124kk n a +=³=时，则111221111k k k k k a n n a a -++ì=<-=-í-=-<î，即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+，()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--×=+-=-，可得()()()()1112112122120kn k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--³--=-׳-，当且仅当2k =时，等号成立，所以1n k n b a b -³×；（ii ）由（1）可知：1211nn n S a +=-=-，若1n =，则111,1S b ==；若2n ³，则112k k k a a -+-=，当1221k k i -<£-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列，可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k kk k k -------=-éù=×+=×=---ëûå，所以()()()232113141115424845431434499nnS n n i i n b n n -=-+éù=+´-´+´-´+×××+---=ëûå，且1n =，符合上式，综上所述：()131419nn S ii n b=-+=å.【点睛】关键点点睛：1.分析可知当1221k k i -<£-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列；2.根据等差数列求和分析可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=éù=---ëûå.20. 设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处切线方程；（2）若()(f x a x ³在()0,x ¥Î+时恒成立，求a 的取值范围；（3）若()12,0,1x x Î，证明()()121212f x f x x x -£-．【答案】（1）1y x =- （2）{}2（3）证明过程见解析【解析】【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a =，再证明2a =时条件满足；（3）先确定()f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【小问1详解】的由于()ln f x x x =，故()ln 1f x x =¢+.所以()10f =，()11f ¢=，所以所求的切线经过()1,0，且斜率为1，故其方程为1y x =-.【小问2详解】设()1ln h t t t =--，则()111t h t t t¢-=-=，从而当01t <<时()0h t ¢<，当1t >时()0h t ¢>.所以()h t 在(]0,1上递减，在[)1,+¥上递增，这就说明()()1h t h ³，即1ln t t -³，且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--，则()((ln 12ln f x a x x x a x x a x g æö--=-=-=×ç÷øè.当()0,x ¥Î+的取值范围是()0,¥+，所以命题等价于对任意()0,t ¥Î+，都有()0g t ³.一方面，若对任意()0,t ¥Î+，都有()0g t ³，则对()0,t ¥Î+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t æö£=--=-+£-+-=+--ç÷èø，取2t =，得01a £-，故10a ³>.再取t =，得2022a a a £+-=-=-，所以2a =.另一方面，若2a =，则对任意()0,t ¥Î+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=³，满足条件.综合以上两个方面，知a 的取值范围是{}2.【小问3详解】先证明一个结论：对0a b <<，有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.证明：前面已经证明不等式1ln t t -³，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a --=+=+<+---，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a bbæö---ç÷--èø=+=+>+=+----，所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-，即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x =¢+，可知当10ex <<时()0f x ¢<，当1e x >时()0f x ¢>.所以()f x 在10,eæùçúèû上递减，在1e ,éö+¥÷êëø上递增.不妨设12x x £，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x ££<时，有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<情况二：当1210ex x <££时，有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c æùÎçúèû，设()ln ln x x x c c j =--()ln 1x x j =+¢.由于()x j ¢单调递增，且有11110j =+<+=-+=¢，且当2124ln 1x c c ³-æö-ç÷èø，2cx >2ln 1c ³-可知()2ln 1ln 1ln 102c x x c j æö=+>++=-³ç÷èø¢.所以()x j ¢在()0,c 上存在零点0x ，再结合()x j ¢单调递增，即知00x x <<时()0x j ¢<，0x x c <<时()0x j ¢>.故()x j 在(]00,x 上递减，在[]0,x c 上递增.①当0x x c ££时，有()()0x c j j £=；②当00x x <<112221e e f f cæö=-£-=<ç÷èø，故我们可以取1,1q c öÎ÷ø.从而当201cx q <<->()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q cj ö=-<-<--=-<÷ø.再根据()x j 在(]00,x 上递减，即知对00x x <<都有()0x j <；综合①②可知对任意0x c <£，都有()0x j £，即()ln ln 0x x x c c j =--£.根据10,ec æùÎçúèû和0x c <£的任意性，取2c x =，1x x =，就得到1122ln ln 0x x x x -£.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-£.情况三：当12101ex x <££<时，根据情况一和情况二讨论，可得()11e f x f æö-££ç÷èø，()21e f f x æö-££ç÷èø而根据()f x 的单调性，知()()()1211e f x f x f x f æö-£-ç÷èø或()()()1221e f x f xf f x æö-£-ç÷èø.故一定有()()12f x f x -£成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合()f x 的单调性进行分类讨论.的。
2023年新高考天津数学高考真题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,1,2,4UA B ===，则U B A = （ ）A. {}1,3,5B. {}1,3C. {}1,2,4D.{}1,2,4,5【答案】A 【解析】【分析】对集合B 求补集，应用集合的并运算求结果；【详解】由{3,5}U B = ，而{1,3}A =， 所以{1,3,5}U B A = . 故选：A2. “22a b =”是“222a b ab +=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【详解】由22a b =，则a b =±，当0a b =−≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立；由222a b ab +=，则2()0a b −=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立； 所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件. 故选：B 3. 若0.50.60.51.01, 1.01,0.6ab c ==，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. c a b >> B. c b a >> C. a b c >> D. b a c >>【答案】D 【解析】【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由 1.01x y =在R 上递增，则0.50.61.01 1.01a b =<=， 由0.5y x =在[0,)+∞上递增，则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>. 故选：D4. 函数()f x 的图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A.()25e e 2x xx −−+ B.25sin 1xx + C.()25e e 2x xx −++D.25cos 1xx + 【答案】D 【解析】【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B 中函数的奇偶性，再判断A 、C 中函数在(0,)+∞上的函数符号排除选项，即得答案.【详解】由图知：函数图象关于y 轴对称，其为偶函数，且(2)(2)0f f −=<，由225sin()5sin ()11x xx x −=−−++且定义域为R ，即B 中函数为奇函数，排除； 当0x >时25(e e )02x x x −−>+、25(e e )02x x x −+>+，即A 、C 中(0,)+∞上函数值为正，排除； 故选：D5. 已知函数()f x 的一条对称轴为直线2x =，一个周期为4，则()f x 的解析式可能为（ ） A. sin 2x πB. cos 2x πC. sin 4x πD. cos 4x π【答案】B【解析】【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在2x =处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性： A 选项中242Tππ==，B 选项中242Tππ==，C 选项中284T ππ==，D 选项中284T ππ==，排除选项CD ，对于A 选项，当2x =时，函数值sin 202π ×=，故()2,0是函数的一个对称中心，排除选项A ，对于B 选项，当2x =时，函数值cos 212π ×=−，故2x =是函数的一条对称轴， 故选：B.6. 已知{}n a 为等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，122n n a S +=+，则4a 的值为（ ） A. 3 B. 18C. 54D. 152【答案】C 【解析】【分析】由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于首项、公比的方程组，求解方程组确定首项和公比的值，然后结合等比数列通项公式即可求得4a 的值.【详解】由题意可得：当1n =时，2122a a +，即1122a qa =+， ① 当2n =时，()31222a a a ++，即()211122a q a a q =++， ②联立①②可得12,3a q ==，则34154a a q==. 故选：C.7. 调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数0.8245r =，下列说法正确的是（ ）A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性B. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245 【答案】C 【解析】【分析】根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断ABC 选项，根据相关系数的定义可以判断D 选项.【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A 选项错误散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B 选项错误，C 选项正确；由于0.8245r =是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是0.8245，D 选项错误 故选：C8. 在三棱锥−P ABC 中，线段PC 上的点M 满足13PM PC =，线段PB 上的点N 满足23PN PB =，则三棱锥P AMN −和三棱锥−P ABC 的体积之比为（ ） A.19B.29C.13D.49【答案】B 【解析】【分析】分别过,M C 作,MM PA CC PA ′′⊥⊥,垂足分别为,M C ′′.过B 作BB ′⊥平面PAC ，垂足为B ′，连接PB ′,过N 作NN PB ′′⊥,垂足为N ′.先证NN ′⊥平面PAC ，则可得到//BB NN ′′，再证//MM CC ′′ .由三角形相似得到13MM CC ′′=，'2'3NN BB =，再由P AMN N PAMP ABC B PACV V V V −−−−=即可求出体积比.【详解】如图，分别过,M C 作,MM PA CC PA ′′⊥⊥,垂足分别为,M C ′′.过B 作BB ′⊥平面PAC ，垂足为B ′，连接PB ′,过N 作NN PB ′′⊥,垂足为N ′.因为BB ′⊥平面PAC ，BB ′⊂平面PBB ′，所以平面PBB ′⊥平面PAC .又因为平面PBB ′ 平面PAC PB ′=，NN PB ′′⊥，NN ′⊂平面PBB ′，所以NN ′⊥平面PAC ，且//BB NN ′′.在PCC ′△中，因为,MM PA CC PA ′′⊥⊥，所以//MM CC ′′，所以13PM MM PC CC ′==′，在PBB ′△中，因为//BB NN ′′，所以23PN NN PB BB ′==′，所以11123231119332PAM P AMN N PAM P ABC B PAC PAC PA MM NN S NNV V V V S BB PA CC BB −−−− ′′′⋅⋅⋅⋅ ==== ′′′⋅⋅⋅⋅. 故选：B9. 双曲线2222(0,0)x y a b a b−>>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 作其中一条渐近线的垂线，垂足为P ．已知22PF =，直线1PF，则双曲线的方程为（ ） A. 22184x y −=B. 22148x y −=C. 22142x y −=D. 22124x y −=【答案】D 【解析】【分析】先由点到直线的距离公式求出b ，设2POF θ∠=，由tan b bOP aθ==得到OP a =，2OF c =.再由三角形的面积公式得到P y ，从而得到P x，则可得到22a a =+，解出a ，代入双曲线的方程即可得到答案.【详解】如图，因为()2,0F c ，不妨设渐近线方程为by x a=，即0bx ay −=，所以2bcPF b c==， 所以2b =设2POF θ∠=,则2tan PF b bOP OP aθ===，所以OP a =，所以2OF c =. 因为1122P ab c y =⋅,所以P ab y c =，所以tan P P P ab y b c x x a θ===，所以2P a x c =， 所以2,a ab P c c， 因为()1,0F c −，所以1222222242PF abab a a c k a a c a a a c c=====+++++)224a a +=，解得a =，所以双曲线的方程为22124x y −=故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知i 是虚数单位，化简514i23i++的结果为_________．【答案】4i +##i 4+ 【解析】.【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以23i −，然后计算其运算结果即可.【详解】由题意可得()()()()514i 23i 514i5213i4i 23i23i 23i 13+−++===+++−. 故答案为：4i +.11. 在6312x x −的展开式中，2x 项的系数为_________． 【答案】60 【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式()61841612kk k k k T C x −−+=−×××，令1842k −=确定k 的值，然后计算2x 项的系数即可.【详解】展开式的通项公式()()6361841661C 212C kkk kk k kk T x x x −−−+ =−=−×××， 令1842k −=可得，4k =，则2x 项的系数为()4644612C 41560−−××=×=.故答案为：60.12. 过原点的一条直线与圆22:(2)3C x y ++=相切，交曲线22(0)y px p =>于点P ，若8OP =，则p 的值为_________．【答案】6 【解析】【分析】根据圆()2223x y ++=和曲线22y px =关于x 轴对称，不妨设切线方程为y kx =，0k >，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．【详解】易知圆()2223x y ++=和曲线22y px =关于x 轴对称，不妨设切线方程为y kx =，0k >，=k=22y y px = = 解得：00x y = =或23p xy= =， 所以483p OP ===，解得：6p ．当k = 故答案为：6．13. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________． 【答案】 ①. 0.05 ②. 35##0.6 【解析】【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空； 根据古典概型的概率公式可求出第二个空．【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5,4,6n n n ，所以总数为15n ， 所以甲盒中黑球个数为40%52n n ×=，白球个数为3n ； 甲盒中黑球个数25%4n n ×=，白球个数为3n ； 甲盒中黑球个数为50%63n n ×=，白球个数为3n ；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A ，所以，()0.40.250.50.05P A =××=；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B ， 黑球总共有236n n n n ++=个，白球共有9n 个，所以，()93155n P B n ==． 故答案为：0.05；35． 14. 在ABC 中，60A ∠= ，1BC =，点D 为AB 的中点，点E 为CD 的中点，若设,AB a AC b == ，则AE 可用,a b 表示为_________；若13BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为_________．【答案】 ①. 1142a b + ②. 1324 【解析】【分析】空1：根据向量的线性运算，结合E 为CD 的中点进行求解；空2：用,a b表示出AF ，结合上一空答案，于是AE AF ⋅ 可由,a b表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.【详解】空1：因为E 为CD 的中点，则0ED EC += ，可得AE ED AD AE EC AC +=+=， 两式相加，可得到2AE AD AC =+，为即122AEa b =+ ，则1142AE a b =+ ； 空2：因为13BF BC = ，则20FB FC += ，可得AF FC AC AF FB AB +=+=， 得到()22AF FC AF FB AC AB +++=+，即32AF a b =+，即2133AFa b =+ . 于是()2211211252423312a b a F b a AE A a b b +⋅+=+⋅+ ⋅=. 记,AB x AC y ==， 则()()222222111525225cos 602221212122A x xy a a b b xy y x y E AF +⋅+=++=++ ⋅= ，在ABC 中，根据余弦定理：222222cos 601BC x y xy x y xy =+−=+−= ，于是1519222122122AE xy x xy AF y++=+ =⋅ ， 由221+−=x y xy 和基本不等式，2212x y xy xy xy xy +−=≥−=，故1xy ≤，当且仅当1xy ==取得等号， 则1xy ==时，AE AF ⋅有最大值1324. 故答案为：1142a b + ；1324.15. 若函数()2221f x ax x x ax =−−−+有且仅有两个零点，则a 的取值范围为_________．【答案】()()(),00,11,∞∞−∪∪+ 【解析】【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断a的取值范围．【详解】（1）当210x ax −+≥时，()0f x =⇔()()21210a x a x −+−−=， 即()()1110a x x −−+=， 若1a =时，=1x −，此时210x ax −+≥成立； 若1a ≠时，11x a =−或=1x −， 若方程有一根为=1x −，则110a ++≥，即2a ≥−且1a ≠；若方程有一根为11x a =−，则2111011a a a −×+≥ −−，解得：2a ≤且1a ≠； 若111x a ==−−时，0a =，此时110a ++≥成立． （2）当210x ax −+<时，()0f x =⇔()()21210a x a x +−++=， 即()()1110a x x +−−=， 若1a =−时，1x =，显然210x ax −+<不成立； 若1a ≠−时，1x =或11x a =+， 若方程有一根为1x =，则110a −+<，即2a >；若方程有一根为11x a =+，则21101a a −×+<+，解得：2a <−； 若111xa ==+时，0a =，显然210x ax −+<不成立； 综上，当2a <−时，零点为11a +，11a −； 当20a −≤<时，零点为11a −，1−； 当0a =时，只有一个零点1−； 当01a <<时，零点为11a −，1−； 当1a =时，只有一个零点1−； 当12a <≤时，零点为11a −，1−； 当2a >时，零点为1,1−．所以，当函数有两个零点时，0a ≠且1a ≠． 故答案：()()(),00,11,∞∞−∪∪+．【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分別是,,a b c．已知2,120a b A ==∠= ．（1）求sin B 的值； （2）求c 的值； （3）求()sin B C −． 【答案】（1（2）5 （3） 【解析】【分析】（1）根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出sin C cos ,cos B C ，即可由两角差的正弦公式求出．【小问1详解】 由正弦定理可得，sin sin a b A B =2sin B=，解得：sin B =； 【小问2详解】由余弦定理可得，2222sin a b c bc A =+−，即21394222c c=+−×××−， 解得：5c =或7c =−（舍去）． 【小问3详解】 由正弦定理可得，sin sin a c A C =，5sin C=，解得：sin C =，而120A = ， 所以,B C都为锐角，因此cos C，cos B 为故()sin sin cos cos sin B C B C B C −=− 17. 三棱台111ABC A B C 中，若1A A ⊥面111,,2,1ABC AB AC AB AC AA AC ⊥====，,M N 分别是,BC BA 中点.（1）求证：1A N //平面1C MA ；（2）求平面1C MA 与平面11ACC A 所成夹角的余弦值； （3）求点C 到平面1C MA 的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）23（3）43【解析】【分析】（1）先证明四边形11MNAC 是平行四边形，然后用线面平行的判定解决； （2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解 【小问1详解】连接1,MN C A .由,M N 分别是,BC BA 的中点，根据中位线性质，MN //AC ，且12ACMN ==， 由棱台性质，11A C //AC ，于是MN //11A C ，由111MN A C ==可知，四边形11MNAC 是平行四边形，则1A N //1MC ，又1A N ⊄平面1C MA ，1MC ⊂平面1C MA ，于是1A N //平面1C MA . 【小问2详解】过M 作ME AC ⊥，垂足为E ，过E 作1EF AC ⊥，垂足为F ,连接1,MF C E . 由ME ⊂面ABC ，1A A ⊥面ABC ，故1AA ME ⊥，又ME AC ⊥，1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ，则⊥平面11ACC A .由1AC ⊂平面11ACC A ，故1ME AC ⊥，又1EF AC ⊥，ME EF E ∩=，,ME EF ⊂平面MEF ，于是1AC ⊥平面MEF ，由MF ⊂平面MEF ，故1AC MF ⊥.于是平面1C MA 与平面11ACC A 所成角即MFE ∠.又12ABME==，1cos CAC ∠，则1sin CAC ∠，故11sin EF CAC =×∠Rt MEF 中，90MEF ∠= ，则MF ==于是2cos 3EF MFE MF ∠==【小问3详解】[方法一：几何法]过1C 作1C P AC ⊥，垂足为P ，作1C Q AM ⊥，垂足为Q ，连接,PQ PM ，过P 作1PR C Q ⊥，垂足为R .由题干数据可得，11C A C C==，1C M ==1C Q ， 由1C P ⊥平面AMC ，AM ⊂平面AMC ，则1C P AM ⊥，又1C Q AM ⊥，111C Q C P C = ，11,C Q C P ⊂平面1C PQ ，于是AM ⊥平面1C PQ .又PR ⊂平面1C PQ ，则PR AM ⊥，又1PR C Q ⊥，1C Q AM Q = ，1,C Q AM ⊂平面1C MA ，故PR ⊥平面1C MA .在1Rt C PQ中，1123PC PQ PR QC ⋅==， 又2CA PA =，故点C 到平面1C MA 的距离是P 到平面1C MA 的距离的两倍， 即点C 到平面1C MA 的距离是43. [方法二：等体积法]辅助线同方法一.设点C 到平面1C MA 的距离为h .121111223323C AMC AMC V C P S −=××=×××=，111113322C C MA AMC h V h S h −=××=××= . 由11223C AMCC C MA hV V −−=⇔=，即43h =.18. 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，已知123,1A F A F ==．（1）求椭圆方程及其离心率；（2）已知点P 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若三角形1A PQ 的面积是三角形2A FP 面积的二倍，求直线2A P 的方程．【答案】（1）椭圆的方程为22143x y +=，离心率为12e =.（2）)2y x −. 【解析】【分析】（1）由31a c a c +=−=解得2,1a c ==，从而求出b =，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率.（2）先设直线2A P 的方程，与椭圆方程联立，消去y ，再由韦达定理可得2A P x x ⋅，从而得到P 点和Q 点坐标.由211122122A QA A PQ A A P A PF A A P S S S S S =+=+ 得23Q P y y =，即可得到关于k 的方程，解出k ，代入直线2A P 的方程即可得到答案. 【小问1详解】 如图，由题意得31a c a c +=−=，解得2,1a c ==，所以b =，所以椭圆的方程为22143x y +=，离心率为12c ea ==. 【小问2详解】由题意得，直线2A P 斜率存在，由椭圆的方程为22143x y +=可得()22,0A ，设直线2A P 的方程为()2y k x =−，联立方程组()221432x y y k x += =−，消去y 整理得：()2222341616120k x k x k +−+−=， 由韦达定理得222161234A P k x x k −⋅=+，所以228634P k x k−=+， 所以2228612,3434k k P kk−−− ++ ，()0,2Q k −. 所以21142A QA Q S y =×× ,2112A PF P S y =×× ,12142A A P P S y =×× ，所以211122122A QA A PQ A A P A PF A A P S S S S S =+=+ ，所以23Q P y y =，即21222334kk k −=−+，解得k =2A P的方程为)2y x −. 19. 已知{}n a 是等差数列，255316,4a a a a +=−=． （1）求{}n a 的通项公式和1212n n ii a −−=∑．（2）已知{}n b 为等比数列，对于任意*N k ∈，若1221k k n −≤≤−，则1k n k b a b +<<， （Ⅰ）当2k ≥时，求证：2121kk kb −<<+； （Ⅱ）求{}n b 的通项公式及其前n 项和．【答案】（1）21na n =+，12121232n n n ii a −−−==×∑；（2）(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)2nn b =，前n 项和为122n +−.【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得13,2a d ==，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前n 项和公式计算可得12121232n n n ii a −−−==×∑.(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当1221k k n −≤≤−时，k n b a <，取12k n −=，当21221k k n −−≤≤−时，nk a b <，取121k n−=−，即可证得题中的不等式；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论猜想2nn b =，然后分别排除2q >和2q <两种情况即可确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前n 项和公式即可计算其前n 项和. 【小问1详解】 由题意可得2515325624a a a d a a d +=+=−== ，解得132a d = = ，则数列{}n a 的通项公式为()1121n a a n d n =+−=+， 注意到11222121n n n a −−=×+=+，从12n a −到21n a −共有1121212n n n −−−−+=项，故()()11121121122121222122122222322n n n n n n n n n n n ii a−−−−−−−−−−=−=×++×=++−=×∑【小问2详解】(Ⅰ)由题意可知，当1221k k n −≤≤−时，k n b a <，取12k n −=，则11222121k k k kb a −−<=×+=+，即21k k b <+，当21221k k n −−≤≤−时，n k a b <，取121k n −=−，此时()1121221121k k kn a a −−−==−+=−，据此可得21kk b −<，综上可得：2121kk kb −<<+. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：123413,39,1517b b b b <<<<<<<<，据此猜测2nn b =，否则，若数列的公比2q >，则1111122n n n n b b q b −−−=>×>，注意到()1122112n n n −−−−=−，则()12210n n −−−>不恒成立，即1221n n −>−不恒成立，此时无法保证21nn b −<，若数列的公比2q <，则11111232n n n n b b q b −−−=<×<×，注意到()11322121n n n −−×−+=−，则1210n −−<不恒成立，即13221n n −×<+不恒成立，此时无法保证21n nb <+，综上，数列的公比为2，则数列的通项公式为2nn b =，其前n 项和为：()12122212n n n S +×−==−−..【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前n 项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益. 20. 已知函数()()11ln 12f x x x=++． （1）求曲线()y f x =在2x =处切线的斜率； （2）当0x >时，证明：()1f x >； （3）证明：()()51ln !ln 162n n n n<−++≤ ． 【答案】（1）1ln 334−（2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率； （2）问题化为0x >时()2ln 12xx x +>+，构造()2()ln 12x g x x x =+−+，利用导数研究单调性，即可证结论；（3）构造()()1()ln !ln 2h nn n n n =−++，*N n ∈，作差法研究函数单调性可得()(1)1h n h ≤=，再构造(5)(1)()42x x x x x ϕ+−=−+且0x >，应用导数研究其单调性得到(5)(1)ln 42x x x x +−≤+恒成立，对()(1)h n h n −+作放缩处理，结合累加得到311(1)()ln 212126h h n −<−+<，即可证结论. 【小问1详解】ln(1)ln(1)()2x x f x x ++=+，则211ln(1)()(1)2(1)x f x x x x x +′=+−++， 所以1ln 3(2)34f ′=−，故2x =处的切线斜率为1ln 334−；【小问2详解】 要证0x >时()()11ln 112f x x x=++>，即证()2ln 12x x x +>+，令()2()ln 12x g x x x =+−+且0x >，则22214()01(2)(1)(2)x g x x x x x ′=−=>++++， 所以()g x 在(0,)+∞上递增，则()(0)0g x g >=，即()2ln 12xx x +>+. 所以0x >时()1f x >.小问3详解】设()()1()ln !ln 2h n n n n n =−++，*N n ∈， 则()()1111(1)()1()ln ()ln 11()ln(1)222h n h n n n n n n n+−=++−++=−++， 由（2）知：1x n =(0,1]∈，则111()()ln(1)12f n n n=++>， 所以(1)()0h n h n +−<，故()h n 在*N n ∈上递减，故()(1)1h n h ≤=； 下证15ln(!)()ln()26n n n n −++>， 令(5)(1)()ln 42x x x x x ϕ+−=−+且0x >，则22(1)(1)()(21)x x x x x ϕ−−′=+， 当01x <<时()0x ϕ′>，()ϕx 递增，当1x >时()0x ϕ′<，()ϕx 递减，所以()(1)0x ϕϕ≤=，故在()0,x ∞∈+上(5)(1)ln 42x x x x +−≤+恒成立，则11(6)()1111111()(1)()ln(1)1()1()2224(32)1212(3)n n h n h n n n n n n n nn+−+++−≤+⋅−<−+−+，所以11(2)(3)(1)122h h −<−，111(3)(4)()1223h h −<−，…，111(1)()()121h n h n n n −−<−−，累加得：11(2)()(1)12h h n n −<−，而3(2)2ln 22h =−，则113()(1)2ln 2122h n n −<−−+，所以311311(1)()ln 21(1)ln 212122126h h n n−<−+−<−+<，故5()6h n >；综上，5()16h n <≤，即()()51ln !ln 162n n n n<−++≤. 【【点睛】关键点点睛：第三问，作差法研究()()1()ln !ln 2h nn n n n =−++ 单调性证右侧不等关系，再构造(5)(1)()ln 42x x x x x ϕ+−=−+且0x >，导数研究其函数符号得(5)(1)ln 42x x x x +−≤+恒成立，结合放缩、累加得到311(1)()ln 21(1)212h h n n −<−+−为关键.。
2020年全国统一高考地理试卷(天津卷)【word版;可编辑;含答案】
2020年全国统一高考地理试卷（天津卷）一、选择题1. 中新天津生态城是在盐碱荒滩上建设起来的一座新城，下图为四幅能反映生态城发展特色的景观照片，读图文材料，完成下面小题。
（1）在中新天津生态城发展特色的描述中，与图中的景观依次对应的是（）A.智慧城市、低碳环保、高新产业、生态宜居B.生态宜居、高新产业、低碳环保、智慧城市C.高新产业、智慧城市、生态宜居、低碳环保D.低碳环保、生态宜居、智慧城市、高新产业（2）南堤滨海步道公园紧邻永定新河，园内湖泊对当地水循环的影响是（）A.调节地表径流量B.减少地下径流量C.减少水的下渗量D.减少地表水蒸发（3）中新天津生态城的林地大多分布在堆土形成的高地上，主要是因为高地（）A.受风沙影响小B.盐碱化程度低C.受干旱影响小D.热量条件较好2. 下图所示地貌景观位于粤北地区，其形成需要特定的地质条件。
读图文材料，完成下面小题。
（1）形成图中所示地貌景观的岩石类型、地质构造和所需的外力作用分别是（）A.变质岩、水平裂隙、流水侵蚀B.沉积岩、水平裂隙、风力侵蚀C.岩浆岩、垂直裂隙、风力侵蚀D.沉积岩、垂直裂隙、流水侵蚀（2）导致图中所示景观岩层出露地表的最直接的内力作用形式是（）A.垂直抬升B.水平拉张C.水平挤压D.岩浆喷发3. 20世纪80年，M镇的服装企业迁至省会W市进行生产经营。
近年来，这些企业又陆续迁回M镇，劳动力也随之迁移流动。
企业和劳动力的回流过程及原因如图所示。
读图文材料，完成下面小题。
（1）关于该镇企业和劳动力回流原因的叙述符合实际的是（）A.W市的产业结构调整和城市化进程促进了劳动力的主动回流B.M镇承接产业转移，企业第二波回流带动了劳动力主动回流C.M镇提供优惠的就业和投资政策，促成了企业的第一波回流D.在企业回流和本地就业利好的作用下，更多劳动力被动回流（2）导致服装企业从M镇迁往W市，后又迁回的主导区位因素分别是（）A.技术和环保B.交通和劳动力C.市场和政策D.动力和原材料4. 下表为2000和2010年我国部分省区跨省流入人口数量统计表（万人）。
天津市2022年高考[数学]考试真题与答案解析
天津市2022年高考[数学]考试真题与答案解析一、选择题1．设全集，集合，则（ ）{2,1,0,1,2}U =--{0,1,2},{1,2}A B ==-()U A B = ðA ． B ． C ． D ．{0,1}{0,1,2}{1,1,2}-{0,1,1,2}-2．“x 为整数”是“为整数”的（ ）条件21x +A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要3．函数的图象为（ ）21()x f x x-=A ．B ．C ．D ．4．为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为kPa [12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．185．已知，则（ ）0.70.72112,,log 33a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．a c b >>b c a >>a b c >>c a b >>6．化简的值为（ ）()()48392log 3log 3log 2log 2++A ．1 B ．2C ．4D ．67．已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的212,,y F F =22221(0,0)x y a b a b-=>>准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A ，若，则双曲线的标准方1F 124F F A π∠=程为（ ）A ． B ． C ． D ．22110x y -=22116y x -=2214y x -=2214x y -=8．如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）120︒A ．23B ．24C ．26D ．279．已知，关于该函数有下列四个说法：1()sin 22f x x =①的最小正周期为；②在上单调递增；()f x 2π()f x ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦③当时，的取值范围为；,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦()f x ⎡⎢⎣④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．()f x 1()sin 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8π以上四个说法中，正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题本题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。
2024年新课标天津高考生物真题试卷(解析版)
一、单选题1．植物液泡含有多种水解酶，能分解衰老、损伤的细胞器，维持细胞内稳态。
动物细胞内功能类似的细胞器是（）A．核糖体B．溶酶体C．中心体D．高尔基体【答案】B【详解】A、核糖体是合成蛋白质的场所，A错误；B、溶酶体内含有多种水解酶，能分解衰老、损伤的细胞器，吞噬并杀死侵入细胞的病毒或细菌，B正确；C、中心体存在于动物细胞和低等植物细胞中，与动物细胞的有丝分裂有关，C 错误；D、高尔基体是对来自内质网的蛋白质进行加工、分类、包装的“车间”和“发送站”，D错误。
2．白细胞介素-14是一种由T细胞分泌的细胞因子，通过刺激B细胞增殖分化而促进（）A．浆细胞形成B．树突状细胞呈递抗原C．细胞毒性T细胞分化D．巨噬细胞吞噬抗原【答案】A【详解】体液免疫过程中，白细胞介素-14是一种由T细胞分泌的细胞因子，通过刺激B细胞增殖分化而促进浆细胞形成，同时可形成记忆B细胞，其中浆细胞能够分泌抗体。
3．突变体是研究植物激素功能的常用材料，以下研究材料选择不当．．的是（）A．生长素促进植物生根——无侧根突变体B．乙烯促进果实的成熟——无果实突变体C．赤霉素促进植株增高——麦苗疯长突变体D．脱落酸维持种子休眠——种子成熟后随即萌发突变体【答案】B【详解】A、生长素能促进细胞的伸长，进而促进植株生根，A正确；B、乙烯则促进果实的成熟，但不能促进果实发育，因此不能利用无果实突变体作为材料进行研究，B错误；C、赤霉素能够细胞伸长，也能促进细胞分裂和分化，从而促进植株增高，C正确；D、脱落酸可抑制萌发，维持种子休眠，D正确。
4．为研究生物多样性对盐沼生态系统的影响，将优势种去除后，调查滨海盐沼湿地植物的物种组成，结果如下图。
有关优势种去除后的变化，下列说法正确的是（）A．丙的生态位持续收缩B．三种盐沼植物的K值一直上升C．优势种去除是甲消失的主要原因D．盐沼植物群落的空间结构发生改变【答案】D【详解】A、群落的物种组成在一定程度上，可以反映群落的生态位，据图可知：未去除组，丙的生态位先升高，后趋于稳定，去除组，丙的生态位先下降，后升高，A错误；B、即使优势种去除，当地环境没有改变，所以三地能够容纳的种群数量和物种数目是有限的，所以K值不会增加，B错误；C、据图可知，未去除组，甲也消失了，说明优势种去除不是甲消失的主要原因，C错误；D、在群落中，各个生物种群分别占据了不同的空间，使群落形成一定的空间结构，据图可知，随着时间的推移，群落的物种组成在不断地发生变化，盐沼植物群落的空间结构也会发生改变，D正确。
天津市2021年高考语文试卷和答案解析
2021年天津市高考语文试卷阅读下面一段文字，完成各题。
古往今来，最使人们感到（）莫测的客观存在就是时间了。
尽管在物理学家和哲学家那里，空间也是一个缠夹不清的概念，但对于普通人来说，空间毕竟是容易感觉和理解的。
时间则不同了，它究竟是什么东西呀？看不见，摸不着，却又无处不在。
它（），却又千金难买。
伏尔泰在哲理小说《查第格》中编了一个谜语：“世界上哪样东西是最长的又是最短的，最快的又是最慢的，最能分割的又是最广大的，最不受重视的又是最受惋惜的；没有它，什么事都做不成，它使一切渺小的东西归于消灭，使一切伟大的东西生命不绝？”谜底就是“时间”。
在时间的各项性质中，___________。
孔子在河边叹息说：“逝者如斯夫，不舍昼夜！”后代的诗人也（）地用滔滔东流的河水来比喻时间。
唐代的韩琮甚至认为只要听听流水的声音就能感受到时间的消逝：“行人莫听宫前水，流尽年光是此声！”（选自《莫砺锋诗话》，有删节）1. 依次填入文中括号内的词语，最恰当的一组是______A．神奇一文不名异曲同工B．神妙不值一钱异曲同工C．神奇不值一钱不约而同D．神妙一文不名不约而同2. 下列填入文中画线处的句子，最恰当的一项是______A．最使人们无能为力却又感到切肤之痛的就是它的飞速流逝且永不复返B．最使人们感到切肤之痛却又无能为力的就是它的永不复返且飞速流逝C．最使人们无能为力却又感到切肤之痛的就是它的永不复返且飞速流逝D．最使人们感到切肤之痛却又无能为力的就是它的飞速流逝且永不复返3. 下列与“时间”相关的表述，有误的一项是______A．“逝者如斯夫，不舍昼夜”出自语录体散文《论语》，孔子用这句话抒发了对时间流逝、永不停歇的感慨。
B．《逍遥游》中的“朝菌不知晦朔，蟪蛄不知春秋”，揭示出生命长短的相对性。
“晦”“朔”分别指阴历每月第一天和最后一天。
C．《孔雀东南飞》中的“奄奄黄昏后，寂寂人定初”两句，写出了由天色已暗到夜深人静的时间变化。