双曲线知识点及题型总结精华

双曲线知识点及题型总结精华

双曲线知识点

1 双曲线定义：

①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；

当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.

②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线

2.双曲线的标准方程：

12

22

2=-

b y

a x

和

1

2

22

2=-

b

x

a y

（a ＞0，b ＞0）.这里2

22a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.

3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2

x

项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系

数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.

4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定

系数法求解.

5.曲线的简单几何性质

2

2a

x －

2

2b

y =1（a ＞0，b ＞0）

⑴范围：|x |≥a ，y ∈R

⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线： ①若双曲线方程为

12

22

2=-

b

y a

x ?渐近线方程

?=-

02

22

2b

y a

x x a

b y ±

=

②若渐近线方程为x a

b y ±=?0=±b

y a x ?双曲线可设为λ=-

2

22

2b

y a

x

③若双曲线与12

22

2=-

b

y a

x 有公共渐近线，可设为

λ=-

2

22

2b

y a

x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴

上）

④特别地当?=时b a 离心率2=e ?两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设

为λ=-2

2y x ；y =a

b x ，y =－

a

b x

⑸准线：l 1：x =－

c

a

2

，l 2：x =

c

a

2

，两准线之距为2

122a

K K c

=?

⑹焦半径：2

1()a

PF e x ex a c

=+

=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；

2

2(

)a

PF e x ex a c

=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；

当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）

⑺与双曲线12222=-b

y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-

2

222b

y a

x )0(≠λ

⑻与双曲线

12

22

2=-

b

y a

x 共焦点的双曲线系方程是

12

2

2

2

=--

+k

b y

k

a x

6曲线的内外部

(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部22

00221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线

222

2

1(0,0)x y a b a

b

-

=>>的外部22

2

2

1x y a b ?

-

<.

7曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为

12

22

2=-

b

y a

x ?渐近线方程：

222

2

0x y a

b

-

=?x a

b y ±=.

(2)若渐近线方程为x a

b y ±=?0=±b

y a x ?双曲线可设为λ=-

2

22

2b

y a

x .

(3)若双曲线与12

22

2=-

b

y a

x 有公共渐近线，可设为

λ=-

2

22

2b

y a

x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴

上）.

8双曲线的切线方程

(1)双曲线

222

2

1(0,0)x y a b a

b -

=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是002

2

1x x y y a

b

-

=.

（2）过双曲线222

2

1(0,0)x y a b a

b

-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是

002

2

1x x y y a

b

-

=.

（3）双曲线

222

2

1(0,0)x y a b a

b

-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是2

2

2

22

A a

B b c -=.

9线与椭圆相交的弦长公式

AB =

若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，则弦长

]4))[(1(1212

212122

x x x x k x x k AB -++=

-?+=

]4)[()11(11212

212

122

y y y y k

y y k

-+?+

=

-?+

=

,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；

高考题型解析

题型一：双曲线定义问题

1.“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 2.若R ∈k ，则“3>k ”是“方程

13

32

2

=+--k y

k x

表示双曲线”的( ) A .充分不必要条件. B.必要不充分条件. C.充要条件. D.既不充分也不必要条件.

3.给出问题：F 1、F 2是双曲线

16

2

x

－

20

2

y

=1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到

焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上. _________.

4.过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长

是 .

题型二：双曲线的渐近线问题

1.双曲线4

2

x

－

9

2

y

=1的渐近线方程是( )

A . y =±

23x B.y =±3

2x C.y =±

4

9x D.y =±

9

4x

2.过点（2，－2）且与双曲线2

2

x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是( ) A .

2

2

y

－

4

2

x

=1 B.

4

2

x

－

22

y

=1 C.

4

2

y

－

2

2

x

=1 D.

2

2

x

－

4

2

y

=1

题型三：双曲线的离心率问题

1已知双曲线 x 2a 2 － y 2

b

2 = 1 (a ＞0,b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且∣PF 1∣=4∣PF 2∣,

则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ）

A ．43

B ．53

C ．２

D ．73

2.已知21,F F 是双曲线)0(,12

2

2

2>>=-b a b

y a

x 的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、

B 两点,若2ABF ?是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( ) A.

2 B.

3 C. 2 D. 3

3.过双曲线M:22

2

1

y x b

-

=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )

A.

4.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为2

1，则该双曲线的离心率为( )

A.

2

2 B. 2 C .2 D. 22

5..已知双曲线

12

22

2=-

b

y

a x

(a>0,b<0)的右焦点为F ，

若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

A.( 1,2)

B. (1,2) C .[2,+∞) D.(2,+∞)

题型四：双曲线的距离问题

1.设P 是双曲线

2

2a

x －

9

2

y

=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.

若|PF 1|=3，则|PF 2|等于( )

A.1或5

B.6

C .7

D.9

2.已知双曲线14

12

2

2

=-

y

x

的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的

取值范围是 A.(3

3-

,

3

3) B. (-3,3) C .[ 3

3-

,

3

3] D. [-3,3]

3.已知圆C 过双曲线9

2

x

－

16

2

y

=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是

____________.

题型五：轨迹问题

1.已知椭圆x 2+2y 2 =8的两焦点分别为F 1、F 2，A 为椭圆上任一点。AP 是⊿AF 1F 2的外角平分线，且 P F AP 2?=0.则点P 的轨迹方程是 .

2.双曲线x 2－y 2 =4的两焦点分别为F 1、F 2，A 为双曲线上任一点。AP 是∠F 1AF 2

的平分线，且 P F AP 2?=0.

则点P 的轨迹是 （ ）

A.椭圆的一部分

B.双曲线的一部分

C.圆的一部分

D.抛物线的一部分 3求与圆1)3(22=+-y x 及9)3(22=++y x 都外切的动圆圆心的轨迹方程

高考例题解析

1.已知21,F F 是双曲线

12

2

2

=-y

x

的左、右焦点,P 、Q 为右支上的两点,直线PQ 过2F ,且倾斜角为α,则

PQ QF PF -+11的值为 ( )

A 24

B 8

C 22

D 随α的大小变化 答案: A 解析: 用双曲线定义列方程可解

2.过双曲线02222=--y x 的右焦点作直线l 交曲线于A 、B 两点,若4=AB 则这样的直线存在 ( ) A 0条 B 1条 C 2条 D 3条

答案: D 解析: ⊥l x 轴时的焦点弦长AB=4最短为通径,故交右半支弦长为4的直线恰有一条;过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条

3. 直线53

1+-

=x y 与曲线

125

9

2

=+

y

x x 的交点个数是 ( )

A 0个

B 1个

C 2个

D 3个

答案: D 解析: (0, 5)点为完整双曲线和椭圆的极值点,故y=5为其切线,当直线斜率不为0时,直线必与每个曲线交于两点

4. P 为双曲线

12

22

2=-

b

y a

x 上一点,1F 为一个焦点,以1PF 为直径的圆与圆2

2

2a y

x =+的位置关系为

( )

A 内切

B 外切

C 内切或外切

D 无公共点或相交 答案: C 解析: 用两圆内切或外切的条件判断

5. 设21,F F 是双曲线

14

2

2

=-y

x

的两个焦点,点P 在双曲线上且满足

9021=∠PF F ,则21F PF ?的面积为

( )

A 1 B

2

5 C 2 D

5

答案: A 解析: 勾股定理,双曲线定义联立方程组h 或面积公式

6. 设21,F F 是双曲线

14

2

2

=-y

x

的左、右焦点,P 在双曲线上,当21PF F ?的面积为1时,21PF PF ?的值为( )

A 0

B 1 C

2

1 D 2

答案: A 解析: 不妨设,p x ,0>p y 由

5

1122

1=

∴=??p p y y c , 5

5,

5

302(

P 5

5,5

3025(1-

-

-=∴PF ,

)5

5,5

3025(2-

-

=PF ,021=?∴PF PF

7.过点A （0，2）可以作___条直线与双曲线x 2

－

4

2

y

＝1有且只有一个公共点

答案：4 解析：数形结合，两切线、两交线

过点P (4,4)且与双曲线x 216－y

29

＝1只有一个交点的直线有 ( )

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条 解析：如图所示，满足条件的直线共有3条．

答案：C

8.已知A （3，2），M 是双曲线H ：13

2

2

=-y

x 上的动点，F 2是H 的右焦点，求22

1MF AM +

的最小值及此时M

的坐标。

解：由2=e ，则 e

MF AM MF AM 222

1+=+

2

521311

=-

=≥+=AA MM

AM 此时M 的坐标（

2,3

21）

9. 已知双曲线C ：)1(132

2

≥=-

x y

x ，一条长为8的弦AB 两端在C 上运动，AB 中点为M ，则距y 轴最

近的M 点的坐标为 。

解：)(12111

BF AF e

BB AA MM

+=+= AB

e

BF AF e

MM

21)(211

≥

+=?

又2==

a

c e ，则21

≥MM

当且仅当AB F ∈时，取“=”，由逆径8622

<==

a

b ，故可取“=” 2

5212211

0=+

=+=MM

x 又由32

2==

?a

b k k FM OM

即

2

154

1532

2502

502

000±

=?=

?=--?

y y y y 故M （

2

15,2

5±

）

10.P 为双曲线x 2

－y

2

15

＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |

的最大值为________．

解析：双曲线的两个焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r 1＝2，r 2＝1，|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝5.答案：5

.直线l ：1+=kx y 与双曲线C ：1222=-y x 的右支交于不同的两点A 、B 。

（Ⅰ）求实数k 的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值。若不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,12122=-+=y x C kx y l

.022)2(2

2

=++-kx x k

……①

依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故 ?????????>->-->--=?≠-.02

2

022,0)2(8)2(,022

2

2

22k k k k k k 22-<<-k k 的取值范围是解得

（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得

???

???

?

-=?-=+.22,22222221k x x k

k x x ……② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0）. 则由FA ⊥FB 得：

.

0)1)(1())((.

0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即

整理得

.01))(()1(2

21212

=+++-++c x x c k x x k

……③

把②式及2

6=

c 代入③式化简得

.066252

=-+k k

解得))(2,2(5

6

6566舍去或--?-=

+-=k k

可知5

6

6+-

=k 使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点.

（四川卷）9.

已知两定点1(0),F

20),F 满足条件212PF PF -=

的点P 的轨迹是曲线E ，直线ｙ＝kx －1与曲线E 交于A 、B 两点。

（Ⅰ）求ｋ的取值范围；

（Ⅱ）如果AB =

且曲线E 上存在点C ，使,O A O B m O C += 求m ABC ?的值和的面积S 。

本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本

思想、方法和综合解决问题的能力。满分14分。

解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E

是以(

))

12

0,0F F 为焦点的双曲线的左支，

且1c a =

=，易知1b =

故曲线E 的方程为()2

2

10x y x -=< 设()()1122,,,A x y B x y ，由题意建立方程组2

2

11

y kx x y =-??

-=?

消去y ，得()221220k x kx -+-= 又已知直线与双曲线左支交于两点,A B ，有

()()2

22

1221221028102012

01k k k k x x k x x k ?-≠??=-->???-?+=

-?=>?-?

解得1k <<-

∵

12AB x x =

-

=

=

=依题意得

=整理后得422855250k k -+= ∴2

57

k =

或

2

54

k =

但1k

<<- ∴2

k =

-

故直线A B 102x y ++=

设()00,C x y ，由已知OA OB mOC +=

，得()()()112200,,,x y x y mx my += ∴()12

1200,,

x x y y m x m y m

m ++??

=

???

，(

)0m ≠ 又122

21

x x k +=

=--()2

12122

2

222281

1

k

y y k x x k k +=+-=

-

=

=--

∴点8C m

m ?

??

?

?

将点C 的坐标代入曲线E 的方程，得

2

2

80641m

m

-

=得4m =±，

但当4m =-时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意

∴4m =，点C 的坐标为(

)

2

C 到A B

13

=

∴A B C ?的面积112

3

S =?=

练习题

1.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7，0)，直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为﹣3

2，

则此双曲线的方程是（ ） A ．

4

3

2

2

y

x

-

=1 B ．

3

4

2

2

y

x

-

=1 C ．25

2

2

y

x

-

=1 D ．5

2

2

2

y

x

-

=1

2.双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为（ ） A.3 B .

2

6 C.

3

6 D.3

3

3、已知双曲线-

2

2a

x

2

2b

y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为2

2

a （O

为原点），则两条渐近线的夹角为（ ） A ．30o B ．45o

C ．60o

D ．90o

4、已知双曲线的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，P 是此双曲线上的一点，且21PF PF ⊥，2||||21=?PF PF ，则该双曲线的方程是

A ．

13

2

2

2

=-

y

x

B ．

12

3

2

2

=-

y

x

C ．

14

2

2

=-y

x

D ．14

2

2=-y

x

5、已知F 1、F 2是双曲线

)0,0(12

22

2>>=-

b a b

y a

x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中

点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

A ．324+

B ．

13-

C ．

2

13+ D ．13+

6. 直线y ＝x ＋3与曲线4

y

4

x x 2

+-

=1的交点的个数是（ ）

（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个

7.若双曲线x 2－y 2=1右支上一点P (a , b )到直线y =x 的距离是2

，则a ＋b 的值为（ ）。

（A ）－2

1 （B ）

2

1 （C ）－21或2

1

（D ）2或－2

8.已知点F 是双曲线x 2

a 2－y

2

b

2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲

线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C ．(1,1＋2) D ．(2,1＋2)

9.设P 为双曲线4

2

x －y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是

．

10.求与圆A ：（x +5）2+y 2=49和圆B ：（x －5）2+y 2=1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为________________

11.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+

=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>?OB OA （其中O 为原点）. 求k

的取值范围.

12.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；

(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．