江苏省南通市2008届高三第二次调研测试(数学)

江苏省南通市2008年高三第二次调研考试

数 学

(考试时间：120分钟+30分钟 总分160分+40分)

必做题部分

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1.设全集U={1, 3, 5, 7}，集合M={1,5}a -，M U ⊆，U M ð={5, 7}，则实数a 的值为_8___

2. 过点P(1，2)的直线l 的与两点A(2，3)，B(4，－5)的距离相等，则直线l 的方程为3270

460

x y x y +-=+-=或 3．已知(2,1)a =--，(,1)b λ=，若a 和b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是122

λλ>-≠且

4．下图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位: cm ），可知这个几何体的表面积是()

2

1823cm +。

5．设两个平面α，β，直线l ，下列条件：（1）l ⊥α，（2）//l β，（3）αβ⊥，若以其中两个为前提，另一个为结论，则构成三个命题，这三个命题中正确的命题个数为___1___

6．已知函数212

log (35)y x ax =-+在[1,)-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（-8，-6]

7．已知定义域为{x | x ∈R ，且x ≠1}的函数()f x 满足11(

)()112

f f x x

=

+-，则(3)f =__2______

8．已知关于x 的方程2(12)(31)0x i x m i ++--=有实根，则纯虚数m 的值是

112

i

9.在数列{a n }中，对任意自然数n ∈N *，a 1+a 2+…+a n =2n －1，则222

12

n a a a ++⋅⋅⋅+=()1

413

n

-

10．函数f : {1, 2, 3}→{1, 2, 3}，满足(())()f f x f x =，则这样的函数个数共有10

11.在一根长10cm ，外圆周长6cm 的圆柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为1037.

12．与圆22(2)1x y +-=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有4条 。 13.如果()()()f a b f a f b +=⋅，且(1)2f =， 则

(2)(4)(6)(2006)(2008)(1)

(3)

(5)

(2005)

(2007)

f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅+

+

=__2008___________

14.定义在R 上的偶函数f (x )满足(1)()f x f x +=-，且在[－1，0]上是增函数，给出下面关于f (x )的判断： ① f (x )是周期函数； ② f (x )关于直线x =1对称； ③ f (x )在[0，1]上是增函数； ④ f (x )在[1，2]上是减函数； ⑤ f (2)= f (0)。

其中正确判断的序号为_①②⑤__（写出所有正确判断的序号）。

二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15. 设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =2b sinA 。 （1）求B 的大小；

（2）求cosA+sinC 的取值范围。 解：（1）;6B π

=

（2）cosA+sinC 33,22⎛⎫

∈ ⎪ ⎪⎝⎭

16．如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA=PD=

22

AD ，若E ，F 分别为PC ，BD 的中点，求证：

（1）EF//平面PAD ；

（2）平面PDC ⊥平面PAD 。 解：略

17. 已知抛物线y 2

=2px （p >0）的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M （如图所示）。 （1）求抛物线方程；

（2）过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标；

（3）以M 为圆心，MB 为半径作圆M 。当K(m , 0)是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系。

解：⑴抛物线y 2=2px （p >0）的准线为,2

p x =-于是4+

2

p =5，2,p ∴=抛物线

方程是y 2=4x. ⑵84,55N ⎛⎫

⎪⎝⎭

⑶由题意得：圆心是（0，2）半径是2.

当4m =时直线AK 的方程为x =4,此时直线AK 与圆M 相离 当4m ≠时直线AK 的方程为()44y x m m

=

--，

当1m >时直线AK 与圆M 相离；当1m =时直线AK 与圆M 相切;当1m <时直线AK 与圆M 相交。

18.已知数列{a n }，当n 为奇数时，11n n a a +-=；当n 为偶数时，13n n a a +-=；且a 1+a 2=5。 （1）求数列{a n }的通项公式； （2）记S n =a 1+a 2+…+a n ，求S n 。 解：（1）2,21n n n a n n ⎧=⎨-⎩

为奇数，为偶数

（2）当n 为奇数时，S n 2

112

2

n n =+

+

，当n 为偶数时S n 2

12

n n =+

19.定义在(0,)+∞的三个函数()f x 、()g x 、()h x ，已知()ln f x x =，2()()g x x af x =-，()h x x a x =-，且()g x 在(1,2]上为增函数，()h x 在(0,1)上为减函数。

（1）求()g x ，()h x 的表达式； （2）求证：当x >1时，恒有22()1x f x x

->

+；

（3）把h (x )对应的曲线C 1向上平移6个单位后得曲线C 2，求C 2与()g x 对应的曲线C 3的交点个数，并说明理由。