算法设计与分析

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课程介绍—本课程学习的算法
常用算法 穷举法 — 百鸡问题 递归和分治 — 二分查找、快速排序 贪心法 — 最小生成树、最短距离 回溯 — 迷宫、八后问题 动态规划 分支与限界

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教学内容与进度



第1 章 算法引论 3 学时； 第2章常用的数学工具 3 学时； 第4章 递归与分治 5学时；实验1 第5章贪心算法 4 学时； 第6章动态规划 6 学时；实验2 第7章 回溯法 5 学时；实验3 第8章 分支限界法 5学时； 第12-13 章 NP完全问题及计算复杂性
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计算机专业课程群建设
计算机科学理论课 程群 计算机硬件课程群 自然科学基础 课程群
软件基础课程群
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计算机科学理论课程群
离散数学 数据结构 算法设计与分析Ⅰ
*模糊数学
*数理逻辑
*组合数学
*形式语言与自动机
*可计算性理论
*算法分析Ⅱ 计算复杂性理论
其中：*为研究生课程
计算机科学 理论基础
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1.1 引言
算法定义
定义1.1：算法问题求解的有效策略.是解某 一特定问题的一组有穷规则的集合。 算法特征 有限性、确定性、输入、输出、能行性 实用算法对有限性要求运行时间是可接受的。
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算法设计与分析的步骤
若一问题是可解的,则求解的全过程由以下阶段构成 (算法设计与分析的步骤): 1. 问题的陈述 2. 选择模型或设计模型>=选择模型或设计模型 3. 设计算法(选择)和确认>=设计算法(选择)和确认 4. 分析算法 >=分析算法 5. 程序实现 步骤的含义:一个好的算法是反复努力和重新修 正的结果 >= 设计算法是一个非常有创造性和非常值得付出的 过程.课程的目的就是想证明这个事实.
算法设计与分析在 《计算机科学与技术》专业中的地位 为什么要学习算法? 多、快、好、省与少、慢、差、费 1.1 引言 –理论角度
–实践/工程角度:了解计算机领域中不同问题的一系列标准 算法;具备设计新算法和分析其效率的能力。
–开发分析能力: “算法是一种一般性的智能工具，一定有助 于我们对其他学科的理解，…为什么算法会有这种作用呢？ 我们可以这样理解：人们常说，一个人只有把知识教给“计 算机”，才能“真正掌握它，也就是说，将知识表述为一种 算法，…比起简单地按照常规去理解事物，用算法将其形式 化会使我们获得更加深刻的理解。” _Donald Knuth，1974图 灵奖的获得者。
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void childen_question(int n,int &k,int g[],int m[], int s[]) { 赋值等运算（初等操作 ） 算法1.1 int a,b,c; k=0; //1 for(a=0; a<=n; a++) //1+2(n+1) for(b=0; b<=n; b++) // n+1+2 (n+1)2 for(c=0; c<=n; c++) // (n+1)2 +2(n+1)3 if(!(c%3)&&a+b+c==n && //14(n+1)3 5*a+3*b+c/3==n) { g[k]=a; m[k]=b; s[k]=c; k++; //4(n+1)3 } }
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void salesman_problem(int n, float min, int t[],float c[][]); { 算法1.3 int p[n],i=1,m=n!; float cost; min = MAX_FLOAT_NUM; while(i<=m) { 产生n个城市的第i个排列于p; cost = 回路p的权重和； if(cost < min) { min = cost; p复制至t; } 运行时间：循环次数， i++; } n! 29 }
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设计算法
穷举法实例—百鸡问题
选择模型或设计模型
解：设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为a,b,c只。 ① 测试集合： 0≤a≤n 0≤b≤n 0≤c≤n 判断条件：a+b+c = n 5*a+3*b+c/3 = n 且 c%3 = 0 •算法描述如下：
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设计算法
穷举法实例—百鸡问题
输入：n 输出：满足问题的解数目k,公鸡、母鸡、小鸡的 只数g[ ]、m[ ]、s[ ] void childen_question(int n, int &k, int g[ ],int m[ ],int s[ ]);
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算法设计与分析在 《计算机科学与技术》专业中的 地位 引言 1.1 为什么要学习算法? –理论角度:―算法不仅是计算机科学的一个分支,它 更是计算机科学的核心。而且,可以毫不夸张地说,它 和绝大多数的科学̀、商业和技术都是相关的。” _«算法: 计算的灵魂» ,David Harel –实践角度: –开发分析能力:
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表1.1 算法1.3的执行时间随n的增长而增长的情况
注：表1.1假设算法1.3中while循环体执行一次需1μs。
对某类特定问题，穷举法只适用于规模较小的情况。
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ACM 与算法设计
1、穷举法 如求素数 、百钱百鸡问题 2、分治法 如汉诺塔问题、折半查找算法、快速排序算法 3、贪心法 如：哈夫曼算法、最小生成树、最短路径算法
27Biblioteka 举法实例—货郎担问题判断条件：选择排列中路径和最小的回路。 假设用邻接矩阵c存储网，算法描述如下： 输入：城市数n,c[ ][ ] 输出：最短距离min，旅行路线t[ ] void salesman_problem(int n, float min, int t[ ],float c[ ][ ]);
3课件(webcc)
课程介绍
上机：教学楼D506机房 迟交作业，酌情扣分 抄袭作弊，将导致记零分 期末总评成绩： 处理以及… ！ 平时成绩40% + 期末（闭卷）成绩*60% 平时成绩：考勤、书面作业(含实验)

办公电话：26535255 Email:wanghm@ 课程内容：介绍计算机非数值算法的主要设计
穷举法实例—货郎担问题
n n! n n! n n! n n!
5
6
120μ s
720μ s
9
10
362ms
3.62s
13
14
1.72h
24h
17 11.27year
18 203year
7 8
5.04ms 40.3ms
11 12
39.9s 479.0s
15 16
15day 242day
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3857year
•算法的复杂性分析
穷举法实例—百鸡问题
② 测试集合： 0≤a≤n/5 0≤b≤n/3 c = n-a-b 判断条件：5*a+3*b+c/3 = n 且 c%3 = 0 算法描述如下(算法1.2)：
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void childen_question(int n,int &k,int g[],int m[], int s[]) { 算法1.2 1 int a,b,c; 2 int n1=n/5, n2=n/3; k=0; //5 3 for(a=0; a<=n1; a++) //1+2(n/5+1) 4 for(b=0; b<=n2; b++)
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1.1 引言

算法设计的例子—穷举法 穷举法：是从有限集合中，逐一列举集合 的所有元素，对每一个元素逐一判断和处 理，找出问题的解。
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穷举法实例
问题的陈述
例1.1 百鸡问题：“鸡翁一，值钱五；鸡母一 值钱三；鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡，问鸡 翁、母、雏各几何？” 这里讨论更一般的n钱买n鸡问题.
方法与分析技巧
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课程介绍—几个例子
例1：百鸡问题：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，
值 钱三；鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡，问鸡 翁、母、雏各几何？”
穷举法
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课程介绍—几个例子
例2：假设正整数n、s，s<n。设计算法对任
一给定n位数，删除其中的s位后，使得剩 下的位组成的新数最小。 例：n=6 s=3 783259 ---> 259 n=5 s=2 24351 ---> 231
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void childen_question(int n,int &k,int g[],int m[],int s[]) 算法1.1 { int a,b,c; 设计算法 k=0; for(a=0; a<=n; a++) for(b=0; b<=n; b++) for(c=0; c<=n; c++) if(!(c%3)&&a+b+c==n && 5*a+3*b+c/3==n) { g[k]=a; m[k]=b; s[k]=c; k++; } 执行时间：循环次数， } (n+1)*(n+1)*(n+1) 23
(n/5+1)*(n/3+1)
•算法的复杂性分析
穷举法实例—货郎担问题
例1.2 货郎担问题：某售货员要到若干个城 市销售货物，已知各城市之间的距离，要 求售货员选择出发的城市及旅行线路使每 个城市仅经过一次，最后回到原出发城市， 而总路程最短。
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穷举法实例—货郎担问题
解：假设n个城市，分别用1到n的数字编号， 问题归结为在有向网中(顶点表示城市,弧上 权重表示距离)，寻找一条路径最短，n个城 市仅经过一次的回路(哈密尔顿回路)。 测试集合： 1,…,n的排列对应一条回路,如2356…n12 全部排列构成测试集合