工程流体力学第四章 流体运动学和流体动力学基础7-11节
第七节 动量方程 动量矩方程
积分形式的动量矩方程：
r dV r n d A r f dV r pn dA t CV CS CV CS
定常流动时：
r d A r f dV r p dA
喷 嘴 流 量 计
文丘里流量计 —— 测量管道中的流量
思考题
问题：若是将管倾斜放置，则U形管中水银柱 高度差是否改变,为什么？
注意：对同一文丘里流量计，流量不变时，因 对应段面积不变，因此，对应位置速度不变。
文丘里管流量计U形管中水银柱高度差与放置角度无关。
伯努利方程应用几点说明：
① 注意式中各项的意义及单位； ② 三种形式机械能的相互转换； ③ Bernoulli 方程与静力学方程关系； 流体静止时有：
第九节 伯努利方程及其应用
伯努利方程
2
2g
＋z
p H g
（速度水头） （压强水头） （位置水头）
方程的几何意义：理想不可压缩的重力 流体作一维定常流动时，沿任意流线或 者微元流束，单位重量流体的速度水 头、位置水头、压强水头之和为常数， 即总水头线为平行于基准面的水平线。 对于平面流场：
0
p1 p2 z1 z2 g g
④ 注意Bernoulli 方程的适用条件； 重力场中，连续稳定流动的不可压缩流体。 对可压缩流体，若开始和终了的压力变化不超过20%，密度 取平均压力下的数值，也可应用上式。
理想流体能量分布
第十节 沿流线主法线方向压强和速度的变化
流线BB’ 上的M点处取一柱形的流体微团，其在 流线方向上的运动速度为 。 根据牛顿第二定律：
＝qV (r2 2 r11 )
力矩: 功率: 叶轮机械的基本方程: H
M z＝qV (r2 2 r11 )
P Mz qV (2e2 1e1 )
1 ( 2 e 2 1e1 ) g
单位重量 流体所获 得的能量
第八节 能量方程
—— 用于工程实际中求解涉及到流体自身能量形式转换 以及与外界有热交换的流动问题 能量守恒定律：流体系统中能量随时间的变化率等于作用于控制体上的表面 力、系统内流体受到的质量力对系统内流体所作的功和外界与系统交换的热量 之和。 输运公式
qV A2 2 gh（1 ) A [1 ( 2 ) 2 ] A1
实际测 量多用 此式
p1 p2 h( 1 ) g
文丘里流量计 —— 测量管道中的流量
结构：收缩段＋喉部＋扩张段
除文丘里流量计外，工程上常用的还有孔板流量计和喷嘴流量计，它们都属 于节流式流量计。 此外还有：转子流量计、靶式流量计、电磁流量计、超声流量计等。
p
) dA 0
第九节 伯努利方程及其应用
动量方程： 动量变化 伯努利方程： 速度分布 合力。 压力分布。
u2
2 2
2
gz2
p2
u1
2 1
2
gz1
p1
或u
2
2
gz
p
常数
理想不可压缩的重力流体作一维定常流动的能量方程
对于气体的一维定常绝能流动：
h
2
2
h0
h u p 为单位质量气体的焓; h0 为单位质量气体的滞止焓。
1. 伯努利方程
对于不可压缩的理想流体，在与外界无热交换的情况下，流动过程中流体的 热力学能将不发生变化，所以：
2
2
gz
p
＝
常数
或者
2
p ＋z H 伯努利方程，1738年 2g g
方程的适用条件：理想不可压缩的重力流体作一维定常流动时的一条流线或者一 个微元流管上。 方程的物理意义 ：理想不可压缩的重力流体作一维定常流动时，在 同一流线的不同点上或者同一微元流束的不同截面上，单位重量流 体的动能、位置势能和压强势能之和等于常数。
动压管
文丘里流量计 —— 测量管道中的流量
测量原理：测量截面1和喉部截面2处的静 压强差，根据测得的压强差和已知的管子 截面积，应用伯努里方程和连续性方程， 就可以求得流量。 连续性方程： 沿流线1-2列伯 努利方程： 联立求解：
1＝
A2 2 A1
结构：收缩段＋喉部＋扩张段
12
2
＋
p1
＝r , N r dV
对上式应用 质点系的动量矩定理 ： 流体系统内流体动量矩的时间变化 率等于作用在系统上的所有外力矩的矢量和。
积分形式的动量矩方程：
r dV r n d A r f dV r pn dA t CV CS CV CS
取图中虚线包容的体积为控制体：
[(ri Fi )]z M z
CS A2
MZ为转轴传给叶轮的力矩。
[ (r ) n dA]z 2 r2 cos 2 2 n dA 1r1 cos 11n dA
A1
离 心 泵 叶 轮 内 的 流 动
＝ 2 r2 cos 2 2 n A2 1 r1 cos 11n A1
rA
2
rБайду номын сангаас
( p p )A pA W cos
2
gr p (z ) r g
cos z r , W grA
对于伯努里积分常数在所有流线上取同一数值的情况，有：
对上式应用质点系的动量定理：作用于流体系统上的所有外力之和等于系统内 流体动量的变化率。
d dV＝ f dV p n dA 积分形式的动量方程： dt V CV CS
质量力 表面力
第七节 动量方程 动量矩方程
定常流动时：
dA＝ f dV p dA
2 2 dA aA A
＝
2 1 ( ) dA A A a
1 通常情况下， ＝
第七节 动量方程 动量矩方程
定常管流投影形式的动量方 程：
Fx qV ( 2 x 1x ) Fy qV ( 2 y 1 y ) Fz qV ( 2 z 1z )
定常流动时：
n (u
CS
2
2
gz
p
)dA 0
重力场中一维定常绝热流动积分形式的能量方程：
以 微 元 流 管 作 为 控 制 体
定 常 流 动 管 流 的 体 积 流 量 为 常 数
A2
( u
2
2
gz
p
) dA
A1
( u
2
2
gz
dN dV n dA dt t CV CS
若η表示单位质量流体具有的能量; 则N 就为系统内流体具有的总能量。
能 量 守 恒 定 律
u 是热力学 能（内 能） 2 2 ＝u , N u dV 2 2 V
2 2 2 d (u )dV (u )dV n (u )dA dt 2 t CV 2 2 V CS
n n CS CV CS
方程表明：在定常流动时，通过控制体表面流体动量矩的净通量等于作 用于控制体的所有外力矩的矢量和。
3. 叶轮机械的基本方程（自学，不做要求）
动量矩方程可以表示为：
（r ) dA (r F )
n i i CS
所有外力 矩的矢量 和
（绝对速度） （牵连速度） （法向分速度） （切向分速度） （相对速度）
重力场中绝热流动积分形式的能量方程： f g ,
Q0
2 2 (u gz )dV n (u gz )dA p n dA t CV 2 2 CS CS
将表面力分解为垂直于表面的法向应力 p nn 和相切于表面的切应力
pnn p n
体内部的流动状态。
第七节 动量方程 动量矩方程
2. 动量矩方程
dN 根据输运公式 dt t
dV
CV CS
n
dA
若η表示单位质量流体的动量矩;
V 则 N 就是整个系统内流体的动量 矩。 输 运 公 式 变 d r dV r dV r n d A 为： dt V t CV CS
总 水 头
2
2
＋
p
常数
方程表明：沿流线速度和压强 方程表明： 的变化是相互制约的，流速高 的点上压强低，流速低的点上 压强高。
2. 伯努利方程在工程中的应用
皮托管 —— 测量流速
沿流线 B – A 列伯努利方 列 伯努利方 程：2 测压管
法国人皮托，1773年
皮托管
B
2
pB
pA
应用定常管流的动量方程求解时，需要注意以下问题：
动量方程是一个矢量方程，每一个量均具有方向性，必须根据建立
的坐标系判断各个量在坐标系中的正负号。
根据问题的要求正确地选择控制体，选择的控制体必须包含对所求 作用力有影响的全部流体。 方程左端的作用力项包括作用于控制体内流体上的所有外力，但不 包括惯性力。 方程只涉及到两个流入、流出截面上的流动参数，而不必顾及控制
p 为流体的静压强;
n 为微元面积上外法线方向的单位矢量。
CS CS
p
CS
n
dA p n dA dA
对于管道内的一维流动，选择由固定管壁与流入、流出两个有效截面构成的控 制面。则整个控制面上的切向应力功率项等于零。
p 2 2 ( u gz ) dV ( u gz )dA 0 n t 2 2 CV CS
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《工程流体力学》教学课件—04流体动力学基础
6.37kW
hp =16.47 m
第四节 恒定总流动量方程和动量矩方程
2
1
dA1
1
1
u1
dA2
1
2
t时流体质点系边界
2
2
u2
t+t时流体质点系边界
恒定总流，取过流断面1-1、2-2为渐变流断面，面积为A1、A2 ，
过流断面及总流的侧表面所围空间为控制体。控制体内的流体，
经dt时间，由1-2运动到1’-2'位置。
ρ gdQ ρ gu1dA1 ρ gu2dA2
z1
p1 ρg
u12 2g
ρ
gdQ
z2
p2 ρg
u22 2g
ρ
gdQ
hl 'ρ
gdQ
上式对总流过流断面积分
z1 A1
p1 ρg
ρ
gu1dA1
u12 ρ 2g
A1
gu1dA1
z2 A2
p2 ρg
ρ
gu 2dA2
u
2 2
ρ
2g
A2
第四章 流体动力学基础
第一节 理想流体运动微分方程
流体动力学三大方程之一，是牛顿第二定律的流体 力学表达式。
一、方程推导
根据牛顿第二运动定律 在y方向有 Fy=may，即：
D'
z
A'
p
p y
dy 2
dz p(x,y,z) B' O’
dx D dy
A
B
C'
p
p y
dy 2
C
y
o
x
(p
p y
dy 2
)
d
工程流体力学第四章 流体运动学和流体动力学基础7-11节
d dt
(u
V
2
2
)dV f dV pn dA Q
CV CS
质量力功率
表面力功率
外界与系统单位 时间交换的热量
一般形式的能量方程：
2 2 (u )dV n (u )dA f dV pn dA Q t CV 2 2 CS CV CS
2 2
2
p2
2 p1 p 2 ) （ 2＝ A [1 ( 2 ) 2 ] A1
qV A2 2＝A2
2 p1 p 2 ) （ A [1 ( 2 ) 2 ] A1
动画演示
修正流量：
qV A2
2 p1 p 2 ) （ A [1 ( 2 ) 2 ] A1
--- 修正系数，实验标定。 实验标定
第九节 伯努利方程及其应用
伯努利方程
2
2g
＋z
p H g
（速度水头） （压强水头） （位置水头）
方程的几何意义：理想不可压缩的重力 流体作一维定常流动时，沿任意流线或 者微元流束，单位重量流体的速度水 头、位置水头、压强水头之和为常数， 即总水头线为平行于基准面的水平线。 对于平面流场：
p
) dA 0
第九节 伯努利方程及其应用
动量方程： 动量变化 伯努利方程： 速度分布 合力。 压力分布。
u2
2 2
2
gz2
p2
u1
2 1
2
gz1
p1
或u
2
2
gz
p
常数
理想不可压缩的重力流体作一维定常流动的能量方程
工程流体力学 第4章 流体运动学
质量表示时，为质量流量，以 qm 标记；以体积表示为体 积流量，以 qV 标记，可表示为
qV
vdA
A
断面平均流速:过流断面各点速度的断面平均值,以V标记,有
V
vdA
A
qV
AA
对任一点有
v V v
§4-2 描述流体运动的基本概念
四、一、二、三元流动
一、二、三元流动又称为一、二、三维流动。 一元流动（One-dimensional Flow）：流体的运动
v v (x, y, z) p p(x, y, z)
§4-2 描述流体运动的基本概念
三、流管、流束、流量与平均速度 流管：流场中过封闭曲线上各点作流线所围成的管状
曲面，见图。
流束：流管内所有流线的集合为流束。 微小流束：断面积无限小的流束。 总流：无数流束的总和。 注：（1）流束表面没有流体穿越；
间曲线，该瞬时位于曲线上各点的流体质点的速度与曲线在 该点相切,（如图示）。
§4-2 描述流体运动的基本概念
（2）流线的作法：欲作流场中某瞬时过A点的流线，可
在该瞬时作A点速度 v1 ；在 v1 上靠近A点找点 2，并在同 一时刻作 2点速度 v2；再在 v2上靠近2点找点3，也在同一 时刻作速度 v3 ；依次作到 N点，得到折线A-2-3-…-N，当
工程流体力学 第四章 流体运动学
§4-1 描述流体运动的两种方法
流体运动学研究流体运动的规律，不追究导致运动的力 学因素。
研究流体运动的方法
一、拉格朗日法（Lagrange Method) 拉格朗日法又称随体法。它追踪研究每一个流体质点的
运动规律，综合所有的流体质点，从而得到整个流场的运动 规律，参见图。
a y
qV
vdA
A
断面平均流速:过流断面各点速度的断面平均值,以V标记,有
V
vdA
A
qV
AA
对任一点有
v V v
§4-2 描述流体运动的基本概念
四、一、二、三元流动
一、二、三元流动又称为一、二、三维流动。 一元流动（One-dimensional Flow）：流体的运动
v v (x, y, z) p p(x, y, z)
§4-2 描述流体运动的基本概念
三、流管、流束、流量与平均速度 流管：流场中过封闭曲线上各点作流线所围成的管状
曲面，见图。
流束：流管内所有流线的集合为流束。 微小流束：断面积无限小的流束。 总流：无数流束的总和。 注：（1）流束表面没有流体穿越；
间曲线，该瞬时位于曲线上各点的流体质点的速度与曲线在 该点相切,（如图示）。
§4-2 描述流体运动的基本概念
（2）流线的作法：欲作流场中某瞬时过A点的流线，可
在该瞬时作A点速度 v1 ；在 v1 上靠近A点找点 2，并在同 一时刻作 2点速度 v2；再在 v2上靠近2点找点3，也在同一 时刻作速度 v3 ；依次作到 N点，得到折线A-2-3-…-N，当
工程流体力学 第四章 流体运动学
§4-1 描述流体运动的两种方法
流体运动学研究流体运动的规律，不追究导致运动的力 学因素。
研究流体运动的方法
一、拉格朗日法（Lagrange Method) 拉格朗日法又称随体法。它追踪研究每一个流体质点的
运动规律，综合所有的流体质点，从而得到整个流场的运动 规律，参见图。
a y
流体力学第04章流体动力学基础详解
dt dt dt
均等于零，于是纳维－斯托克斯方程式就变成静水
力学欧拉平衡方程式。所以纳维－斯托克斯方程式
是不可压缩液体的普遍方程式。
6
二、无粘性流体运动微分方程
理想流体， 0 得：欧拉方程
fx
1
p x
dux dt
fy
1
p y
du y dt
fz
1
p z
ux
p
4L
(r02
r2)
上式表明：圆管中层流过水断面上的流速是按 抛物面的规律分布的。
13
第二节 元流的伯怒利方程
一、无粘性流体运动微分方程的伯怒利积分
沿流线积分得
fx
1
p x
dux dt
fxdx f ydy fzdz dp / d(u2 / 2)
以U（x，y，z）表示质量力的势函数 上式变为
fy fz
1
1
p y p z
du y dt duz dt
U p / u2 / 2 C
在重力场中，作用在流体上的质量力只有重力， 即U=-gz，带入得
14
p u2 z C
g 2g
对微小流束上任意两个过水断面有： 15
z1
p1
g
d 2ux p
dr2 2 L
dux dr
p
2L
r
C1
利用轴心处的条件 r 0, dux 0 ，得 C1 0 。故
均等于零，于是纳维－斯托克斯方程式就变成静水
力学欧拉平衡方程式。所以纳维－斯托克斯方程式
是不可压缩液体的普遍方程式。
6
二、无粘性流体运动微分方程
理想流体， 0 得：欧拉方程
fx
1
p x
dux dt
fy
1
p y
du y dt
fz
1
p z
ux
p
4L
(r02
r2)
上式表明：圆管中层流过水断面上的流速是按 抛物面的规律分布的。
13
第二节 元流的伯怒利方程
一、无粘性流体运动微分方程的伯怒利积分
沿流线积分得
fx
1
p x
dux dt
fxdx f ydy fzdz dp / d(u2 / 2)
以U（x，y，z）表示质量力的势函数 上式变为
fy fz
1
1
p y p z
du y dt duz dt
U p / u2 / 2 C
在重力场中，作用在流体上的质量力只有重力， 即U=-gz，带入得
14
p u2 z C
g 2g
对微小流束上任意两个过水断面有： 15
z1
p1
g
d 2ux p
dr2 2 L
dux dr
p
2L
r
C1
利用轴心处的条件 r 0, dux 0 ，得 C1 0 。故
流体力学
第四章 流体流体运动学和流体动 力学基础
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 描述流体运动的两种方法
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体 质点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研
欧拉法
究
方
着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动 特性的各种物理量的矢量场与标量场
7.湿周 水力半径 当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。
圆形截面管道的几何直径
d 2 4A d 4R d x
D
R
A x
非圆形截面管道的当量直径
4A 4R x
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中 各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不 理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中 的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多 的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
1.速度
u ux, y, z, t
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 描述流体运动的两种方法
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体 质点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研
欧拉法
究
方
着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动 特性的各种物理量的矢量场与标量场
7.湿周 水力半径 当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。
圆形截面管道的几何直径
d 2 4A d 4R d x
D
R
A x
非圆形截面管道的当量直径
4A 4R x
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中 各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不 理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中 的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多 的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
1.速度
u ux, y, z, t
流体动力学基础工程流体力学闻建龙
z p p dy p p dz
y 2
z 2
y
x
第一节 理想流体的运动微分方程
x方向
p
p x
dx 2
dydz
p
p x
dx 2
Hale Waihona Puke dydzy方向p
p y
dy 2
dzdx
p
p y
dy 2
dzdx
z方向
p
p z
dz 2
dxdy
p
p z
dz 2
dxdy
p
p z
dz 2
p
p
根据牛顿第二定律建立欧拉运动微分程。
在运动的理想流体中，取一微元六面体，如图示。
理想流体不存在粘性，运动时 不产生切应力，只有正应力。
各方向所受压力为
1. 表面力 理想流体中没有切应力
p
p z
dz 2
p
p
dy
y 2
p p dx
x 2 dz A
p p dx x 2
dy dx
（摩擦力），作用在微元体 上的表面力只有重直指向作 用面的压力。
（2）沿同一微元流束（流线）积分。 因定常流动，流线与迹线重合，即
dx dt
vx ,
dy dt
vy,
dz dt
vz
（3）质量力只有重力。即
fx 0, f y 0, fz g
第二节 伯努利方程
将欧拉运动微分方程各式分别乘以同一流线上的微元线段矢 量ds的投影dx、dy、dz，然后相加得
fx
z方向
p
p z
dz 2
dxdy
p
p z
dz 2
dxdy
流体动力学基础
t u zy x z y x X z d d d d d d d d ρρ=+d d d 1u u u p p p⎡⎤⎡⎤∂∂∂元流伯努利方程的物理意义和几何意义测压管测压管测压管测压管O A OA●均匀流与非均匀流、非均匀渐变流与急变流⏹均匀流与非均匀流——依流线形状及过水断面上的流速是否沿流程而变化进行分类。
①均匀流：迁移加速度为零。
所有流线是平行的直线。
②非均匀流：迁移加速度不为零。
流线不平行或虽然平行但不是直线。
渐变流与急变流——非均匀流流场中流线彼此呈近似平行直线的流动，称为渐变流。
流场中，流线彼此不平行，流线间夹角比较大或流线曲率比较大的流动为急变流。
g u3ρ总流能量方程的应用条件●应用条件（1）均质不可压缩流体的恒定流；（2）作用在流体上的质量力中只有重力；（3）均匀流或渐变流断面（4）在所取的两过水断面之间，流量保持不变。
●应用要点（1）过水断面取均匀流或渐变流断面（2）位置高度（3）计算点选取，明渠取水面点，管流取中心点（4）压强取绝对压强和相对压强均可，但两断面要统一z1221A A v v =211112=++g v g p z αρ⇒p p =-ρ(211z z =∆p文丘里流量计测流量23332111+++=+v p z vαα()应用要点β1.恒定流，不可压缩流体；2.过水断面为均匀流或渐变流，但两断面之间可为急变流；3. 是作用在控制体上的所有外力之和；力和流速都是矢量4.＝1.0；∑F应用要点⎪⎭⎪⎬⎫=-+=-+=-+∑∑∑z z z z y y y y x x x x F v Q v Q v Q F v Q v Q v Q F v Q v Q v Q )()()(111333222111333222111333222βββρβββρβββρ5.有分流或汇流时，动量的变化量＝变化后的动量－变化前的动量；6.计算压力时，只能采用相对压强；7.选择合适的计算用控制体，与连续性方程、能量方程联立求解弯管和分岔管内等水流对管壁的作用力坐标系列三大方程如图所示，将一平板放置在自由射流之中，并且垂直于射流的轴线，该平板截去射流流量的一部分Q1，射流的其余部分偏转一角度θ，已知：流速v=30m/s，流量Q=36L/s，流量Q1=12L/s，试求：（1）不计摩擦力射流对平板的作用力；（2）射流的偏转角θ值。
《工程流体力学》第四章 流体运动学基础
所引起的加速度，一般称为当地加速度或时变加速度。
⑵位变（迁移）加速度：上式中的 vv表示由于流体质点经过不同
的空间位置时引起的加速度，一般称为位变加速度或迁移加速度。
可见由欧拉法描述流体的运动时，加速度是由当地加速度和迁移加
速度两部分组成。
6.控制体：应用欧拉法时，常在流场中选取一固定空间区域来观察流 体的运动，这个固定空间区域称为控制体，控制体的表面称为控制面。
3.加速度场的表示方法：加速度场a可以表示为：
a=a(x,y,z,t)
（4-4）
4.压强场的表示方法：压强场p可以表示为：
p=p(x,y,z,t)
（4-5）
5.流体运动加速度的表示方法：
根据复合函数的求导法则，流体运动的加速度可以表示为：
整理课件
d ud u x ,y ,z u u u u
的形式。 当流体在管道内做定常流动时， = 0 ，于是 t
1 A1u1d整A理= 课件 2 A2u2dA
（4-20）
或
1A1V1=2A2V2 如果流体不可压缩，=C，于是：
（4-21）
或
A1u1dA= A2u2dA
（4-22）
A1V1=A2V2=qV
（4-23）
这就是一维流动的连续性方程，它适用于恒定或非恒定流动的不可压缩
u=u(x,y,z) v=v(x,y,z)
（4-8）
w=w(x,y,z)
p=p(x,y,z)
（4-9）
而
u=v=w=p=0
（4-10）
t t t t
2.非定常（非恒定）流动：流场中流体的运动参数不仅是位置坐标的
函数，而且随时间变化，则称这种整流理课动件 为非定常或非恒定流动。
流体动力学基础 _流体力学
dx dy ay bx
ux
uy
bxdx aydy
积分得流线方程 bx ay c a,b同号，流线是双曲线a,b异号,流线是圆。 (3)由欧拉运动微分方程式，不计质量力：
2 2
1 1
p x
p y
u x uy abx y u y ux aby x
duy dux duz dx dy dz dt dt dt
1 p x
dx dy dz
p y
p z
、
1.引人限定条件： ①．作用在流体上的质量力只有重力：X=Y=0,Z=-g;
( Xdx Ydy Zdz) gdz
②.不可压缩，恒定流： C ,
第二节 元流的伯努利方程
一、理想流体运动微分方程的伯努利积分 理想流体运动微分方程式是非线性偏微分方程组，只有 特 定 条 件 下 的 积 分 ， 其 中 最 为 著 名 的 是 伯 努 利 (Daniel Bernoull，1700～1782，瑞士科学家)积分。
u y u x u z 1 p X x u x x u y y u z z u y u y u y 1 p Y y u x x u y y u z z u z u z u z 1 p Z z u x x u y y u z z
1 p x p y p z
du x dt du y dt du z dt
（4—1）
用矢量表示为：
将加速度项展成欧拉法表达式 : u x u x u x u x 1 p X x t u x x u y y u z z u y u y u y u y 1 p Y y t u x x u y y u z z u z u z u z u z 1 p Z z t u x x u y y u z z
ux
uy
bxdx aydy
积分得流线方程 bx ay c a,b同号，流线是双曲线a,b异号,流线是圆。 (3)由欧拉运动微分方程式，不计质量力：
2 2
1 1
p x
p y
u x uy abx y u y ux aby x
duy dux duz dx dy dz dt dt dt
1 p x
dx dy dz
p y
p z
、
1.引人限定条件： ①．作用在流体上的质量力只有重力：X=Y=0,Z=-g;
( Xdx Ydy Zdz) gdz
②.不可压缩，恒定流： C ,
第二节 元流的伯努利方程
一、理想流体运动微分方程的伯努利积分 理想流体运动微分方程式是非线性偏微分方程组，只有 特 定 条 件 下 的 积 分 ， 其 中 最 为 著 名 的 是 伯 努 利 (Daniel Bernoull，1700～1782，瑞士科学家)积分。
u y u x u z 1 p X x u x x u y y u z z u y u y u y 1 p Y y u x x u y y u z z u z u z u z 1 p Z z u x x u y y u z z
1 p x p y p z
du x dt du y dt du z dt
（4—1）
用矢量表示为：
将加速度项展成欧拉法表达式 : u x u x u x u x 1 p X x t u x x u y y u z z u y u y u y u y 1 p Y y t u x x u y y u z z u z u z u z u z 1 p Z z t u x x u y y u z z
流体力学课件第四章 流体动力学基础 共131页
流体动力学基本方程，是将经典力学的 普遍原理应用于流体，得到的支配流体 运动的方程式，是分析和求解流体运动 最基本的理论工具。
教学的目的和要求
了解从动量守恒原理导出的纳维—斯托克斯 方程及其各项的物理意义。
了解理想流体运动的欧拉方程及欧拉方程的 边界条件。
了解定常流动的欧拉方程积分──伯努利定理 的物理意义；掌握伯努利定理的应用实例；了解 不定常流动的欧拉方程积分──拉格朗日—柯西积 分。
uy z
pzz
p2uz
z
zxxzuxz
ux z
(3) 粘性流体运动微分方程
推导方法类似无粘性流体远动微分方程的推导。
§4.1 流体的运动微分方程
第四章 流体动力学基础
2、粘性流体运动微分方程： (2). 应力与变形速度（应变率）的关系
本构方 程
Bemoulli,D. （1700~1782）根据能
量原理给出了类似的 公式，为纪念他。
§4.2 元流的伯努利方程
第四章 流体动力学基础
2 v1g2 gp1 z1v22g2gp2 z2
物理意义和几何意义：
v12
b 总水头
2g c
p1
1
z1
a
v
2 2
b'
2g
c'
p2
H
2
z2
a'
单位重量流体的动能+压力势能+高度势能-----总机械能守恒 速度水头 压强水头 位置水头----------总水头沿流线相等。
x方向:
p p dx x 2
z y
O
x
dz p(x,y)
a
c
dy dx
p p dx x 2
教学的目的和要求
了解从动量守恒原理导出的纳维—斯托克斯 方程及其各项的物理意义。
了解理想流体运动的欧拉方程及欧拉方程的 边界条件。
了解定常流动的欧拉方程积分──伯努利定理 的物理意义；掌握伯努利定理的应用实例；了解 不定常流动的欧拉方程积分──拉格朗日—柯西积 分。
uy z
pzz
p2uz
z
zxxzuxz
ux z
(3) 粘性流体运动微分方程
推导方法类似无粘性流体远动微分方程的推导。
§4.1 流体的运动微分方程
第四章 流体动力学基础
2、粘性流体运动微分方程： (2). 应力与变形速度（应变率）的关系
本构方 程
Bemoulli,D. （1700~1782）根据能
量原理给出了类似的 公式，为纪念他。
§4.2 元流的伯努利方程
第四章 流体动力学基础
2 v1g2 gp1 z1v22g2gp2 z2
物理意义和几何意义：
v12
b 总水头
2g c
p1
1
z1
a
v
2 2
b'
2g
c'
p2
H
2
z2
a'
单位重量流体的动能+压力势能+高度势能-----总机械能守恒 速度水头 压强水头 位置水头----------总水头沿流线相等。
x方向:
p p dx x 2
z y
O
x
dz p(x,y)
a
c
dy dx
p p dx x 2