高中数学人教A版选修2-1第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程第一课时教学课件
高 中 数 学 人 教A版选 修2-1 第二章 圆锥曲 线与方 程2.3. 1双曲线 及其标 准方程 第一课 时教学 课件 ( 共 18张 PPT)
已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲 线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于6，求双 曲线的标准方程。 3、只将划线部分改为：双曲线过点 p(6, 4 3)
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问题：你能类比求椭圆标准方程的方法，建 立适当的坐标系求双曲线的标准方程吗？
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1焦点在x轴上,且a 4, b 3 的椭圆的标准方程为
x2 y2
1 __1__6___9_______,
焦点坐标为
__(___7_,_0_)_
.
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1.类比椭圆，用规范术语说出双曲线定义， 并推导出标准方程； 2.记忆标准方程形式，识别焦点所在的轴，
区分椭圆与双曲线； 3.利用所给条件写出双曲线的标准方程。
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2.改为平面内定点F1(5，0), F2 (5, 0），PF1 PF2 10， 则点P的轨迹方程是什么？
解： ∵ F1F2 10 , PF1 PF2 10 ∴ 点 P 的轨迹是两条射线, 轨迹方程为 y 0( x ≥ 5或x ≤ 5) .
平面内与两个定点F1、F2的距离的差和等于常数（大于|F1F2| ）
点的轨迹叫做椭？圆 。 数学 实验
取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上 各选择一点，分别固定在点F1、F2上，把笔尖放在拉 链头M处，拉动拉链，笔尖运动的轨迹是什么？
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x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0
∵2a=6，2c=10∴a=3，c=5 ∴b2=52 -32 =16.
所以所求双曲线的标准方程是 x2 y2 1 9 16
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b 0)
双曲线
| | |MF1|－|MF2| =2a <|F1F2|
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
y2 x2 a2 b2 1(a 0,b 0)
焦点
a.b.c的 关系
F（±c，0） F（0，±c）
c2=a2-b2
F（±c，0） F（0，±c）
c2=a2+b2
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当堂检测答案
(2)焦点在x轴上,且a 4，b 3的双曲线标准方程为
x2 y2 1 ___1_6____9______,
焦点坐标为
__(__5_,_0__)_
.
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例题 ：已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)， 双曲线上点P到F1与F2距离之差的绝对值等于6， 求双曲线的标准方程。
解：双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
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1、双曲线 x2 y2 1的焦点坐标是 (3,0)
45
2、双曲线 y2 x2 1的焦点坐标是 (0,5)
16 9
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A层：课后高效作业 B层：收集资料，调查GPS全球定位系统的 原理，体会双曲线在实际生活中的应用。
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1、（1)（ 6, 0）;(2)（0， 5）
2、 x2 y2 1 54
3、
x2 y2 1
36 64
4、 14
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问题：椭圆的定义是什么？
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双曲线与椭圆对照表
定义
方 程
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a >|F1F2|
x2 y2 1(a b 0)
a2 b2
y2 a2
x2 b2
ห้องสมุดไป่ตู้
1(a
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高二数学 2.3.1 双曲线及其标准方程
名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
若焦点在y轴上， 设双曲线的标准方程为ay22－bx22＝1.
a12－b12＝1， 同理有5a22－－b22 2＝1，
a2＝－7， 解得b2＝－78. (舍去)
∴所求双曲线的标准方程为x72－y72＝1. 8
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第二章 §2.3 2.3.1
第二章 §2.3 2.3.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
分析 由2sinC＝sinA＋2sinB利用正弦定理，可转化为 含动点A的等量关系，进而求出A的轨迹方程．
第24页
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第二章 §2.3 2.3.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
解 如下图所示，以BC所在的直线为x轴，以线段BC的 中垂线为y轴，建立直角坐标系．
名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
解 解法1：若焦点在x轴上， 设双曲线的标准方程为ax22－by22＝1. ∵M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上，
a12－b12＝1， ∴－a222－5b22＝1，
解得a2＝78， b2＝7.
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第二章 §2.3 2.3.1
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第二章 §2.3 2.3.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
2．如何确定焦点的位置
通过比较两种不同类型的双曲线方程
x2 a2
－
y2 b2
＝1和
y2 a2
－
x2 b2
＝1(a＞0，b＞0)，可以看出，如果x2项的系数是正的，那么
焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴
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人教版高中数学选修(2-1)-2.3《双曲线及其标准方程》教学设计
2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程（杨军君）一、教学目标（一）学习目标1．理解并掌握双曲线的定义，了解双曲线的焦点、焦距；2．掌握双曲线的标准方程，能够根据双曲线的标准方程确定焦点的位置．（二）学习重点1．双曲线的定义；2．双曲线的标准方程．（三）学习难点1．由双曲线的标准方程确定焦点位置；2．根据条件求双曲线的标准方程．二、教学设计（一）预习任务设计1．预习任务写一写：（1）定义：平面内与两个定点12,F F 的距离差的绝对值 等于常数 2a ，小于|F 1F 2| 的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两定点间距离叫做 焦距 ．（2）双曲线的标准方程：焦点在x 轴上：22221(0,0)x y a b a b-=>>． 焦点在y 轴上：22221(0,0)y x a b a b-=>>． 2．预习自测1．下面语句正确的个数是（ ）①平面内到点12(0,4),(0,4)F F -的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线． ②双曲线标准方程中,,a b c 的关系是222a b c +=．③双曲线2213y x -=的焦点在y 轴上． A ．0B ．1C ．2D ．3答案：B（二）课堂设计探究一：结合实例，认识双曲线●活动① 回顾旧知，实验探索 前面我们学习了椭圆，椭圆是如何定义的？平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数122(2||)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆．若将椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”．即平面内与两个定点21,F F 的距离的差等于非零常数的点的轨迹是什么?我们不妨通过画图来探究，借助于拉链来说明作图方法．（如图）取一条拉链，拉开它的一部分，在拉链拉开的两边上各选择一点，分别固定在纸板上的点F 1 ，F 2处，取拉头处为M 点，由于拉链两段是等长的，则221FF MF MF =-，把笔尖放在点M 处，随着拉链的拉开或闭拢，M 点到F 1，F 2的距离的差为常数．这样的动点M 的轨迹是什么呢？【学生活动】请一位同学上黑板演示(用两段绳子来模拟拉链，进行作图)，其他同学观察、思考．画出一条曲线（如图1），这条曲线就是满足下面条件的点的集合：12{|||||}P M MF MF =-=常数如果使点M 到F 2的距离减去到点F 1的距离所得的差等于同一个常数，就得到另一条曲线（图2）．这条曲线是满足下面条件的点的集合：。
(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.3.1
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(2)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴93m6m＋＋0＝ 9n1＝，1， 解得nm＝＝－19，13， ∴所求双曲线的标准方程为x92－y32＝1.
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
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定义法求方程
已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝ 9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆的圆心M的轨迹方 程．
思路点拨： 根据两圆外切的定义从中找出相关的几何关 系，与所学椭圆、双曲线的定义进行对比可解．
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第二章 圆锥曲线与方程
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(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲 线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正， 则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(3)当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时， 双曲线的方程才具有标准形式．
(4)双曲线的标准形式的特征是数xⅠ2 ＋数yⅡ2 ＝1，数Ⅰ与
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3．与双曲线x82－1y02 ＝1 具有相同焦点的双曲线方程是 ________(只写出一个即可)．
解析： 与x82－1y02 ＝1 具有相同焦点的双曲线方程为8＋x2 k －10y－2 k＝1(－8<k<10)．
答案： x62－1y22 ＝1
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第二章 圆锥曲线与方程
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第二章 圆锥曲线与方程
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标
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【做一做1】 动点P到点M(1,0),N(-1,0)的距离之差的绝对值为2, 则点P的轨迹是( )
A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 ◆ 全书优质试题随意编辑 ◆ 课堂教学流程完美展示 ◆ 独家研发错题组卷系统 答案:C
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1.双曲线的概念
(1)双曲线的定义.
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小 于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
(2)双曲线的焦点与焦距.
双曲线定义中的两个定点F1,F2叫做焦点,两个焦点间的距离叫做
焦距.
◆ 全书优质试题随意编辑 ◆ 课堂教学流程完美展示 ◆ 独家研发错题组卷系统
=
1
既可以表示椭圆又可以表示双曲线.
当方程表示椭圆时,m,n 应满足 m>n>0 或 n>m>0.
当方程表示双曲线时,m,n 应满足 mn<0;当 m>0,n<0 时,方程表
示焦点在 x 轴上的双曲线;当 m<0,n>0 时,方程表示焦点在 y 轴上的
双曲线.
若已知双◆曲全书线优质的试题中随意编心辑在◆原课堂点教学流,焦程完点美展在示 坐◆ 独标家研轴发错上题组卷,但系统不确定焦点在
哪一个坐标轴上,则双曲线的方程可设为
2.3.1 双曲线及其标准方程
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2.3.1 双曲线及其标准方程
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1.了解双曲线的定义,几何图形和标准方程. 2.会求双曲线的标准方程. 3.会利用双曲◆ 全线书优质的试题定随意义编辑和◆标课堂准教学方流程完程美展解示 决◆ 独简家研单发错问题组题卷系统.
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程新人教A版选修
4．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝2 5，经过点 A(2，－5)，焦点在 y 轴上； (2)过点 A(3,2)和 B(17,12)．
解析： (1)因为双曲线的焦点在 y 轴上，所以可设双曲 线的标准方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．由题设知，a＝2 5，
a＝2 5 且点 A(2，－5)在双曲线上，所以2a52－b42＝1 ，解得 a2＝20， b2＝16.
故所求双曲线的标准方程为2y02 －1x62 ＝1.
(2)若焦点在 x 轴上，设双曲线的标准方程为ax22－by22＝ 1(a>0，b>0)，
由已知条件得a19a272－2－b421b＝2221＝1
，解得 a12＝1 b12＝2
.
则双曲线的标准方程为 x2－y12＝1. 2
若焦点在 y 轴上，设双曲线的标准方程为ay22－bx22＝1(a>0， b>0)，
由已知条件得a14a222－2－b921b＝7221＝1
，解得a12＝－2 b12＝－1
，不符
合题意，舍去．
综上知，所求双曲线的标准方程为 x2－y12＝1. 2
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求双曲线的标准方程
根据下列条件求双曲线的标准方 程． (1)求以椭圆1x62 ＋y92＝1 的短轴的两个端点为焦点，且过 点 A(4，－5)的双曲线的标准方程；
4 2)代入方程，联立解方程组得 a2＝16，b2＝9.
答案： A
3．与双曲线x82－1y02 ＝1 具有相同焦点的双曲线方程是 ________(只写出一个即可)．
解析： 与x82－1y02 ＝1 具有相同焦点的双曲线方程为8＋x2 k －10y－2 k＝1(－8<k<10)．
2018年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其
1．双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的 a，b，c，再写出双 曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程xa22－by22＝1 或ay22－xb22＝ 1(a，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 2．求双曲线标准方程的两个关注点 (1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方 程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式； (2)定量：“定量”是指确定 a2，b2 的具体数值，常根据条件列 方程求解．
双曲线
2．3．1 双曲线及其标准方程
预习课本 P52～55，思考并完成以下问题 1．平面内满足什么条件的点的轨迹是双曲线？双曲线的焦点、
焦距分别是什么？
2．什么是双曲线的标准方程？
[新知初探]
1．双曲线的定义 把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的 差的绝对值 等于非 零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点 叫做双
()
A．k>5
B．k>5 或－2<k<2
C．k>2 或 k<－2
D．－2<k<2
[解析] ∵方程对应的图形是双曲线， ∴(k－5)(|k|－2)>0． 即k|k－|－52>>00，， 或k|k－|－52<<00，. 解得 k>5 或－2<k<2． [答案] B
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的
点的轨迹是
()
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．不存在 答案：B
D．一条射线
3．已知双曲线的 a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为
________．
双曲线及其标准方程课件2高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360,
x2 y2
由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 2 2 1 的一支上，
a
b
依题意得 a = 680, c = 1020， b2 c 2 a 2 10202 6802 5 3402
x2
y2
1
∴双曲线的方程为
2
2
680 5 340
课堂小结
本节课主要是进一步了解双曲线的定义及其标准方程,并运用双曲线的定义及其标准方程解决问题,
体会双曲线在实际生活中的一个重要应用. 其实全球定位系统就是根据例5这个原理来定位的.
运用定义及现成的模型思考,这是一个相当不错的思考方向.即把不熟悉的问题往熟悉的方向转化,
要求曲线的方程,恰当的建立坐标系是一个关键.
A
yC
o
B
x
双曲线的实际应用
解：如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，
建立直角坐标系.
设 A、B、C 分别是西、东、北观测点，
则 A(－1020,0）
，B(1020,0）
，C(0,1020）.
设 P（x,y）为巨响点，
由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|,
同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是
1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)
分析:依题意画出图形(如图)
P
只要能把巨响点满足的两个曲线方程求出来.那么解
双曲线及其标准方程教学设计
《2.3.1 双曲线及其标准方程》教学设计一、教学内容解析(一)课标要求：《双曲线及其标准方程》是人教A版普通高中课程选修2-1第二章的第三节内容. 课程标准对本节内容的要求是：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.(二)教材地位双曲线与科研、生产以及人类生活有着密切的关系，因此，研究它的几何特征及其性质有着极其现实的意义。
学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步巩固、深化和提高.如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章.所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质以及进一步学习抛物线，解决更复杂的解析几何综合问题奠定良好的基础.教学重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程.突出重点的手段：通过画图揭示出双曲线上的点所满足的条件，再通过讨论归纳得出双曲线的定义；对于双曲线的方程，可类比椭圆方程的推导得出方程并加以比较，加深认识.二、教学目标设置依据教材的地位与作用，以及新课改对教学目标的要求，确定本节课的教学目标为：1、理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；2、通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；3、通过教师指导下的学生交流探索活动，让学生体会数学的理性和严谨，培养学生实事求是和锲而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度.三、学生学情分析授课班级为宁夏吴忠市吴忠中学高二年级学生。
从知识方面来说，学生从必修“平面解析几何初步”到选修“圆锥曲线”，已经学习直线、圆和椭圆，较为系统地研究了他们的性质，对解析几何的基本思想方法有了一定的认识，基本掌握了求曲线方程的一般方法，能对含有两个根式的方程进行化简，并对数形结合、类比推理的思想方法有一定的体会.从能力方面来说，作为高二年级的学生，其学习能力与理性思维都达到了一定的水平.具备一定的计算、推理、知识迁移、归纳概括和分析问题、解决问题的能力等能力，并对数形结合、类比等思想方法有了一定的感悟.教学难点：双曲线定义的得出和标准方程的建立.突破难点的策略：始终以“类比”作为主线，引导学生动手实验、观察、交流、归纳定义；回顾坐标法求椭圆方程的步骤，亲自体验建立双曲线标准方程的过程.四、教学策略分析著名数学家波利亚认为：“学习任何东西最好的途径是自己去发现.”双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，所以本节课采用了“启发探究”、“类比教学”的教学方式，重点突出以下两点：1、以类比思维作为教学的主线2、以自主探究作为学生的学习方式授之以“鱼”不如授之以“渔”，教师只是课堂教学的引导者、启发者，在新课程改革理念的指导下，要注重突出学生的主体作用.因此，在学习方法的制定上，将充分发挥学生在学习活动中的作用，通过学生主动探索、动手实践调动学生学习的积极性，转变学生的学习方式，形成理性、严谨的解决问题的态度.五、教学过程设计（一）回顾旧知，实验探索师：前面我们学习了椭圆，回顾一下，椭圆是如何定义的？（请一位同学回答.）生：平面内与两个定点F1 、F2. 的距离的和等于常数2a （2a >| F1 F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆．师：若将椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”.即平面内与两个定点21,F F 的距离的差等于非零常数的点的轨迹是什么?学生表示不知道.师：我们不妨通过画图来探究.教师借助于拉链来说明作图方法.（如图）师：取一条拉链，拉开它的一部分，在拉链拉开的两边上各选择一点，分别固定在纸板上的点F 1 ，F 2处，取拉头处为M 点，由于拉链两段是等长的，则221FF MF MF =-，把笔尖放在点M 处，随着拉链的拉开或闭拢，M 点到F 1 ，F 2的距离的差为常数.这样的动点M 的轨迹是什么呢？【学生活动】请一位同学上黑板演示(用两段绳子来模拟拉链，进行作图)，其他同学观察、思考.学生画出一条曲线（如图1）.教师带领学生分析：这条曲线就是满足下面条件的点的集合：12P={M||MF |-|MF |=}常数师：如果使点M 到F 2的距离减去到点F 1的距离所得的差等于同一个常数，就得到另一条曲线（图2）.这条曲线是满足什么条件的点的集合？生：21P={M||MF |-|MF |=}常数.师：现在我们知道，平面内到两定点距离的差为常数的点的轨迹是这样的两条曲线. 这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支.它是满足这两个条件 ①12MF -MF =常数②21MF -MF =常数的点的集合.能不能将这两个条件统一起来呢？ 生：用绝对值.即12MF MF = 常数.师：很好.下面我们借助于几何画板来更直观地感受一下双曲线的形成.【师生活动】 教师用多媒体演示双曲线的形成,引导学生观察，在点M 运动的过程中， 12MF MF 与的差有什么特征？学生不难发现，这个差是一组相反数，即动点M 满足条件12MF -MF =常数.再次验证画图结果.师：双曲线在科研和日常生产生活中应用广泛.(出示双曲线相关图片——冷却塔、立交 图1 图2桥、广州塔、埃菲尔铁塔) 这是继椭圆之后我们要学习的第二种圆锥曲线.（板书课题：2.3.1 双曲线及其标准方程 指明本节课的学习内容.）【设计意图】通过复习回顾椭圆概念，引出新问题.从学生认知的最近发展区入手，激发学生的求知欲.通过画图让学生直观地感受双曲线的形成，并通过优美图片的展示，渗透数学美的教育，让学生感受数学美的同时体会数学的应用价值. 再次激发学生的学习兴趣.（二）抽象概括，归纳定义提出问题：刚才我们通过直观演示，观察到动点的轨迹是双曲线.你们能根据刚才画双曲线的过程，类比椭圆的定义，归纳概括出双曲线的定义吗？（出示椭圆图形及定义，引导学生类比.）学生讨论交流，很快可以得出结果：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点12F ,F 叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．记为21F F =2c .[师生活动]若学生能够得出常数小于21F F ，继续后续问题，如果学生没有发现，教师需要引导学生观察、分析.师：我们通常将定义中的常数记为2a,也就是说，双曲线就是点集：1212P={M |MF |-|MF |=202F F }<<a a ，.【设计意图】本环节在学生经历双曲线形成的基础上，类比椭圆定义，归纳概括双曲线定义，有助于学生对双曲线定义的理解.在这个过程中，培养学生的动手实验能力、归纳概括能力、对比分析能力，体会类比和数形结合思想方法.同时渗透数学美的教育，让学生感受数学美的同时体会数学的应用价值. 再次激发学生的学习兴趣.（三）类比椭圆，建立方程师：得到了双曲线的定义，知道了它的基本几何特征，这只是一种“定性”的描述，但是对于这种曲线还具有哪些性质，尚需进一步研究. 根据解析几何的基本思想方法，我们需要利用坐标法先建立双曲线的方程“定量”的描述，然后通过对双曲线的方程的讨论，来研究其几何性质.师：坐标法建立椭圆标准方程的步骤有哪些？[师生活动]请学生回顾坐标法建立椭圆方程的步骤，分析双曲线的几何特征.请一位同学回答.提出探究内容：你能类比椭圆标准方程的建立过程，建立适当的坐标系，推导双曲线的标准方程吗？【师生活动】这一环节是本节课的难点，但前面经历了椭圆标准方程的建立过程，学生不会感到太困难，因此本环节放手让学生去尝试，有困难可以互相讨论.教师教师巡视、个别予以点拨指导.绝大多数学生会选择建立焦点在x 轴上的双曲线方程.分析如下：(1)建系设点:取过焦点12F ,F 的直线为x 轴，线段12F ,F 的垂直平分线为y 轴(如图所示)建立直角坐标系,设M(x,y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c>0)，那么12F ,F 的坐标分别是1F (-c,0),2F (c,0)．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值为2a .(2)写动点满足的集合:由定义可知，点M 满足集合：1212P={M |MF |-|MF |=2}={M |MF |-|MF |=2}±a a ．(3)列方程（用坐标表示条件）：1||MF =,2||MF =2=±a(4)化简方程:将这个方程移项，使式子两边平衡,再两边平方得：2222222222222()44(),:(c -)x -y =(c -)++=±+-+x c y a x c y a a a a 移项整理两边平方可得类比椭圆的标准方程的处理方式进行简化,使其简洁美观 ，即22222x y 1c --=a a（教师待学生得到以上的结论时，请学生展示成果.讲评关键点. 特别强调在方程的形式上可以仿照椭圆的标准方程的处理方式：由双曲线定义2c >2a ， 即c >a ,设222c -=b (b >0)a ，代入上式22222x y -=1c -a a ，将式子进一步简化,使其简洁、对称，得到方程：()2222x y -=1>0,b >0ba a . （5）验证说明（由教师带领学生分析.） 师：由推导过程可知，双曲线上任意一点的坐标都满足方程()2222x y -=1>0,b >0ba a ，同时，以方程的解为坐标的点到双曲线的两个焦点1F (-c,0),2F (c,0)的距离之差的绝对值为2a,即以方程的解为坐标的点都在双曲线上.由曲线与方程的关系可知，该方程就是双曲线的方程，我们把它叫做双曲线的标准方程.它表示的双曲线焦点在x 轴上，焦点坐标分别为1F (-c,0),2F (c,0)，这里222c +b =a .（教师板书两种形式的标准方程）师：你能得到焦点在y 轴上的双曲线的标准方程吗？生：类比椭圆，只要交换方程中的x 和y 即可.这样就得到了焦点在y 轴上的双曲线的标准方程, 即为()222210,0-=>>y x a b a b.（教师板书） 得到了双曲线的定义和方程.借助于表格进行双曲线再认识.强化概念.【设计意图】这一过程由学生自主完成，这样设计使学生完全成了学习的主人，由被动的接受变成主动的获取.通过双曲线标准方程的建立过程，训练学生的运算能力、推理论证能力、探究能力、分析问题、解决问题的能力，培养学生的合作意识和严谨的学习态度，渗透数形结合的数学思想.并感受双曲线方程、图形的对称美，获得成功的喜悦！（四）初步应用，例题讲析师：学习了新知识，就要应用，来看习题.练习：（1）已知两定点)0,5()0,5(21F F -若动点P 到21,F F 的距离的差的绝对值等于6，则动点P 的轨迹是 （ ）A 双曲线 Ｂ圆 Ｃ射线 Ｄ 线段（2）已知两定点)0,5()0,5(21F F -若动点P 满足621=-PF PF ，则动点P 的轨迹是（ ）A. 双曲线的右支B. 双曲线的左支C. 以1F 为顶点的射线D. 以2F 为顶点的射线例1、已知双曲线两个焦点的坐标为 F1 (-5,0) F2(5,0) ，双曲线上一点P 到F1、F2 的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程.【师生活动】先由学生独2立去做，待大部分同学完成后，由学生叙述，教师板书.例1要强调待定系数法求双曲线方程的步骤：先确定焦点位置，再待定出方程，然后求解方程中的a 和b ，最后写出所求方程.例2、求适合下列条件的双曲线的方程（1)a=4,b=5,焦点在x 轴上；(2)a=3,c=5.练习是属于概念辨析题，可以进一步理解双曲线的定义.例1主要是运用待定系数法求解双曲线的标准方程.例2在例1的基础上再次强化待定系数法的应用，同时对学生进行分类讨论数学思想的渗透，达到拓展知识、提高能力的目的.【设计意图】 数学概念是要在运用中得以巩固的，通过例题使学生进一步理解双曲线的定义，掌握双曲线标准方程的求解方法，并在解题过程中渗透数形结合的数学思想.通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对知识的再次深化.（五）知识总结，形成体系出示问题：1.本节课你学到了什么知识？2.研究双曲线用到了什么思想方法？让学生自己进行总结，相互补充，教师点评：本节课首先通过画图揭示出双曲线上的点所满足的条件，由此归纳概括出双曲线的定义，运用坐标法建立了双曲线的标准方程，在习题中应用待定系数法求双曲线的标准方程.在整个过程中，类比椭圆的定义、图象和标准方程的探究思路来处理双曲线的类似问题.在这一学习过程中也进一步体会了数形结合的思想.【设计意图】以问题形式来引导学生自我总结.通过总结使学生对所学的知识有一个完整的体系，突出重点，抓住关键，培养概括能力.同时，通过提炼数学的基本思想方法，提高学生的数学素养.（六）布置作业，巩固提高必做题: 课本55页练习2，3题选做题: 课本61页习题A 组2题课外作业：查阅资料：ＧＰＳ中的双曲线导航原理.【设计意图】作业设计有梯度，分为必做题和选做题，注重不同层次的学生的认知水平,学生可以根据自己的实际学习情况完成作业，尽量做到让不同层次的学生都能有所收获.课外作业为学生利用双曲线性质解决实际问题做准备，既可以拓展学生的知识，又可以让学生体会到数学在现实中的广泛应用.板书设计：板书力求重点突出，结构清晰,美观整齐.六、教学设计说明1. 本节课以新课程的教学理念为指导，充分体现素质教育的重点：培养学生的创新精神和实践能力.2.本节课不仅重视结论，也重视知识的生成过程，整个教学过程注重启发探究、类比教学方式的应用，是研究性教学的一次有益尝试.在教学过程中，教师作为引导者、参与者、合作者，努力引导学生动手、探索、分析，亲身经历知识形成的过程.在整个教学过程中渗透了类比、数形结合等数学思想.3.在教学过程中通过学生动手实践、自主探索，培养其分析、交流、抽象概括及数学表达的能力. 在建立双曲线的标准方程的过程中，提高学生运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力.以上就是我对这节课的设计和说明，敬请指正，谢谢!。
2021_2022高中数学第二章圆锥曲线与方程3双曲线1双曲线及其标准方程2课件新人教A版选修2
4m＋445n＝1 196×7m＋16n＝1
，解得mn＝＝19－116
，
∴所求双曲线方程为－1x62 ＋y92＝1，即y92－1x62 ＝1.
• [例5] 已知双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，求k的值．
[误解] 将双曲线方程化为标准方程x12－y82＝1.因为 kk
焦点在 y 轴上，所以 a2＝8k，b2＝1k，所以 c＝ a2－b2＝ 8k－1k＝3，即7k＝9，所以 k＝79.
人教版 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
2.3 双曲线
2.3识与技能 • 记住双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程． • 2．过程与方法 • 会用待定系数法确定双曲线的方程 • 与椭圆的标准方程比较，加以区分．
• 本节重点：双曲线的定义及其标准方程．
• 本节难点：双曲线标准方程的推导．
• 当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝2a＝10＝|F1F2|， • ∴P点轨迹是以F2为始点的一条射线．
• 2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程的曲线是 •( )
• A．焦点在x轴上的椭圆 • B．焦点在x轴上的双曲线 • C．焦点在y轴上的椭圆 • D．焦点在y轴上的双曲线 • [答案] D
• ∴焦距2c＝10.
• 三、解答题
• 7．已知双曲线的一个焦点坐标为F1(0，－13)，双曲线上一点 P到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线标准方程．
[解析] 设双曲线方程为：ay22－bx22＝1(a>0，b>0) 由已知得，2a＝24，∴a＝12，c＝13，∴b＝5， ∴双曲线的标准方程为：1y424－2x52 ＝1.
变式训练
已知双曲线过 P1(－2，32
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程学案(含解析)新人教A版选修2-1
河北省承德市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1 双曲线及其标准方程学案（含解析）新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河北省承德市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1 双曲线及其标准方程学案（含解析）新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为河北省承德市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1 双曲线及其标准方程学案（含解析）新人教A版选修2-1的全部内容。
2.3。
1 双曲线及其标准方程跟踪训练4.讨论方程错误!＋错误!＝1(m<3)所表示的曲线类型．课后作业1．（2015·江西南昌四校联考)已知M(－2,0），N（2，0）,|PM|－|PN｜＝4,则动点P的轨迹是( ）A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支2．双曲线3x2－4y2＝－12的焦点坐标为( ）A．（±5，0） B．（0，±5） C．(±7，0) D．(0，±错误!)3．已知方程错误!－错误!＝1表示双曲线，则k的取值范围是（) A．－1〈k<1 B．k〉0 C．k≥0 D．k〉1或k<－14．椭圆x24＋错误!＝1与双曲线错误!－错误!＝1有相同的焦点，则m的值是（)A．±1 B．1 C．－1 D．不存在5．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，线段AB的长为5，若2a＝8,那么△ABF2的周长是（)A．16 B．18 C．21 D．26思考:已知定点A（－3,0)和定圆C：（x－3）2＋y2＝16，动圆和圆C相外切，并且过定点A，求动圆圆心M的轨迹方程．答案牛刀小试1 A C D B例一解析：由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2｜＝2m，①由双曲线的定义得||PF 1|－｜PF 2｜｜＝2a ， ②由①2减去②2的差再除以4得｜PF 1|·｜PF 2|＝m －a .跟踪训练1。