数学建模第二次作业

数学建模第二次作业
09 理综一班 小组成员：李希骏 20090003019 郑晓晓 20090003007 郝运 20092802061 程冬 20092301167
1、 （1） 解： 对于 “两秒准则” ， 前后车距离 D 与车速 v 成正比关系 D K 2 v ， 其中 K 2 2
（秒） 。对于“一车长度准则” ， 假设车身的平均长度是 5m，则前后车距 D 与车速 v 成 正比关系 D K1 v ，其中 K1 1.1185 （秒） 。 所以， “一车长度准则”与“两秒准则”不一致。
12 11.5 11 10.5 10 9.5 9 8.5 8 p(t)=p(0)-gt
市 场 价 格 p(t)
p(t)=p(0)-gt +ht15
20
25 时间t
30
35
40
45
50
由图形可以看出： （2.3.1）式表示价格随时间均匀下降，而（1）式多了一个时间 的二次项，显然（1）式表示的价格随时间的变化要平稳一些，并且到了一定的 时候（t 很大的时候） ，价格还会随时间增加（h>0） 。这显然更符合实际情况一 些。并且，在 t=0 附近（1）式和（2.3.1）式的导数相近，在最佳出售时机附近 的误差也比较微小。 (2)为建立数学模型，引入以下记号： t ～ 从现在开始计算的饲养生猪的天数，t≥0; C(t) ～农场在未来 t天内累计投入的资金（元）; c ～ 农场每天投入的资金（元）; w(t) ～ 生猪在第t天的体重（公斤）; r ～ 生猪体重每天的增加值（公斤/天）; p(t) ～ 在第t天的生猪出售的市场价格（元/公斤）; g ,h ～ p(t)的参数； R(t) ～ 在t天之后出售生猪的收入（元）; Q(t) ～ 在t天之后出售生猪比现在出售多赚的纯利润（元）.; 以下为模型假设： (1)农场每天投入的资金 c 为常数，c=3.2 元； （2）现在生猪的体重为w(0)=90公斤，体重每天的增加值r为常数，r=1公斤/天； （3）现在生猪出售的市场价格为p(0)=12元/公斤,g=0.08，h=0.0002; 按照我们引入的记号和提出的模型假设，
比较一车长度准则、两秒准则、理论值和刹车距离实测数据 180 160 140 120
距 离 （ m）
一车长度准则 两秒准则 刹车距离理论值 刹车距离的最小值、平均值和最大值
100 80 60 40 20 0
0
5
10
15
20 25 车 速 v（ m/s ）
30
35
40
用最大的刹车距离除于车速，即得到最大刹车距离所需要的尾随时间，并 以尾随时间为依据， ，提出更加安全的准则，例如“3 秒准则” 、 “4 秒准则” 或者“t 秒准则” 。 “t 秒准则”是指后车司机根据车速，从前车经过某一标志开始计时，经过 t 秒的时间后到达同一个标志。 不同的车速对应着不同的“t 秒准则” ，通过计算得如下表： 0~10 10~35 35~60 60~75 车速 （mph） t(s) 1 2 3 4 现画出“t 秒准则”的图，绘图程序如下： v=(20:5:80).*0.44704; d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418 20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]; d2=0.3048.*d2;k1=0.75;k2=0.082678; d=d2+[v;v;v].*k1;vi=0:40; plot([0,10*0.44704],[0, 10*0.44704],'k',... vi,k1.*vi+k2.*vi.*vi,'k:',[v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2) legend('t 秒准则','刹车距离理论值',... '刹车距离的最小值、平均值和最大值',2) hold on plot([10,35]*0.44704,2*[10,35]*0.44704,'k',... [35,60]*0.44704,3*[35,60]*0.44704,'k',... [60,75]*0.44704,4*[60,75]*0.44704,'k') title('t 秒准则,刹车距离的模型和数据') xlabel ('车速 v(m/s)'),ylabel ('距离（m)')hold off
（6）
20 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 10.8
0
5
10
15
20
25
30
35
40
C(t)=ct
（1） （2） （3）
p(t)=p(0)-gt+ht 2
w(t)=w(0)+rt
所以在 t 天之后出售生猪的收入为
R(t)=p(t)w(t)=p(0)w(0)+[rp(0)-gw(0) ]t+[hw(0)-gr] t 2 +rht 3
于是在 t 天以后出售生猪比现在出售多赚的纯利润为
t秒 准 则 ,刹 车 距 离 的 模 型 和 数 据 180 160 140 120
距 离 （ m)
t秒 准 则 刹车距离理论值 刹车距离的最小值、平均值和最大值
100 80 60 40 20 0
0
5
10
15
20 车 速 v(m/s)
25
30
35
40
由 “t 秒准则” 的图可知， 当车速低于 33.5m/s， 即小于 120km/h 或 75mph 时, “t 秒准则”是足够安全的。 表 尾随时间 车速（mph） 车速（m/s） 最大刹车距离 （m） 尾随时间(s) 20 8.9408 13.411 1.5 30 13.411 23.774 1.7727 35 15.646 29.413 1.8799 40 17.882 37.795 2.1136 45 20.117 46.482 2.3106 50 22.352 56.693 2.5364 55 24.587 68.732 2.7955 60 26.822 81.686 3.0455 65 29.058 96.469 3.3199 70 31.293 113.39 3.6234 75 33.528 132.74 3.9591 80 35.763 154.23 4.3125 4、先画出原假设和新假设的市场价格关于时间的函数的图像 p=@(a,t)a(1)-a(2).*t+a(3).*t.^2; a0=[12,0.08,0]; a1=[12,0.08,0.0002]; x=0:0.0001:50; plot(x,[p(a0,x);p(a1,x)],'k') xlabel('时间 t'), ylabel('市场价格 p(t)') gtext('p(t)=p(0)-gt') gtext(' p(t)=p(0)-gt +ht^2')
下面用 fminbnd 函数计算（6）的最大值： h0=0.0002; Q=@(h,t) h.*t.^3+(90.*h-0.08).*t.^2+1.6.*t; Z=@(t)-Q(h0,t); [t0,z0]=fminbnd(Z,0,50) 运行结果为： t0 = 13.829 z0 = -10.798 即生猪出售时机为 13.829 天，多赚的纯利润为 Q=10.798 元； 然而，0.829 天是没有意义的，又 Q(13)= 10.761； Q(14)=10.797 故出售时机实际上为 14 天，多赚的纯利润为 10.797 元。 下面将函数 Q0 在不同区间的图形画出： Q0=@(t) 0.0002.*t.^3+(90.*0.0002-0.08).*t.^2+1.6.*t; subplot(2,1,1), fplot(Q0,[0,50],'k'), subplot(2,1,2) , fplot(Q0,[13.2,14.5],'k'),
按照“两秒准则” ，后车司机从前车经过某一标志开始，默数两秒到达同一 标志，这表明前后车距与车速成正比例关系.引入以下符号: D~前后车距(m); v~车速(m/s); K2~按照”两秒准则”,D 与 v 之间的比例系数(s); 于是”两秒准则”的数学模型为 D=K2*v 由于汽车刹车距离为 d=k1*v+k2*v2 则 d-D=v(k1-K2+k2*v) 所以当 v<(K2-k1)/k2 时有 d<D,即前后车距大于刹车距离的理论值,可认为足 够安全.当 v>(K2-k1)/k2 时有 d>D,即前后车距大于刹车距离的理论值,不够安全. 代入 k1=0.75,k2=0.082678, 以及 K2=2, 计算得到当车速超过 15.12m/s( 约合 54.43km/h)时”两秒准则”就不够安全了,也就是说,”两秒准则”只适用于车速较慢 的情况. 下面，用画图的方法来衡量“两秒准则”是否足够安全，即把刹车距离实测 数据、理论值和“两秒准则”都画在同一个图上，根据图指出“两秒准则”足够 安全的车速范围。 绘图程序如下： v=(20:5:80).*0.44704; d2=[18, 25, 36, 47, 64, 82, 105, 132, 162, 196, 237, 283, 334 22, 31, 45, 58, 80, 103, 131,165, 202, 245, 295, 353, 418 20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]; d2=0.3048.*d2; K2=2; k1=0.75; k2=0.082678; d=d2+[v;v;v].*k1; vi=0:40; plot( [0,40],[0,K2*40],'k',vi,k1.*vi+k2.*vi.*vi,':k',[v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2) title('比较两秒准则、理论值和刹车距离实测数据') legend('两秒准则','刹车距离理论值','刹车距离的最小值、平均值和最大值',2) xlabel('车速 v（m/s）'), ylabel('距离（m）') 运行结果如下：