随机试验样本空间
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概率论与数理统计
概率论的产生和发展 ------“赌博起家”的理论
17世纪中叶，保险业的发展提出了一系列随机性问题
赌徒问题： 1654年，一赌徒问帕斯卡：若约定
先赢C局者胜，当甲、乙两人各赢 a、b 局时（ a、b < C ），如何分赌本？
帕斯卡与费尔玛经通信研究回答了该问题，并进一 步提出了数学期望这一重要概念
一个样本点ω组成的单点集{ω}叫做基本事
件.
例1 E1:将质地均匀的一枚硬币投掷一次, 观察正面或反面朝上的情况.
“正面朝上”和“反面朝上”是E1的样本点, 所以样本空间可简记为S={正,反}.
例2 E2: 掷一颗质地均匀的骰子,观察出 现的点数.
“出现i点” (i=1,2,…,6)是E2的样本点,所以 样本空间可简记为S={1,2,…,6}.
三、内容小结 (一)随机试验
什么是随机试验? 要求的条件是什么?
（1）试验可以在相同条件下重复进行;
（2）试验的所有可能结果是事先明确可 知的,并且不止一个;
（3）每次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.
第一章 随机事件与概率
第二节 样本空间及随机事件
一、提出问题
1. 随机试验的结果可知但不确定，怎样 来研究它？我们所关心某个或某些结果是 否会出现？出现的可能性的大小？
在一个标准大气压力下,20℃的水
我们把这种在保持条件不变的情况下, 进行重复试验或观察,其结果总是确定的现 象称为确定性现象或必然现象.
另外,在我们所生活的世界 上还充满了不确定性.
例5 用大炮轰击某一确定目标,其结 果可能是击中目标,也可能击不中目标.
例6 在相同条件下,抛一枚质地均匀的硬 币,其结果可能正面向上,也可能反面向上.
三年后，惠更斯写出了《论机会游戏的计算》 －－－－－－最早的概率论著作
概率论的产生和发展
其后，贝努利、雅可比、棣莫弗 …… 贡献突出
在古典向近代的转变过程中，Laplace的《分析概
率论》(1812)给出了概率的明确定义； 证明了De Moivre—Laplace定理； 建立了误差观察理论与最小二乘法； 系统阐述了概率论的一些基本理论。
例3 E3:在一批灯泡中任意抽取一只,测试 其寿命.
“测得灯泡寿命为t小时(0≤t＜+∞)”是 E3的样本点, 所以样本空间可表示为 S={t|0≤t＜+∞}. 例4 E4:一袋中装有红白两种颜色的10只 乒乓球,从袋中任意抽取1只球,观察其颜色.
令ω1=“取得红球”,ω2=“取得白球”, 则样本空间S={ω1,ω2}.
近几十年发展迅猛，出现了很多以概率论为基础的
学科，如信息论、控制论、博弈论 ……
第一章 随机事件与概率
第一节 随机实验
一、问题提出
（1）掷一枚硬币1万 次, 正面向上的可能性如 何描述呢? 是不是有一定的规律呢？
（2）什么是随机试验? 它和我们平
常说的实验有什么不同？要求的条件是什 么?
二、问题分析
意义的试验结果. 从上面例1～例5可以看到,样本空间可以
是有限集或无限集,可以是一维点集或多维点 集,可以是离散点集亦可以是欧氏空间的某个 区域.有时候,为了数学处理方便,还可以把样 本空间作相应扩大.例如,在例3中可以取 S=[0,+∞),若有必要,甚至可以取成 (-∞,+∞).
例5 E5: 将质地均匀的一枚硬币投掷两次, 观察正面或反面朝上的情况.
试验E5的全部样本点是：(正,正),(正, 反),(反,正),(反,反).其中(正,正)表示“掷第一 次硬币正面朝上,掷第二次硬币正面朝上”, 依此类推.则样本空间S={(正,正),(正,反),(反, 正),(反,反)}.
人们常用数字或者符号来表示Βιβλιοθήκη Baidu有实际
2. 试验结果复杂多样，如何研究他们 之间的关系？
二、预备知识
1.集合与元素，全集，空集. 2.集合运算及其运算性质.
三、分析问题
(一) 样本空间与随机事件
对于随机试验,人们感兴趣的是试验结果, 即每次随机试验后所发生的结果.
将随机试验的每一个可能的结果称为随
机试验的一个样本点,通常记作ω.
将随机试验E的所有样本点组成的集合 叫做试验E的样本空间,通常用字母S表示.由
（一）两类现象——确定性现象与随机现象
先从实例来分析自然界和社会活动中存
在着两类不同的现象.
例1 在一个标准大气压
力下,水加热到100℃就沸腾.
例2 向上抛掷10次五分
例1、例2、例3是在 一定条件下必然发
硬币,硬币往下掉.
生的现象
例3 同性电荷相斥,异性电荷相吸.
例4 结冰.
例4是在一定条件下必 然不可能发生的现象
在大量地重复试验或观察中所呈现出 的固有规律性,就是我们所说的统计规律性. 而概率论与数理统计正是研究和揭示随机 现象统计规律性的一门数学学科.
概率论与数理统计的关系 概率论是数理统计的理论基础.由于随机 现象的普遍性,使得概率论与数理统计具有极 其广泛的应用.例如,使用概率统计的方法可 以进行天气预报、地震预报以及产品抽样检 验等.另一方面,广泛的应用也促进了概率论 与数理统计的极大发展.
(二) 随机试验 在一定条件下,对自然现象和社会现象 进行的实验或观察常常称为试验,常用E表示.
例8 E1:将质地均匀的一枚硬币投掷一
次,观察正面或反面朝上的情况. 例9 E2:掷一颗质地均匀的骰子,观察出 现的点数.
例10 E3:在一批灯泡中任意抽 取一只,测试其寿命.
上述试验均具有以下三个特点：
(1) 试验可以在相同条件下重复进行; （2）试验的所有可能结果是事先明确可知 的,并且不止一个;
（3）每次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.
我们把具有上述三个特点的试验,称为 随机试验,也简称为试验.
随机试验是一个含义较广的术语,它包 括对随机现象进行观察、测量、记录或进 行科学实验等. 我们以后提到的试验都是 指随机试验.
例7 在合格品率为98%的产品中任取一件 产品,取到的可能是合格品,也可能是不合格品.
对于例5～例7所表述的现象进行归纳 分析,可以看出：发生的结果预先可知但事 先又不能完全确定.我们把这种在保持条件 不变的情况下,重复试验或观察,可能出现 这种结果,也可能出现那种结果的现象称为 随机现象.
对于随机现象,人们经过长期地观察或 进行大量的试验,分析表明：这些发生结果 并非是杂乱无章的,而是有规律可寻的.
概率论的产生和发展 ------“赌博起家”的理论
17世纪中叶，保险业的发展提出了一系列随机性问题
赌徒问题： 1654年，一赌徒问帕斯卡：若约定
先赢C局者胜，当甲、乙两人各赢 a、b 局时（ a、b < C ），如何分赌本？
帕斯卡与费尔玛经通信研究回答了该问题，并进一 步提出了数学期望这一重要概念
一个样本点ω组成的单点集{ω}叫做基本事
件.
例1 E1:将质地均匀的一枚硬币投掷一次, 观察正面或反面朝上的情况.
“正面朝上”和“反面朝上”是E1的样本点, 所以样本空间可简记为S={正,反}.
例2 E2: 掷一颗质地均匀的骰子,观察出 现的点数.
“出现i点” (i=1,2,…,6)是E2的样本点,所以 样本空间可简记为S={1,2,…,6}.
三、内容小结 (一)随机试验
什么是随机试验? 要求的条件是什么?
（1）试验可以在相同条件下重复进行;
（2）试验的所有可能结果是事先明确可 知的,并且不止一个;
（3）每次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.
第一章 随机事件与概率
第二节 样本空间及随机事件
一、提出问题
1. 随机试验的结果可知但不确定，怎样 来研究它？我们所关心某个或某些结果是 否会出现？出现的可能性的大小？
在一个标准大气压力下,20℃的水
我们把这种在保持条件不变的情况下, 进行重复试验或观察,其结果总是确定的现 象称为确定性现象或必然现象.
另外,在我们所生活的世界 上还充满了不确定性.
例5 用大炮轰击某一确定目标,其结 果可能是击中目标,也可能击不中目标.
例6 在相同条件下,抛一枚质地均匀的硬 币,其结果可能正面向上,也可能反面向上.
三年后，惠更斯写出了《论机会游戏的计算》 －－－－－－最早的概率论著作
概率论的产生和发展
其后，贝努利、雅可比、棣莫弗 …… 贡献突出
在古典向近代的转变过程中，Laplace的《分析概
率论》(1812)给出了概率的明确定义； 证明了De Moivre—Laplace定理； 建立了误差观察理论与最小二乘法； 系统阐述了概率论的一些基本理论。
例3 E3:在一批灯泡中任意抽取一只,测试 其寿命.
“测得灯泡寿命为t小时(0≤t＜+∞)”是 E3的样本点, 所以样本空间可表示为 S={t|0≤t＜+∞}. 例4 E4:一袋中装有红白两种颜色的10只 乒乓球,从袋中任意抽取1只球,观察其颜色.
令ω1=“取得红球”,ω2=“取得白球”, 则样本空间S={ω1,ω2}.
近几十年发展迅猛，出现了很多以概率论为基础的
学科，如信息论、控制论、博弈论 ……
第一章 随机事件与概率
第一节 随机实验
一、问题提出
（1）掷一枚硬币1万 次, 正面向上的可能性如 何描述呢? 是不是有一定的规律呢？
（2）什么是随机试验? 它和我们平
常说的实验有什么不同？要求的条件是什 么?
二、问题分析
意义的试验结果. 从上面例1～例5可以看到,样本空间可以
是有限集或无限集,可以是一维点集或多维点 集,可以是离散点集亦可以是欧氏空间的某个 区域.有时候,为了数学处理方便,还可以把样 本空间作相应扩大.例如,在例3中可以取 S=[0,+∞),若有必要,甚至可以取成 (-∞,+∞).
例5 E5: 将质地均匀的一枚硬币投掷两次, 观察正面或反面朝上的情况.
试验E5的全部样本点是：(正,正),(正, 反),(反,正),(反,反).其中(正,正)表示“掷第一 次硬币正面朝上,掷第二次硬币正面朝上”, 依此类推.则样本空间S={(正,正),(正,反),(反, 正),(反,反)}.
人们常用数字或者符号来表示Βιβλιοθήκη Baidu有实际
2. 试验结果复杂多样，如何研究他们 之间的关系？
二、预备知识
1.集合与元素，全集，空集. 2.集合运算及其运算性质.
三、分析问题
(一) 样本空间与随机事件
对于随机试验,人们感兴趣的是试验结果, 即每次随机试验后所发生的结果.
将随机试验的每一个可能的结果称为随
机试验的一个样本点,通常记作ω.
将随机试验E的所有样本点组成的集合 叫做试验E的样本空间,通常用字母S表示.由
（一）两类现象——确定性现象与随机现象
先从实例来分析自然界和社会活动中存
在着两类不同的现象.
例1 在一个标准大气压
力下,水加热到100℃就沸腾.
例2 向上抛掷10次五分
例1、例2、例3是在 一定条件下必然发
硬币,硬币往下掉.
生的现象
例3 同性电荷相斥,异性电荷相吸.
例4 结冰.
例4是在一定条件下必 然不可能发生的现象
在大量地重复试验或观察中所呈现出 的固有规律性,就是我们所说的统计规律性. 而概率论与数理统计正是研究和揭示随机 现象统计规律性的一门数学学科.
概率论与数理统计的关系 概率论是数理统计的理论基础.由于随机 现象的普遍性,使得概率论与数理统计具有极 其广泛的应用.例如,使用概率统计的方法可 以进行天气预报、地震预报以及产品抽样检 验等.另一方面,广泛的应用也促进了概率论 与数理统计的极大发展.
(二) 随机试验 在一定条件下,对自然现象和社会现象 进行的实验或观察常常称为试验,常用E表示.
例8 E1:将质地均匀的一枚硬币投掷一
次,观察正面或反面朝上的情况. 例9 E2:掷一颗质地均匀的骰子,观察出 现的点数.
例10 E3:在一批灯泡中任意抽 取一只,测试其寿命.
上述试验均具有以下三个特点：
(1) 试验可以在相同条件下重复进行; （2）试验的所有可能结果是事先明确可知 的,并且不止一个;
（3）每次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.
我们把具有上述三个特点的试验,称为 随机试验,也简称为试验.
随机试验是一个含义较广的术语,它包 括对随机现象进行观察、测量、记录或进 行科学实验等. 我们以后提到的试验都是 指随机试验.
例7 在合格品率为98%的产品中任取一件 产品,取到的可能是合格品,也可能是不合格品.
对于例5～例7所表述的现象进行归纳 分析,可以看出：发生的结果预先可知但事 先又不能完全确定.我们把这种在保持条件 不变的情况下,重复试验或观察,可能出现 这种结果,也可能出现那种结果的现象称为 随机现象.
对于随机现象,人们经过长期地观察或 进行大量的试验,分析表明：这些发生结果 并非是杂乱无章的,而是有规律可寻的.