第2章递归与分治法
{X和Y为2个绝对值小于2n的整数，返回结果为X
算法总体思想
• 将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问 题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。
T(n)
n/2
=
n/2
n
n/2 n/2
T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4 4
2
算法总体思想
• 对这 • 将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问 k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够 题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。 小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直 到问题规模足够小，很容易求出其解为止。
T(n)
n/2
=
n/2
n
n/2 n/2
T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T( N0为一阈值，表示当问题P 的规模不超过n0时，
问题已容易直接解出，不必再继续分解。
ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于 直接解小规模的问题P。 算法MERGE(yl，…，yk，y)是该分治法中的 合并子算法
17
实践表明:
在用分治法设计算法时，最好使子问
hanoi(n-1, a, c, b); move(a,b); hanoi(n-1, c, b, a);
小的方案。
}
}
13
递归小结
优点：结构清晰，可读性强，而且容易用 数学归纳法来证明算法的正确性，因此 它为设计算法、调试程序带来很大方便。 缺点：递归算法的运行效率较低，无论是 耗费的计算时间还是占用的存储空间都 比非递归算法要多。
时，系统也相应地要完成3件事：
（1）保存被调用过程的计算结果； （2）释放分配给被调用过程的数据区； （3）依照被凋用过程保存的返回地址将控
制转移到调用过程.
9
2.1
例1 阶乘函数
递归的概念
边界条件
阶乘函数可递归地定义为：
n0 1 n! n(n 1)! n 0
递归方程
边界条件与递归方程是递归函数的二个要素，递归函数 只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出结果。
第二章 递归与分治策略
1
算法总体思想
• 将要求解的较大规模的问题分割成 对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够 k个更小规模的子问 题。 小，则再划分为 k个子问题，如此递归的进行下去，直 到问题规模足够小，很容易求出其解为止。
T(n)
=
n
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
12
2.1
例4 Hanoi塔问题
递归的概念
当 在问题规模较大时，较难找到一般的方法，因此我们尝试用递归技术来解决 n=1时，问题比较简单。此时，只要将编号为 的圆盘从塔座 public static void hanoi(int n, int a,1int b, int c)a直接移至塔座b上即可。 这个问题。 当n＞1时，需要利用塔座c作为辅助塔座。此时若能设法将n-1个较小的圆盘依照移动规 { 则从塔座 a移至塔座c，然后，将剩下的最大圆盘从塔座 a移至塔座b，最后，再设法将 思考题：如果塔的个数变为 a,b,c,d n1个较小的圆盘依照移动规则从塔座 c移至塔座b。 if (n > 0) 四个，现要将n个圆盘从a全部移动 由此可见，n个圆盘的移动问题可分为2次n-1个圆盘的移动问题，这又可以递归地用上 { 述方法来做。由此可以设计出解 Hanoi塔问题的递归算法如下。 到d，移动规则不变，求移动步数最
6
实现这种递归调用的关键是为 过程建立递归调用工作栈。通常， 在一个过程中调用另一过程时，系 统需在运行被调用过程之前先完成3
件事:
7
（1）将所有实参指针，返回地址等信
息传递给被调用过程；
（2）为被调用过程的局部变量分配存 储区；
（3）将控制转移到被调用过程的入
口。
8
在从被调用过程返回调用过程
}
算法复杂度分析： 每执行一次算法的 while循环， 待搜索数 组的大小减少一半。因 此，在最坏情况下， while循环被执行了 O(logn) 次。循环体内 运算需要O(1) 时间， 因此整个算法在最坏情 况下的计算时间复杂性 为O(logn) 。
22
例2：大整数的乘法
通常，在分析一个算法的计算复杂性
改进算法:
XY=AC2N+[(A-B)(D-C)+AC+BD]2N/2+BD 3次N／2位整数的乘法 ( AC，BD，(A-B)(D-C) ) 6次加、减法， 2次移位2N ，2N/2
T(1)=1
T(n)=3T(n/2)+cn
得其解为 T(n)＝O(Nlog3)= O(N1.59)
27
大整数相乘的完整算法MULT如下：
时，都将加法和乘法运算当作是基本运算 来处理，即：将执行一次加法或乘法运算
所需的计算时间当作一个仅取决于计算机
硬件处理速度的常数。
23
这个假定仅在计算机硬件能对参加运算 的整数直接表示和处理时才是合理的。然而， 在某些情况下，我们要处理很大的整数，它 无法在计算机硬件能直接表示的范围内进行 处理。若用浮点数来表示它，则只能近似地 表示它的大小，计算结果中的有效数字也受 到限制。若要精确地表示大整数并在计算结 果中要求精确地得到所有位数上的数字，就 必须用软件的方法来实现大整数的算术运算。
2.1 递归的概念
直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用 函数自身给出定义的函数称为递归函数。 • 由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式， 这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下， 反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型 一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到 很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产 生。 • 分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算 法设计之中，并由此产生许多高效算法。
分析： 分析： 如果 比较 n=1 x和即只有一个元素，则只要比较这个元素和 a的中间元素a[mid]，若x=a[mid]，则x在L x 中的位臵就是 就可以确定x是否在表中。 mid 分析： 很显然此问题分解出的子问题相互独立，即在 a[i]；如果 的前 因此这个问题满足分治法的第一个适用条件 x<a[mid]，由于a是递增排序的，因此假如x在a中的话，x必然排在a[mid]的前面， 面或后面查找 x是独立的子问题，因此满足分治法的第四个适 所以我们只要在a[mid] 的前面查找x即可；如果x>a[i]，同理我们只要在a[mid]的后 用条件。 面查找x即可。无论是在前面还是后面查找x，其方法都和在a中查找x一样，只不 过是查找的规模缩小了。这就说明了此问题满足分治法的第二个和第三个适用条 件。
20
例1：二分搜索技术
给定已按升序排好序的n个元素a[0:n-1]，现要在这n个元素中 找出一特定元素x。 分析： 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题; 分解出的子问题的解可以合并为原问题的解； 分解出的各个子问题是相互独立的。
21
给定已按升序排好序的n个元素a[0:n-1]，现要在这n个元素中 找出一特定元素x。
据此容易设计出二分搜索算法： public static int binarySearch(int [] a, int x, int n) { // 在 a[0] <= a[1] <= ... <= a[n-1] 中搜索 x // 找到x时返回其在数组中的位臵，否则返回-1 int left = 0; int right = n - 1; while (left <= right) { int middle = (left + right)/2; if (x == a[middle]) return middle; if (x > a[middle]) left = middle + 1; else right = middle - 1; } return -1; // 未找到x
10
2.1
递归的概念
例2 Fibonacci数列 无穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，„，被 称为Fibonacci数列。它可以递归地定义为：
1 n0 F ( n) 1 n 1 F (n 1) F (n 2) n 1
边界条件
递归方程
第n个Fibonacci数可递归地计算如下： public static int fibonacci(int n) { if (n <= 1) return 1; return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); }
24
设x和y都是n位的二进制整数，现在要 计算它们的乘积XY。我们将n位的二进制 整数X和y各分为2段,每段的长为n／2位(为
简单起见，假设n是2的幂)，如图所示。
X=
A
n/2位
B
n/2位
Y=
C
n/2位
D
n/2位
25
X=A2N/2+B
Y=C2N/2+D
XY = (A2N/2+B)(C2N/2+D)
11
2.1
例3 Hanoi塔问题
递归的概念
设a,b,c是3个塔座。开始时，在塔座a上有一叠共n个圆 盘，这些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。各圆盘从 小到大编号为1,2,…,n,现要求将塔座a上的这一叠圆盘移 到塔座b上，并仍按同样顺序叠臵。在移动圆盘时应遵守以 下移动规则： 规则1：每次只能移动1个圆盘； 规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘上； 规则3：在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至a,b,c中 任一塔座上。
第2章 递归与分治_作业答案讲解
具体执行过程：求最大值
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 24 -13 29 113 87 65 -9 36 14 76 44 83 67 5 0 1 2 3 4 5 6 24 -13 29 113 87 65 -9 0 1 2 3 24 -13 29 113 0 1 24 -13 2 3 29 113 4 5 6 87 65 -9 7 8 9 10 11 12 13 36 14 76 44 83 67 5 7 8 9 10 36 14 76 44 7 8 36 14 7 36 9 10 76 44 11 12 13 83 67 5 11 12 83 67 11 83 12 67 13 5
课后练习
• 练习2：分析如下时间函数的复杂度，并说明 原因。 1. 利用递归树说明以下时间函数的复杂度：
O(1) T ( n) 3T ( n ) O( n) 4 n1 n1
2. 利用主定理说明以下时间函数的复杂度：
T(n) = 16T(n/4) + n
T(n) = T(3n/7) + 1
课后练习
• 练习1：给定数组a[0:n-1]， 1. 试设计一个分治法算法，找出a[0:n-1]中元素最 大值和最小值； 2. 写出该算法时间函数T(n)的递推关系式； 3. 分析该算法的时间复杂度和空间复杂度。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 24 -13 29 113 87 65 -9 36 14 76 44 83 67 5
• 递归公式：
– 设n个元素的集合可以划分为F(n,m)个不同的由 m个非空子集组成的集合。 F(n,m) = 1, when n=0, n=m, n=1, or m=1 F(n,m) = 0, when n<m 否则 F(n,m)=F(n-1,m-1)+m*F(n-1,m)
算法设计与分析课件--分治法-线性时间选择
2.5 线性时间选择
这样找到的m*划分是否能达到O(n)的时间复杂度？ |A| = |D| = 2r, |B| = |C| = 3r +2，n = 10r +5. |A| + |D| + |C| = 7r + 2 = 7(n-5)/10 +2 = 7n/10 -1.5 < 7n/10 表明子问题的规模不超过原问题的7/10(d)。
T(n) = T(cn) + T(dn) + tn
6
2.5 线性时间选择
Select(S, k) Input: n个数的数组S，正整数k
T(n) = T(cn) + T(dn) + tn
Output: S中的第k个小元素
1. 将S划分成5个元素一组，共[n/5]个组；
2. 每组寻找一个中位数，把这些中位数放到集合M中；
寻找一个分割点m*, 使得左边子表S1中的元素都小于m*, 右子表 S2中的元素都大于m*。 如果寻找m*的时间复杂度达到O(nlogn), 那就不如直接使用排序 算法了。 如果直接寻找m*, 时间复杂度是O(n). 假设选择算法的时间复杂度为T(n), 递归调用这个算法在S的一 个真子集M上寻找m*，应该使用T(cn)时间，这里c是小于1的常数， 反映了M的规模与S相比缩小许多。
✓ 不妨假设n是5的倍数，且n/5是奇数，即n/5 = 2r+1. 于是： |A| = |D| = 2r, |B| = |C| = 3r +2，n = 10r +5.
✓ 如果A和D中的元素都小于m*,那么把它们的元素都加入到S1, S1对应规约后子问题的上限。 类似的，若A和D中的元素都 大于m*, 则把他们的元素都加 入到S2，S2对应规约后子问题 的上限。
《算法设计与分析》(全)
1.1、算法与程序
程序：是算法用某种程序设计语言的具体实现。 程序可以不满足算法的性质(4)。 例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序， 因而不是一个算法。 操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个 问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实 现。该子程序得到输出结果后便终止。
渐近分析记号的若干性质
（1）传递性： ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= O(g(n))， g(n)= O (h(n)) f(n)= O (h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= o(g(n))， g(n)= o(h(n)) f(n)= o(h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； （2）反身性： ➢ f(n)= (f(n))；f(n)= O(f(n))；f(n)= (f(n)). （3）对称性： ➢ f(n)= (g(n)) g(n)= (f(n)) . （4）互对称性： ➢ f(n)= O(g(n)) g(n)= (f(n)) ； ➢ f(n)= o(g(n)) g(n)= (f(n)) ；
巢湖学院计算机科学与技术系
渐近分析记号的若干性质
规则O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) 的证明： ➢ 对于任意f1(n) O(f(n)) ，存在正常数c1和自然数n1，使得对
所有n n1，有f1(n) c1f(n) 。 ➢ 类似地，对于任意g1(n) O(g(n)) ，存在正常数c2和自然数
巢湖学院计算机科学与技术系
第1章 算法引论
算法设计与分析：递归与分治法-实验报告(总8页)
算法设计与分析：递归与分治法-实验报告(总8页)实验目的：掌握递归与分治法的基本思想和应用，学会设计和实现递归算法和分治算法，能够分析和评价算法的时间复杂度和空间复杂度。
实验内容：1.递归算法的设计与实现3.算法的时间复杂度和空间复杂度分析实验步骤：1）递归定义：一个函数或过程，在其定义或实现中，直接或间接地调用自身的方法，被成为递归。
递归算法是一种控制结构，它包含了解决问题的基础情境，也包含了递归处理的情境。
2）递归特点：递归算法具有以下特点：①依赖于递归问题的部分解被划分为若干较小的部分。
②问题的规模可以通过递推式递减，最终递归终止。
③当问题的规模足够小时，可以直接求解。
3）递归实现步骤：①确定函数的定义②确定递归终止条件③确定递归调用的过程4）经典实例：斐波那契数列递推式：f(n) = f(n-1) + f(n-2)int fib(int n) {if (n <= 0)return 0;else}5）优化递归算法：避免重复计算例如，上述斐波那契数列的递归算法会重复计算一些中间结果，影响效率。
可以使用动态规划技术，将算法改为非递归形式。
int f1 = 0, f2 = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {f1 = f2;使用循环避免递归，重复计算可以大大减少，提高效率。
1）分治算法的定义：将原问题分解成若干个规模较小且类似的子问题，递归求解子问题，然后合并各子问题得到原问题的解。
2）分治算法流程：②将问题分解成若干个规模较小的子问题。
③递归地解决各子问题。
④将各子问题的解合并成原问题的解。
3）分治算法实例：归并排序归并排序是一种基于分治思想的经典排序算法。
排序流程：②分别对各子数组递归进行归并排序。
③将已经排序好的各子数组合并成最终的排序结果。
实现源代码：void mergeSort(int* arr, int left, int right) {if (left >= right)while (i <= mid && j <= right)temp[k++] = arr[i] < arr[j] ? arr[i++] : arr[j++];temp[k++] = arr[i++];1) 时间复杂度的概念：指完成算法所需的计算次数或操作次数。
计算机专业课《算法》_第二章 递归与分治策略
“Hanoi 塔”问题演示 a 初始 a 步骤1 a
c
b
c
“Hanoi 塔”问题程序
void hanoi(int n,a,b,c)
{ if n == 1 move( 1, a, b );
else { hanoi( n-1, a, c, b );
move(n, a, b ); hanoi( n-1, c,b, a) ;
• 递归优点：结构清晰，可读性强
• 递归缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗 费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算 法要多。
整数划分问题的递归关系q(n,m)
如设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系 • q(n,m):正整数n的不同的划分中，最大加数不 大于m的划分个数个数 q(n,m)=
1 q(n,n) 1+q(n,n-1) q(n,m-1)+q(n-m,m) n=1, m=1 n<m n=m n>m>1
递归函数举例(5)
学习要点
理解递归的概念。 掌握设计有效算法的分治策略。
通过典型范例，学习分治策略设计技巧。
2.1 递归的概念
• 递归算法：一个直接或间接地调用自身的算法 • 递归方程：对于递归算法，一般可把时间代 价表示为一个递归方程 • 递归函数：使用函数自身给出定义的函数 • 解递归方程最常用的方法是进行递归扩展
递归函数举例(1)
• 阶乘函数 n ！=
1 n(n-1)！ n=1 n>1
• Fibonacci数列
1 n=0
F(n)=
1 F(n-1)+F(n-2)
n=1 n>1
初始条件与递归方程是递归函数的二个要素
算法之2章递归与分治
算法分析(第二章)：递归与分治法一、递归的概念知识再现：等比数列求和公式：1、定义：直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。
用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
2、与分治法的关系：由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。
在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。
这自然导致递归过程的产生。
分治与递归经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
3、递推方程：(1)定义：设序列01,....na a a简记为{na}，把n a与某些个()ia i n<联系起来的等式叫做关于该序列的递推方程。
(2)求解：给定关于序列{n a}的递推方程和若干初值，计算n a。
4、应用：阶乘函数、Fibonacci数列、Hanoi塔问题、插入排序5、优缺点：优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。
缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。
二、递归算法改进：1、迭代法：(1)不断用递推方程的右部替代左部(2)每一次替换，随着n的降低在和式中多出一项(3)直到出现初值以后停止迭代(4)将初值代入并对和式求和(5)可用数学归纳法验证解的正确性2、举例：-----------Hanoi塔算法----------- ---------------插入排序算法----------- ()2(1)1(1)1T n T nT=−+=()(1)1W n W n nW=−+−（1）=021n-23()2(1)12[2(2)1]12(2)21...2++2 (121)n n n T n T n T n T n T −−=−+=−++=−++==++=−（1）2 ()(1)1((n-2)+11)1(2)(2)(1)...(1)12...(2)(1)(1)/2W n W n n W n n W n n n W n n n n =−+−=−−+−=−+−+−==++++−+−=−3、换元迭代：(1)将对n 的递推式换成对其他变元k 的递推式 (2)对k 进行迭代(3)将解（关于k 的函数）转换成关于n 的函数4、举例：---------------二分归并排序---------------()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0（1）换元：假设2kn =，递推方程如下()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0 → 1(2)2(2)21k k k W W W−=+−（0）=0（2）迭代求解：12122222321332133212()2(2)212(2(2)21)212(2)22212(2)2*2212(2(2)21)2212(2)222212(2)3*2221...2(0)*2(22...21)22k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k W n W W W W W W W W k k −−−−−−−+−+−−−=+−=+−+−=+−+−=+−−=+−+−−=+−+−−=+−−−==+−++++=−1log 1n n n +=−+（3）解的正确性—归纳验证： 证明递推方程的解是()(1)/2W n n n =−()(1)1W n W n n W =−+−（1）=0,(n 1)=n +n=n(n-1)/2+n =n[(n-1)/2+1]=n(n+1)/2n W W +方法：数学归纳法证 n=1,W(1)=1*(1-1)/2=0假设对于解满足方程，则（）---------------快速排序--------------------->>>平均工作量：假设首元素排好序在每个位置是等概率的112()()()(1)0n i T n T i O n n T −==+=∑ >>>对于高阶方程应该先化简，然后迭代(1)差消化简：利用两个方程相减，将右边的项尽可能消去，以达到降阶的目的。
大学_计算机算法设计与分析第4版(王晓东著)课后答案下载
计算机算法设计与分析第4版(王晓东著)课后答
案下载
计算机算法设计与分析第4版内容简介
第1章算法概述
1.1 算法与程序
1.2 算法复杂性分析
1.3 NP完全性理论
算法分析题1
算法实现题1
第2章递归与分治策略
2.1 递归的概念
2.2 分治法的基本思想
2.3 二分搜索技术
2.4 大整数的乘法
2.5 Strassen矩阵乘法
2.6 棋盘覆盖
2.7 合并排序
2.8 快速排序
2.9 线性时间选择
2.10 最接近点对问题
第3章动态规划
第4章贪心算法
第5章回溯法
第6章分支限界法
第7章随机化算法
第8章线性规划与网络流
附录A C++概要
参考文献
计算机算法设计与分析第4版目录
本书是普通高等教育“十一五”__规划教材和国家精品课程教材。
全书以算法设计策略为知识单元，系统介绍计算机算法的设计方法与分析技巧。
主要内容包括：算法概述、递归与分治策略、动态规划、贪心算法、回溯法、分支限界法、__化算法、线性规划与网络流等。
书中既涉及经典与实用算法及实例分析，又包括算法热点领域追踪。
为突出教材的`可读性和可用性，章首增加了学习要点提示，章末配有难易适度的算法分析题和算法实现题;配套出版了《计算机算法设计与分析习题解答(第2版)》;并免费提供电子课件和教学服务。
算法设计与分析习题第二章分治与递归
2010-12-28
12
2.11 编写针对链表的快速排序程序。
需要保存指针信息。下面给出双向链表的快速排序算法 void fast_sort( Sdata *a, Sdata *f, Sdata *t ) { Sdata *i,*j,k,p; i = f; j = t; if ( t->lnext != f ) { k = a->data; //用于比较的基准数值 i = f; j = t; p = -1; while ( j != i )
7
2.7 按2.2.4节的描述，编写从二叉树中删除一个结点 的C语言程序 二叉树节点删除有三种情况： (1)*p是叶子(即它的孩子数为0)：无须连接*p的子树， 只需将*p的双亲*parent中指向*p的指针域置空即可。 (2)*p只有一个孩子*child：只需将*child和*p的双亲直接 连接后，即可删去*p。注意：*p既可能是*parent的左孩 子也可能是其右孩子，而*child可能是*p的左孩子或右孩 子，故共有4种状态。 (3)*p有两个孩子：先令q=p，将被删结点的地址保存在q 中；然后找*q的中序后继*p，并在查找过程中仍用parent 记住*p的双亲位置。*q的中序后继*p一定是 *q的右子树 中最左下的结点，它无左子树。因此，可以将删去*q的 操作转换为删去的*p的操作，即在释放结点*p之前将其 数据复制到*q中，就相当于删去了*q.
算法设计与分析习题
第二章 分治与递归
2010-12-28
1
2.1 对于顺序查找算法，分析目标值存在于数组中的 概率p趋于0的含义，这种情况下平均查找次数有什么 样的变化？当p趋于1时呢？ 见教材P12。平均比较次数为 n - p(n-1)/2。 p趋于0，平均次数趋于n；p趋于1时，平均次数趋于 （n+1）/2。（求极限）
算法设计与分析知识点
第一章算法概述1、算法的五个性质：有穷性、确定性、能行性、输入、输出。
2、算法的复杂性取决于：(1)求解问题的规模(N) , (2)具体的输入数据(I),( 3)算法本身的设计(A)，C=F(N,I,A。
3、算法的时间复杂度的上界，下界，同阶，低阶的表示。
4、常用算法的设计技术：分治法、动态规划法、贪心法、回溯法和分支界限法。
5、常用的几种数据结构：线性表、树、图。
第二章递归与分治1、递归算法的思想：将对较大规模的对象的操作归结为对较小规模的对象实施同样的操作。
递归的时间复杂性可归结为递归方程：1 11= 1T(n) <aT(n—b) + D(n) n> 1其中，a是子问题的个数，b是递减的步长，~表示递减方式，D(n)是合成子问题的开销。
递归元的递减方式~有两种：1、减法，即n -b，的形式。
2、除法，即n / b，的形式。
2、D(n)为常数c：这时，T(n) = 0(n P)。
D(n)为线形函数cn：r O(n) 当a. < b(NT(n) = < Ofnlog^n) "n = blljI O(I1P)二"A bl吋其中.p = log b a oD(n)为幕函数n x：r O(n x) 当a< D(b)II JT{ii) = O(ni1og b n) 'ia = D(b)ll].O(nr)D(b)lHJI：中，p= log b ao考虑下列递归方程：T(1) = 1⑴ T( n) = 4T(n/2) +n⑵ T(n) = 4T(n/2)+n2⑶ T(n) = 4T(n/2)+n3解：方程中均为a = 4，b = 2，其齐次解为n2。
对⑴，T a > b (D(n) = n) /• T(n) = 0(n);对⑵，•/ a = b2 (D(n) = n2) T(n) = O(n2iog n);对⑶，•/ a < b3(D(n) = n3) - T(n) = 0(n3)；证明一个算法的正确性需要证明两点：1、算法的部分正确性。
算法分析与设计(习题答案)
算法分析与设计教程习题解答第1章 算法引论1. 解：算法是一组有穷的规则，它规定了解决某一特定类型问题的一系列计算方法。
频率计数是指计算机执行程序中的某一条语句的执行次数。
多项式时间算法是指可用多项式函数对某算法进行计算时间限界的算法。
指数时间算法是指某算法的计算时间只能使用指数函数限界的算法。
2. 解：算法分析的目的是使算法设计者知道为完成一项任务所设计的算法的优劣，进而促使人们想方设法地设计出一些效率更高效的算法，以便达到少花钱、多办事、办好事的经济效果。
3. 解：事前分析是指求出某个算法的一个时间限界函数（它是一些有关参数的函数）；事后测试指收集计算机对于某个算法的执行时间和占用空间的统计资料。
4. 解：评价一个算法应从事前分析和事后测试这两个阶段进行，事前分析主要应从时间复杂度和空间复杂度这两个维度进行分析；事后测试主要应对所评价的算法作时空性能分布图。
5. 解：①n=11； ②n=12； ③n=982； ④n=39。
第2章 递归算法与分治算法1． 解：递归算法是将归纳法的思想应用于算法设计之中，递归算法充分地利用了计算机系统内部机能，自动实现调用过程中对于相关且必要的信息的保存与恢复；分治算法是把一个问题划分为一个或多个子问题，每个子问题与原问题具有完全相同的解决思路，进而可以按照递归的思路进行求解。
2． 解：通过分治算法的一般设计步骤进行说明。
3． 解：int fibonacci(int n) {if(n<=1) return 1;return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); }4. 解：void hanoi(int n,int a,int b,int c) {if(n>0) {hanoi(n-1,a,c,b); move(a,b);hanoi(n-1,c,b,a); } } 5. 解：①22*2)(−−=n n f n② )log *()(n n n f O =6． 解：算法略。