锐角三角函数的基础测试题附答案

锐角三角函数的基础测试题附答案

一、选择题

1．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，则CD的长为（）

A．43B．12﹣43C．12﹣63D．63

【答案】B

【解析】

【分析】

过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，进而可得出答案．

【详解】

解：过点B作BM⊥FD于点M，

在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，

∴BC＝AC＝122．

∵AB∥CF，

∴BM＝BC×sin45°＝

2 12212

?=

CM＝BM＝12，

在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，

∴∠EDF＝60°，

∴MD＝BM÷tan60°＝43，

∴CD＝CM﹣MD＝12﹣43．

故选B．

【点睛】

本题考查了解直角三角形，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．

2．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等

于（）

A．3

5

B．

4

5

C．

3

4

D．

4

3

【答案】C

【解析】

试题分析：如答图，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，OC，∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得BD=4.

∵∠A=1

2

∠BOC，∴∠A=∠BOD.

∴tanA=tan∠BOD=

4

3 BD

OD

=.

故选D．

考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义．

3．如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE GF AB

=<（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是

（）

A．一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小【答案】B

【解析】

【分析】

连接GE，过点E作EM⊥BC于M，过点G作GN⊥AB于N，设AE=BG=x，然后利用锐角三角函数求出GN和EM，再根据S阴影=S△GDE＋S△EGF即可求出结论．

【详解】

解：连接GE ，过点E 作EM ⊥BC 于M ，过点G 作GN ⊥AB 于N

设AE=BG=x ，则BE=AB －AE=AB －x

∴GN=BG·

sinB=x·sinB ，EM=BE·sinB=（AB －x ）·sinB ∴S 阴影=S △GDE ＋S △EGF =12DE·GN ＋12GF·EM =

12DE·（x·sinB ）＋12DE·[（AB －x ）·sinB] =

12DE·[x·sinB ＋（AB －x ）·sinB] =12

DE·AB·sinB ∵DE 、AB 和∠B 都为定值

∴S 阴影也为定值

故选B ．

【点睛】

此题考查的是锐角三角函数和求阴影部分的面积，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和三角形的面积公式是解决此题的关键．

4．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点

E ，连接AC 交DE 于点

F .若3sin 5

CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( )

A ．10

B ．12

C ．16

D ．20

【答案】D

【解析】

【分析】 连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ??∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =．

【详解】

解：连接BD ，如图，

AB Q 为直径，

90ADB ACB ∴∠=∠=?，

AD CD =Q ，

DAC DCA ∴∠=∠，

而DCA ABD ∠=∠，

DAC ABD ∴∠=∠，

DE AB ∵⊥，

90ABD BDE ∴∠+∠=?，

而90ADE BDE ∠+∠=?，

ABD ADE ∴∠=∠，

ADE DAC ∴∠=∠，

5FD FA ∴==，

在Rt AEF ?中，3sin 5

EF CAB AF ∠=

=Q ， 3EF ∴=， 22534AE ∴=-=，538DE =+=，

ADE DBE ∠=∠Q ，AED BED ∠=∠，

ADE DBE ∴??∽，

::DE BE AE DE ∴=，即8:4:8BE =，

16BE ∴=，

41620AB ∴=+=．

故选：D ．

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．

5．如图，菱形ABCD 的两个顶点B 、D 在反比例函数y =的图象上，对角线AC 与BD 的交点恰好是坐标原点O ，已知点A （1，1），∠ABC =60°，则k 的值是（ ）

A ．﹣5

B ．﹣4

C ．﹣3

D ．﹣2

【答案】C

【解析】 分析：根据题意可以求得点B 的坐标，从而可以求得k 的值．

详解：∵四边形ABCD 是菱形，

∴BA=BC ，AC ⊥BD ，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC 是等边三角形，

∵点A （1，1），

∴OA=

， ∴BO=，

∵直线AC 的解析式为y=x ，

∴直线BD 的解析式为y=-x ，

∵OB=，

∴点B 的坐标为（?，）， ∵点B 在反比例函数y=的图象上， ∴，

解得，k=-3，

故选C ．

点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．

6．如图，ABC ?是一张顶角是120?的三角形纸片，,6AB AC BC ==现将ABC ?折叠，使点B 与点A 重合，折痕DE ，则DE 的长为（ ）

A ．1

B ．2

C 2

D 3

【答案】A

【解析】

【分析】

作AH ⊥BC 于H ，根据等腰三角形的性质求出BH ，根据翻折变换的性质求出BD ，根据正切的定义解答即可．

【详解】

解：作AH ⊥BC 于H ，

∵AB=AC ，AH ⊥BC ，

BH=12BC=3， ∵∠BAC=120°，AB=AC ，

∴∠B=30°， ∴AB=30BH cos =23， 由翻折变换的性质可知，DB=DA=3，

∴DE=BD ?tan30°=1，

故选：A ．

【点睛】

此题考查翻折变换的性质、勾股定理的应用，解题关键在于掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

7．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60°角与直尺的交点，B 为光盘与直尺的交点，AB =4，则光盘表示的圆的直径是( )

A ．4

B ．3

C ．6

D ．43【答案】B

【解析】

【分析】 设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.

【详解】

设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，

由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分∠BAC，

∴∠OAB=60°，

在Rt△ABO中，OB=AB tan∠OAB=43，

∴光盘的直径为83．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.

8．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，∠DOE＝120°，DE＝1，则BD＝（）

A 3

B

23

C．3D．3

【答案】B

【解析】

【分析】

证明△OBE是等边三角形，然后解直角三角形即可．

【详解】

∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB，CD=BC．

∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°，∴OE=OD=OB．

∵∠DOE=120°，∴∠BOE=60°，∴△OBE是等边三角形，∴∠DBC=60°．

∵∠DEB=90°，∴BD=

23 sin60

DE

=

?

．

故选B．

【点睛】

本题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

9．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则

c a

a b c b

+

++

的值为

（）

A ．12

B ．22

C ．1

D ．2

【答案】C

【解析】

【分析】

先过点A 作AD ⊥BC 于D ，构造直角三角形，结合∠B=60°，利用3sin602?=，cos60°=12,可求13,,2DB c AD c ==把这两个表达式代入到另一个Rt △ADC 的勾股定理表达式中，化简可得即a 2+c 2=b 2+ac ，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1．

【详解】

解：过A 点作AD ⊥BC 于D ，在Rt △BDA 中，由于∠B=60°，

∴13,,22

DB c AD c == 在Rt △ADC 中，DC 2=AC 2﹣AD 2， ∴2221324a c b c ??-=- ??

?， 即a 2+c 2=b 2+ac ，

∴()()

2222222 1.c a c cb a ab a c ab bc b ac ab bc a b c b a b c b ac ab bc b ac ab bc b ++++++++++====++++++++++ 故选C ．

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．

10．如图，Rt △AOB 中，∠AOB=90°，AO=3BO ，OB 在x 轴上，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转至△RtA'OB'，其中点B'落在反比例函数y=﹣

2x

的图象上，OA'交反比例函数y=k x 的图象于点C ，且OC=2CA'，则k 的值为（ ）

A．4 B．7

2

C．8 D．7

【答案】C

【解析】

【详解】

解：设将Rt△AOB绕点O顺时针旋转至Rt△A'OB'的旋转角为α，OB=a，则OA=3a，由题意可得，点B′的坐标为（acosα，﹣asinα），点C的坐标为（2asinα，2acosα），

∵点B'在反比例函数y=﹣2

x

的图象上，

∴﹣asinα=﹣

2

acosα

，得a2sinαcosα=2，

又∵点C在反比例函数y=k

x

的图象上，

∴2acosα=

k

2asinα

，得k=4a2sinαcosα=8.

故选C.

【点睛】

本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为α，利用旋转的性质和三角函数设出点B'与点C的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.

11．如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，过点C作CD∥x轴交AB于点D，则点D的坐标为（）

A．（16

3

，2）B．（

16

3

，1）C．（

8

3

，2）D．（

8

3

，1）

【解析】

【分析】

延长DC交y轴于F，过C作CG⊥OA于G，CE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到FC＝CG＝CE，求得DH＝CG＝CF，设DH＝3x，AH＝4x，根据勾股定理得到AD＝5x，根据平行线的性质得到∠DCA＝∠CAG，求得∠DCA＝∠DAC，得到CD＝HG＝AD＝5x，列方程即可得到结论．

【详解】

解：延长DC交y轴于F，过C作CG⊥OA于G，CE⊥AB于E，

∵CD∥x轴，

∴DF⊥OB，

∵∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，

∴FC＝CG＝CE，

∴DH＝CG＝CF，

∵A（8，0），B（0，6），

∴OA＝8，OB＝6，

∴tan∠OAB＝DH

AH

＝

OB

OA

＝

3

4

，

∴设DH＝3x，AH＝4x，∴AD＝5x，

∵CD∥OA，

∴∠DCA＝∠CAG，

∵∠DAC＝∠GAC，

∴∠DCA＝∠DAC，

∴CD＝HG＝AD＝5x，∴3x+5x+4x＝8，

∴x＝2

3

，

∴DH＝2，OH＝16

3

，

∴D（16

3

，2），

故选：A．

本题考查了等腰三角形的判定和性质，进行的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线构造矩形和直角三角形是解题的关键．

12．如图，在平面直角坐标系中，AOB ?的顶点B 在第一象限，点A 在y 轴的正半轴上，2AO AB ==，120OAB ∠=o ，将AOB ∠绕点O 逆时针旋转90o ，点B 的对应点'B 的坐标是（ ）

A ．3(2,3)2--

B ．33(2,2)22---

C ．3(3,2)2--

D ．(3,3)-

【答案】D 【解析】

【分析】

过点'B 作x 轴的垂线，垂足为M ，通过条件求出'B M ，MO 的长即可得到'B 的坐标.

【详解】

解：过点'B 作x 轴的垂线，垂足为M ，

∵2AO AB ==，120OAB ∠=?，

∴'''2A O A B ==，''120OA B ∠=?，

∴'0'6M B A ∠=?，

在直角△''A B M 中，3==2

2=B'M B'M 'sin B A M B '''A ∠ ， 1==2

2=A'M A'M 'cos B A M B '''A ∠， ∴'3B M ='1A M =，

∴OM=2+1=3，

∴'B 的坐标为(3)-.

【点睛】

本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

13．如图 ，矩形 ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点 M ，CN ⊥AN 于点 N .则 DM +CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )

A ．a

B ．45 a

C ．22a

D 3 【答案】C

【解析】

【分析】 根据“AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°=DM CN DE CE

= ，所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD ，AB=CD=a ，DM+CN 的值即可求出．

【详解】

∵AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ，

∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°， ∴00cos 4545D CN

M

cos +=CD ，

在矩形ABCD 中，AB=CD=a ，

∴DM+CN=acos45°=

22

a. 故选C.

【点睛】

此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°=DM CN DE CE =

14．如图，基灯塔AB 建在陡峭的山坡上，该山坡的坡度i ＝1：0.75．小明为了测得灯塔的高度，他首先测得BC ＝20m ，然后在C 处水平向前走了34m 到达一建筑物底部E 处，他在该建筑物顶端F 处测得灯塔顶端A 的仰角为43°．若该建筑物EF ＝20m ，则灯塔AB 的高度约为（精确到0.1m ，参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）（ ）

A ．46.7m

B ．46.8m

C ．53.5m

D ．67.8m

【答案】B

【解析】

【分析】 根据山坡的坡度i ＝1：0.75，可得BD CD ＝43

，设BD ＝4x ，CD ＝3x ，然后利用勾股定理求得BD ＝4x ＝16m ，CD ＝3x ＝12m ；再利用矩形的性质求出FG ＝DE ＝46m ，BG ＝DG ﹣DB ＝4m ，最后利用三角函数解直角三角形即可．

【详解】

解：如图，∵∠ADC ＝90°，i ＝1：0.75，即BD CD ＝43

， ∴设BD ＝4x ，CD ＝3x ，则BC ＝22(4)(3)x x ＝5x ＝20m ，

解得：x ＝4，

∴BD ＝4x ＝16m ，CD ＝3x ＝12m ，

易得四边形DEFG 是矩形，

则EF ＝DG ＝20m ，FG ＝DE ＝DC+CE ＝12+34＝46（m ），

∴BG ＝DG ﹣DB ＝4m ，

在Rt △AFG 中，AG ＝FG·

tan ∠AFG ＝46·tan43°≈46×0.93＝42.78（m ）， ∴AB ＝AG+BG ＝42.78+4≈46.8（m ），

故选：B ．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用—仰角和俯角问题、坡度坡比问题，灵活运用三角函数是解答本题的关键.．

15．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ：BC ＝2：1，且BE ∥AC ，CE ∥DB ，连接DE ，则tan ∠EDC ＝（ ）

A．1

4

B．

1

6

C

．

2

6

D．

3

10

【答案】B

【解析】

【分析】

过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF=

1

2

x，

CF=x．再由锐角三角函数定义作答即可．

【详解】

解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，

∴BC＝AD，

设AB＝2x，则BC＝x．

如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．

∵BE∥AC，CE∥BD，

∴四边形BOCE是平行四边形，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OB＝OC，

∴四边形BOCE是菱形．

∴OE与BC垂直平分，

∴EF＝

1

2

AD＝

1

2

x，OE∥AB，

∴四边形AOEB是平行四边形，

∴OE＝AB＝2x，

∴CF＝

1

2

OE＝x．

∴tan∠EDC＝

EF

DF

＝

1

2

2

x

x x

+

＝

1

6

．

故选：B．

【点睛】

本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．

16．已知在 Rt ABC 中，∠C = 90°，AC= 8, BC = 15 ，那么下列等式正确的是（）

A ．8sin 17A =

B ．cosA=815

C ．tan A =817

D ．cot A=815 【答案】D

【解析】

【分析】 根据锐角三角函数的定义进行作答.

【详解】 由勾股定理知，AB=17；A.15sin 17BC A AB =

= ,所以A 错误；B.8cos 17AC A AB ==，所以，B 错误；C.15tan 8BC A AC =

=，所以，C 错误；D.cot AC A BC ==815

，所以选D. 【点睛】 本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是本题解题关键.

17．如图，一架飞机在点A 处测得水平地面上一个标志物P 的俯角为α，水平飞行m 千米后到达点B 处，又测得标志物P 的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )

A ．

cot cot m αβ-千米 B ．cot cot m βα-千米 C ．tan tan m αβ

-千米 D ．tan tan m βα-千米 【答案】A

【解析】

【分析】

根据锐角三角函数的概念进行作答.

【详解】

在P 点做一条直线垂直于直线AB 且交于点O ，由锐角三角函数知，AO=PO cot α，BO=PO cot β，又AB=m=AO-BO= PO cot α- PO cot β=

cot cot m αβ

-. 所以答案选A. 【点睛】

本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.

18．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，BC ＝a ，那么AC 等于（ ）

A ．a?tanα

B ．a?cotα

C ．a?sinα

D ．a?cosα

【答案】B

【解析】

【分析】

画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.【详解】

如图，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a，

∵cotα

AC BC ，

∴AC＝BC?cotα＝a?cotα，

故选：B．

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.

19．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）．运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC的中点时，PQ的长为（）

A．2 B．4 C．3D．3

【答案】C

【解析】

【分析】

点P、Q的速度比为33x＝2，y＝3P、Q运动的速度，即可求解．【详解】

解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC3a，

设P、Q同时到达的时间为T，

则点P的速度为3a

T

，点Q

3a

，故点P、Q的速度比为33

故设点P、Q的速度分别为：3v3，

由图2知，当x ＝2时，y ＝63，此时点P 到达点A 的位置，即AB ＝2×3v ＝6v ， BQ ＝2×3v ＝23v ，

y ＝12?AB ×BQ ＝12

?6v ×23v ＝63，解得：v ＝1， 故点P 、Q 的速度分别为：3，3，AB ＝6v ＝6＝a ，

则AC ＝12，BC ＝63，

如图当点P 在AC 的中点时，PC ＝6，

此时点P 运动的距离为AB +AP ＝12，需要的时间为12÷3＝4，

则BQ ＝3x ＝43，CQ ＝BC ﹣BQ ＝63﹣43＝23，

过点P 作PH ⊥BC 于点H ，

PC ＝6，则PH ＝PC sin C ＝6×12

＝3，同理CH ＝33，则HQ ＝CH ﹣CQ ＝33﹣23＝3，

PQ ＝22PH HQ +＝39+＝23，

故选：C ．

【点睛】

本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．

20．如图，一张直角三角形纸片BEC 的斜边放在矩形ABCD 的BC 边上，恰好完全重合，边BE ，CE 分别交AD 于点F ，G ，已知8BC =，::4:3:1AF FG GD =，则CD 的长为（）

A ．1

B 2

C 3

D ．2

【答案】C

【解析】

【分析】 由ABCD 是矩形，得到AD=BC=8，且矩形的四个角是直角，根据

::4:3:1

AF FG GD=，可以求出DG的长度，再根据余角的性质算出∠DCE的大小，根据三角函数即可算出DC的长度.

【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=8，∠DCB=90?，

又∵::4:3:1

AF FG GD=

∴

11

1 4318

GD AD AD

===

++

,

∵∠ECB=60°，

∴∠DCE=906030

?-?=?，

又∵

1 tan30

3

GD

CD CD

?===，

∴CD=

故答案为C.

【点睛】

本题主要考查矩形、特殊直角三角形、余角的性质，运用线段的比例长算出其中各段的长度是解本题的关键，特殊角的三角函数也是重要知识点，应掌握.