菱形的判定导学案

1922菱形的判定导学案【学习目标】1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；2•在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.【学习重难点】菱形的两个判定方法.【学习过程】一、温故知新：1.菱形的定义：______________2.菱形的性质：边： _______________________角：____________________________ ；_______对角线：__________________________________对称性：__________________________________二、学习新知：探究一：如图，四边形是菱形吗？为什么？三、练习1.判断题，对的画“y 错的画“X”(1).对角线互相垂直的四边形是菱形( )(2). 一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形((3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形( )(4).对角线相等的四边形是菱形( )2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分求证：(1)四边形ABCD是平行四边形⑵ 过A作AE丄BC于E点，过A作AF丄CD于F.用等积法说明BC=CD. ⑶求证：四边形ABCD是菱形.归纳：有一组邻边相等的平行四边形是菱形探究二：用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形•转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？通过探究，容易得到：证明上述结论：3.已知：如图匚ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F. 求证：四边形AFCE是菱形.探究三：李芳同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C,连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？请你画一画。

通过探究，容易得到：证明上述结论：例1. 如图，I UABCD的两条对角线AC、BD相交于点0, 求证：四边形ABCD是菱形.5.如图，四边形ABCD 中，AB// CD , AC 平分/ BAD , CE// AD 交AB 于E.(1)求证：四边形AECD是菱形；⑵若点E是AB的中点，试判断^ ABC的形状，并说明理由.ABCD是菱形吗?的平行四边形是菱形对角线4.如图，在四边形ABCD中，AB = CD, M , N, P, Q分别是AD , 求证：MN与PQ互相垂直平分。

的四边形是菱形6.如图，□ ABCD中，AB丄AC, AB= 1 , BC = ^5•对角线AC, BD相交于点0,将直线AC 绕点0顺时针旋转，分别交BC, AD于点E, F.（1）证明：当旋转角为90。

时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.丄为圆心，大于2 AB的长为半径画弧，两弧相交于 C . D，则直线CD即为所求•根据他的作图方法可知四边形ADBC - 1定是四、中考链接一、选择题1. （2011?西宁）用直尺和圆规作一个菱形,A、一组临边相等的四边形是菱形C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形故选B .2. （2011?莱芜）如图，E、F、G、H 分别是①EG丄FH，②四边形EFGH是矩形,)3B •菱形D .等腰梯形如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）B、四边相等的四边形是菱形D、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD .下列结论:丄③HF平分/ EHG,④EG= 2 (BC - AD )，⑤四边形EFGH故选C.3. （2011湖南益阳）如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和BA •矩形C.正方形故选：B.4.（2011襄阳）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形四边形ABCD 一定是（）A .菱形B .对角线互相垂直的四边形故选D .5.（2011清远）如图.若要使平行四边形ABCD成为菱形.则需要添加的条件是（C .矩形是菱形，则D .对角线相等的四边形B.AD = BCC.AB = BCD. AC= BDA.AB= CD故选C.二、填空题1. （2011?贵港）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD ,43若AD=6cm , / ABC=60，则四边形ABCD的面积等于—18 cm2.C2. （2011福建省三明市，14,4分）如图，?ABCD中，对角形AC, BD相交于点0,添加一个条件，能使？ABCD成为菱形•你添加的条件是________________ （不再添加辅助线和字母）三、解答题1. （2011江苏镇江常州）已知：如图，在梯形ABCD中，AB// CD , BC=CD, AD丄BD , E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形.1••• E, F 分别为AB , CD 的中点，••• BE = 2A B , •••四边形DEBF是平行四边形中，E是AB的中点，••• AE是等边三角形，即1DF = "2 CD,解答：证明：••• AD丄BD ,•••△ ABD 是Rt△••• E是AB的中点，在△ABD•••△ AED•••平行四边形DEBF是菱形.（2）四边形AGBD是矩形，•/ AD // BC 且AG // DB=BE = 2 A B = AD，而/ DAB = 60 DE =AE = AD，故DE = BE理由如下：•••四边形AGBD是平行四边形■- BE= 2 AB , DE= 2 AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）••• BE=DE,•••/ EDB = / EBD ,•CB=CD,•••/ CDB= / CBD ,•/ AB // CD ,•••/ EBD= / CDB ,•••/ EDB = / EBD= / CDB= / CBD ,•/ BD=BD,•••△ EBD◎△ CBD (SAS ),•BE=BC,•CB=CD = BE=DE,•••菱形BCDE .(四边相等的四边形是菱形)2. (2011新疆乌鲁木齐)如图，在平行四边形ABCD中，/ DAB = 60° AB = 2AD，点E、F 分别是CD的中点，(1)求证：四边形(2)请判断四边形由（1）的证明知AD = DE = AE = BE，•/ ADE =/ DEA = 60°/ EDB = / DBE = 30°故/ ADB = 90°•••平行四边形AGBD是矩形.3. （2011云南保山）如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE丄AB, PF丄AD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？过点A作AG // BD，交CB的延长线于点G . DEBF是菱形；AGBD是什么特殊四边形？并加以证明. 解答：解：是菱形.理由如下：••• PE丄AB, PF丄AD ,且PE=PF ,••• AC是/ DAB的角平分线，•••/ DAC = / CAE,•••四边形ABCD是平行四边形，••• DC //AB ,•••/ DCA= /CAB,••• /DAC= /DCA,••• DA=DC ,•••平行四边形ABCD是菱形.4. （2011?贵港）如图所示，在梯形ABCD中，AD // BC, AB=AD，/ BAD的平分线AE交BC 于点E,连接DE .（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）若/ ABC=60 , CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由.解答：证明：（1 ）•••四边形ABCD是平行四边形••• AB // CD 且AB = CD, AD // BC 且AD = BC解答：（1）证明：如图，••• AE平分/ BAD ,•••/ 1 = / 2,•/ AB=AD , AE=AE ,•••△ BAE BA DAE ,••• BE=DE ,•/ AD // BC,•••/ 2= / 3= / 1,••• AB=BE ,••• AB=BE=DE=AD ,•••四边形ABED是菱形.(2)解：ACDE是直角三角形.如图，过点D作DF // AE交BC于点F, 则四边形AEFD是平行四边形，•DF=AE , AD=EF=BE ,•/ CE=2BE ,•BE=EF=FC ,•DE=EF,又•••/ ABC=60 , AB // DE ,•••/ DEF=60 ,•••△ DEF是等边三角形，••• DF=EF=FC ,•••△ CDE是直角三角形.5. (2011?安顺)如图，在AABC中，/ ACB=90° , BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E , F 在DE 上,且AF=CE=AE .(1)说明四边形ACEF是平行四边形；(2)当/ B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由.解答：(1)证明：由题意知/ FDC= / DCA=90 ,••• EF // CA ,•••/ AEF= / EAC , •/ AF=CE=AE ,•••/ F=/ AEF= / EAC= / ECA .又：AE=EA ,•••△ AEC BA EAF ,••• EF=CA ,•••四边形ACEF是平行四边形.(2)当/ B=30时，四边形ACEF是菱形.理由是：•••/ B=30，/ ACB=90 ,••• AC= •/ DE垂直平分BC ,••• BE=CE ,又••• AE=CE ,••• CE= ••• AC=CE ,•••四边形ACEF是菱形.6. (2011?西宁)如图，矩形ABCD的对角线相交于点0, DE // CA , AE // BD .(1)求证：四边形AODE是菱形；(2)若将题设中矩形ABCD这一条件改为菱形ABCD ,其余条件不变，则四边形AODE是矩形 .解答：解：(1)证明：•••矩形ABCD ,••• OA=OC , OD=OB , AC=BD ,••• OA=OD ,•/ DE // CA , AE // BD ,•••四边形AODE是平行四边形，•••四边形AODE是菱形.(2)v DE // CA , AE // BD ,•••四边形AODE是平行四边形，•••菱形ABCD, c故答案为：矩形. •••平行四边形 ABCD 是菱形.••• AC 丄 BD ,•••/ AOD=90 ,•••平行四边形 AODE 是矩形.7. (2011?临沂)如图，△ABC中，AB=AC , AD、CD分別是AABC两个外角的平分线.(1)求证：AC=AD ;(2)若/ B=60°，求证：四边形ABCD是菱形.解答：证明：(1 )••• AB=AC , •••/ B= / BCA , •/ AD 平分/ FAC ,•••/ FAD= / B ,••• AD // BC,•••/ D= / DCE ,••• CD 平分/ ACE ,•••/ ACD= / DCE,•••/ D= / ACD ,••• AC=AD ;证明：(2)v/ B=60° , AB=AC ,•••△ ABC为等边三角形，••• AB=BC ,•••/ ACB=60 ,/ FAC= / ACE=120 ,•••/ BAD= / BCD=120 ,•••/ B= / D=60 ,•••四边形ABCD是平行四边形，•/ AB=BC , 8. (2011丽江市中考)如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE丄AB ,PF丄AD，垂足分别为E、F,且PE=PF,平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？C解答：解：是菱形.理由如下：••• PE丄AB , PF丄AD，且PE=PF,••• AC是/ DAB的角平分线，•••/ DAC= / CAE ,•••四边形ABCD是平行四边形，•DC // AB ,•••/ DCA= / CAB ,•••/ DAC= / DCA ,•DA=DC ,•••平行四边形ABCD是菱形.9. (2011浙江宁波)如图，在DKBCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG // DB交CB的延长线于点G.(1)求证：DE // BF;故答案为：矩形. •••平行四边形ABCD是菱形.AD =CB, AB =CD.••/ 4=/ C,•••点E、F分别是AB、CD的中点,1•- AE = 2AB ,•••/ 3 =/CBF ,•••/ ADB =/ CBD , •/ 2 = / FBD , • DE // BF,(2)v/ G = 90° •••四边形AGBD 是矩形，/ ADB = 90°•••/ 2+ / 3= 90° • 2 / 2+2 / 3= 180° •/ 1 = / 2, / 3=/ 4.• DE = AE = BE , •/ AB // CD , DE // BF ,二四边形DEBF 是菱形.10. (2011浙江衢州)如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE // BC ,过点D作DE // AB , DE与AC、AE分别交于点0、点E ,连接EC .(1)求证：AD=EC;(2)当/ BAC=Rt /时，求证：四边形ADCE是菱形.解答：(1)证明：••• DE // AB, AE // BC,•••四边形ABDE是平行四边形，••• AE // BD，且AE=BD又••• AD是BC边上的中线，••• BD=CD••• AE // CD，且AE=CD•••四边形ADCE是平行四边形••• AD=CE(2)证明：•••/ BAC=Rt/, AD上斜边BC上的中线，••• AD=BD=CD又•••四边形ADCE是平行四边形•••四边形ADCE是菱形11. (2011?安顺)如图，在△ABC中，/ ACB=90° , BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB 于E, F 在DE 上，且AF=CE=AE .(1)说明四边形ACEF是平行四边形；(2)当/ B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由.解答：(1)证明：由题意知/ FDC= / DCA=90 , ••• EF // CA , •••/ AEF= / EAC ,•/ AF=CE=AE ,•••/ F=/ AEF= / EAC= / ECA .又••• AE=EA ,•••△ AEC EAF ,••• EF=CA ,•••四边形ACEF是平行四边形.(2)当/ B=30°时，四边形ACEF是菱形.理由是：•••/ B=30，/ ACB=90 ,1• AC= 2 AB,•/ DE垂直平分BC ,••• BE=CE , 又••• AE=CE ,••• AC=CE ,•••四边形ACEF是菱形.12. (2011?恩施)如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD , BC=CD，锐角/ BAC的角平分线AE交BC于点E, AF是CD边上的中线，且PC丄CD与AE交于点P, QC丄BC与AF交于点Q.求证：四边形APCQ是菱形./ B\A DA C1CF = 2 CD . • AE = CF,." ADE ◎△ CBF ,解答：解：••• AC=AD , AF 是CD 边上的中线，•••/ AFC=90 , •••/ ACF+ / CAF=90 ,•// ACF+ / PCA=90 ,•••/ PCA= / CAF , ••• PC // AQ ,同理：AP // QC ,•••四边形APCQ 是平行四边形.•••△ PECN QFC , ••• P C=QC ,•••四边形APCQ 是菱形.13. (2011邵阳)在四边形 ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接 EF 、FG 、GH 、HE .(1) 请判断四边形 EFGH 的形状，并给予证明；(2) 试添加一个条件，使四边形 EFGH 是菱形.(写出你添加的条件，不要求证明)的形状是平行四边形.证明：连接 AC 、BD ,••• E 、F 、G 、H 分别是EF // HG ,.・.四边形EFGH 是平行四边形.AB 、BC 、CD 、DA 的中点, ••• EF // AC , EF=2 AC , HG // AC , HG= 2 AC , GF=2BD ，二 EF=HG , 解答：(1)四边形EFGH(2)添加的条件是AC=BD.。