单输入单输出系统的时域分析
电路的时域分析
02 电路模型的建立
线性时不变电路
线性时不变电路
在电路分析中，线性时不变电路是一种理想化的电路模型，其特点是电路中的 元件参数不随时间和信号的改变而变化，且电路中的电压和电流满足线性关系。
线性时不变电路的特点
由于其线性特性，线性时不变电路满足叠加定理，即多个信号同时作用于电路 时，其响应可以通过单个信号作用的响应叠加得到。此外，线性时不变电路还 具有齐次性和可逆性。
对非线性元件的处理问题
非线性元件在时域分析中是一个挑战，因为 非线性元件的电压和电流关系不是线性的， 不能简单地用微分方程描述。
对于非线性元件，可以采用分段线性化或者 查找表的方法进行处理。分段线性化方法是 将非线性元件的特性近似为一系列线段，然 后分别进行线性分析。查找表方法是将非线 性元件的特性离散化，并预先计算出离散点 的响应，然后在时域分析时通过查表的方式
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电磁防护措施优化
基于时域分析的结果，可以对电磁防护措施进行优化，提高电路或 系统的电磁兼容性。
06 时域分析的局限性
对初始条件的敏感性
初始条件对时域分析结果的影响很大，因为电路的状态会受 到初始条件的直接影响。初始条件的不确定性可能导致分析 结果的误差，甚至可能导致错误的结论。
为了减小初始条件对时域分析的影响，可以采用多次模拟的 方法，取多次模拟结果的平均值作为最终结果，以提高分析 的准确性和可靠性。
微分方程的建立
微分方程的建立
在电路分析中，根据电路的结构和元件参数，可以建立描述电路中电压和电流变化 的微分方程。微分方程的建立通常基于基尔霍夫定律（KCL）和欧姆定律（Ohm's Law）。
微分方程的形式
时域分析法
§ 3.2 一阶系统的时间响应
一、一阶系统的数学模型 数学模型
其中时间常数T＝1 / K
二、一阶系统的单位阶跃响应
对于单位阶跃输入
xi
(t )
1(t ),
Xi
(s)
1 s
故系统单位阶跃响应象函数为
1
1 s
s
T
1
A s
s
B 1
1 s
s
1
1
T
T
T
取拉氏反变换得系统单位阶跃响应为
1t
xo (t) 1 e T
，为闭环极点的实部； ，为闭环极点的虚部；
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的象函数为
。
将上式进行拉氏反变换，单位阶跃响应为
(3.33)
x0 (t) 1
e n t
1 2
(n
1 2 n
cosdt sin dt)
1
ent
1 2
(sin
c osd t
cos
sin d t )
1
e nt
1
2
sin(
则
Xo
s
Xo Xi
s s
X
i
s
1 1 Ts 1
1
T
s
1 T
进行拉氏反变换
x0
(t
)
1 T
t
eT
四、响应之间的关系 对线性定常系统，输入之间存在微积分关系，其响
应间也存在相应微积分关系。
作用：在测试系统时，可由一种信号推断几种信号的相应响应。
§ 3.3 二阶系统的时间响应
一、典型二阶系统的数学模型
决定。
在稳态下，输出 x0 (t) 和输入 xi (t) 之间不存在误差，即系统
《信号与系统》第8章
) RC
(is
(t
)
iL
(t
))
经整理：
x1
(t
)
x2
(t
)
0
1 L
x1 (t )
1 C
RC L
x2 (t) RL x2 (t)
1 C
RC L
f1 (t )
f1(t)
1 L
f2 (t)
（3）建立输出方程
iuC((tt))uC
(t) iS
(t
RCiL (t) ) iL (t)
RC
iS
RC
iS
(t)
RC
iL (t)......... ...(3)
状态变量与系统输入变量的关系（状态方程）：
duC (t
dt diL (t)
)
1
dt L
uC
(t)
1 L
1 C (RL
RCiL (t) )iL 源自t)1C RC L
iS (t)(4) iS (t).........(5)
1H
x1
1F
+ -
x2
1F
i2
+
+-x3
2
u(t)
-
把该式代入上式，得：
x2
f
x1 x2 x3 (t) x2 x2
x3
x1
x3
x1
1 2
x3
x2
x3
x1 0 x2 x3 0
x2
1 3
x1
2 3
x2
1 6
x3
2 3
f (t)
x3
1 3
x1
1 3
x2
1 3
系统时域分析实验报告
系统时域分析实验报告系统时域分析实验报告一、引言时域分析是电子工程中的重要内容之一，它通过对系统在时间上的响应进行观察和分析，可以帮助我们了解系统的动态特性。
本实验旨在通过对不同系统的时域分析，探讨系统的稳定性、阶数、零极点等特性。
二、实验目的1. 了解时域分析的基本概念和方法；2. 掌握系统的稳定性判断方法；3. 学习如何通过时域分析确定系统的阶数；4. 理解系统的零极点对系统响应的影响。
三、实验原理1. 系统的稳定性判断系统的稳定性是指当输入信号有限时，系统输出是否有界。
常用的判断方法有零极点判断法和频率响应判断法。
2. 系统的阶数确定系统的阶数是指系统传递函数中最高次幂的阶数。
通过观察系统的单位阶跃响应或单位冲激响应，可以确定系统的阶数。
3. 零极点对系统响应的影响系统的零点和极点决定了系统的传递特性。
零点是使系统增益为零的点，极点是使系统增益无穷大的点。
零点和极点的位置和数量决定了系统的稳定性、阶数和频率响应。
四、实验步骤1. 确定实验所用系统的传递函数；2. 绘制系统的单位阶跃响应曲线；3. 通过观察单位阶跃响应曲线，判断系统的稳定性；4. 根据单位阶跃响应曲线的特点，确定系统的阶数；5. 分析系统的零极点位置和数量对系统响应的影响。
五、实验结果与分析以某一系统为例，实验得到其单位阶跃响应曲线如下图所示。
[插入实验结果图]通过观察单位阶跃响应曲线，我们可以看到系统的输出在一定时间后趋于稳定，且没有出现振荡现象。
因此，可以判断该系统是稳定的。
根据单位阶跃响应曲线的特点，我们可以看到系统的输出在一定时间后达到了稳态值，并且没有超过该稳态值。
根据阶跃响应曲线的形状，我们可以判断该系统的阶数为一阶。
通过对系统的传递函数进行分析，我们可以确定系统的零点和极点的位置和数量。
进一步分析可以得出，系统的零点和极点的位置和数量对系统的稳定性、阶数和频率响应都有重要影响。
六、实验总结通过本次实验，我们了解了时域分析的基本概念和方法，掌握了系统的稳定性判断方法和阶数确定方法。
单输入单输出控制系统的分析
第3章 单输入单输出控制系统的分析建立系统数学模型的主要目的是为了对系统性能进行分析与设计。
对控制系统的分析有稳态性能和动态性能分析，如系统的稳定性，稳态误差，动态响应性能参数等。
其分析方法主要有时域法和频域法两种。
时域分析法是直接在时间域内计算系统的时间响应、分析系统的稳定性、能控和能观性、动态性能等，这种分析方法的结果比较直观。
频域分析法是在系统受到频率为ω的正弦信号激励时，分析系统输出幅值和相位与输入激励之间的关系，进而得到系统的性能特性。
MATLAB 控制系统工具箱（Control System Toolbox ）对控制系统，尤其是对线性时不变（Linear Time Invariant,简称LTI ）系统的建模、分析和设计提供了一个完整的解决方案，也避免了繁杂的编程工作，是线性控制系统分析和设计的高效率的工具。
3.1单输入单输出（SISO ）控制系统的模型及其转换在得到控制系统各个环节的MATLAB 表达之后，通常需要进行串联、并联、反馈连接等处理方式，将比较复杂的系统化成简单的系统，再进行分析和设计。
在控制系统工具箱中提供了一些函数来支持系统的连接。
3.1.1环节的串联连接：在控制系统中，几个环节按照信号传递的方向串联在一起，这几个环节可以等效地转换成一个环节。
如图3.1.1所示。
图3.1.1(a)所示的串联框图可以等效成图3.1.1（b ），串联后总的传递函数为每个串联环节的传递函数的乘积:G(s)=G 1(s) G 2(s)… G n (s)= ∏=n i 1G i (s) （3.1.1）若所有的环节用MATLAB 的TF 传递函数模型和num ，den 多项式的形式来表达，即G1(s)：sys1；或num1，den1；G2(s)：sys2；或num2，den2；…，Gn(s)：sysn ；或numn ，denn 。
系统串联实现的格式:sys=sys1*sys2*…*sysn或： sys=series(sys1,sys2); sys=series(sys,sys3);…;sys=series(sys,sysn) 或： [num,den]=series(num1,den1,num2,den2);[num,den]=series(num,den,num3,den3);…;[num,den]=series(num,den,numn,denn)例3.1.1 设有3个LTI 控制环节，其传递函数分别为：sys1：()112+++s s s s ；sys2：()2132++s s ；sys3：(6s+5)/(2s+3)求sys1、sys2和sys3串联连接后的传递函数模型。
自动控制原理-第3章-时域分析法
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
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计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
滤波器的时域和频域分析方法
滤波器的时域和频域分析方法滤波器是信号处理中常用的工具，它可以对信号进行去噪、降低干扰等操作。
在使用滤波器进行信号处理时，我们需要了解滤波器的时域和频域分析方法，以便更好地理解和优化滤波器的性能。
I. 时域分析方法时域分析是对滤波器在时间上的响应进行研究的方法。
下面介绍几种常用的时域分析方法。
1. 输入-输出时域分析输入-输出时域分析是通过给滤波器输入一个已知的测试信号，观察输出信号的变化来研究滤波器的特性。
常用的测试信号包括脉冲信号、正弦信号等。
通过分析输出信号的振幅、相位和波形等参数，可以得到滤波器的时域响应。
2. 单位冲激响应单位冲激响应是指在滤波器输入端输入单位冲激信号时，滤波器的输出响应。
单位冲激响应可以通过计算滤波器的冲激响应函数得到，也可以通过实验测量得到。
单位冲激响应对于分析和设计滤波器非常重要，可以用于计算滤波器的频率响应等。
II. 频域分析方法频域分析是通过将信号从时域转换到频域，研究信号在频率上的特性。
下面介绍几种常用的频域分析方法。
1. 傅里叶变换傅里叶变换是将信号从时域转换到频域的一种数学工具。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱信息，即信号在不同频率上的幅度和相位。
对于滤波器的频域分析，傅里叶变换可以帮助我们理解滤波器对不同频率成分的响应。
2. 频率响应频率响应是指滤波器在频域上对不同频率成分的响应情况。
我们通常使用幅度响应和相位响应来描述滤波器的频率特性。
幅度响应表示滤波器对不同频率成分的衰减或增益程度，相位响应表示滤波器对不同频率成分的相位延迟。
通过分析滤波器的频率响应，可以判断滤波器的通带、阻带和截止频率等参数。
III. 综合分析方法在实际应用中，时域和频域分析方法常常相互结合，进行综合分析。
通过同时分析滤波器的时域和频域特性，我们可以更全面地了解滤波器的性能和特点。
综上所述，滤波器的时域和频域分析方法是对滤波器进行性能评估和优化的重要手段。
通过时域分析方法，我们可以了解滤波器在时间上的响应特性；通过频域分析方法，我们可以了解滤波器在不同频率上的响应情况。
典型系统的时域响应与稳定性分析
典型系统的时域响应与稳定性分析1. 时域响应分析时域响应指的是系统在时间上的响应特性。
时间域分析主要是利用微分方程分析系统的时域响应。
对于一个线性时不变系统（LTI）来说，可以通过拉普拉斯变换来得到系统的微分方程和传递函数，然后通过求解微分方程或者使用传递函数的极点和零点分析系统的时域响应。
常见的系统时域响应包括阶跃响应、脉冲响应和正弦响应。
这里以阶跃响应为例：阶跃响应可以用系统的传递函数 H(s) 通过拉普拉斯逆变换来求得：h(t) = L^-1[H(s)]其中，L^-1表示拉普拉斯逆变换。
如果系统的传递函数可以表示为有理函数的形式，可以通过部分分式分解和拉普拉斯逆变换将传递函数分解为简单的分式形式，例如：H(s) = K / (s+a)(s+b)上述传递函数的分解形式可以根据不同的分母极点对系统的时域响应进行分析。
例如，对于第一种分解形式，系统的时域响应可以表示为：h(t) = K1e^(-at) - K2e^(-bt)其中，K1和K2是待定系数，可以根据初值条件求解。
根据这个时域响应可以得到系统的稳定性分析结论：当a和b的实部均小于零时，系统是稳定的；当a和b的实部均大于零时，系统是不稳定的；当a和b的实部均等于零时，系统是临界稳定的。
2. 稳定性分析稳定性分析是对系统的稳定性进行判断和评价的过程。
系统的稳定性取决于时域响应的长期行为，可以通过系统的极点和零点的位置来进行判断。
对于一个单输入单输出（SISO）的线性时不变系统（LTI），系统的稳定性可以根据系统的传递函数 H(s) 的极点位置进行判断。
如果所有的极点都位于s平面的左半平面，也就是实部都小于零，则系统是稳定的。
如果存在一个或多个极点位于s平面的右半平面，则系统是不稳定的。
如果极点都位于s平面的虚轴上，则系统是临界稳定的。
稳定性分析是控制系统设计过程中必不可少的一步，它能够帮助控制工程师预测系统的行为并避免不稳定的结果。
在实际应用中，稳定性分析可以应用于飞行控制系统、机器人控制系统、电力系统等领域，为实际系统的设计和控制提供基础支持。
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i(t)R r(t)e(t) i C dr(t)
dt
可得： d(rt)1r(t)1e(t) dt RC RC
其中：e(t为) 系统输入，r(为t) 系统输出。
采用“差分法”将该微分方程离散化：
将到连t 续n 变s(T n 量 t0 ，以,1 ,所2 步, 以长)产为T生s 间了距离进散行变等量分，，可从得而nT连s 续函
故齐次解 rn (n) 3(2)n 3n
16
2、特解 r f ( n )
特解：特解的形式与激励的函数形式有关，下表列 出了几种不同激励所对应的特解。
即：
y (n ) ( 1 )y (n 1 ) f(n )
此即为描述这一银行结余系统的差分方程。
13
2.3.3 差分方程的经典解
线性时不变离散系统差分方程：
N
M
akr(nk) ble(nl) a01
k0
l0
其全响应可由以下两种分解响应构成：
完全解/全响应 = 齐次解/自由响应+特解/强制响应
例2.3-3: 某人每月向银行存款，当月存入无利
息，月底结算，月利息为 元/月。设第n月
存入f(n)元，月底结余为y(n)元，n-1月底结余
为y(n-1)元，以f(n)为银行系统的输入，y(n)
为输出，则y(n)与f(n)的关系为：
y ( nf( n )
系统函数 H (s)
频响特性 H ( j)
H(z)
H (e j )
4
2.2. 连续系统的时域分析
见书上P24～30。 由于该部分内容已在高等数学与电路原理课程中 作过较详细的讨论！ 因此本课程中为“自学内容”。
5
2.3. 离散系统的时域分析
离散时间系统的时域分析
离散时间信 号
离散时间系 统
反卷积
差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始 条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。
8
例2.3-1：若描述某系统的差分方程为
y ( n ) 3 y ( n 1 ) 2 y ( n 2 ) f( n )
已知初始条件 y(0)0,y(1)2,激励 f(n)2nu(n),求 y(n).
y(n)3y(n1)2y(n2)f(n) y(2)3y(1)2y(0)f(2)2 y(3)3y(2)2y(1)f(3)10
这种方法可以称之为差分方程的“迭代解法”， 但是采用这种方法一般不易得到解析形式的解， 或称“闭合解”。
9
2.3.2 差分方程的建立
方法：“差分法” 通过微分方程推导出差分方程，从而成为处理离 散系统的数学模型。 例2.3-2: 考虑一个RC串联电路如图所示:
10
首先建立描述这一连续系统的数学模型，
r(n) rn (n) rf (n)
完全解/全响应 = 零输入响应+零状态响应
r(n) rzi (n) rzs (n)
14
1、齐次解 rn (n)
齐次方程为：
N
akr(nk) 0
k0
其特征方程为： N a 1N 1 a N 1 a N 0
其根 i(i1,2, ,称N)为差分方程的特征根。
数 在 r各(t)点的t 取n值Ts 就构成了离散序列 。
r(nTs)
11
在T s足够小的情况下，微分运算就可以表示为： dd(rt)tr[n (1)TT ss]r(nsT )代入：dd(rt)tR 1C r(t) 得R ：1C e(t)
r[n ( 1 )T T ss ] r(ns)T R 1r( C ns)T R 1e (C ns)T
齐次解的形式取决于特征根，具体情况如下：
当特征根 为单根时，齐次解 rn的(n形) 式为： C n
r 当特征根 为 重根时，齐次解 r的n (n形) 式为：
k
N
rn(n) nkici 1n
cj
n j
i1
jk1
15
例2.3-4.系统的差分方程 r(n 2) 5r(n 1) 6r(n) 0
序列的 概念
序列的 运算
数学模 型
差分方程的 求解方法
迭代法
经典法 零输入、 卷积和
零状态法
法
6
2.3.1 差分与差分方程
1、差分 设有序列f(n)，则： …，f(n+2)，f(n+1)，…，f(n-1)，f(n-2)…等 称为f(n)的移位序列。 定义离散信号的差分运算表达式如下：
f(n) f(n)f(n1) n n(n1)
即一阶后向差分定义： f(n )f(n )f(n 1 ) 式中，▽称为差分算子。 本课程主要用后向差分，简称为差分。
7
2、差分方程
包含未知序列y(n)及其各阶差分的方程式称为
差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形
式，即：k
m
akiy(ni) bmj
f(nj)其中：a
k
1
i0
j0
上式称为阶（后向形式）差分方程。
1、自由响应 2、强制响应 3、零输入响应 4、零状态响应 5、全响应
系统全响应 = 自由响应+强制响应 = 零输入响应+零状态响应
3
2.1.3.连续时间系统与离散时间系统的比较
连续时间系统 数学模型 微分方程
经典法 时域分析
卷积积分法 拉普拉斯变换 变换域分析 傅里叶变换
离散时间系统
差分方程 经典法 卷积求和法 z变换 离散傅里叶变换
整理后可得：r[n ( 1 )T s] (R T s C 1 )r(ns)T R T se ( C ns)T
取T s为单位时间，即 Ts，1可得：
r(n1 )(1 1 )r(n)1e(n) RC RC
一阶线性常系 数差分方程
令 a01R C 1,b01/RC ，可得： 12 r ( n 1 ) a 0 r ( n ) b 0 e ( n )
初始条件为r(0)=2和r(1)=3，求方程的齐次解。
解：特征方程为 2 5 6 ( 2)( 3) 0
特征根为 1 2,2 3.
于是 rn (n) C1(2)n C2 (3)n
由初始条件 r(0) 2 C1 C2
r(1) 3 2C1 3C2
解得：
C1 3,C2 1
单输入单输出系统 的时域分析
2.1.概述
2.1.1 数学模型的求解方法
1.时域分析 l经典法求解离连散续系系统统：：差微分分方方程程 ●卷积积分（或卷积和）法
2.变换域分析
•傅里叶变换——FT
•拉普拉斯变换——LT
•z 变换——ZT
•离散傅里叶变换——DFT
•离散沃尔什变换——DWT
2
2.1.2 几个重要的概念：