3.1时域分析-一阶系统

或写成： h(t ) = C + C SS u
稳态分量
动态分量，当t趋 于无穷，衰减为零
一阶系统的单位斜坡响应曲线如下所示： r(t) T C(t)
t 一阶系统在斜坡输入下的稳态输出与输入的斜率 相等，只是滞后一个时间T，或者说存在着一个跟踪位 置误差，其数值与时间常数T的数值相等。其稳态误差 为： ess=t-Css=t-[t-T]=T 结论：一阶系统的斜坡响应是单调上升曲线，时间常数T 结论：一阶系统的斜坡响应是单调上升曲线，时间常数T 越小，响应就越快，稳态误差就越小， 越小，响应就越快，稳态误差就越小，输出量对输入信号 的滞后时间也越小。 的滞后时间也越小。
本章学习要点： 本章学习要点：
1、正确理解单位阶跃响应及其时域性能指标、稳定性、静 正确理解单位阶跃响应及其时域性能指标、稳定性、 态误差系数等； 态误差系数等； 掌握一阶、二阶系统的标准型及其阶跃响应的特点， 2、掌握一阶、二阶系统的标准型及其阶跃响应的特点，并 能掌握分析和综合一、二阶系统的方法（ 能掌握分析和综合一、二阶系统的方法（已知参数计算性 能指标；已知性能指标反求结构参数） 能指标；已知性能指标反求结构参数） 掌握运用代数判据判断系统的稳定性， 3、掌握运用代数判据判断系统的稳定性，并能进行参数的 分析、计算； 分析、计算； 掌握系统稳态误差的计算方法； 4、掌握系统稳态误差的计算方法； 5、掌握高阶系统的近似分析方法 6、掌握改善系统结构不稳定性和稳态精度的方法
稳态分量
动态分量，当t趋 于无穷，衰减为零
一阶系统的单位阶跃响应曲线如下所示：
2
起始斜率 T-1
1
一般取： ts=3T(s)(5%误差带) ts=4T(s)(2%误差带)
0.632
0 T 2T
0.865
3T
0.950
0.982
时间T是表示响应特性的唯一参数，它与输出有确定的 对应关系。一阶系统的响应没有超调量，故其性能指标主 要是调节时间ts，且无稳态误差，即ess为零。 结论：一阶系统的阶跃响应是单调上升指数曲线， 结论：一阶系统的阶跃响应是单调上升指数曲线，特性由 决定， 越小，过渡过程进行的越快，系统的快速性越好。 T决定，T越小，过渡过程进行的越快，系统的快速性越好
1 s
对C(s)取拉氏反变换，可得单位阶跃响应： 取拉氏反变换， 取拉氏反变换 可得单位阶跃响应：
h(t ) = L−1[ 1 1 1 1 ] ⋅ ] = L−1[ − Ts + 1 s s s+ 1 t T − h(t ) = 1 − e T (t ≥ 1)
则：
或写成： h(t ) = C + C SS u
1 s3
对C(s)取拉氏反变换，可得单位抛物线响应：
σ%=
h(t p ) - h(∞) h(∞)
×100%
6、振荡次数N：阶跃函数响应曲线在0～ts时间内，穿越 稳态值次数的一半称为振荡次数。 7、稳态误差ess：对单位负反馈系统，当时间t趋于无穷时， 系统单位阶跃响应的实际值（即稳态值）与期望值 （即输入量）之差，定义为稳态误差，即： ess＝1－h(∞)
4、峰值时间tp：单位阶跃响应函数曲线超过其稳态值而 峰值时间t 单位阶跃响应函数曲线超过其稳态值而 峰值时间 达到第一个峰值所需要的时间。 达到第一个峰值所需要的时间。 超调量σ 响应过程中， 5、超调量σ%: 响应过程中，输出量超出稳态值的最大 偏差值，一般用它与稳态值的比值的百分数表示， 偏差值，一般用它与稳态值的比值的百分数表示，即：
延迟时间 上升时间 峰值时间 调节时间 超调量 振荡次数 稳态误差
系统的快速性 控制工程领域 常用的三项技 术性能指标
系统的平稳性 系统的稳态精度
显然， 都是以小为好，通常σ 显然， σ% 和ts都是以小为好，通常σ%认为不宜 超过50％，振荡次数不超过一次半，而ts的长短可以随 超过50％，振荡次数不超过一次半， 50％，振荡次数不超过一次半 被控对象本身的时间尺度而可以有很大的差别。 被控对象本身的时间尺度而可以有很大的差别。
控制系统对上述四种典型输入信号的响应分别称为 阶跃响应、斜坡响应、抛物线响应和冲击响应。 阶跃响应、斜坡响应、抛物线响应和冲击响应。 这四种输入信号之间存在如下的关系： 这四种输入信号之间存在如下的关系：
d 1 2 2 t = t; dt
d t = 1; δ (t ) dt = 1(t ) dt
用matlab绘制曲线（T=1,2）
t=[0:0.1:5]; ht=1-exp(ht=1-exp(-t); plot(t,ht),grid; plot(t,ht),grid; xlabel(‘时间 时间’ ylabel(‘响应曲线 响应曲线’ xlabel( 时间’)，ylabel( 响应曲线’)
三、一阶系统的单位斜坡响应
单位斜坡输入的拉氏变换为： R( s ) = 则：
C (s) = φ ( s) × R( s) = 1 1 ⋅ 2 Ts + 1 s
1 s2
对C(s)取拉氏反变换，可得单位斜坡响应：
1 1 1 T T ] ⋅ 2 ] = L−1[ 2 − + Ts + 1 s s s s+ 1 t T − 则： h(t ) = t − T + T ⋅ e T (t ≥ 0) h(t ) = L−1[
∫
单位脉冲函数的拉氏变换为： （ ）＝ ）＝1 单位脉冲函数的拉氏变换为：R（s）＝ 幅值无穷大， 幅值无穷大，持续时间为零的脉冲在现实中是不存 在的，它是数学上的假设，但在系统分析上很有用。 在的，它是数学上的假设，但在系统分析上很有用。脉 动电压信号、冲击力、阵风等都可近似为脉冲作用。 动电压信号、冲击力、阵风等都可近似为脉冲作用
用matlab绘制曲线: (取T＝1) t=[0:0.1:5]; ht=t-1+exp(-t); rt=t; plot(t,t,rt,ht),grid;
四、一阶系统的单位抛物线响应
单位抛物线输入的拉氏变换为：R( s ) = 则：
C (s) = φ ( s) × R(s) = 1 1 ⋅ 3 Ts + 1 s
§3－1 典型输入信号及性能指标
一、典型输入信号
1、阶跃函数 其表达式为： r(t)= 其表达式为 a 0 t≥0 t<0 r(t) a t
0 叫做单位阶跃函数，记做1(t),则有 当a＝1时，叫做单位阶跃函数，记做 , 1 r(t)= 0 t<0 单位阶跃函数的拉氏变换为： 单位阶跃函数的拉氏变换为： R（s）＝ ）＝L[1(t)]=1/s （ ）＝ 常见的有指令的突然转换、 常见的有指令的突然转换、电源的突然接通等 t≧0
[]
∫
因此，在分析线性系统时，只需要知道一种输入函 因此，在分析线性系统时， 数的输出时间响应就可以确定另外一种输入函数的输 出响应。 出响应。 在实际应用时采用那种典型输入信号， 在实际应用时采用那种典型输入信号，取决于系 统常见的工作状态。 统常见的工作状态。 选择单位阶跃信号作为输入， 选择单位阶跃信号作为输入，研究系统的响应所 具有的特性，其中某些特征参数就衡量了系统的性能， 具有的特性，其中某些特征参数就衡量了系统的性能， 因此被定义为性能指标 性能指标。 因此被定义为性能指标。
4、脉冲函数（脉动函数） 脉冲函数（脉动函数） 1/△ 0<t<△ 其表达式为： 其表达式为： r(t)= 0 t<0,t>△ 若对脉动函数的宽度△取极限， 若对脉动函数的宽度△取极限，则得单位脉冲函数 其数学描述为： δ（t）,其数学描述为： 其数学描述为 ∞ t＝0 +∞ δ(t)= δ(t)dt=1 且 -∞ 0 t≠称为一阶系统。 由一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。
一、一阶系统的数学模型（惯性环节） 一阶系统的数学模型（惯性环节）
微分方程为： 微分方程为：
T dc(t ) + c(t ) = r (t ) dt
R(s) K s
一阶系统的结构图为： 一阶系统的结构图为：
h(t)
不稳定系统 h(t)
临界稳定系统 h(t)
t h(t) h(t)
t
t
t 稳定系统
t
3、对系统动态性能的要求 控制系统的典型单位阶跃响应曲线如下图所示：
系统从初始状态到接近最终状态的响应过程称为过 渡过程，可以对它作定量描述，并由次提出以下的性 渡过程，可以对它作定量描述， 能指标： 能指标： 延迟时间t 1、延迟时间ta：单位阶跃响应曲线上升到其稳态值的 50％所需要的时间。 50％所需要的时间。 上升时间t 单位阶跃响应曲线从稳态值的10 10％ 2、上升时间tr：单位阶跃响应曲线从稳态值的10％上 升到90 所需要的时间（对于欠阻尼系统， 90％ 升到90％所需要的时间（对于欠阻尼系统，通常是指 从零增长， 从零增长，第一次达到稳定值或给定值所需要的时 间）。 调节时间t 也叫过渡过程时间， 3、调节时间ts：也叫过渡过程时间，指响应曲线最后 ％（或者 ％）的范围并 或者2 进入偏离稳态值的误差为±5％（或者2％）的范围并 且不再越出这个范围的时间。 且不再越出这个范围的时间。
2、速度函数（斜坡函数） 速度函数（斜坡函数） r(t) at t≧0 其表达式为： 其表达式为： r(t)= 0 t<0 0 叫做单位速度函数， 当a＝1时，叫做单位速度函数，则有 t r(t)= t≧0 t 0
at t
0 t<0 单位速度函数的拉氏变换为： 单位速度函数的拉氏变换为： R（s）＝ at]=a/s2 ）＝L[ （ ）＝ 常见的有大型船闸的匀速升降、 常见的有大型船闸的匀速升降、数控机床加工斜面时 的进给指令等。 的进给指令等。
3、加速度函数（抛物线函数） 加速度函数（抛物线函数） at2 t≧0 其表达式为： 其表达式为： r(t)= 0 t<0
r(t)