九年级北师大版数学上册第一章质量检测题
第一章：特殊平行四边形质量检测（时间 90 分钟，满分 100 分） 一、 选择题(共 20 分，每小题 2 分) 1. （ 2014 •松 江 区 二 模 ） 顺 次 连 接 等 腰 梯 形 各 边 中 点 所 围 成 的 四 边 形 是 （A． 平 行 四 边 形 B． 矩 形 C． 菱 形 ） ） D． 正 方 形2.（ 2014 •槐 荫 区 二 模 ） 下 列 说 法 中 ， 错 误 的 是 （A． 平 行 四 边 形 的 对 角 线 互 相 平 分 B． 对 角 线 互 相 平 分 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 C． 菱 形 的 对 角 线 互 相 垂 直 D． 对 角 线 互 相 垂 直 的 四 边 形 是 菱 形3. （ 2012 •长 沙 ）已 知 ：菱 形 ABCD 中 ，对 角 线 AC 与 BD 相 交 于 点 O ， OE ∥ DC 交 BC于 点 E ， AD=6cm ， 则 OE 的 长 为 （ ）A.6cmB.4cmC.3cmD.2cm4. （ 2011 •峨 眉 山 市 二 模 ） 四 边 形 ABCD 的 对 角 线 AC 和 BD 相 交 于 点 O ， 设 有 下 列条 件 ：① AB=AD ；② ∠ DAB=90 °；③ AO=CO ， BO=DO ；④ 矩 形 ABCD ；⑤ 菱 形 ABCD ， ⑥ 正 方 形 ABCD ， 则 下 列 推 理 不 成 立 的 是 （ A． ① ④ ⇒⑥ B． ① ③ ⇒⑤ ） C． ① ② ⇒⑥ D． ② ③ ⇒④5. （ 2010 •安 顺 ） 将 矩 形 纸 片 ABCD 按 如 图 所 示 的 方 式 折 叠 ， 得 到 菱 形 AECF ． 若 AB=3 ，则 BC 的 长 为 （ ）A.1B.2C. 2D. 3）6. （ 2010 •北 京 ） 菱 形 的 两 条 对 角 线 的 长 分 别 是 6 和 8， 则这个菱形的周长是 （A ． 24 B ． 20 C ． 10 D． 57. （ 2014 •烟 台 ）如 图 ，在 菱 形 ABCD 中 ， M ， N 分 别 在 AB ， CD 上 ，且 AM=CN ， MN与 AC 交 于 点 O ， 连 接 BO ． 若 ∠ DAC=28 °， 则 ∠ OBC 的 度 数 为 （ A ． 28 ° B ． 52 ° C ． 62 ° ） D ． 72 °18. （ 2014 •攀 枝 花 ）如 图 ，两 个 连 接 在 一 起 的 菱 形 的 边 长 都 是 1cm ，一 只 电 子 甲 虫 从点 A 开 始 按 ABCDAEFGAB … 的 顺 序 沿 菱 形 的 边 循 环 爬 行 ， 当 电 子 甲 虫 爬 行 2014cm 时 停下，则它停的位置是（ A． 点 F ） C． 点 A D． 点 CB． 点 E9. （ 2014 •淄 博 ） 如 图 ， 矩 形 纸 片 ABCD 中 ， 点 E 是 AD 的 中 点 ， 且 AE=1 ， BE 的 垂 直平 分 线 MN 恰 好 过 点 C ． 则 矩 形 的 一 边 AB 的 长 度 为 （ ）A． 1B. 2C. 3D.210. 2014 •福 州 ）如 图 ，在 正 方 形 ABCD 的 外 侧 ，作 等 边 三 角 形 ADE ， AC 、 BE 相 交 于 点F ， 则 ∠ BFC 为 （ A ． 45 ° ） B ． 55 ° C ． 60 ° D ． 75 °二、 填空题（共 20 分，每小题 2 分） 1. （ 2009 •烟 台 ）如 图 ，将 两 张 长 为 8 ，宽 为 2 的 矩 形 纸 条 交 叉 ，使 重 叠 部 分 是 一 个菱 形 ， 容 易 知 道 当 两 张 纸 条 垂 直 时 ， 菱 形 的 周 长 有 最 小 值 8， 那 么 菱 形 周 长 的 最 大 值是22. （ 2009 •江 西 ） 如 图 ， 一 活 动 菱 形 衣 架 中 ， 菱 形 的 边 长 均 为 16cm ， 若 墙 上 钉 子 间的 距 离 AB=BC=16cm ， 则 ∠ 1=度。
3. （ 2009 •毕 节 地 区 ）如 图 ，边 长 为 3 的 正 方 形 ABCD 绕 点 C 按 顺 时 针 方 向 旋 转 30 °后 得 到 正 方 形 EFCG ， EF 交 AD 于 点 H ， 那 么 DH 的 长 是4. （ 2014 •泸 州 ）一 个 平 行 四 边 形 的 一 条 边 长 为 3 ，两 条 对 角 线 的 长 分 别 为 4 和 2 5则它的面积为 5. （ 2014 •龙 东 地 区 ） 如 图 ， 菱 形 ABCD 中 ， 对 角 线 AC=6 ， BD=8 ， M 、 N 分 别 是 BC 、 CD 的 中 点 ， P 是 线 段 BD 上 的 一 个 动 点 ， 则 PM+PN 的 最 小 值 是6.（ 2014 •普 宁 市 模 拟 ）如 图 ，在 矩 形 ABCD 中 ，对 角 线 AC 、 BD 相 交 于 点 O ，点 E 、 F 分 别 是 AO 、 AD 的 中 点 ， 若 AB=6cm ， BC=8cm ， 则 EF=7. （ 2005 •黄 石 ）已 知 菱 形 的 周 长 为 40cm ，两 条 对 角 线 之 比 为 3 ： 4 ，则 菱 形 的 面 积为cm238. （ 2014 •西 宁 ）如 图 ，点 G 是 正 方 形 ABCD 对 角 线 CA 的 延 长 线 上 任 意 一 点 ，以 线段 AG 为 边 作 一 个 正 方 形 AEFG ， 线 段 EB 和 GD 相 交 于 点 H 。
则：EB=9. （ 2006 •绍 兴 ） 如图， 将 边 长 为 1 的 正 方 形 OAPB 沿 x 轴 正 方 向 连 续 翻 转 2006 次 ，点 P 依 次 落 在 点 P1， P2， P3， P4， … ， P2006 的 位 置 ， 则 P2006 的 横 坐 标 x2006=10. （ 2006 •临 汾 ） 如 图 ， 依 次 连 接 第 一 个 正 方 形 各 边 的 中 点 得 到 第 二 个 正 方 形 ，再依次连接第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去．若第 一 个 正 方 形 边 长 为 1， 则 第 n 个 正 方 形 的 面 积． 三、 证 明 题 （ 共 60 分 ）1. （ 2014 •安 顺 ） 已 知 ： 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AB=AC ， AD ⊥ BC ， 垂 足 为 点 D ， AN 是△ ABC 外 角 ∠ CAM 的 平 分 线 ， CE ⊥ AN ， 垂 足 为 点 E ， （ 1 ） 求 证 ： 四 边 形 ADCE 为 矩 形 ； （ 2 ） 当 △ ABC 满 足 什 么 条 件 时 ， 四 边 形 ADCE 是 一 个 正 方 形 ？ 并 给 出 证 明 ．42. （ 2011 •呼 伦 贝 尔 ） 如 图 ， 四 边 形 ABCD 中 ， 对 角 线 相 交 于 点 O ， E 、 F 、 G 、 H 分别 是 AD 、 BD 、 BC 、 AC 的 中 点 ． （ 1 ） 求 证 ： 四 边 形 EFGH 是 平 行 四 边 形 ； （ 2） 当 四 边 形 ABCD 满 足 一 个 什 么 条 件 时 ， 四 边 形 EFGH 是 菱 形 ？ 并 证 明 你 的 结 论 ．3.（ 2014 •宜 兴 市 模 拟 ） 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， D 是 BC 边 上 的 一 点 ， E 是 AD 的 中 点 ，过 A 点 作 BC 的 平 行 线 交 CE 的 延 长 线 于 点 F ， 且 AF=BD ， 连 接 BF ． （ 1 ） 求 证 ： BD=CD ； （ 2 ） 如 果 AB=AC ， 试 判 断 四 边 形 AFBD 的 形 状 ， 并 证 明 你 的 结 论4. （ 2009 •铁 岭 ） △ ABC 是 等 边 三 角 形 ， 点 D 是 射 线 BC 上 的 一 个 动 点 （ 点 D 不 与点 B、 C 重 合 ） ， △ ADE 是 以 AD 为 边 的 等 边 三 角 形 ， 过 点 E 作 BC 的 平 行 线 ， 分 别 交 射 线 AB 、 AC 于 点 F 、 G ， 连 接 BE ． （ 1 ） 如 图 （ a ） 所 示 ， 当 点 D 在 线 段 BC 上 时 ． ① 求 证 ： △ AEB ≌ △ ADC ； ② 探 究 四 边 形 BCGE 是 怎 样 特 殊 的 四 边 形 ？ 并 说 明 理 由 ； （ 2 ） 如 图 （ b ） 所 示 ， 当 点 D 在 BC 的 延 长 线 上 时 ， 直 接 写 出 （ 1 ） 中 的 两 个 结 论 是 否成立； （ 3 ） 在 （ 2 ） 的 情 况 下 ， 当 点 D 运 动 到 什 么 位 置 时 ， 四 边 形 BCGE 是 菱 形 ？ 并 说 明理由．55. 已 知 ： 如 图 ， 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， 过 AB 的 中 点 E 作 AC 的 垂 线 EF ， 交 AD 于 点 M ， 交 CD 的 延 长 线 于 点 F ． （ 1 ） 求 证 ： AM=DM ； （ 2 ） 若 DF=2 ， 求 菱 形 ABCD 的 周 长 ．6. （ 2014 •张 家 界 ） 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， AB=AD ， CB=CD ， AC 与 BD 相 交 于 O点 ， OC=OA ， 若 E 是 CD 上 任 意 一 点 ， 连 接 BE 交 AC 于 点 F ， 连 接 DF ．6。
2022-2023学年北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试题含答案
第一章 特殊平行四边形一 选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)1.如图,在矩形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,下列说法不正确的是 ( )A.AB ∥DCB.AC=BDC.AC ⊥BDD.OA=OB(第1题) (第2题)2.如图,菱形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,E 为AD 的中点,连接OE ,若OE=3,则菱形ABCD 的周长为 ( )A.10B.12C.16D.243.如图,正方形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,P 为边BC 上一点,且BP=OB ,则∠COP= ( ) A.15° B.22.5° C.25°D.17.5°(第3题) (第4题)4.如图,在矩形ACBE 中,∠ABC=30°,AB 交CE 于点D ,若AC=2,则CD 的长为 ( )A.2B.3C.4D.55.如图,EF 过矩形ABCD 的对角线的交点O ,且分别交AB ,CD 于点E ,F ,那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的 ( )A.15B.14C.13D.310(第5题) (第6题)6.如图,已知▱ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,下列说法正确的是( ) A.当OA=OB 时,▱ABCD 为菱形 B.当AB=AD 时,▱ABCD 为正方形 C.当∠ABC=∠BCD 时,▱ABCD 为矩形 D.当AC ⊥BD 时,▱ABCD 为正方形7.如图,在矩形ABCD 中,BC=8,AB=4,点E ,F 分别为AD 和BC 的中点,连接CE ,DF ,交于点O ,连接AO ,则AO 的长为( )A.2√10B.5√2C.32√10 D.4√2(第7题)(第8题)8.如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,要使四边形EFGH是菱形,四边形ABCD应满足的一个条件是()A.AD=BCB.AC⊥BDC.AC=BDD.AB=CD9.如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB'C'D',边B'C'与DC 相交于点O,则OC的长是() A.2√2-2 B.2+√2 C.2-√2 D.√2(第9题)(第10题)10.如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B'处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是() A.12 B.24 C.12√3 D.16√3二填空题(共5小题,每小题3分,共15分)11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,若∠A=26°,则∠DCA=.(第11题)(第12题)12.如图,在平面直角坐标系中,矩形木框OABC的顶点B的坐标为(1,2),若固定OA,向左推矩形木框OABC,使点B落在y轴上的点B'处,则点C的对应点C'的坐标为.13.对下列现象中蕴含的数学原理阐述正确的是(填序号).图(1)图(2)图(3)①如图(1),工人师傅在做矩形门窗时,不仅要测量出两组对边的长度相等,还要测量出两条对角线的长度相等,以确保门窗是矩形.其依据是“对角线相等的四边形是矩形”.②如图(2),将两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起,重合部分构成的四边形ABCD一定是菱形.其依据是“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”.③把一张矩形纸片按图(3)的方式折一下,然后沿EF裁剪,打开就可以得到正方形.其依据是“有一组邻边相等的矩形是正方形”.14.如图,P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥DC于点E,PF⊥BC于点F,若CF=3,CE=4,则AP的长是.(第14题)(第15题)15.如图,在边长为6的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E为AB的中点,F为AC上一动点,连接EF,BF,则EF+BF的最小值是.三解答题(共6小题,共55分)16.(7分)如图,正方形ABCD中,点E,F分别在边CD,AD上,DE=AF,BE与CF相交于点G.(1)求证:BE=CF.(2)若BC=4,DE=1,求CF的长.17.(8分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E.(1)求证:BD=BE.(2)若BE=10,CE=6,连接OE,求△ODE的面积.18.(8分)如图,在矩形ABCD中,AB=3 cm,BC=6 cm.点P从点D出发向点A运动,运动到点A即停止;同时,点Q从点B出发向点C运动,运动到点C即停止.点P,Q的速度都是1 cm/s.连接PQ,AQ,CP.设点P,Q运动的时间为t s.(1)当t为何值时,四边形ABQP是矩形?(2)当t为何值时,四边形AQCP是菱形?19.(9分)如图(1),在菱形纸片ABCD中,∠A=45°.对其进行如下操作:如图(2),现将纸片进行折叠,使点A与点D重合,点C与点D重合,折痕分别为EG,FH,且两条折痕的延长线交于点O.(1)求∠EOF的度数;(2)四边形DGOH是菱形吗?请说明理由.图(1)图(2)20.(10分)我们给出如下定义:把对角线互相垂直的四边形叫做“对角线垂直四边形”.如图(1),在四边形ABCD中,AC⊥BD于点O,四边形ABCD就是“对角线垂直四边形”.(1)下列四边形,一定是“对角线垂直四边形”的是.①平行四边形,②矩形,③菱形,④正方形.(2)如图(2),在“对角线垂直四边形ABCD”中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是矩形.图(1)图(2)(3)小明说:计算“对角线垂直四边形”的面积可以仿照求菱形的面积的方法,其面积是对角线长的乘积的一半.小明的说法正确吗?如果正确,请结合图(1)说明理由;如果不正确,请给出反例.21.(13分)如图(1),矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DP∥OC,且DP=OC,连接CP.(1)猜想:请你判断四边形CODP的形状,并说明理由.(2)证明:如果将矩形变为菱形,如图(2),请你判断四边形CODP的形状,并说明理由.(3)应用:如果将矩形变为正方形,如图(3),请你判断四边形CODP的形状,并说明理由.图(1)图(2)图(3)答案解析1.C根据矩形的性质可知,矩形的对角线不一定互相垂直.故选C.【归纳总结】矩形的有关性质①边,矩形的对边平行且相等;②角,矩形的四个角都是直角;③对角线,矩形的对角线互相平分且相等.2.D根据菱形的性质可知,O是AC的中点.∵E为AD的中点,∴OE为△ACD的中位线,∴CD=2OE=6.又菱形的四边相等,∴菱形ABCD的周长为6×4=24.故选D.【一题多解】由题意得∠AOD=90°.在Rt△AOD中,∵E为AD的中点,∴AD=2OE=2×3=6,∴菱形ABCD的周长为6×4=24.故选D.3.B∵四边形ABCD是正方形,∴∠BOC=90°,∠OBC=45°.∵BP=OB,∴∠BOP=∠BPO=12(180°-45°)=67.5°,∴∠COP=90°-67.5°=22.5°.故选B.4.A∵四边形ACBE是矩形,∴∠ACB=90°,D为AB的中点.∵AC=2,∠ABC=30°,∴AB=2AC=4,∴CD=12AB=2,故选A.5.B∵四边形ABCD为矩形,∴OB=OD,AB∥CD,∴∠EBO=∠FDO.在△EBO与△FDO中,∵∠EOB=∠FOD,OB=OD,∠EBO=∠FDO,∴△EBO≌△FDO,∴S阴影部分=S△AEO+S△EBO=S△AOB.∵S△AOB=12S△ABC=14S矩形ABCD,∴S阴影部分=14S矩形ABCD.故选B.【数学思想】本题利用全等三角形把不规则图形的面积转化为较简单的规则图形的面积,进而利用整体思想求解.6.C∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.又OA=OB,∴AC=BD,由“对角线相等的平行四边形是矩形”,可判定▱ABCD为矩形,故选项A中说法错误.当AB=AD时,由菱形的定义可知,▱ABCD为菱形,故选项B中说法错误.∵在▱ABCD中,AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°.又∠ABC=∠BCD,∴∠ABC=90°.由矩形的定义,可判定▱ABCD为矩形,故选项C中说法正确.当AC⊥BD时,根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”,可判定▱ABCD为菱形,但无法判定其为正方形,故选项D中说法错误.故选C.7.A连接EF,过点O作OM⊥AD于点M,易证四边形EFCD为正方形,∴OM=MD=12AB=2,∴AM=6.在Rt△AOM中,由勾股定理,得AO=√AM2+OM2=2√10.8.A∵点E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,∴GH∥AD,EF∥AD,FG∥BC,HE∥BC,且GH=12AD,EH=12BC,∴EF∥GH,HE∥FG,∴四边形EFGH是平行四边形.当AD=BC时,GH=EH,此时平行四边形EFGH是菱形.故选A.9.C如图,连接B'C,AC.∵旋转角∠BAB'=45°,∠BAC=45°,∴点B'在对角线AC上.∵AB=AB'=BC=1,∴AC=√2,∴B'C=√2-1.在等腰直角三角形OB'C中,OB'=B'C=√2-1,∴OC=√2(√2-1)=2-√2.故选C.10.D在矩形ABCD中,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB=60°.由翻折可知,∠EFB'=60°,∠A'B'F=∠B=90°,∠A'=∠A=90°,A'E=AE=2,A'B'=AB.在△EFB'中,∵∠B'EF=∠EFB'=60°,∴△EFB'是等边三角形.在Rt△A'EB'中,∵∠A'B'E=90°-60°=30°,∴B'E=2A'E=4,∴A'B'=2√3,即AB=2√3.∵AE=2,DE=6,∴AD=AE+DE=2+6=8,∴矩形ABCD的面积=AB·AD=2√3×8=16√3.故选D.AB=AD,∴∠DCA=∠A=26°.11.26°【解析】∵∠ACB=90°,D是AB的中点,∴DC=1212.(-1,√3)【解析】∵四边形OABC是矩形,点B的坐标为(1,2),∴OA=1,AB=2.由题意得AB'=AB=2,四边形OAB'C'是平行四边形,∴OB'=√AB'2-OA2=√3,B'C'=OA=1,∴点C的对应点C'的坐标为(-1,√3).13.②③【解析】①∵两组对边的长度相等,∴四边形是平行四边形.又对角线相等,∴该平行四边形是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形),故①错误.②如图,由矩形的对边平行,可得AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.过点D分别作AB,BC边上的高DE,DF,则DE=DF.∵平行四边形ABCD的面积=AB×DE=BC×DF,∴AB=BC,∴平行四边形ABCD为菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形),故②正确.③根据折叠可知,所得到的四边形有三个直角,∴该四边形为矩形.又有一组邻边相等,∴该矩形为正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形),故③正确.故正确的阐述为②③.14.5【解析】如图,连接PC.∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADP=∠CDP.∵PD=PD,∴△APD≌△CPD,∴AP=CP.∵四边形ABCD是正方形,∴∠DCB=90°.∵PE⊥DC,PF⊥BC,∴四边形PFCE是矩形,∴PC=EF.在Rt△CEF中,EF=√CE2+CF2=√42+32=5,∴AP=CP=EF=5.15.3√3【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴点B,D关于AC对称,AB=AD.如图,连接BD,ED,则ED 的长即为EF+BF的最小值.∵∠DAB=60°,∴△ABD是等边三角形.∵E为AB的中点,∴DE⊥AB,AE=12AB=3.在Rt△ADE中,根据勾股定理,得ED=√AD2-AE2=√62-32=3√3,∴EF+BF 的最小值为3√3.16.【参考答案】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD=DA,∠BCE=∠CDF=90°.(2分)∵DE=AF,∴CE=DF.(3分)在△BCE和△CDF中,{BC=CD,∠BCE=∠CDF, CE=DF,∴△BCE≌△CDF,∴BE=CF.(5分) (2)∵CD=AD=BC=4,AF=DE=1,∴DF=3.在Rt△CDF中,CF=√CD2+DF2=5.(7分) 17.【参考答案】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AB∥CD.又BE∥AC,∴四边形ABEC是平行四边形,∴AC=BE,∴BD=BE.(3分)(2)如图,过点O作OF⊥CD于点F.∵四边形ABCD是矩形,∴∠BCD=90°,∴∠BCE=90°.在Rt△BCE中,根据勾股定理可得BC=8.∵BE=BD,∴CD=CE=6,∴DE=12.∵OD=OC,∴CF=DF.又OB=OD,∴OF为△BCD的中位线,∴OF=12BC=4,∴S△ODE=12DE·OF=12×12×4=24.(8分)18.【参考答案】(1)由题意得,BQ=DP=t,AP=CQ=6-t.在矩形ABCD中,∠B=90°,AD∥BC.要使四边形ABQP是矩形,则BQ=AP,即t=6-t,解得t=3.故当t=3时,四边形ABQP是矩形.(4分) (2)由题意得,四边形AQCP是平行四边形.要使平行四边形AQCP是菱形,则AQ=CQ,即√32+t2=6-t,解得t=94.故当t=94时,四边形AQCP是菱形.(8分)19.【参考答案】(1)由折叠可知∠DEG=∠DFH=90°.∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,∠C=∠A=45°,∴∠A+∠ADC=180°,∴∠ADC=135°.∵∠EOF+∠DEG+∠DFH+∠ADC=360°,∴∠EOF=360°-90°-90°-135°=45°.(4分) (2)是菱形.(5分)理由:由折叠可知∠ADG=∠A=45°,∠CDH=∠C=45°.∵∠ADC=135°,∴∠GDC=∠ADH=90°.∵∠AEG=∠CFH=90°,∴GE∥DH,GD∥HF,∴四边形DGOH是平行四边形.(7分)∵∠A=∠C,AD=CD,∠ADG=∠CDH,∴△ADG≌△CDH,∴DG=DH,∴四边形DGOH是菱形.(9分)20.【参考答案】(1)③④(2分) (2)∵点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,∴HG∥AC,EF∥AC,∴HG∥EF.同理可得HE∥GF.∴四边形EFGH是平行四边形.(4分)∵DB⊥AC,∴HE⊥HG,∴∠EHG=90°,∴四边形EFGH是矩形.(6分) (3)正确.(7分)理由:S四边形ABCD=S△ADC+S△BAC=12AC·OD+12AC·BO=12AC(OD+OB)=12AC·BD,即“对角线垂直四边形”的面积是对角线长的乘积的一半.(10分)【提分技法】解决中点四边形的有关方法(1)解决中点四边形问题,往往借助三角形的中位线的性质证明四边形的对边相等或平行.(2)中点四边形的形状由原来四边形对角线的特征决定.连接矩形各边中点得到的四边形是菱形;连接菱形各边中点得到的四边形是矩形;连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.21.【解题思路】(1)由DP∥OC且DP=OC,得四边形CODP是平行四边形,根据矩形的性质得OC=OD,从而可证得四边形CODP是菱形;(2)由DP∥OC且DP=OC,得四边形CODP是平行四边形,又根据菱形的性质得∠DOC=90°,从而证得四边形CODP是矩形;(3)由DP∥OC且DP=OC,得四边形CODP 是平行四边形,又由正方形的性质得∠DOC=90°,OD=OC,从而证得四边形CODP是正方形.【参考答案】(1)四边形CODP是菱形.(1分)理由:∵DP∥OC,DP=OC,∴四边形CODP是平行四边形.(2分)∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,OC=12AC,OD=12BD,∴OC=OD,∴四边形CODP是菱形.(4分) (2)四边形CODP是矩形.(5分)理由:∵DP∥OC,DP=OC,∴四边形CODP是平行四边形.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴∠DOC=90°,∴四边形CODP是矩形.(8分) (3)四边形CODP是正方形.(9分)理由:∵DP∥OC,DP=OC,∴四边形CODP是平行四边形.∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,AC=BD,OC=12AC,OD=12BD,∴∠DOC=90°,OC=OD,(12分)∴四边形CODP是正方形.(13分)。
北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》单元质量评估试卷含答案
九年级数学上册第1章特殊平行四边形质量评估(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.如图所示,在菱形ABCD中,∠BAD＝120°.已知ΔABC的周长是15,则菱形ABCD的周长是()A.25B.20C.15D.102.四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列条件中能判定此四边形是正方形的是 ()①AC＝BD,AB∥CD,AB＝CD;②AD∥BC,∠BAD＝∠BCD;③AO＝CO,BO＝DO,AB＝BC;④AO＝BO＝CO＝DO,AC⊥BD.A.1个B.2个C.3个D.4个3.RtΔABC中,CD是斜边AB上的高,∠A＝25°,则∠BCD度数为()A.25°B.65°C.15°D.35°4.如图所示,菱形ABCD中,AB＝2,∠A＝120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上任意一点,则PK＋QK的最小值为()A.1B.C.2D.＋15.(黄石中考)如图所示,一个矩形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则图中∠1＋∠2的度数是()A.30°B.60°C.90°D.120°6.(南昌中考)如图(1)所示,将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形,得到一个“图案”,如图(2)所示,再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形,如图(3)所示,则新矩形的周长可表示为()A.2a-3bB.4a-8bC.2a-4bD.4a-10b7.(丽水中考)如图所示,小红在作线段AB的垂直平分线时,是这样操作的:分别以点A,B为圆心,大于线段AB 长度的一半的长为半径画弧,相交于点C,D,则直线CD即为所求.连接AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知四边形ADBC一定是()A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形8.(上海中考)如图所示,已知AC,BD是菱形ABCD的对角线,那么下列结论一定正确的是()A.ΔABD与ΔABC的周长相等B.ΔABD与ΔABC的面积相等C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍9.(聊城中考)如图所示,在矩形ABCD中,边AB的长为3,点E,F分别在AD,BC上,连接BE,DF,EF,BD,若四边形BEDF是菱形,且EF＝AE＋FC,则BC的长为()A.2B.3C.6D.10.(德州中考)如图所示,在一张矩形纸片ABCD中,AB＝4,BC＝8,点E,F分别在AD,BC上,将纸片ABCD沿直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,有以下四个结论:①四边形CFHE是菱形;②CE平分∠DCH;③线段BF的取值范围为3≤BF≤4;④当点H与点A重合时,EF＝2.以上结论中,你认为正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(每小题4分,共24分)11.如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点B,D作BF⊥a于点F,DE⊥a于点E,若DE＝4,BF ＝3,则EF的长为.12.如图所示,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,若AB＝2,AD＝4,则图中阴影部分的面积为.13.如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点.若AC＝8,BD＝6,则四边形EFGH的面积为.14.(天门中考)将相同的矩形卡片按如图所示的方式摆放在一个直角上,每个矩形卡片长为2,宽为1,以此类推,摆放2014个时,实线部分长为.…15.(大连中考)如图所示,菱形ABCD中,AC,BD相交于点O,若∠BCO＝55°,则∠ADO＝°.16.(十堰中考)如图所示,在ΔABC中,点D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE＝DF,给出下列条件:①BE⊥EC;②BF∥EC;③AB＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是(只填写序号).三、解答题(共66分)17.(6分)如图所示,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.求证OE＝BC.18.(6分)如图所示,在正方形ABCD中,点M是对角线BD上的一点,过点M作ME∥CD交BC于点E,作MF ∥BC交CD于点F.求证AM＝EF.19.(8分)如图所示,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点,连接AF,CE.(1)求证ΔBEC≌ΔDFA;(2)求证四边形AECF是平行四边形.20.(8分)如图所示,在平行四边形ABCD中,以AC为斜边作RtΔAEC,使∠BED＝90°,则四边形ABCD是矩形.试说明理由.21.(9分)如图所示,已知矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠ACB＝30°,AB＝2.(1)求AC的长;(2)求∠AOB的度数;(3)以OB,OC为邻边作菱形OBEC,求菱形OBEC的面积.22.(9分)(贵阳中考)如图所示,在RtΔABC中,∠ACB＝90°,D,E分别为AB,AC边上的中点,连接DE,将ΔADE 绕点E旋转180°得到ΔCFE,连接AF,CD.(1)求证四边形ADCF是菱形;(2)若BC＝8,AC＝6,求四边形ABCF的周长.23.(9分)如图所示,在RtΔABC中,∠ACB＝90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE.(1)求证CE＝AD;(2)当D为AB中点时,四边形BECD是什么特殊的四边形?说明你的理由;(3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由.24.(11分)(临沂中考)问题情境:如图(1)所示,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.探究展示:(1)求证AM＝AD＋MC;(2)AM＝DE＋BM是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.拓展延伸:(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图(2)所示,探究展示(1)(2)中的结论是否成立?请分别作出判断,不需要证明.【答案与解析】1.B2.A3.A4.B5.C(解析:由题意得剩下的三角形是直角三角形,所以∠1＋∠2＝90°.故选C.)6.B(解析:每个小矩形的长为(a-b),宽为(a-3b),则拼成的新矩形的周长为2[(a-b)＋(a-3b)],化简得4a-8b.故选B.)7.B(解析:由题意知AC＝BC＝BD＝AD,则四边形ADBC为菱形.故选B.)8.B(解析:根据菱形的性质,知ΔABD与ΔABC中有边AB＝AB,AD＝BC,很明显AC与BD不一定相等,所以选项A错误;根据平行线的性质:平行线之间的距离处处相等,所以ΔABD与ΔABC为同底等高的两个三角形,所以它们的面积相等,所以选项B正确;选项C,D都是错误的.故选B.)9.B(解析:∵四边形ABCD是矩形,∴AD＝BC,∵四边形BEDF是菱形,∴DE＝BF.∴AE＝CF.∵EF＝AE＋FC,∴AE ＝OE.∴RtΔAEB≌RtΔOEB.∴AB＝OB＝3.∴BD＝6.∴AD＝BC＝-＝3.故选B.)10.C(解析:∵FH与CG,EH与CF均为矩形ABCD中对边AD,BC上一部分,∴FH∥CG,EH∥CF,∴四边形CEHF 是平行四边形,又由翻折的性质可得CF＝FH,∴平行四边形CEHF是菱形,故①正确;由四边形CEHF是菱形,可知∠HCF＝∠HCE,若CE平分∠DCH,只有∠DCE＝30°,故②错误;当H与A重合时,设BF＝x,则AF＝FC＝8-x,在RtΔABF中,AB2＋BF2＝AF2,即42＋x2＝(8-x)2,解得x＝3,得到BF的最小值为3,当点G与点D重合时,CF＝CD＝4,∴BF＝BC-CF＝4,得到BF的最大值为4,∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4,故③正确;如图所示,过点F作FM⊥AD于M,由③可知BF＝HM＝3,∴BC-BF＝5,∵四边形CEHF是菱形,∴EH＝CF＝5,∴EM＝EH-HM＝2,∵在RtΔEMF中,MF＝AB＝4,∴EF＝＋＝2故④正确.故选C.)11.7(解析:∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝AD,∠BAD＝90°,∴∠BAF＋∠DAE＝90°.∵BF⊥AF,DE⊥AE,∴∠AFB ＝∠DEA＝90°,∠BAF＋∠ABF＝90°,∴∠ABF＝∠DAE.在ΔAFB和ΔDEA中,∠ABF＝∠DAE,∠AFB＝∠AED,AB ＝AD,∴ΔAFB≌ΔDEA,∴AF＝DE＝4,AE＝BF＝3,∴EF＝AF＋AE＝4＋3＝7.)12.413.1214.5035 (解析:第一个图形实线部分长为1＋2＝3;第二个图形实线部分长为1＋2＋2＝5;第三个图形实线部分长为1＋2＋2＋3＝8;第四个图形实线部分长为1＋2＋2＋3＋2＝10;第五个图形实线部分长为1＋2＋2＋3＋2＋3＝13;第六个图形实线部分长为1＋2＋2＋3＋2＋3＋2＝15;….可以发现变化规律为:第偶数个图形的实线部分长比前一奇数个图形的多2,后一奇数个图形的实线部分长比前一偶数个图形的多3.综合分析可以发现:当矩形纸片n为偶数时,实线部分的长为5×,因此摆放2014个矩形时,实线部分长为5035.故填5035.)15.35 (解析:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AD∥BC.∴∠BOC＝90°,∠CBO＝∠ADO.∵∠BCO＝55°,∴∠CBO ＝90°-55°＝35°.∴∠ADO＝35°.)16.③ (解析:需添加条件③.理由:∵点D是BC的中点,∴BD＝DC,又∵DE＝DF,∴四边形BECF为平行四边形,∵AB＝AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,∴平行四边形BECF为菱形.故填③.)17.证明:∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.∴∠DOC＝90°.∴四边形OCED是矩形.∴OE＝CD.∵四边形ABCD是菱形,∴CD＝BC.∴OE＝BC.18.证明:连接MC.∵四边形ABCD是正方形,∴AD＝CD,∠ADM＝∠CDM,又∵DM＝DM,∴ΔADM≌ΔCDM,∴AM ＝CM.∵ME∥CD,MF∥BC,∴四边形CEMF是平行四边形,又∵∠ECF＝90°,∴▱CEMF是矩形,∴EF＝MC,又∵AM ＝CM,∴AM＝EF.19.证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AB＝CD,AD＝BC,又∵E,F分别是边AB,CD的中点,∴BE＝DF,∵在ΔBEC 和ΔDFA中,BC＝DA,∠B＝∠D,BE＝DF,∴ΔBEC≌ΔDFA(SAS). (2)由(1)得:CE＝AF,AE＝CF.故可得四边形AECF是平行四边形.20.解:连接OE,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AC,BD互相平分.又因为ΔBED,ΔAEC是直角三角形,且BD,AC是斜边,所以OE＝BD,OE＝AC.所以AC＝BD.所以平行四边形ABCD是矩形.21.解:(1)在矩形ABCD中,∠ABC＝90°,因为在RtΔABC中,∠ACB＝30°,所以AC＝2AB＝4.(2)由(1)知在矩形ABCD中,AO＝BO＝2.又因为AB＝2,所以ΔAOB是等边三角形,所以∠AOB＝60°. (3)由勾股定理,得BC＝-＝2,SΔABC＝×2×2＝2.所以SΔBOC＝SΔABC＝,所以菱形OBEC的面积是2.22.(1)证明:∵ΔADE绕点E旋转180°得到ΔCFE,∴AE＝CE,DE＝EF,即AC与DF互相平分,∴四边形ADCF 是平行四边形.∵D,E分别为AB,AC边上的中点,∴DE∥BC.∵∠ACB＝90°,∴∠AED＝90°,∴DF⊥AC,∴四边形ADCF是菱形. (2)解:在RtΔABC中,BC＝8,AC＝6,∴AB＝＋＝＋＝10,又∵点D是AB边上的中点,∴AD＝AB＝5,∵四边形ADCF是菱形,∴AF＝FC＝AD＝5,∴四边形ABCF的周长＝AB＋BC＋CF ＋AF＝10＋8＋5＋5＝28.23.(1)证明:∵DE⊥BC,∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°,∴∠ACB＝∠DFB,∴AC∥DE.∵MN∥AB,即CE∥AD,∴四边形ADEC是平行四边形,∴CE＝AD. (2)解:四边形BECD是菱形.理由:∵D为AB中点,∴AD＝BD.由(1)知CE＝AD,∴BD＝CE.又∵BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形.∵∠ACB＝90°,D为AB中点,∴CD＝BD,∴四边形BECD是菱形. (3)解:当∠A＝45°时,四边形BECD是正方形,理由:∵∠ACB＝90°,∠A＝45°,∴∠ABC＝∠A＝45°,∴AC＝BC.又∵D为AB中点,∴CD⊥AB,∴∠CDB＝90°,由(2)知四边形BECD是菱形,∴四边形BECD是正方形.24.(1)证明:延长AE,BC交于点N,如图(1)所示.∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠ENC.∵AE平分∠DAM,∴∠DAE＝∠MAE.∴∠ENC＝∠MAE.∴MA＝MN.在ΔADE和ΔNCE中,＝＝＝∴ΔADE≌ΔNCE(AAS).∴AD＝NC.∴MA＝MN＝NC＋MC＝AD＋MC. (2)解:AM＝DE＋BM成立.证明:过点A作AF⊥AE,交CB的延长线于点F,如图(2)所示.∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°,AB＝AD,AB∥DC.∵AF⊥AE,∴∠FAE＝90°.∴∠FAB＝90°-∠BAE＝∠DAE.在ΔABF和ΔADE中,＝＝＝＝∴ΔABF≌ΔADE(ASA).∴BF＝DE,∠F＝∠AED.∵AB∥DC,∴∠AED＝∠BAE.∵∠FAB＝∠EAD＝∠EAM,∴∠AED＝∠BAE＝∠BAM＋∠EAM＝∠BAM＋∠FAB＝∠FAM.∴∠F＝∠FAM.∴AM＝FM.∴AM＝FB＋BM＝DE＋BM. (3)解:(1)成立;(2)不成立.。
北师大版九年级数学上册第一章测试卷
第一章：特殊平行四边形质量检测一、选择题(共36分，每小题6分)1.顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是（）A．平行四边形B．矩形 C．菱形D．正方形2、2.下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形3.已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC 于点E，AD=6cm，则OE的长为（）A.6cmB.4cmC.3cmD.2cm4.四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是（）A．①④⇒⑥B．①③⇒⑤ C．①②⇒⑥D．②③⇒④6.菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（）A．24 B．20 C．10 D．510.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°二、填空题（共24分，每小题6分）7、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=8、如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是9、10.如图，已知平行四边形A B C D，下列条件：（1）A C＝B D，（2）A B ＝A D，（3）∠1＝∠2，（4）A B⊥B C中，能说明平行四边形AB C D是矩形的有___________.10、将矩形ABCD沿AE折叠,得到如图8所示的图形,已知∠CED=60°,则∠AED 的大小是_______.三、证明题（每题20分，计40分）11、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．12、如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论．。
北师大版九年级数学上册第一章全章测试题
oD ABCE第一章 特殊平行四边形周周测9一、 选择题（每小题3分，共36分） 1、下列命题中，真命题是（ ） A 、两条对角线垂直的四边形是菱形 B 、对角线垂直且相等的四边形是正方形C 、两条对角线相等的四边形是矩形D 、两条对角线相等的平行四边形是矩形2．下列条件中，不能判定四边形ABCD 是菱形的是（ ） A ．□ ABCD 中，AB =BC B ．□ ABCD 中，AC ⊥BD C ．□ ABCD 中，AC =BDD ．□ ABCD 中，AC 平分∠BAD3、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ ） A 、正方形 B 、等腰梯形 C 、菱形 D 、矩形4、菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（ ） A 、24 B 、20 C 、10 D 、5 5.如图，在矩形中，分别为边的中点.若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A.3 B.4 C.6 D.86．已知：如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC,∠ADE=21∠CDE,那么∠BDC 等于（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．22.5° 7．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为（ ）A ．23cmB ．24cmC ．23cmD ．223cm8、下列命题是真命题的是（ ）A.有一个角是直角的四边形是矩形B.有一组邻边相等的四边形是菱形C. 有三个角是直角的四边形是矩形D. 有三条边相等的四边形是菱形 9、下列判定正确的是 （ ）A 、对角线互相垂直的四边形是菱形B 、两角相等的四边形是等腰梯形C 、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形D 、两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形10、在矩形ABCD 中，AB =2AD ，E 是CD 上一点，且AE =AB ，则∠CBE 等于（ ） A.30° B.22.5° C.15° D.以上答案都不对 11．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，DABCE∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1 处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ） A ．3B ．2C ．3D ．3212、如图7，O 是菱形ABCD 的对角线AC BD ，的交点，E F ，分别是OA OC ，的中点．下列结论：①ADE EOD S S =△△；②四边形BFDE 是中心对称图形；③DEF △是轴对称图形；④ADE EDO ∠=∠．其中错误．．的结论有 ． Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个二、 填空题（每小题3分，共12分）13．顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是 14．如图，一斜坡AB 的中点为D ，BC =1，CD =1.5，则斜坡的坡长 ．15．已知矩形ABCD ，AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm ，过对角线BD 的中点O 作BD 的垂直平分线EF ，分别交AD ，BC 于点E ，F ，则AE 的长为_______cm16、如图，菱形ABCD 的边长为4，过点A ，C 作对角线A C 的垂线，分别交CB 和AD 的延长线于点E ，F ，AE ＝3，则四边形AECF 的周长为____．三、 解答题（共52分）17、(6分)如图，△ABC 中，BD 、CE 是△ABC 的两条高，点F 、M 分别是DE 、BC 的中点。
2020秋北师大版九年级数学上第一、二章检测题含答案
单元测试(一) 特殊平行四边形(满分：150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分)1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝8，则CD的长是( )A．6 B．5 C．4 D．32．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠OAD＝40°，则∠COD＝( )A．20° B．40° C．80° D．100°3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是( )A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为( )A．4 B．3 C．2 D．15．如果要证明ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明( )A．AB＝AD且AC⊥BD B．AB＝AD且AC＝BDC．∠A＝∠B且AC＝BD D．AC和BD互相垂直平分6．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( )A．10 B．8 C．6 D．57．在正方形ABCD中，AB＝12，对角线AC，BD相交于点O，则△ABO的周长是( )A．12＋12 2 B．2＋6 2C．12＋ 2 D．24＋6 28．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为( ) A．16a B．12aC．8a D．4a9．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是( )A．8 B．4 2C．8 2 D．1610．下列命题中，错误的是( )A．平行四边形的对角线互相平分B．菱形的对角线互相垂直平分C．矩形的对角线相等且互相垂直平分D．角平分线上的点到角两边的距离相等11．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( )A．AB＝BC B．AC＝BCC．∠B＝60° D．∠ACB＝60°12．如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°，则∠DAF＝( )A．40° B．35°C．20° D．15°13．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )A．75° B．60° C．55° D．45°14．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝( )A. 2 B．2 C. 6 D．2 215．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )A．AB＝BE B．DE⊥DCC．∠ADB＝90° D．CE⊥DE二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)16．如图，菱形ABCD的一条对角线的中点O到AB的距离为2，那么O点到另一边的距离为________．17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为________度．18．如图所示，已知ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明ABCD是矩形的有________(填写序号)．19．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是________________．20．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝________度．三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)21．(8分)如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86 cm，对角线长是13 cm，那么矩形的周长是多少？22．(8分)如图，四边形ABCD中，AB＝CD，∠BAD＋∠ADC＝180°，AC与BD相交于点O，△AOB是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形．23．(10分)如图，已知正方形ABCD，延长AB到E，使AE＝AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为92，求正方形的边长．24.(12分)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E.(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长．25．(12分)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G.(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．26．(14分)以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，求线段AB的最小值．27．(16分)已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．(1)求证：△ABM≌△DCM；(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；(3)当AD∶AB＝________时，四边形MENF是正方形．参考答案1.C2.C3.B4.A5.B6.D7.A8.C9.A 10.C 11.B 12.C 13.B 14.A 15.B 16.2 17.60 18.①④ 19.AC ＝BD 或AB ⊥BC 20.22.521.∵△AOB 、△BOC 、△COD 和△AOD 四个小三角形的周长和为86 cm ，且AC ＝BD ＝13 cm ， ∴AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝86－2(AC ＋BD)＝86－4×13＝34(cm)， 即矩形ABCD 的周长是34 cm.22.证明：∵∠BAD ＋∠ADC ＝180°， ∴AB ∥CD.又∵AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵△AOB 是等边三角形， ∴AO ＝BO.∴2AO ＝2BO ，即AC ＝BD. ∴四边形ABCD 是矩形． 2 23.设正方形的边长为x ，∵AC 为正方形ABCD 的对角线，∴AC ＝2x.∴S 菱形AEFC ＝AE ·CB ＝2x ·x ＝2x 2.∴2x 2＝9 2. ∴x 2＝9.∴x ＝±3.舍去x ＝－3. ∴正方形边长为3.24.(1)在菱形ABCD 中，AB ＝AD ，∠A ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形． ∴∠ABD ＝60°.(2)由(1)可知BD ＝AB ＝4， 又∵O 为BD 的中点， ∴OB ＝2.又∵OE ⊥AB ，∠ABD ＝60°， ∴∠BOE ＝30°. ∴BE ＝12OB ＝1.25.(1)由图可知，∠DAG ，∠AFB ，∠CDE 与∠AED 相等． (2)选择∠AFB ＝∠AED ，证明如下： ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB ＝∠B ＝90°，AB ＝AD.在Rt △BAF 和Rt △ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝AD ，AF ＝DE ，∴Rt △BAF ≌Rt △ADE(HL)．∴∠AFB ＝∠AED.26.∵四边形CDEF 是正方形，∴∠OCD ＝∠ODB ＝45°，∠COD ＝90°，OC ＝OD. ∵AO ⊥OB ， ∴∠AOB ＝90°.∴∠AOC ＋∠AOD ＝90°，∠AOD ＋∠BOD ＝90°. ∴∠AOC ＝∠BOD.∵在△COA 和△DOB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OCA ＝∠ODB ，OC ＝OD ，∠AOC ＝∠BOD ，∴△COA ≌△DOB.∴OA ＝OB.∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形．由勾股定理得AB ＝OA 2＋OB 2＝2OA ， 要使AB 最小，只要OA 取最小值即可， 根据垂线段最短，OA ⊥CD 时，OA 最小， ∵四边形CDEF 是正方形， ∴FC ⊥CD ，OD ＝OF ＝OC. ∴CA ＝DA. ∴OA ＝12CF ＝1.∴AB ＝ 2.∴AB 的最小值为 2.27.(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，∠A ＝∠D ＝90°. 又∵M 是AD 的中点， ∴AM ＝DM.在△ABM 和△DCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠A ＝∠D ，AM ＝DM ，∴△ABM ≌△DCM(SAS)．（2）四边形MENF 是菱形．证明：∵E ，F ，N 分别是BM ，CM ，CB 的中点， ∴NE ∥MF ，NE ＝MF.∴四边形MENF 是平行四边形． 由(1)，得BM ＝CM ， ∴ME ＝MF.∴四边形MENF 是菱形．（3）当AD ∶AB ＝2∶1时，四边形MENF 是正方形．理由： ∵M 为AD 中点， ∴AD ＝2AM.∵AD ∶AB ＝2∶1， ∴AM ＝AB. ∵∠A ＝90°，∴∠ABM ＝∠AMB ＝45°. 同理：∠DMC ＝45°.∴∠EMF ＝180°－45°－45°＝90°. ∵四边形MENF 是菱形， ∴四边形MENF 是正方形． 故答案为2∶1.单元测试(二) 一元二次方程(满分：150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分) 1.下列方程中，关于x 的一元二次方程是( )A ．x 2＋2y ＝1 B.1x 2＋1x－2＝0C ．ax 2＋bx ＋c ＝0 D ．x 2＋2x ＝12．用公式法解一元二次方程3x 2－2x ＋3＝0时，首先要确定a ，b ，c 的值，下列叙述正确的是( )A ．a ＝3，b ＝2，c ＝3B ．a ＝－3，b ＝2，c ＝3C ．a ＝3，b ＝2，c ＝－3D ．a ＝3，b ＝－2，c ＝33．若关于x 的方程2x m －1＋x －m ＝0是一元二次方程，则m 为( )A ．1B ．2C ．3D ．04．一元二次方程x 2－2x －1＝0的根的情况是( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根5．一元二次方程x 2＋4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2的值是( )A ．4B ．－4C ．3D ．－3 6．方程x(x ＋2)＝0的根是( )A ．x ＝2B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝－2D ．x 1＝0，x 2＝27．用配方法解方程x 2－2x －5＝0时，原方程应变形为( )A ．(x ＋1)2＝6B ．(x －1)2＝6C ．(x ＋2)2＝9D ．(x －2)2＝9 8．根据下面表格中的对应值：判断方程ax 2＋bx ＋c ＝A ．3＜x ＜3.23 B ．3.23＜x ＜3.24 C ．3.24＜x ＜3.25 D ．3.25＜x ＜3.26 9．解方程(x ＋1)(x ＋3)＝5较为合适的方法是( )A ．直接开平方法B ．配方法C ．公式法或配方法D ．分解因式法10．已知x ＝1是一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的一个根，则m 2＋2mn ＋n 2的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．411．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x 2－6x ＋8＝0的根，则三角形的周长为( )A ．11B ．13C ．15D ．11或13 12．下列说法不正确的是( )A ．方程x 2＝x 有一根为0B ．方程x 2－1＝0的两根互为相反数C ．方程(x －1)2－1＝0的两根互为相反数D ．方程x 2－x ＋2＝0无实数根13．对二次三项式x 2－10x ＋36，小聪同学认为：无论x 取什么实数，它的值都不可能等于11；小颖同学认为：可以取两个不同的值，使它的值等于11.你认为( )A．小聪对，小颖错 B．小聪错，小颖对C．他们两人都对 D．他们两人都错14．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7 644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为( )A．100×80－100x－80x＝7 644B．(100－x)(80－x)＋x2＝7 644C．(100－x)(80－x)＝7 644D．100x＋80x＝35615．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( )二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)16．将方程3x(x－1)＝5化为ax2＋bx＋c＝0的形式为____________．17．若x＝1是一元二次方程x2＋2x＋m＝0的一个根，则m的值为________．18．若(m＋n)(m＋n＋5)＝6，则m＋n的值是________．19．一件工艺品进价100元，标价135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得的利润为3 596，每件工艺品需降价________元．20．已知关于x的方程x2－(a＋b)x＋ab－1＝0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2<ab；③x21＋x22<a2＋b2.则正确结论的序号是________．(填上你认为正确的所有序号)三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)21．(8分)选择适当的方法解下列方程：(1)(x－3)2＝4；(2)x2－5x＋1＝0.22．(8分)已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若mn＋m＋n＝2，求a的值．23．(10分)随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．咸宁市2013年销售烟花爆竹20万箱，到2015年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求咸宁市2013年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降率．24.(12分)小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由．25．(12分)已知：关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程的根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．26.(14分)观察下列一元二次方程，并回答问题：第1个方程：x2＋x＝0；第2个方程：x2－1＝0；第3个方程：x2－x－2＝0；第4个方程：x2－2x－3＝0；…(1)第2 016个方程是____________________；(2)直接写出第n个方程，并求出第n个方程的解；(3)说出这列一元二次方程的解的一个共同特点．27．(16分)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．参考答案1．D 2.D 3.C 4.B 5.D 6.C 7.B 8.C 9.C 10.B 11.B 12.C 13.D 14.C 15.B 16.3x 2－3x －5＝0 17.－3 18.－6或1 19.6 20.①② 21.(1)x 1＝1，x 2＝5. (2)x 1＝5＋212，x 2＝5－212.22.∵m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋a ＝0的两个解，∴m ＋n ＝3，mn ＝a. ∵mn ＋m ＋n ＝2，∴a ＋3＝2.解得a ＝－1.23.设年销售量的平均下降率为x ，依题意，得20(1－x)2＝9.8. 解这个方程，得x 1＝0.3，x 2＝1.7. ∵x 2＝1.7不符合题意， ∴x ＝0.3＝30%.答：咸宁市2013年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降率为30%.24.(1)设其中一个正方形的边长为x cm ，则另一个正方形的边长为(10－x)cm.由题意，得x 2＋(10－x)2＝58.解得x 1＝3，x 2＝7.4×3＝12，4×7＝28.答：小林把绳子剪成12 cm 和28 cm 的两段．(2)假设能围成．由(1)得x 2＋(10－x)2＝48.化简得x 2－10x ＋26＝0. ∵b 2－4ac ＝(－10)2－4×1×26＝－4<0， ∴此方程没有实数根． ∴小峰的说法是对的．25.(1)∵b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入原方程，得9＋6m ＋m 2－1＝0.解得m 1＝－2，m 2＝－4.26.(1)x 2－2 014x －2 015＝0(2)第n 个方程是x 2－(n －2)x －(n －1)＝0，解得x 1＝－1，x 2＝n －1.(3)这列一元二次方程的解的一个共同特点：有一根是－1. 27.(1)△ABC 是等腰三角形．理由： ∵x ＝－1是方程的根，∴(a ＋c)×(－1)2－2b ＋(a －c)＝0. ∴a ＋c －2b ＋a －c ＝0. ∴a －b ＝0. ∴a ＝b.∴△ABC 是等腰三角形．(2)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a ＋c)(a －c)＝0.∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0. ∴a 2＝b 2＋c 2.∴△ABC 是直角三角形． (3)∵△ABC 是等边三角形，∴(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0可整理为2ax 2＋2ax ＝0. ∴x 2＋x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－1.。
【北师大版】九年级数学上册(1-3)单元检测试卷(含答案)
北师大版九年级数学上册（1-3）单元试卷（含答案）第一章检测试卷(满分：120分，时间：90分钟)一、选择题(每题3分，共30分)1．如图，已知菱形ABCD的边长为3，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是( )A．12 B．9 C．6 D．3(第1题)(第4题)(第6题)2．下列命题为真命题的是( )A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．四边相等的四边形是正方形3．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是( )A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形4．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB ，CD 于点E ，F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的( )A .15B .14C .13D .3105．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中错误的有( )①当AB ＝BC 时，它是菱形；②当AC⊥BD 时，它是菱形；③当∠ABC ＝90°时，它是矩形；④当AC ＝BD 时，它是正方形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，已知正方形ABCD 的对角线长为22，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中阴影部分的周长为( )A ．8 2B ．4 2C ．8D ．67．如图，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 是正方形的顶点，则∠ABC 的度数为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°8．如图，在菱形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM ＝CN ，MN 与AC 交于点O ，连接OB.若∠DAC＝28°，则∠OBC 的度数为( )A ．28°B ．52°C ．62°D ．72°(第7题)(第8题)(第9题)(第10题)9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是( )A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝2 5 D．AF＝EF 10．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(点P不与A，B重合)，对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N.下列结论：①△APE≌△AME；②PM＋PN＝BD；③PE2＋PF2＝PO2.其中正确的有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题(每题3分，共24分)11．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α的度数为________时，两条对角线长度相等．12．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为________．(第11题)(第12题)(第13题)13．如图是根据四边形的不稳定性制作的边长为15 cm的可活动衣架，若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15 cm，则∠1＝________.14．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝________.15．如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为(1，3)，则对角线BD的长等于________．(第15题)(第16题)(第17题)(第18题)16．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD 交BD于点E，则DE＝________.17．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．若AB＝8，AD＝12，则四边形ENFM的周长为________．18．如图，在边长为1的菱形 ABCD中，∠DAB＝60°.连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC＝60°.连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使∠HAE＝60°，…，按此规律所作的第n个菱形的边长是________．三、解答题(19，20题每题9分，21题 10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC的垂直平分线交AD，BC 于点E，F.求证：四边形AECF是菱形．(第19题)20．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)若AB＝3，BC＝4，求四边形OCED的面积．(第20题)21．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)若∠FDC＝30°，求∠BEF的度数．(第21题)22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E.(1)求证：△DCE≌△BFE；(2)若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的长．(第22题)23．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点的一个60°的角∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合，连接EF.(1)求证：BE＝CF.(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形 AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由．(第23题)24．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.(1)探究线段OE与OF的数量关系并说明理由．(2)当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？请说明理由．(3)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE________是菱形(填“可能”或“不可能”)．请说明理由．(第24题)答案一、1.D 2.A3．D点拨：首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．4．B5．A 点拨：①当AB＝BC时，它是菱形，正确；②当AC⊥BD时，它是菱形，正确；③当∠ABC＝90°时，它是矩形，正确；④当AC＝BD时，它是矩形，因此④是错误的．6．C7.C 8.C9．D点拨：如图，由折叠得∠1＝∠2.∵AD∥BC，∴∠3＝∠1.∴∠2＝∠3.∴AE＝AF.故选项A正确．由折叠得CD＝AG，∠D＝∠G＝90°.∵AB＝CD，∴AB＝AG.∵AE＝AF，∠B＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△AGF(HL)．故选项B正确．设DF＝x，则GF＝x，AF＝8－x.又AG＝AB＝4，∴在Rt△AGF中，根据勾股定理得(8－x)2＝42＋x2.解得x＝3.∴AF＝8－x＝5.则AE ＝AF ＝5， ∴BE＝AE 2－AB 2＝52－42＝3.过点F 作FM⊥BC 于点M ，则EM ＝5－3＝2.在Rt △EFM 中，根据勾股定理得EF ＝EM 2＋FM 2＝22＋42＝20＝25，则选项C 正确．∵AF＝5，EF ＝25，∴AF≠EF.故选项D 错误．(第9题)10．D 点拨：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠PAE ＝∠MAE ＝45°. ∵PM ⊥AC ，∴∠PEA ＝∠MEA .又∵AE ＝AE ，∴根据“ASA”可得△APE ≌△AME .故①正确．由①得PE ＝ME ，∴PM ＝2PE .同理PN ＝2PF .又易知PF ＝BF ，四边形PEOF 是矩形，∴PN ＝2BF ，PM ＝2FO .∴PM ＋PN ＝2FO ＋2BF ＝2BO ＝BD .故②正确．在Rt△PFO 中，∵FO 2＋PF 2＝PO 2，而PE ＝FO ，∴PE 2＋PF 2＝PO 2.故③正确．二、11.90° 点拨：对角线相等的平行四边形是矩形．12．12 点拨：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积＝12×6×8＝24.∵O 是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积＝12×24＝12. 13．120°(第14题)14．22.5° 点拨：如图，由四边形ABCD 是正方形，可知∠CAD ＝12∠BAD＝45°. 由FE⊥AC，可知∠AEF＝90°.在Rt △AEF 与Rt △ADF 中， AE ＝AD ，AF ＝AF ， ∴Rt △AEF≌Rt △ADF(HL )．∴∠FAD＝∠FAE＝12∠CAD＝12×45°＝22.5°.15.10 16.2－117．20 点拨：点N 是BC 的中点，点E ，F 分别是BM ，CM 的中点，由三角形的中位线定理可证EN∥MC ，NF∥ME，EN ＝12MC ，FN ＝12MB.又易知MB ＝MC ，所以四边形ENFM 是菱形．由点M 是AD 的中点，AD ＝12得AM ＝6.在Rt △ABM 中，由勾股定理得BM ＝10.因为点E 是BM 的中点，所以EM ＝5.所以四边形ENFM 的周长为20.18．(3)n －1三、19.证明：∵EF 垂直平分AC ， ∴∠AOE＝∠COF＝90°，OA ＝OC. ∵AD∥BC，∴∠OAE＝∠OCF. ∴△AOE≌△COF(ASA )． ∴AE＝CF.又∵AE∥CF，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵EF⊥AC，∴四边形AECF 是菱形． 20．(1)证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED 为平行四边形． ∵四边形ABCD 为矩形，∴OD＝OC. ∴四边形OCED 为菱形． (2)解：∵四边形ABCD 为矩形， ∴BO＝DO ＝12BD.∴S △OCD ＝S △OCB ＝12S △ABC ＝12×12×3×4＝3.∴S 菱形OCED ＝2S △OCD ＝6.21．(1)证明：在△BCE 与△DCF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠BCE＝∠DCF，CE ＝CF ， ∴△BCE≌△DCF. (2)解：∵△BCE≌△DCF， ∴∠EBC＝∠FDC＝30°. ∵∠BCD＝90°，∴∠BEC＝60°. ∵EC＝FC ，∠ECF＝90°， ∴∠CEF＝45°.∴∠BEF＝105°.22．(1)证明：∵在矩形ABCD 中，AD∥BC，∠A＝∠C＝90°， ∴∠ADB＝∠DBC.根据折叠的性质得∠ADB＝∠BDF，∠F＝∠A＝90°， ∴∠DBC＝∠BDF ，∠C＝∠F. ∴BE＝DE.在△DCE 和△BFE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DEC＝∠BEF，∠C＝∠F，DE ＝BE ， ∴△DCE≌△BFE. (2)解：在Rt △BCD 中， ∵CD＝2，∠ADB＝∠DBC＝30°， ∴BD＝4.∴BC＝2 3.在Rt △ECD 中，易得∠EDC＝30°. ∴DE＝2EC. ∴(2EC)2－EC 2＝CD 2. ∵CD＝2， ∴CE＝233.∴BE＝BC －EC ＝433.(第23题)23．(1)证明：如图，连接AC. ∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD＝120°，∴∠ABE＝∠ACF＝60°，∠1＋∠2＝60°.∵∠3＋∠2＝∠EAF＝60°，∴∠1＝∠3.∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC为等边三角形．∴AC＝AB.∴△ABE≌△ACF.∴BE＝CF.(2)解：四边形AECF的面积不变．由(1)知△ABE≌△ACF，则S△ABE＝S△ACF，故S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC. 如图，过A作AM⊥BC于点M，则BM＝MC＝2，∴AM＝AB2－BM2＝42－22＝2 3.∴S△ABC＝12BC·AM＝12×4×23＝4 3.故S四边形AECF＝4 3.24．解：(1)OE＝OF.理由如下：∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE＝∠BCE.又∵MN∥BC，∴∠NEC＝∠BCE.∴∠NEC＝∠ACE.∴OE＝OC.∵CF是∠ACD的平分线，∴∠OCF＝∠FCD.又∵MN∥BC，∴∠OFC＝∠FCD.∴∠OFC＝∠OCF.∴OF＝OC.∴OE＝OF.(2)当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形．理由如下：∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形．∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO.∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF.∴四边形AECF是矩形．已知MN∥BC，当∠ACB＝90°时，∠AOE ＝90°，∴AC⊥EF.∴四边形AECF是正方形．(3)不可能理由如下：连接BF，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF＝12∠ACB＋12∠ACD＝12(∠ACB＋∠ACD)＝90°.若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC.但在一个三角形中，不可能存在两个角为90°，故四边形BCFE不可能为菱形．第二章达标检测卷(120分，90分钟)一、选择题(每题3分，共30分)1．下列方程一定是一元二次方程的是( )A ．3x 2＋2x－1＝0 B ．5x 2－6y －3＝0 C ．ax 2－x ＋2＝0 D ．3x 2－2x －1＝02．一元二次方程5x 2－x ＝－3，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A ．5，－x ，3B ．5，－1，－3C ．5，－1，3D ．5x 2，－1，33．由下表估算一元二次方程x 2＋12x ＝15的一个根的范围，正确的是( )A .1.0<x<1.1B ．1.1<x<1.2C ．1.2<x<1.3D ．14.41<x<15.844．设α，β是一元二次方程x 2＋2x －1＝0的两个根，则αβ的值是( )A ．2B ．1C ．－2D ．－15．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是( )A ．289(1－x)2＝256B ．256(1－x)2＝289C ．289(1－2x)＝256D ．256(1－2x)＝2896．下列方程，适合用因式分解法解的是( )A．x2－42x＋1＝0 B．2x2＝x－3C．(x－2)2＝3x－6 D．x2－10x－9＝07．关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是( )A．－1或5 B．1 C．5 D．－18．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程(x－2)(x －4)＝0的根，则这个三角形的周长是( )A．11 B．11或13 C．13 D．以上选项都不正确9．若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x ＋m－1的图象不经过第( )象限．A．四B．三C．二D．一(第10题)10．如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2，则它移动的距离AA′等于( )A．0.5 cm B．1 cmC．1.5 cm D．2 cm二、填空题(每题3分，共24分)11．若将方程x2－8x＝7化为(x－m)2＝n，则m＝________.12．如果关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么实数a的取值范围是______________．13．已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足1x1＋1x2＝3，则k＝________.14．某市准备加大对雾霾的治理力度，2015年第一季度投入资金100万元，第二季度和第三季度共投入资金260万元，求这两个季度投入资金的平均增长率．设这两个季度投入资金的平均增长率为x，根据题意可列方程为________________________．15．关于x的两个方程x2－4x＋3＝0与1x－1＝2x＋a有一个解相同，则a＝________.16．小明的妈妈周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0.5元，结果小明的妈妈只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2瓶酸奶，她周三买了________瓶酸奶．17．对于实数a，b，定义运算“*”a* b＝22(),(), a ab a b ab b a b ⎧-≥⎪⎨-⎪⎩＜例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8.若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1*x2＝________．(第18题)18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC 边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以 2 cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t s(0<t<8)，则t＝________时，S1＝2S2.三、解答题(19题12分，20～23题每题8分，24题10分，25题12分，共66分)19．用适当的方法解下列方程．(1)x2－x－1＝0; (2)x2－2x＝2x＋1；(3)x(x－2)－3x2＝－1; (4)(x＋3)2＝(1－2x)2.20．已知关于x的一元二次方程(m＋1)x2－x＋m2－3m－3＝0有一个根是1，求m的值及另一个根．21．晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x(x＋4)＝6.解：原方程可变形，得[(x＋2)－2][(x＋2)＋2]＝6.(x＋2)2－22＝6，(x＋2)2＝6＋22，(x＋2)2＝10.直接开平方并整理，得x1＝－2＋10，x2＝－2－10.我们称这种解法为“平均数法”．(1)下面是晓东用“平均数法”解方程(x＋2)(x＋6)＝5时写的解题过程．解：原方程可变形，得[(x＋□)－○][(x＋□)＋○]＝5.(x＋□)2－○2＝5，(x＋□)2＝5＋○2.直接开平方并整理，得x1＝☆，x2＝¤.上述过程中的“□”，“○”，“☆”，“¤”表示的数分别为________，________，________，________.(2)请用“平均数法”解方程：(x－3)(x＋1)＝5.22．已知x1，x2是关于x的一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．23．楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车．当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30辆．(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30，且x为正整数)，实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润为25万元，那么该月需售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价)24．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，点P 以3 cm /s 的速度向点B 移动，一直到达B 为止，点Q 以2 cm /s 的速度向D 移动．(1)P ，Q 两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ 的面积为33 cm 2? (2)P ，Q 两点从出发开始到几秒时，点P 和点Q 之间的距离是10cm?(第24题)25．杭州湾跨海大桥通车后，A 地到宁波港的路程比原来缩短了120 km .已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的103h 缩短到2 h .(1)求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．(2)若货物运输费用包括运输成本和时间成本，某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？(3)A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物(不超过10车)从A地按外运路线运到B地的运费需8 320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与(2)中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：1车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？答案一、1.D 2.C 3.B 4.D5．A点拨：第一次降价后的价格为289×(1－x)元，第二次降价后的价格为289×(1－x)×(1－x)元，则列出的方程是289(1－x)2＝256.6．C7.D8.C9.D10．B点拨：设AC交A′B′于H.∵∠A＝45°，∠AA′H＝90°，∴△AA′H是等腰直角三角形．设AA′＝x cm，则A′H＝x cm，A′D＝(2－x)cm.∴x(2－x)＝1，解得x1＝x2＝1.即AA′＝1 cm.故选B.二、11.412．a<1且a≠013．2 点拨：∵x2－6x＋k＝0的两根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝6，x1x2＝k.∴1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝6k＝3.解得k＝2.经检验，k＝2满足题意．14．100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260点拨：根据题意知：第二季度投入资金100(1＋x)万元，第三季度投入资金100(1＋x)2万元，∴100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260.15．1 点拨：由方程x2－4x＋3＝0，得(x －1)(x －3)＝0， ∴x－1＝0或x －3＝0. 解得x 1＝1，x 2＝3； 当x ＝1时，分式方程1x －1＝2x ＋a 无意义；当x ＝3时，13－1＝23＋a， 解得a ＝1，经检验，a ＝1是方程13－1＝23＋a的解．16．4 点拨：设她周三买了x 瓶酸奶，根据题意得(x ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －0.5＝10＋2，化简得x 2＋6x －40＝0，解得x 1＝4，x 2＝－10.经检验．x 1＝4，x 2＝－10都是分式方程的根，但x ＝－10不符合题意，故x ＝4.17．3或－3 点拨：x 2－5x ＋6＝0的两个根为x 1＝2，x 2＝3或x 1＝3，x 2＝2.当x 1＝2，x 2＝3时，x 1*x 2＝2×3－32＝－3； 当x 1＝3，x 2＝2时，x 1*x 2＝32－2×3＝3.18．6 点拨：∵在Rt △ABC 中，∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝16 cm ，AD 为BC 边上的高，∴AD＝BD ＝CD ＝8 2 cm .又∵AP＝2t cm ，∴S 1＝12AP·BD＝12×2t×82＝8t(cm 2)，PD ＝(82－2t)cm .易知PE ＝AP ＝2t cm ，∴S 2＝PD·PE＝(82－2t)·2t cm 2.∵S 1＝2S 2，∴8t＝2(82－2t)·2t.解得t 1＝0(舍去)，t 2＝6. 三、19.解：(1)(公式法)a ＝1，b ＝－1，c ＝－1， 所以b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×(－1)＝5. 所以x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝1±52，即原方程的根为x 1＝1＋52， x 2＝1－52.(2)(配方法)原方程可化为x 2－4x ＝1， 配方，得x 2－4x ＋4＝1＋4，(x －2)2＝5. 两边开平方，得x －2＝±5， 所以x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.(3)(公式法 )原方程可化为2x 2＋2x －1＝0，a ＝2，b ＝2，c ＝－1，b 2－4ac ＝22－4×2×(－1)＝12. 所以x ＝－2±122×2＝－1±32，即原方程的根为x 1＝－1＋32，x 2＝－1－32.(4)(因式分解法)移项，得(x ＋3)2－(1－2x)2＝0， 因式分解，得(3x ＋2)(－x ＋4)＝0， 解得x 1＝－23，x 2＝4.20．解：∵(m＋1)x 2－x ＋m 2－3m －3＝0有一个根是1， ∴(m＋1)·12－1＋m 2－3m －3＝0.整理，得m 2－2m －3＝0，∴(m－3)(m ＋1)＝0.又∵方程(m ＋1)x 2－x ＋m 2－3m －3＝0为一元二次方程， ∴m＋1≠0，∴m－3＝0.∴m＝3. ∴原方程为4x 2－x －3＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－34.∴原方程的另一个根为－34.21．解：(1)4；2；－1；－7(最后两空可交换顺序)； (2)(x －3)(x ＋1)＝5， 原方程可变形，得[(x －1)－2][(x －1)＋2]＝5， 整理，得(x －1)2－22＝5， (x －1)2＝5＋22，即(x －1)2＝9， 直接开平方并整理，得x 1＝4，x 2＝－2. 22．解：(1)存在．Δ＝4a 2－4a(a －6)＝24a ， ∵一元二次方程有两个实数根， ∴Δ≥0，即a≥0.又∵a－6≠0，∴a≠6.∴a≥0且a≠6.由题可知x 1＋x 2＝2a 6－a ，x 1x 2＝aa －6.∵－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2，即x 1x 2＝4＋x 1＋x 2，∴a a －6＝4＋2a6－a .解得a ＝24，经检验，符合题意．∴存在实数a ，a 的值为24.(2)(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝2a 6－a ＋a a －6＋1＝－6a －6.∵－6a －6为负整数， ∴实数a 的整数值应取7，8，9，12. 23．解：(1)当x≤5时，y ＝30.当5<x≤30时，y ＝30－(x －5)×0.1＝－0.1x ＋30.5. ∴y＝⎩⎪⎨⎪⎧30（x≤5，且x 为正整数），－0.1x ＋30.5（5＜x≤30，且x 为正整数）.(2)当x≤5时，(32－30)×5＝10<25，不合题意． 当5<x≤30时，(32＋0.1x －30.5)x ＝25， ∴x 2＋15x －250＝0.解得x 1＝－25(舍去)，x 2＝10. ∴该月需售出10辆汽车．(第24题)24．解：(1)设P ，Q 两点从出发开始到x s 时，四边形PBCQ 的面积为33 cm 2，则AP ＝3x cm ，CQ ＝2x cm ，所以PB ＝(16－3x)cm .因为(PB ＋CQ)×BC×12＝33，所以(16－3x ＋2x)×6×12＝33.解得x＝5，所以P ，Q 两点从出发开始到5 s 时，四边形PBCQ 的面积为33 cm 2.(2)设P ，Q 两点从出发开始到a s 时，点P 和点Q 之间的距离是10 cm .如图，过点Q 作QE⊥AB 于E ，易得EB ＝QC ，EQ ＝BC ＝6 cm ， 所以PE ＝|PB －BE|＝|PB －QC|＝|16－3a －2a|＝|16－5a|(cm )． 在Rt △PEQ 中，PE 2＋EQ 2＝PQ 2，所以(16－5a)2＋62＝102，即25a 2－160a ＋192＝0，解得a 1＝85，a 2＝245，所以P ，Q 两点从出发开始到85 s 或245s 时，点P 和点Q 之间的距离是10 cm . 25．解：(1)设A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为x km ，由题意得x ＋120103＝x2，解得x ＝180.∴A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180 km . (2)1.8×180＋28×2＝380(元)，∴该车货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是380元．(3)设这批货物有y 车，由题意得y[800－20×(y－1)]＋380y ＝8 320，整理得y 2－60y ＋416＝0，解得y 1＝8，y 2＝52(不合题意，舍去)，∴这批货物有8车．第三章达标检测卷 (120分，90分钟)一、选择题(每题3分，共30分)1．小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这十个数．从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是( )A .110B .25C .15D .3102．从一定高度抛一个瓶盖100次，落地后盖面朝下的有55次，则下列说法中错误的是( )A ．盖面朝下的频数是55B ．盖面朝下的频率是0.55C ．盖面朝下的概率不一定是0.55D ．同样的试验做200次，落地后盖面朝下的有110次3．两道单选题都含A ，B ，C ，D 四个选项，瞎猜这两道题，恰好全部猜对的概率是( )A .12B .14C .18D .1164．事件A ：打开电视，它正在播广告；事件B ：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C ：在标准大气压下，温度低于0 ℃时冰融化.3个事件的概率分别记为P(A)，P(B)，P(C)，则P(A)，P(B)，P(C)的大小关系正确的是( )A ．P(C)＜P(A)＝P(B)B ．P(C)＜P(A)＜P(B)C ．P(C)＜P(B)＜P(A)D ．P(A)＜P(B)＜P(C)(第5题)5．某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开．小明从入口1进入并从出口A 离开的概率是( )A .12B .13C .14D .166．王阿姨在网上看中了一款防雾霾口罩，付款时需要输入11位的支付密码，她只记得密码的前8位，后3位由1，7，9这3个数字组成，但具体顺序忘记了，她第一次就输入正确密码的概率是( )A .12B .14C .16D .187．同时抛掷A ，B 两个均匀的小立方体(每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，设两个小立方体朝上的数字分别为x ，y ，并以此确定点P(x ，y)，那么点P 落在函数y ＝－2x ＋9的图象上的概率为( )A .118B .112C .19D .168．在一个不透明的盒子里装有只颜色不同的黑、白两种球共40个．小亮做摸球试验，他将盒子内的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复上述过程，对试验结果进行统计后，小亮得到下表中的数据：则下列结论中正确的是( )A ．n 越大，摸到白球的概率越接近0.6B ．当n ＝2 000时，摸到白球的次数m ＝1 200C ．当n 很大时，摸到白球的频率将会稳定在0.6附近D ．这个盒子中约有28个白球9．让图中的两个转盘分别自由转动一次(两个转盘均被分成4等份)，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域内，则这两个数的和是5的倍数或3的倍数的概率等于( )A .316B .38C .916D .131610．如图，已知点A ，B ，C ，D ，E ，F 是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为3的线段的概率为( )A .14B .25C .23D .59(第9题)(第10题)(第14题)(第18题)二、填空题(每题3分，共24分)11．随机掷一枚质地均匀的硬币两次，落地后至少有一次正面朝上的概率是________．12．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球．以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：根据列表，可以估计出n＝________.13．从8，12，18，32中随机抽取一个根式，化简后与2的被开方数相同的二次根式的概率是________．14．如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可以使小灯泡发光，任意闭合其中两个开关，使小灯泡发光的概率为________．15．小明走进迷宫，迷宫中的每一个门都相同，第一道关口有四个门，只有第三个门有开关，第二道关口有两个门，只有第一个门有开关，他第一次就能走出迷宫的概率是________．16．某市举办“体彩杯”中学生篮球赛，初中男子组有市区学校的A ，B ，C 三个队和县区学校的D ，E ，F ，G ，H 五个队．如果从A ，B ，D ，E 四个队与C ，F ，G ，H 四个队中各抽取一个队进行首场比赛，那么参加首场比赛的两个队都来自县区学校的概率是________．17．在一个暗盒中放有若干个白色球和2个黑色球(这些球除颜色外无其他区别)，若从中随机取出1个球是白色球的概率是35，则在暗盒中随机取出2个球都是白色球的概率是________．18．如图，一个质地均匀的正四面体的四个面上依次标有数－2，0，1，2，连续抛掷两次，朝下一面的数分别是a ，b ，将其作为点M 的横、纵坐标，则点M(a ，b)落在以A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)为顶点的三角形内(包含边界)的概率是________．三、解答题(19题8分，20题10分，其余每题12分，共66分)19．如图，小明做了A ，B ，C ，D 四张同样规格的硬纸片，它们的背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、圆、平行四边形、正方形．小明将它们背面朝上洗匀后，随机抽取两张．请你用列表或画树状图的方法，求小明抽到的两张硬纸片上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．(第19题)20．一个瓶中装有一些幸运星，小王为了估计这个瓶中幸运星的颗数，他是这样做的：先从瓶中取出20颗幸运星做上记号，然后把这些幸运星放回瓶中，充分摇匀，再从瓶中取出30颗幸运星，发现有6颗幸运星带有记号，请你帮小王估算出原来瓶中幸运星的颗数．21．某人的钱包内有10元、20元和50元的纸币各1张，从中随机取出2张纸币．求：(1)取出纸币的总额是30元的概率；(2)取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率．22．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大的提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类(A：特别好，B：好，C：一般，D：较差)后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图(如图①②)．请根据统计图解答下列问题：(1)本次调查中，王老师一共调查了________名学生；(2)将条形统计图补充完整；(3)为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．(第22题)23．某中学要在全校学生中举办“中国梦·我的梦”主题演讲比赛，要求每班选一名代表参赛．九年级 (1)班经过投票初选，小亮和小丽票数并列班级第一，现在他们都想代表本班参赛．经班长与他们协商决定，用他们学过的掷骰子游戏来确定谁去参赛(胜者参赛)．规则如下：两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的点数都是奇数，则小亮胜；向上一面的点数都是偶数，则小丽胜；否则，视为平局．若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止．如果小亮和小丽按上述规则各掷一次骰子，那么请你解答下列问题：(1)小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少？(2)该游戏是否公平？请用列表或画树状图等方法说明理由．(骰子：六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个小圆点的小正方体)24．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，今年某商场销售甲厂家的高档、中档、低档三个品种及乙厂家的精装、简装两个品种的盒装粽子．现需要在甲、乙两个厂家中各选购一个品种．(1)写出所有选购方案(利用树状图或表格求选购方案)．(2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么甲厂家的高档粽子被选中的概率是多少？(3)现某中学准备购买两个品种的粽子共32盒(价格如下表)发给学校的“留守儿童”，让他们过一个愉快的端午节，其中指定购买了甲厂家的高档粽子，再从乙厂家购买一个品种．若恰好用了1 200元，请问：购买了多少盒甲厂家的高档粽子？答案一、1.C 2.D 3.D 4.B 5.C6．C点拨：因为后3位由1，7，9这3个数字组成，所以后3位可能的结果有：179，197，719，791，917，971.所以她第一次就输入正确密码的概率是16.故选C . 7．B 点拨：列表如下：∴有36种等可能情况，点P(x ，y)落在y ＝－2x ＋9的图象上的有(2，5)(3，3)(4，1)共3种情况，故其概率为336＝112. 8．C9．C 点拨：列表如下：所有等可能的情况有16种，其中两个数的和是5的倍数或3的倍数的情况有9种，则P ＝916，故选C .(第10题)10．B 点拨：如图，正六边形中连接任意两点可得15条线段，其中AC ，AE ，BD ，BF ，CE ，DF 这6条线段的长度为3，∴所求概率为615＝25. 二、11.34点拨：随机掷一枚质地均匀的硬币两次，可能出现的结果有(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)4种，且每种结果出现的可能性相同，至少有一次正面朝上的结果有3种，故所求概率是34. 12．10 13.34 14.12 15.1816.38点拨：列表如下：由表格可知共有16种等可能情况，参加首场比赛的两个队都来自县区学校的有6种情况，所以概率为616＝38.17.31018.716点拨：列表如下：(第18题)由表格知共有16种等可能的结果，而落在以A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)为顶点的三角形内(包含边界)的点有(－2，0)，(0，0)，(1，0)，(2，0)，(0，1)，(1，1)，(0，2)，共7种，如图，所以点M落在以A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)为顶点的三角形内(包含边界)的概率是716 .三、19.解：列表如下：由表格可看出，所有可能出现的结果共有12种，每种结果出现的可能性都相同，其中抽到的两张硬纸片上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果共有2种，故所求概率P ＝212＝16.20．解：设原来瓶中幸运星大约有x 颗，则有20x ＝630.解得x ＝100.经检验，符合题意．∴原来瓶中幸运星大约有100颗．21．解：某人从钱包内随机取出2张纸币，可能出现的结果有3种，即10元与20元，10元与50元，20元与50元，并且它们出现的可能性相等．(1)取出纸币的总额是30元(记为事件A)的结果有1种，即10元与20元，所以P(A)＝13.(2)取出纸币的总额可购买一件51元的商品(记为事件B)的结果有2种，即10元与50元，20元与50元，所以P(B)＝23.22．解：(1)20 (2)补图如图所示．(第22题)(3)列表如下，A 类学生中的两名男生分别记为男A 1和男A 2，共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以恰好选中一名男生和一名女生的概率为36＝12.23．解：(1)所求概率P ＝36＝12.(2)游戏公平． 理由如下：由上表可知，共有36种等可能的结果，其中小亮、小丽获胜各有9种结果，∴P(小亮胜)＝936＝14，P(小丽胜)＝936＝14.∴该游戏是公平的．24．解：(1)画树状图如图所示：(第24题)或列表如下：共有6种选购方案：(高档，精装)、(高档，简装)、(中档，精装)、(中档，简装)、(低档，精装)、(低档，简装)．(2)因为选中甲厂家的高档粽子的方案有2种，即(高档，精装)、(高档，简装)，所以甲厂家的高档粽子被选中的概率为26＝13.(3)由(2)可知，当选用方案(高档，精装)时，设分别购买高档粽子、精装粽子x 1盒、y 1盒，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝32，60x 1＋50y 1＝1 200. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－40，y 1＝72.经检验，不符合题意，舍去．当选用方案(高档，简装)时，设分别购买高档粽子、简装粽子。
北师大版九年级上册数学第一章单元测试卷及解析
北师大版九年级上册数学第一章单元测试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题）A. 四个角相等的四边形是矩形B. 对角线相等的平行四边形是矩形C. 对角线垂直的四边形是菱形D. 对角线垂直的平行四边形是菱形2.在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是( )A. OA ＝OC ，OB ＝ODB. AD ∥BC ，AB ∥DCC. AB ＝DC ，AD ＝BCD. AB ∥DC ，AD ＝BC3.若顺次连接四边形ABCD 四边中点而得的图形是矩形，则四边形ABCD 一定是( )A. 矩形B. 菱形C. 对角线相等的四边形D. 对角线互相垂直的四边形4.如图，在菱形ABCD 中，AB =6，∠ABD =30°，则菱形ABCD 的面积是（ ）A. 18B. 18√3C. 36D. 36√35.如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 是BC 边的中点，分别以B 、C 为圆心，大于线段BC 长度一半的长为半径圆弧，两弧在直线BC 上方的交点为P ，直线PD 交AC 于点E ，连接BE ，则下列结论：①ED ⊥BC ；②∠A=∠EBA ；③EB 平分∠AED ；④ED=AB 中，一定正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④6.如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF 的长为（ ）12．5 D. 5第II卷（非选择题）二、解答题（题型注释）E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.(1)图中有哪几对全等三角形，请一一列举；(2)求证：ED∥BF.8.如图，在正方形ABCD中，点G为BC上任意一点，连接AG，过B，D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E，F两点．求证：△ADF≌△BAE.9.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点M，N分别是对角线BD，AC的中点．求证：直线MN是线段AC的垂直平分线．10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且△ADO为等边三角形，过点A 作AE⊥BD于点E.(1)求∠ABD的度数；(2)若BD＝10，求AE的长．11.如图，点D，E分别是不等边△ABC(即AB，BC，AC互不相等)的边AB，AC的中点．点O是△ABC所在平面上的动点，连接OB，OC，点G，F分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，G，F，E.(1)如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？(直接写出答案，不需要说明理由)12.如图所示,在矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过点O的直线EF与AB,CD的延长线分别交于点E,F.(1)求证:△BOE≌△DOF;(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是菱形?并证明你的结论.13.如图，已知△ABC，点A在BC边的上方，把△ABC绕点B逆时针方向旋转60°得△DBE，绕点C顺时针方向旋转60°得△FEC，连接AD，AF.(1)△ABD，△ACF，△BCE是什么特殊三角形？请说明理由；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？请说明理由；(3)当△ABC满足什么条件时，以点A，D，E，F为顶点的四边形不存在？请说明理由．14.如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，2√2，√10.△ADP沿点A旋转至△ABP′，连接PP′，并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证：△APP′是等腰直角三角形；(2)求∠BPQ的大小．15.如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于O点，点P是线段AD上一动点（不与点D 重合），PO的延长线交BC于Q点．（1）求证：四边形PBQD为平行四边形.（2）若AB=3cm，AD=4cm，P从点A出发．以1cm/s的速度向点D匀速运动．设点P的运动时间为ts，问：四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．三、填空题AC、BD相交于点0，∠AOB=600，AB=5，则AD的长是（ )．（A)5（B）5（C）5 (D)1017.如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG＝1(BC－AD)，⑤四边2形EFGH是菱形．其中正确的个数是 ( )A．1 B．2 C．3 D．418.已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积为____________cm2．19.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于．20.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝100°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF等于_______°.21.（3分）如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是．22.（3分）如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为．23.如图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm，若过点A的对角线长为20 cm，则每个菱形的面积为____________cm2.参考答案1.C【解析】1.试题分析：A．四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故A选项不符合题意；B．对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B选项不符合题意；C．对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C选项符合题意；D．对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D选项不符合题意．故选C．2.D【解析】2.根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．A．∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；B．∵AD∥BC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；C．∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；D．∵AB∥DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形．故不能判定这个四边形是平行四边形．故选D．3.D【解析】3.由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH ∥ FG ∥ BD，EF ∥ AC ∥ HG；∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，即对角线互相垂直，故选D．4.B【解析】4.试题分析：过点A作AE⊥BC于E，如图，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠BAE=30°，∵AE⊥BC，∴AE=3√3，∴菱形ABCD的面积是6×3√3=18√3，故选B．5.B．【解析】5.试题根据作图过程，利用线段垂直平分线的性质对各选项进行判断：根据作图过程可知：PB=CP，∵D为BC的中点，∴PD垂直平分BC，∴①ED⊥BC正确.∵∠ABC=90°，∴PD∥AB.∴E为AC的中点，∴EC=EA，∵EB=EC.∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED=AB正确.∴正确的有①②④.故选B．6.A【解析】6.试题解析：∵点C′是AB边的中点，AB=6，∴BC′=3，由图形折叠特性知，C′F=CF=BC-BF=9-BF，在Rt△C′BF中，BF2+BC′2=C′F2，∴BF2+9=（9-BF）2，解得，BF=4，故选A．7.(1)见解析；(2)证明见解析.【解析】7.（1）根据菱形的对称性，写出AC左右两边对应的三角形即可；（2）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠DCA，然后求出AF=CE，利用“边角边”证明△ABF和△CDE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BFA=∠DEC，然后利用内错角相等两直线平行即可证明．(1)图中有三对全等三角形：①△ABC≌△CDA，②△ABF≌△CDE，③△ADE≌△CBF；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DC A．∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，∴AF＝CE.在△ABF和△CDE中，{AB=CD∠BAC=∠DCAAF=CE，1 2∴△ABF ≌△CDE (S A S)，∴∠BF A ＝∠DEC ，∴ED ∥BF .8.证明见解析.【解析】8.根据正方形的四条边都相等可得AB=AD ，根据同角的余角相等求出∠1=∠4，然后利用“角角边”证明△ABE 和△DAF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴DA ＝AB ，∠1＋∠2＝90°，又∵BE ⊥AG ，DF ⊥AG ，∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，∴∠2＝∠3，∠1＝∠4，又∵DA ＝AB ，∴△ADF ≌△BAE .(A S A ) .9.证明见解析.【解析】9.连接AM ，CM ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AM=12BD ，CM=12BD ，那么AM=CM ，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明MN ⊥AC ．如图，连接AM ，CM ，∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°，点M 是BD 的中点，∴AM ＝12BD ，CM ＝12BD ，∴AM ＝CM ，又∵点N 是AC 的中点，∴直线MN 是线段AC 的垂直平分线.10.(1)∠ABD ＝30°；(2)AE ＝5√32.【解析】10.（1）根据矩形性质得出∠DAB=90°，求出∠ADB=60°，代入∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB 求出即可；（2）求出AD ，根据等腰三角形性质得出DE=EO ，求出DE ，根据勾股定理求出即可．(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∵△ADO 为等边三角形，∴∠ADB ＝60°，∴∠ABD ＝180°－∠DAB －∠ADB ＝30°；(2)∵BD ＝10，∠BAD ＝90°，∠ABD ＝30°，∴AD ＝12BD ＝5，∵△ADO 为等边三角形，∴AD ＝AO ＝DO ＝5，∵AE ⊥DO ，∴DE ＝EO ＝12DO ＝2.5，在Rt △AED 中，由勾股定理得AE ＝√AD 2−DE 2=√52−2.52=5√32. 11.（1）根据三角形的中位线定理可证得DE ∥GF ，DE ＝GF ，即可证得结论；（2）解法一：点O 的位置满足两个要求：AO ＝BC ，且点O 不在射线CD 、射线BE 上． 解法二：点O 在以A 为圆心，BC 为半径的一个圆上，但不包括射线CD 、射线BE 与⊙A 的交点．解法三：过点A 作BC 的平行线l ，点O 在以A 为圆心，BC 为半径的一个圆上，但不包括l 与⊙A 的两个交点．【解析】11.试题（1）根据三角形的中位线定理可证得DE ∥GF ，DE ＝GF ，即可证得结论； （2）根据三角形的中位线定理结合菱形的判定方法分析即可.（1）∵D 、E 分别是边AB 、AC 的中点．∴DE ∥BC ，DE ＝BC ．同理，GF ∥BC ，GF ＝BC ． ∴DE ∥GF ，DE ＝GF ．∴四边形DEFG 是平行四边形；（2）解法一：点O 的位置满足两个要求：AO ＝BC ，且点O 不在射线CD 、射线BE 上． 解法二：点O 在以A 为圆心，BC 为半径的一个圆上，但不包括射线CD 、射线BE 与⊙A 的交点．解法三：过点A 作BC 的平行线l ，点O 在以A 为圆心，BC 为半径的一个圆上，但不包括l 与⊙A 的两个交点．12.（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，AC 和BD 交于点O∴AB ∥CD; OB=OD∴∠OEB=∠OFD∵∠BOE=∠DOF∴△BOE ≌△DOF(2)解：当EF 与AC 垂直的时候四边形AECF 是菱形。
北师大版初中数学九年级上册第一章综合测试试卷-含答案01
第一章单元综合测试一、单选题1.已知四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，下列结论错误的是（ ） A .OA OC =，OB OD =B .当AB CD =时，四边形ABCD 是菱形C .当90ABC ∠=︒时，四边形ABCD 是矩形D .当AC BD =且AC BD ⊥时，四边形ABCD 是正方形2.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，8AC =，6BD =，点E 是CD 上一点，连接OE ，若OE CE =，则OE 的长是（ ）A .2B .52C .3D .4 3.如图，面积为S 的菱形ABCD 中，点O 为对角线的交点，点E 是线段BC 单位中点，过点E 作EF BD ⊥于F ，EG AC ⊥与G ，则四边形EFOG 的面积为（ ）A .14SB .18SC .112S D .116S 4.如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 的中点.若菱形ABCD 的周长为32，则OE 的长为（ ）A .3B .4C .5D .65.如图，正方形ABCD 的面积为1，M 是AB 的中点，则图中阴影部分的面积是（ ）A .310B .13C .25D .496.如图，正方形ABCD 的边长8AB =，E 为平面内一动点，且4AE =，F 为CD 上一点，2CF =，连接EF ，ED ，则2EF ED +的最小值为（ ）A .B .C .12D .10二、填空题7.如图，在菱形ABCD 中，50B ∠=︒，点E 在CD 上，若AE AC =，则BAE ∠=________.8.如图，在矩形ABCD 中，E ,F 分别为边AB ，AD 的中点，BF 与EC ，ED 分别交于点M ，N .已知4AB =，6BC =，则MN 的长为________.9.如图，在矩形ABCD 中，9AB =，AD =，点P 是边BC 上的动点（点P 不与点B ，点C 重合），过点P 作直线PQ BD ∥，交CD 边于Q 点，再把PQC △沿着动直线PQ 对折，点C 的对应点是R 点，则CQP ∠=________.10.如图，正方形ABCD 中，点E 为对角线AC 上一点，且AE AB =，则BEA ∠的度数是________度.三、作图题11.在正方形ABCD 中，E 是CD 边上的点，过点E 作EF BD ⊥于F .（1）尺规作图：在图中求作点E ，使得EF EC =；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接FC ，求BCF ∠的度数.四、综合题12.如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作EF AC ⊥，分别交AB ，DC 于点E 、F ，连接AF 、CE .（1）若32OE =，求EF 的长；（2）判断四边形AECF 的形状，并说明理由.13.如图，在ABC △中，AB AC =，点D 、E 分别是线段BC 、AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF .（1）求证：A BDE F E △≌△；（2）求证：四边形ADCF 为矩形.14.如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，过点D 作DE BC ⊥于E ，延长CB 到点F ，使BF CE =，连接AF ，OF .（1）求证：四边形AFED 是矩形；（2）若7AD =，2BE =，45ABF ∠=︒，试求OF 的长.15.如图，点E 是正方形ABCD 外一点，点F 是线段AE 上一点，且EBF △是等腰直角三角形，其中90EBF ∠=︒，连接CE 、CF（1）求证：ABF CBE △≌△；（2）判断CE 与EF 的位置关系，并说明理由.16.如图，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边AB 、CD 、DA 上，连接CF .（1）求证：HEA CGF ∠∠=；（2）当AH DG =时，求证：菱形EFGH 为正方形.第一章单元综合测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，OA OC =∴，OB OD =，故A 正确，∵四边形ABCD 是平行四边形，AB CD =，不能推出四边形ABCD 是菱形，故B 错误，∵四边形ABCD 是平行四边形，90ABC ∠=︒， ∴四边形ABCD 是矩形，故C 正确，∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =，AC BD ⊥， ∵四边形ABCD 是正方形.故D 正确.故答案为：B . 2.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是菱形，8AC =，6BD =，142CO AC ==∴，132OD BD ==，AC BD ⊥，5DC =∴，90EOC DOE ∠+∠=︒，90DCO ODC ∠+∠=︒，OE CE =∵，EOC ECO ∠=∠∴，DOE ODC ∠=∠∴，DE OE =∴，1522OE CD ==∴故答案为：B . 3.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是菱形，OA OC =∴，OB OD =，AC BD ⊥，12S AC BD =⨯， EF BD ⊥∵于F ，EG AC ⊥于G ，∴四边形EFOG 是矩形，EF OC ∥，EG OB ∥，∵点E 是线段BC 的中点，EF ∴、EG 都是OBC △的中位线，1124EF OC AC ==∴，1124EG OB BD ==，∴矩形EFOG 的面积11111=44828EF EG AC BD AC BD S ⎛⎫=⨯=⨯=⨯⨯ ⎪⎝⎭；答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
北师大版九年级数学上册第一单元测试题含答案
北师大版九年级数学上册第一章测试题及答案一、选择题(每题3分，共30分)1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是()A．四条边相等，四个角相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相平分2．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则△ABC的周长等于() A．20 B．15 C．10 D．53．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的()A．15B．14C．13D．3104．如图，菱形ABCD的周长为24 cm，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD 的中点，连接OE，则线段OE的长等于()A．3 cm B．4 cm C．2.5 cm D．2 cm5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为()A．3 B．2 2 C. 6 D．3 36．顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是()A．菱形B．对角线互相垂直的四边形C．矩形D．对角线相等的四边形7．如图，把一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为()A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°8．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E，F分别为BC，CD的中点，则∠EAF等于()A．75°B．45°C．60°D．30°9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是()A．AF＝AEB．△ABE≌△AGFC．EF＝2 5D．AF＝EF10．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC 垂直平分EF；④BE＋DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE.其中正确结论有() A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题(每题3分，共24分)11．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α的度数为________时，两条对角线长度相等．12．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF 的周长为________．13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则EC的长度是________．14．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE＝4，则线段BE的长为________．15．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，3)，动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→……的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2 019 s时，点P的坐标为________．16．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝4.设AB＝x，AD＝y，则x2＋(y－4)2的值为________．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E为AD的中点，点F为BC 边上任一点，过点F分别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG ＋FH＝________.18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形的对角线交于点O，连接OC.已知AC＝5，OC＝62，则另一直角边BC的长为________．三、解答题(19，20题每题9分，21题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)19．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F.求证：DE＝DF.20．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E.(1)求证：四边形OCED是矩形．(2)若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积．21．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E.(1)求证：BD＝BE.(2)若BE＝10，CE＝6，连接OE，求△ODE的面积．22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E.(1)求证：△DCE≌△BFE.(2)若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的长．23．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点的一个60°的∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F 不与B，C，D重合，连接EF.(1)求证：BE＝CF.(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由．24．在正方形ABCD的外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图①；(2)若∠P AB＝20°，求∠ADF的度数；(3)如图②，若45°＜∠P AB＜90°，用等式表示线段AB，EF，FD之间的数量关系，并给出证明．答案一、1．D2．B3．B4．A解析：∵菱形ABCD的周长为24 cm，∴AB＝24÷4＝6 (cm)，OB＝OD.又∵E为AD边的中点，∴OE是△ABD的中位线．∴OE＝12AB＝12×6＝3 (cm)．故选A.5．D6．D7．D8．C9．D解析：如图，由折叠的性质得∠1＝∠2.∵AD∥BC，∴∠3＝∠1.∴∠2＝∠3.∴AE＝AF.故选项A正确．由折叠的性质得CD＝AG，∠D＝∠G＝90°.∵AB＝CD，∴AB＝AG.又∵AE＝AF，∠B＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△AGF(HL)．故选项B正确．设DF＝x，则GF＝x，AF＝8－x.又∵AG＝AB＝4，∴在Rt△AGF中，根据勾股定理得(8－x)2＝42＋x2.解得x＝3.∴AF＝8－x＝5.则AE＝AF＝5，∴BE＝AE2－AB2＝52－42＝3.过点F作FM⊥BC于点M，则FM＝4，EM＝5－3＝2.在Rt△EFM中，根据勾股定理得EF＝EM2＋FM2＝22＋42＝20＝25，则选项C正确．∵AF＝5，EF＝25，∴AF≠EF.故选项D错误．10．C 解析：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝∠BAD ＝90°. ∵△AEF 是等边三角形， ∴AE ＝EF ＝AF ，∠EAF ＝60°. ∴∠BAE ＋∠DAF ＝30°. 在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF (HL)． ∴BE ＝DF (故①正确)， ∠BAE ＝∠DAF .∴∠DAF ＋∠DAF ＝30°，即∠DAF ＝15°(故②正确)． ∵BC ＝CD ，∴BC －BE ＝CD －DF ，即CE ＝CF ， 又∵AE ＝AF ，∴AC 垂直平分EF (故③正确)．设EC ＝x ，由勾股定理，得EF ＝AE ＝2x ，∴EG ＝CG ＝22x . ∴AG ＝62x . ∴AC ＝6x ＋2x2.∴AB ＝BC ＝3x ＋x 2.∴BE ＝3x ＋x 2－x ＝3x －x2.∴BE ＋DF ＝3x －x ≠2x (故④错误)．易知S △CEF ＝x 22，S △ABE ＝3x －x 2·3x ＋x22＝x 24，∴2S △ABE ＝x 22＝S △CEF (故⑤正确)．综上所述，正确的有4个．二、11．90° 12．16 13．2.514．213 解析：设正方形的边长为a ，∵S △ABE ＝18，∴S 正方形ABCD ＝2S △ABE ＝36， ∴a 2＝36.∵a ＞0，∴a ＝6. 在Rt △BCE 中，∵BC ＝6，CE ＝4，∠C ＝90°， ∴BE ＝BC 2＋CE 2＝62＋42＝213. 15．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 16．16 解析：∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝x ，AD ＝y ，∴CD ＝AB ＝x ，BC ＝AD ＝y ，∠BCD ＝90°.又∵BD ⊥DE ，点F 是BE 的中点，DF ＝4，∴BF ＝DF ＝EF ＝4，∴CF ＝4－BC ＝4－y.在Rt △DCF 中，DC 2＋CF 2＝DF 2，即x 2＋(4－y )2＝42＝16.∴x 2＋(y －4)2＝16. 17．3105 解析：如图，连接EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝2，∠A ＝∠D ＝90°. ∵点E 为AD 的中点，∴AE ＝DE ＝1，∴BE ＝AE 2＋AB 2＝12＋32＝10，CE ＝DE 2＋DC 2＝12＋32＝10， ∴CE ＝BE .∵S △BCE ＝S △BEF ＋S △CEF ，∴12BC ·AB ＝12BE ·FG ＋12CE ·FH ，∴BC ·AB ＝BE (FG ＋FH )，即2×3＝10(FG ＋FH )，解得FG ＋FH ＝3105.18．7 解析：如图，过点O 作OM ⊥CA ，交CA 的延长线于点M ，过点O作ON ⊥BC 于点N ，易证△OMA ≌△ONB ，CN ＝OM ，∴OM ＝ON ，MA ＝N B.又∵∠ACB ＝90°，∠OMA ＝∠ONB ＝90°，OM ＝ON ， ∴四边形OMCN 是正方形． ∴△OCM 为等腰直角三角形． ∵OC ＝62，∴CM ＝OM ＝6.∴MA＝CM－AC＝6－5＝1.∴BC＝CN＋NB＝OM＋MA＝6＋1＝7. 故答案为7.三、19．证明：连接DB.∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC.又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF.20．(1)证明：∵CE∥OD，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，∴四边形OCED是矩形．(2)解：∵在菱形ABCD中，AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝4，∴OC＝12AC＝2，∴OD＝42－22＝23，∴矩形OCED的面积是23×2＝4 3.21．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AB∥CD.又∵BE∥AC，E在DC的延长线上．∴四边形ABEC是平行四边形，∴AC＝BE，∴BD＝BE.(2)解：如图，过点O作OF⊥CD于点F.∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴∠BCE＝90°.在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC＝8.∵BE＝BD，∴CD＝CE＝6，∴DE＝12.∵OD＝OC，∴CF＝DF，又OB＝OD，∴OF为△BCD的中位线，∴OF＝12BC＝4，∴S△ODE＝12DE·OF＝12×12×4＝24.22．(1)证明：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C＝90°，∴∠ADB＝∠DBC.根据折叠的性质得∠ADB＝∠FDB，∠F＝∠A＝90°，∴∠DBC＝∠FDB，∠C＝∠F.∴BE＝DE.在△DCE和△BFE中，∴△DCE≌△BFE.(2)解：在Rt△BCD中，∵CD＝2，∠DBC＝∠ADB＝30°，∴BD＝4.∴BC＝2 3.在Rt△ECD中，易得∠EDC＝30°.∴DE＝2EC.∴(2EC)2－EC2＝CD2.又∵CD＝2，∴CE＝23 3.∴BE＝BC－EC＝43 3.23．(1)证明：如图，连接AC.∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝CD＝DA，∴∠BAC＝∠DAC＝60°，∴△ABC 和△ADC都是等边三角形，∴∠ABE＝∠ACF＝60°，∠1＋∠2＝60°.∵∠3＋∠2＝∠EAF＝60°，∴∠1＝∠3.∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC 为等边三角形．∴AB ＝AC .∴△ABE ≌△ACF .∴BE ＝CF .(2)解：四边形AECF 的面积不变．由(1)知△ABE ≌△ACF ，则S △ABE ＝S △ACF ，故S 四边形AECF ＝S △AEC ＋S △ACF ＝S △AEC ＋S △ABE ＝S △ABC .如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，则BM ＝MC ＝2，∴AM ＝AB 2－BM 2＝42－22＝2 3.∴S △ABC ＝12BC ·AM ＝12×4×23＝4 3.故S 四边形AECF ＝4 3.24．解：(1)如图①.(2)如图②，连接AE ，∵点E 是点B 关于直线AP 的对称点，∴∠P AE ＝∠P AB ＝20°，AE ＝AB.∵四边形ABCD 是正方形，∴AE ＝AB ＝AD ，∠BAD ＝90°.∴∠AED ＝∠ADE ，∠EAD ＝∠DAB ＋∠BAP ＋∠P AE ＝130°.∴∠ADF ＝180°－130°2＝25°. (3)EF 2＋FD 2＝2AB 2.证明如下：如图③，连接AE ，BF ，BD ，由轴对称和正方形的性质可得，EF ＝BF ，AE ＝AB ＝AD ，易得∠ABF ＝∠AEF ＝∠ADF .∵∠BAD ＝90°， ∴∠ABF ＋∠FBD ＋∠ADB ＝90°.∴∠ADF ＋∠ADB ＋∠F BD ＝90°.∴∠BFD ＝90°.在Rt △BFD 中，由勾股定理得BF 2＋FD 2＝BD 2.在Rt △ABD 中，由勾股定理得BD 2＝AB 2＋AD 2＝2AB 2，∴EF 2＋FD 2＝2AB 2.。
北师大版数学九年级上册第一章测试卷
第一章检测题（一）一、选择题1、下列说法中，不正确的是（ ）．（A ）有三个角是直角的四边形是矩形;（B ）对角线相等的四边形是矩形（C ）对角线互相垂直的矩形是正方形;（D ）对角线互相垂直的平行四边形是菱形2、用两个全等的直角三角形拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥等腰梯形．其中一定能拼成的图形是（ ）．（A ）①②③ （B ）①④⑤ （C ）①②⑤ （D ）②⑤⑥ 3、观察下列四个平面图形，其中中心对称图形有（ ）（A ）2个 （B ）1个 （C ）4个 （D ）3个 图1 4、顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（ ） A ．菱形 B ．正方形 C ．矩形 D ．等腰梯形5、如图1，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD =（A ）①③ （B ）②③ （C ）③④ （D ）①②③ 6、菱形的周长为20,两邻角的比为2∶1，则一组对边的距离为（ ） A 、32B 、332C 、3 3D 、532图3 图47、如图3，矩形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的F 点处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE 等于（ ）．（A ）15° （B ）30° （C ）45° （D ）60°8、如图4，在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ：AC 等于（ ）． （A ）3：2 （B ）3：3 （C ）1：2 （D ）3：19、如图5，四边形ABCD 是正方形，延长BC 至点E ，使CE=CA ，连结AE 交CD•于点F ，•则∠AFC 的度数是（ ）．（A ）150° （B ）125° （C ）135° （D ）112．5° 10、正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）A 、四个角都是直角B 、两组对边分别相等C 、内角和为0360 D 、对角线平分对角图5 11、矩形的边长为10 cm 和15 cm ，其中一内角平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ） （A ）6 cm 和9 cm （B ）5 cm 和10 cm （C ）4 cm 和11 cm （D ）7 cm 和8 cm12、菱形周长为20 cm ，它的一条对角线长6 cm ，则菱形的面积为…………………（ ） （A ）6 （B ）12 （C ）18 （D ）24 二、填空题：13、已知矩形的对角线长为4cm ，一条边长为23cm ，则面积为________．14、菱形的两条对角线分别是6cm ，8cm ，则菱形的边长为_____，面积为______．15、如图7，在□ABCD 中，则对角线AC 、BD 相交于O ，图中全等的三角形共有____对．图7 图8 图916、从矩形的一个顶点作一条对角线的垂线，这条垂线分这条对角线成1:3两部分，则矩形的两条对角线夹角为 .17、如图8，矩形ABCD 中，O 是两对角线的交点AE ⊥BD ，垂足为E ．若OD ＝2 OE ， AE ＝3，则DE 的长为______．18、如图9，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，若AE ＝4，AF ＝6，□ABCD 的周长为40，则S □ABCD 为______．三、解答题（要有必要的文字说明，规范的步骤）19、如图6，在矩形ABCD 中，E 是BC 上一点且AE=AD ，又AE DF ⊥于点F ， 证明：EC=EF.A BCDA DFECDBAO20、如图所示，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过顶点C 作CE ∥BD ，交A•孤延长线于点E ，求证：AC=CE ．21、如图1-16，在ABCD 中，点E 是CD 的中点，AE 的延长线与BC 的延长线相交于点F ． (1)求证：△ADE ≌△FCE ；(2)连结AC 、DF ，则四边形ACFD 是下列选项中的（ ）． A ．梯形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形 ⑶证明你在(2)中的结论22、（本小题满分10分）如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．23、如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交B于Q.（1）求证： OP=OQ ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）.设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形．。