数学史选讲

(2)《抛物线求积》；
(3)《论螺线》； (4)《论球和圆柱》；
(5)《论劈锥曲面和旋转球体》；
(6)《引理集》； (7)《处理力学问题的方法》； (8)《论平面图形的平衡或其重心》； (9)《论浮体》； (10)《沙粒记数》； (11)《牛群问题》。 阿基米德的数学著作集中探讨与面积和体积计算相关的问题。 在《圆的度量》中，阿基米德将穷竭法应用于圆的周长和面积公 式。他从圆内正接三角形出发，边数逐次加倍，计算到正96边形 22 而得到圆周率 的近似 7 。在《球和圆柱》中，他运用穷竭法 证明了与球的面积和体积有关的公式。他证明的命题包括：任一 球面积等于其大圆面积的四倍；以球的大圆为底，以球直径为高 3 的圆柱，其体积是球体积的 2 ，其包括上、下底在内的表面积是 3 球面积的 2 ；等等。
刘徽在《九章算术》方田章“圆田术”注中，提出割圆术作为 计算圆的周长、面积以及圆周率的基础。割圆术的要旨是用圆内接 正多边形去逐步逼近圆。刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次 加倍，并计算逐次得到的正多边形的面积和周长。他指出：“割之 弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失 矣。” 刘徽从圆内接正六边形出发，并取 半径为1尺，一直计算到192边形，得出 了圆周率的精确到小数点后二位的近似 值 3.14，化成分数为 157 ，这就是有 50 名的“徽率”。
刘徽指出，在每一高度上的水平截面圆与其外切正方形的 面积之比都等于 ，因此球体积与牟合方盖体积之比也应该 4 等于 。
4
刘徽在这里实际已用到了西方微积分史著作中所说的“卡瓦 列利原理”，可惜没有将它总结为一般形式。牟合方盖的体积怎 么求呢？刘徽终于未能解决。 最后他说：“敢不阙疑，以俟(si)能言者!” 刘徽虽然没有推证出球体积公式， 但他所创用的特殊形式 的不可分量方法，成为后来祖冲之父子在球体积问题上取得突 破的先导。 刘徽《九章算术注》还有其他许多数学成果，特别是他在 《九章算术》“勾股”章之后所加的一整篇文字，作为《九章算 术注》第十卷，后来单独刊行，称为《海岛算经》。
• 用无穷多个同维的无限小元素之和来确定曲边形面积和体 积，这是开普勒求积术的核心，是他对积分学的最大贡 献．他的许多后继者都吸取了这一精华．
•
5 卡瓦列里的工作
• 伽利略的学生卡瓦列里(1598—1647)不仅继承了 开普勒与伽利略的思想，而且有明显的变革． • 第一，他不再把几何图形看作同维无穷小元素 所组成，而是看作由维数较低的无穷小元素所组 成，并把这些无穷小元素称为“不可分量”．例 如，体积的不可分量是无数个平行的平面． • 第二，他建立起两个给定几何图形的不可分量 之间的一一对应关系，若每对量的比都等于同一 个常数，则他断定两个图形的面积或体积也具有 同样比例． • 所谓卡瓦列里原理便是在此基础上提出的，下 面，我们以他对球体积的推导为例，说明他是怎 样通过不可分量的比较来求积的．
3 阿基米德的数学成就
全部历史上任何三个“最伟大”的数学家的名单都将包括 阿基米德（Archimedes,公元前287-前212）的名字(通常与他相联 系的另外两个名字是牛顿和高斯)。 阿基米德的著述极为丰富，但多以类似论文手稿而非大部巨 著的形式出现。这些著述内容涉及数学、力学及天文学等，其中 流传于世的有： (1)《圆的度量》；
2、 祖冲之与祖暅的成就
用水平截面去截球和“牟合方盖”，可知截面的面积之 比恒为π：4，于是由刘徽原理立即得到 V球:V牟=π：4 即
V球= （π/4） V牟。
“小方盖差” 与球体积公式
左图，小牟合方盖中，PQ是小牟合方盖被水平截平面得到正方形 的一边，设为a，UQ是球半径r，UP是高h。根据勾股定理得 a2 = r2 – h2;这正是截平面PQRS的面积 中图，小方盖差在等高处的截面面积等于 r 2 a 2 h 2 右图，底边为r，高也是r的倒正四棱锥，在等高处的截面面积也 是h 2
例：平衡法求球体积 当然，平衡法本身必须以极限论为基础， 阿基米德意识到他的方法在严密性上的不 足，所以当他用平衡法求出一个面积或体 积之后，必再用穷竭法给以严格的证明。 这种发现与求证的双重方法，是阿基米德 独特的思维模式，也可以说是他胜欧几里 得一筹之处。
• 设球的半径为R，如图作球、 圆柱、圆锥的轴截面。 • 延长SN到T使TN=2R。 • 在与N距离为x处割出厚度为 △x的三个薄片（可看成近似 的圆柱体）， • 它们的体积分别是： • 球薄片: x(2R x)x • 圆柱薄片：R 2 x ， • 圆锥薄片：x x • 将球薄片与圆锥薄片的重心 吊在点T处，圆柱薄片的重心 仍在原处，以N为支点考虑两 边的力矩：
3.1415926 （肭数） 3.1415927 （盈数）
《隋书﹒律历志》还记载了祖冲之在圆周率计算方面的另 一项重要结果：“密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五；约 率：圆径七，周二十二”。这就是说祖冲之还确定了圆周率的分 数形式的近似值：约率 22 ；密率 355 。
在现代数论中，如果将圆周率
数学史选讲
鲁东大学数学与信息学院 范永顺 2008年7月17日
一、圆周率的计算
1、刘徽的成就 《隋书》“律历志”中提到“魏陈留王景元四年刘徽注九章”， 由此知道刘徽是公元3世纪魏晋时人，并于公元263年撰《九 章算术注》。 《九章算术注》包含了刘徽本人的许多创造， 完全可以看成是独立的著作，奠定了这位数学家在中国数学 史上的不朽地位。 刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”和体积理论 。
根据祖暅原理可知：小方盖差和倒立正四棱锥的体积相等。
概言之，祖暅推导几何图形体积公式的方法是以下列两条原 理为基础： （1）出入相补原理； （2）祖氏原理：幂势既同，则积不容异。 祖氏原理在西方文献中称“卡瓦列利原理”，1635年意大利 数学家卡瓦列利(B.Cavalieri)独立提出，对微积分的建立有重要影 响。 刘徽和祖冲之父子的工作，思想是很深刻的，它们反映了魏晋 南北朝时代中国古典数学中出现的论证倾向，以及这种倾向所达到 的高度。祖冲之父子的方法都记载在《缀术》中。《缀术》在隋、 唐时期曾与《九章算术》一起被列为官学教科书，但《隋书﹒律历 志》中已说：“学官莫能究其深奥”了！《缀术》于公元10世纪在 中国本土完全失传。
r 3 半球
半球 2 r 3 3
1 r 3 3
4 球 r 3 3
• 计算球的体积都利用了球与已知几何体的 关系
2
R S T N
左力矩=[ x(2R x)x + x x ]2R= 4R xx
2
2
右力矩=
R xx
2
将所有这些薄片绕N点的力矩加在一起便得： （球体积+圆锥体积）2R= 4（圆柱体积）R ，球体 积=2圆柱体积-圆锥体积
• 4、开普勒求体积 • 开普勒把球看成是由无穷多个棱锥组成的，每个棱锥的顶 点都在球心，底面在球的表面上，高等于球半径r．把这 些棱锥的体积加起来，由棱锥体积公式立即得到
阿基米德的数学工作是严格证明与创造技巧相结 合的典范，这在其《处理力学问题的方法》中有充分 的体现。《方法》包括有15个命题，集中阐释了发现 求积公式的方法，这种通常称为“平衡法”的方法， 实质上是一种原始的积分法。它是将需要求积的量 （面积、体积等）分成许多微小的单元（如微小线段、 薄片等），再用另外一组微小单元来进行比较，而后 一组微小单元的总和比较容易计算。只不过这两组微 小单元的比较是借助于力学上的杠杆平衡原理来实现 的。因此，平衡法体现了近代积分法的基本思想，可 以说是阿基米德数学研究的最大功绩。阿基米德本人 用它解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。
计算圆面积、周长，实际上都在计算圆 周率。 计算圆面积、周长都利用了 刘徽首先证明了《九章算术》中的球体积公式是不正确的，并在 《九章算术》“开立圆术”注文中指出了一条推算球体积公式的正 确途径。 刘徽创造了一个新的立体图形，他称之为“牟合方盖”，并指 出：一旦算出牟合方盖的体积， 球体积公式也就唾手可得。在一 立方体内作两个互相垂直的内切 圆柱。这两个圆柱体相交的部分， 就是刘徽所说的“牟合方盖”。牟合 方盖恰好把立方体的内切球包含 在内并且同它相切。如果用同一 个水平面去截它们，就得到一个圆 （球的截面），和它的外切正方形 （牟合方盖的截面）。
2 祖冲之关于圆周率的贡献
祖冲之（公元429-500，如图）活跃于南朝 宋、齐两代，出生于历法世家，本人做过南徐 州（今镇江）从事史和公府参军，都是地位不 高的小官，但他却成为历代为数很少能名列正 史的数学家之一。祖冲之在公元462年创制了 一部历法《大明历》，这在当时是最先进的历 法.
祖冲之关于圆周率的贡献记载在《隋书》中，《隋书﹒律历志》 说： “祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四 寸一分五厘九毫二秒七忽，肭数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒 六忽，正数在盈肭二限之间”。 也就是说，祖冲之算出了圆周率数值的上下限：.
• 如图11．3，设DHC是以O为圆心 的半圆，ABCD是它的外切矩 形．以OH为旋转轴，则正方形 OHBC画出圆柱，三角形OHB画 出圆锥，而弧HC画出半球面．用 平行于底面的任意平面去截这些 图形，则产生以G为圆心的半径分 别为RG、FG和EG的圆，它们分 别为圆柱、圆锥和半球的不可分 量，这些不可分量存在如下关系： • OE2=GO2＋EG2 • 即 RG2＝FG2+EG2． • 所以 πRG2＝πFG2＋πEG2． • 由于截面的任意性，所以圆 柱体积等于半球与圆锥体积之和， 设球半径为r，则
7
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表示成连分数，其渐近分数是：
第4项正是密率，它是分子、分母不超过1000的分数中最接近 真值的分数。“密率”也称“祖率”。
3 22 333 355 103993 104348 , , , , , , 1 7 106 113 33102 33215
3 阿尔· 卡西求圆周率 阿 尔 ·卡 西 (?—1429) 求 圆 周 率 π=3.1415926535897932。精确到小数点后 16位