运筹学试题答案

这是一个M/M/n 无限源损失制系统，其到达率和离去率为
N
j j M
N i M N i j
i ,...,2,1 ,,
,121==⎩⎨
⎧-≥-<+=μμ
λλλλ
由生灭系统可理科的系统状态转移稳态图
λ +λ(N -M +1)
N λ +λλ +λλλ1
由图可推导出系统的稳态概率：
P A
j P j c
A A j P c j N
P A i A A i j j c
j c i
i c c i c
i c N
=≤≤<≤⎧⎨⎪
⎪⎩
⎪⎪=+
⎡⎣⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥-=-=+-∑∑
!,!,
!!
01
000
1
1
1
0 (1)
式中：μ
λλ
21+=
A
为系统总加入话务量，μ
λ 11
=
A ；C =N -M 为系统的共用中继
电路数。

由(1)式可知，第一类顾客的呼损为，
1
1!
P N A A P B c
N c
N -=
= (2)
第二类顾客的呼损为，
∑==
N
c
i i P B 2
(3)
这是一个M/M/1无限源有限容量等待制系统
1）稳态状态转移图如下
2）稳态方程如下
由(1)式可解得 P j =ρ j P 0，j =1,2,3,4
其中，ρ = λ/μ。

因为，P 1+P 2+P 3+P 4+P 0=1， 所以有 P 0=1/(1+ρ+ρ2+ρ3+ρ4) 3） λ=30辆
/小时，1/μ =3分/辆=1/20（小时/辆），ρ =1.5 Erl ；代入上式有：
⎪⎩
⎪
⎨⎧==+=+=-+
(1) 2,3,1 )(
341101P P j P P P P P j j j λμμλλμλμ
P 0=0.0758, P 1=0.1137, P 2=0.17055, P 3=0.2558, P 4=0.3837
757.24
==
∑=i i
d iP
L ， W d = L d /λ = 0.0919小时 = 5.514分。

解：设两个波松分布分别为，()()t
j
j t
i
i e
j t t P e
i t t P 21!
)(!
)
(21λλλλ--=
=
令合成分布的随机变量为 y ＝x 1+x 2，则在(0, t )内来n 个顾客的概率为
{}{}{}{}
()()()()[]t
n
n
i i n i i
n t
n
i t
i
n t
i
n
i e
n t t t C e
n e
i n t e
i t i n x P i x P n x x P n y P )(210
21)(0
2120
121212121!
)(!
1)!
(!
λλλλλλλλλλλλ+-=-+-=---=+=
=
-=
-===
=+==∑∑
∑ 即 y 服从参数为 λ1＋λ2的波松分布。

证毕。

u i 对应产地i 单位发货的机会费用，v j 对应销地j 单位收货的机会费用，故z ij =u i +v j 为x ij 的机会费用，若存在u i +v j >w ij ，即z ij - w ij >0，则引入x ij 可使目标函数进一步下降，故当前基础可行解不是最优解。

解：由状态转移图可得稳态方程组
⎪⎩
⎪
⎨⎧
=+++=++=1)2/1()()(210201210P P P P P P P P P αλμβμλ
由此解出：
⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨⎧
++++=++++=
+=α
βμα)μ/(μλλP αβμβ)μ/(μλλP μ
λμP 2121120
解：根据允许缺货模型，可得最佳订货量公式
j
dj
Sj j s
d
Dk
Q
DC Q C Q C C DC Q ++
=
=
2
1)(,
20
(1) 0<Q ≤999时，911
.12642.0/802000201
=⨯⨯=Q ，落在该批量段之外
故该批量的最经济订购量为批量区间右端点999件，
月元/06.266020002.1999
8020002
2
.0999)999(1=⨯+⨯+
⨯=
C
(2) 999<Q ≤2999时，993
.163215.0/1002000202=⨯⨯=Q ，落在该批量段之内
故月
元/95.2544200015.110015.0993.1632)
993.1632(2=⨯+⨯⨯=
C
(3) 3000≤Q 时，890.219010.0/1202000203
=⨯⨯=
Q ，落在该批量段之外
故该批量的最经济订购量为3000件，
月
元/243020001.13000
12020002
1
.03000)3000(3=⨯+⨯+
⨯=
C
由此可见C 3(3000)最小，故取最佳定货量Q m =3000件。

答：最佳定货量Q m =3000件。