第十章 第十节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布(理)
离散型随机变量的均值与方差 正态分布
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考向大突破三：正态分布
例3：(2013·大连测试)已知随机变量x服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－
2σ＜x≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－σ＜x≤μ＋σ)＝0.682 6，若μ＝4， σ＝1，则P(5＜x＜6)＝( ) A．0.135 8 B．0.1359 C．0.271 6 D．0.2718
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(2)设“选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分”为事件 C，“甲在A区投篮得2分、在B区投篮得0分”为事件C1， “甲在A区投篮得4分、在B区投篮得0分”为事件C2，“甲在 A区投篮得4分、在B区投篮得3分”为事件C3，则C＝ C1∪C2∪C3，其中C1，C2，C3为互斥事件． 则P(C)＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＝
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考点 • 大整合
1．牢记离散型随机变量X的均值、方差的三个基本问题
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2．把握两点分布与二项分布的均值、方差
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3．理清正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； 1 (3)曲线在x＝μ处达到峰值 σ 2π ； (4)曲线与x轴之间的面积为1； (5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲 线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大， 曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
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离散型随机变量的均值与方差、正态分布【手机阅读】
的分布列与数学期望.
附： K 2 =
n(ad − bc)2
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
P(K 2 k0 ) 0.025 0.010 0.005
k0
5.024 6.635 7.879
【答案】 【解析】 解： (1)统计数据如下表：
∴有 99% 的把握认为是否喜欢游戏与作业量
的多少有关. (2)易知，利用分层抽样抽取的 6 名学生中，“认
为作业多”的学生有 4 名，“认为作业不多”的
学生有 2 名. 由题知，从这 6 名学生中任取 4 名中“认为作
C．0.1586
D．0.1585
【答案】B
【解析】
对称轴 x=3,(1-0.6826)÷2=0.1587. ◇
3.已知某一随机变量 ξ 的概率分布列如下，且 Eξ ＝6.3，则 a 的值为( )
ξ4 a 9
P 0.5 0.1 b
A．5
B．6
【答案】C
【解析】
C．7
D．8
0.5+0.1+b=1, 4×0.5+a×0.1+9×b=6.3, ◇
第 6 页，共 21 页
依题意得 x＋0.1＋0.3＋y＝1 7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9
即x＋y＝0.6 7x＋10y＝5.4
解得 y＝0.4. ◇
7.为了研究某班学生的脚长 x (单位：厘米)和身 高 y (单位：厘米)的关系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为
＝P(A1 A 2 A 3)＋P( A 1A2 A 3)＋P( A 1 A
高考一轮总复习 数学 第10章 第9讲 离散型随机变量的均值、方差和正态分布
【变式训练 2】 某校设计了一个实验学科的考查方案：考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题，按 照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中 2 题的便可通过．已知 6 道备选题中考生甲
有 4 题能正确完成，2 题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为32，且每题正确完成与否互不影响． (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的分布列，并计算其数学期望；
1 5．[2015·广东高考]已知随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)．若 E(X)＝30，D(X)＝20，则 p＝___3_____.
解析 根据二项分布的期望与方差． 由题知nnpp＝1－30p＝20 得 p＝13.
板块二 典例探究·考向突破
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命题角度 1 均值与方差的计算 例 1 袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n＝1,2,3,4)．现从袋中 任取一个球，ξ 表示所取球的标号． (1)求 ξ 的分布列、期望和方差； (2)若 η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求 a，b 的值．
[双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．( √ ) 2．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离 变量平均程度越小．( √ ) 3．正态分布中的参数 μ 和 σ 完全确定了正态分布，参数 μ 是正态分布的期望，σ 是正态分布的标准 差．( √ ) 4．一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服 从正态分布．( √ ) 5．期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．( × )
【高中数学】离散型随机变量的均值与方差、正态分布
【高中数学】离散型随机变量的均值与方差、正态分布【知识讲解】1．若离散型随机变量ξ的分布列为X x 1x 2 … x i… x n Pp 1 p 2 … p i…p n(1)则称E ξ＝ 为随机变量ξ的均值，也称为期望，它反映了离散型随机变量取值的 。
(2)把 叫做随机变量方差，D ξ的算术平方根D ξ叫做随机变量ξ的 ，记作 。
随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的 偏离于均值的平均程度 。
其中标准差与随机变量本身有 相同单位 。
2．均值与方差的计算公式(1)若η＝a ξ+b (a,b 为常数)，则E η＝E(a ξ+b )=______________；D η＝D(a ξ+b )=____________； (2)若ξ服从两点分布，则E ξ＝ ，D ξ= ；(3)若X 服从二项分布，即~(,)B n p ξ，则E ξ＝ ，D ξ= 。
3．函数,()______________x μσϕ=的图象称为正态密度曲线，简称正态曲线。
4．对于任何实数a b <，随机变量X 满足()____________,P a X b <≤≈则称X 的分布为正态分布，正态分布完全由参数 确定。
因此正态分布常记作 ，如果X 服从正态分布，则记为 。
5．正态分布的特点：(1)曲线在 ；(2)曲线关于直线 对称； (3)曲线在x μ=时 ；(4)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线 ，表示总体的分布越 ；σ越小，曲线 ，表示总体的分布越 。
【巩固练习】离散型随机变量的均值与方差 一、选择题(每小题7分，共35分) 1．已知X 的分布列为X －1 0 1 P121316，且Y ＝aX ＋3，E (Y )＝73，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2．已知随机变量X 的分布列为X －2 －10 1 2 3 P 112 m n 112 16 112其中m ，n ∈[0,1)，且E (X )＝16，则m ，n 的值分别为( )A.112，12B.16，16C.14，13D.13，14 3．(2010·全国)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100 B．200 C．300 D．4004．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为()A．3·2－2B．2－4C．3·2－10 D．2－85．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()A．5 B．5.25 C．5.8 D．4.6二、填空题(每小题6分，共24分)6．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则E(ξ)＝______. 7．(2009·上海)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E (ξ)＝__________(结果用最简分数表示)．8．(袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望E(ξ)＝________.9．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E(ξ)＝________.三、解答题(共41分)10．(13分)袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：(1)随机变量ξ的概率分布列；(2)随机变量ξ的数学期望与方差．11．(14分)一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．(1)若从袋子里一次取出3个球，求得4分的概率；(2)若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸2次，求所得分数ξ的分布列及数学期望．12．(14分)某省示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．(规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座)统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：信息技术生物 化学 物理 数学 周一 14 14 14 14 12 周三 12 12 12 12 23 周五1313131323(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；(2)设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【巩固练习】均值与方差、正态分布基础热身1．下面说法正确的是( )A ．离散型随机变量X 的期望E (X )反映了X 取值的概率的平均值B ．离散型随机变量X 的方差D (X )反映了X 取值的平均水平C ．离散型随机变量X 的期望E (X )反映了X 取值的平均水平D ．离散型随机变量X 的方差D (X )反映了X 取值的概率的平均值2．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名同学，那么其中数学成绩优秀的学生数X ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，则E (2X ＋1)等于( )A.54B.52C ．3D.72 3．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员、2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X ，则X 的数学期望是( )A.15B.310C.45D.654．某种摸奖活动的规则是：在一个袋子中装有大小、质地完全相同、编号分别为1,2,3,4的小球各一个，先从袋子中摸出一个小球，记下编号后放回袋子中，再从中取出一个小球，记下编号，若两次编号之和大于6，则中奖．某人参加4次这种抽奖活动，记中奖的次数为X ，则X 的数学期望是( ) A.14 B.12 C.316 D.34能力提升5．已知X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，Y ～B ⎝⎛⎭⎫n ，13，且E (X )＝15，则E (Y )等于( ) A ．5B ．10C ．15D ．206．[2010·课标全国卷] 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100 B．200 C．300 D．4007．已知离散型随机变量X的概率分布列为X 13 5P 0.5m 0.2则其方差D(X)等于()A．1 B．0.6 C．2.44 D．2.48．[2010·广东卷] 已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)＝()A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.15859．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是()A．7.8 B．8 C．16 D．15.610．某同学解答两道试题，他能够解出第一道题的概率为0.8，能够解出第二道题的概率为0.6，两道试题能够解答与否相互独立，记该同学解出题目的个数为随机变量X，则X的数学期望E(X)＝________.11．体育课的投篮测试规则是：一位同学投篮一次，若投中则合格，停止投篮，若投不中，则重新投篮一次，若三次投篮均不中，则不合格，停止投篮．某位同学每次投篮的命中的概率为23，则该同学投篮次数X的数学期望E(X)＝________.12．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜色后放回，现连续取球8次，记取出红球的次数为X，则X的方差D(X)＝________.13．据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，交保险费100元，若一年内万元以上财产被窃，保险公司赔偿a元(a>1000)，为确保保险公司有可能获益，则a的取值范围是________．14．(10分)[2011·泰兴模拟] 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，f6(x)＝2.(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；(2)现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数X的分布列和数学期望．15．(13分)[2011·南漳一中月考] 不透明盒中装有10个形状大小一样的小球，其中有2个小球上标有数字1，有3个小球上标有数字2，还有5个小球上标有数字3.取出一球记下所标数字后放回，再取一球记下所标数字，共取两次．设两次取出的小球上的数字之和为X.(1)求随机变量X的分布列；(2)求随机变量X的期望E(X)．难点突破16．(12分)[2011·衡阳联考] 低碳生活成为人们未来生活的主流，某市为此制作了两则公益广告：(1)80部手机，一年就会增加一吨二氧化碳的排放……(2)人们在享受汽车带来的便捷与舒适的同时，却不得不呼吸汽车排放的尾气……活动组织者为了解市民对这两则广告的宣传效果，随机从10～60岁的人群中抽查了n 人，统计结果如图K63－1表示抽查的n 人中，各年龄段的人数的频率分布直方图，下表表示抽查的n 人中回答正确情况的统计表．图K63－1广告一 广告二 回答正确 的人数 占本组人 数的频率 回答正确 的人数 占本组人数 的频率 [10,20) 90 0.5 45 a [20,30) 225 0.75 240 0.5 [30,40) 378 0.9 252 0.6 [40,50) 160 b 120 0.5 [50,60)150.2560.1(1)分别写出n ，a ，b 的值；(2)若上表中的频率近似值看作各年龄组正确回答广告内容的频率，规定正确回答广告一的内容得20元，正确回答广告二的内容得30元，组织者随机请一家庭的两成员(大人45岁，孩子17岁)回答两广告内容，求该家庭获得资金的期望(各人之间，两广告之间相互独立)．基础知识参考答案：1.【提示】1122n n x P x P x P +++ ,平均水平,21()nii i D xE P ξξ==-∑,标准差,σξ,偏离于均值的平均程度,相同单位2.【提示】AE ξ+b ，a 2D ξ，P ，P （1－P ），nP ，nP(1－P)3.【提示】22()21,2x e x R μσπσ--∈4.【提示】,()bax d x μσϕ⎰，μ和σ，2(,)N μσ，2~(,)X N μσ5.【提示】位于x 轴上方，与x 轴不相交，x μ=，达到峰值12πσ，1，越“矮胖”，分散巩固练习参考答案：10. 解 (1)随机变量ξ可取的值为2,3,4，P (ξ＝2)＝C 12C 13C 12C 15C 14＝35；P (ξ＝3)＝A 22C 13＋A 23C 12C 15C 14C 13＝310； P (ξ＝4)＝A 33C 12C 15C 14C 13C 12＝110；所以随机变量ξ的概率分布列为：ξ 23 4 P35310110(2)随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝2·35＋3·310＋4·110＝52；随机变量ξ的方差 D (ξ)＝(2－52)2·35＋(3－52)2·310＋(4－52)2·110＝920.P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫252＝425， 故ξ的分布列为ξ 23 4 P9251225425故ξ的数学期望E (ξ)＝2×925＋3×1225＋4×425＝145.P (ξ＝1)＝C 14×12×⎝⎛⎭⎫1－123×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－124×23＝18； P (ξ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－122×⎝⎛⎭⎫1－23＋C 14×12×⎝⎛⎭⎫1－123×23＝724；P (ξ＝3)＝C 34×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－23＋C 24×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－122×23＝13； P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫124×⎝⎛⎭⎫1－23＋C 34×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－12×23＝316； P (ξ＝5)＝⎝⎛⎭⎫124×23＝124.所以，随机变量ξ的分布列如下：ξ 01 2 3 4 5 P1481872413316124故E (ξ)＝0×148＋1×18＋2×724＋3×13＋4×316＋5×124＝83.【基础热身】1．C [解析] 离散型随机变量X 的期望E(X)反映了X 取值的平均水平，它的方差反映X 取值的离散程度．2．D [解析] 因为X ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，所以E(X)＝54，所以E(2X ＋1)＝2E(X)＋1＝2×54＋1＝72. 3．D [解析] X ＝0,1,2.P(X ＝0)＝C 22C 25＝110，P(X ＝1)＝C 13C 12C 25＝610，P(X ＝2)＝C 23C 25＝310.所以E(X)＝65.4．D [解析] 根据乘法原理，基本事件的总数是4×4＝16，其中随机事件“两次编号之和大于6”含有的基本事件是(3,4)，(4,3)，(4,4)，故一次摸奖中奖的概率为316.4次摸奖中奖的次数X ～B ⎝⎛⎭⎫316，4，根据二项分布的数学期望公式，则E(X)＝4×316＝34.【能力提升】5．B [解析] 因为X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，所以E(X)＝n2，又E(X)＝15，则n ＝30. 所以Y ～B ⎝⎛⎭⎫30，13，故E(Y)＝30×13＝10. 6．B [解析] X 的数学期望概率符合(n ，p)分布；n ＝1 000，p ＝0.1，∴E(X)＝2×1 000×0.1＝200. 7．C [解析] 因为0.5＋m ＋0.2＝1，所以m ＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4， D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.8．B [解析] 通过正态分布对称性及已知条件得P(X ＞4)＝1－P 2≤X ≤42＝1－0.68262＝0.1587，故选B .9．A [解析] X 的取值为6,9,12，相应的概率P(X ＝6)＝C 38C 310＝715，P(X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P(X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115，E(X)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.10．1.4 [解析] X ＝0,1,2.P(X ＝0)＝0.2×0.4＝0.08，P(X ＝1)＝0.8×0.4＋0.2×0.6＝0.44，P(X ＝2)＝0.8×0.6＝0.48.所以E(X)＝0×0.08＋1×0.44＋2×0.48＝1.4.11.139 [解析] 试验次数X 的可能取值为1,2,3，且P(X ＝1)＝23， P(X ＝2)＝13×23＝29，P(X ＝3)＝13×13×⎝⎛⎭⎫23＋13＝19. 随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P232919所以E(X)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.12．2 [解析] 每次取球时，红球被取出的概率为12，8次取球看做8次独立重复试验，红球出现的次数X ～B ⎝⎛⎭⎫12，8，故D(X)＝8×12×12＝2.13．(1 000,20 000) [解析] X 表示保险公司在参加保险者身上的收益，其概率分布为X 100 100－a P0.9950.005E(X)＝0.995×100＋(100－a)×0.005＝100－a200.若保险公司获益，则期望大于0，解得a<20 000，所以a ∈(1 000,20 000)．14．[解答] (1)记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知P(A)＝C 23C 26＝15.(2)X 可取1,2,3,4.P(X ＝1)＝C 13C 16＝12，P(X ＝2)＝C 13C 16·C 13C 15＝310，P(X ＝3)＝C 13C 16·C 12C 15·C 13C 14＝320，P(X ＝4)＝C 13C 16·C 12C 15·C 11C 14·C 13C 13＝120；故X 的分布列为X 1 2 3 4 P12310320120E(X)＝1×12＋2×310＋3×320＋4×120＝74.答：X 的数学期望为74.15．[解答] (1)由题意知随机变量X 的取值为2,3,4,5,6.P(X ＝2)＝210×210＝125，P(X ＝3)＝210×310＋310×210＝325，P(X ＝4)＝210×510＋510×210＋310×310＝29100，P(X ＝5)＝310×510＋510×310＝310，P(X ＝6)＝510×510＝14.所以随机变量X 的分布列为X 2 3 4 5 6 P1253252910031014(2)随机变量X 的期望为E(X)＝2×125＋3×325＋4×29100＋5×310＋6×14＝235.【难点突破】16．[解答] (1)根据频率分布表，可知年龄在[10,20)岁的人数为900.5＝180.根据频率分布直方图可得180n ＝0.015×10，得n ＝1200，∴a ＝45180＝14，160b ＝1200×0.02×10，b ＝23.∴n ＝1200，a ＝14，b ＝23.(2)依题意：孩子正确回答广告一、广告二的内容的概率分别是P 1＝12，P 2＝14.大人正确回答广告一、广告二的内容的概率分别为P 3＝23，P 4＝12.设随机变量X 表示该家庭获得的资金数，则X 的可能取值是：0,20,30,40,50,60,70,80,100. 其分布列为X 020 30 40 50 60 70 80 100 P116316112181414816116124∴E(X)＝0×116＋20×316＋30×112＋40×18＋50×14＋60×148＋70×16＋80×116＋100×124＝4556.。
高中数学高考复习离散型随机变量的均值与方差(理)完美
EX)2 的期望，并称之为随机变量 X 的方差，记为 DX . 方差越小，则随机变量的取值就越 集中 在其均值周 围；反之，方差越大，则随机变量的取值范围就越 分散．
2．常见分布的均值与方差 (1)若 X 服从二点分布，则 EX＝ p ，DX＝ p(1－p) ； (2)若 X～B(n，p)，则 EX＝ np ，DX＝ np(1－p) ； (3)若 X 服从参数为 N，M，n 的几何分布，则 EX＝ nM N .
0.56<DX，乙稳定．
5．(2011· 上海理，9)马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的概率分布列如下表： x P(ξ＝x) 1 ？ 2 ！ 3 ？
请小牛同学计算 ξ 的数学期望，尽管“！”处完全无法看 清， 且两个“？”处字迹模糊， 但能断定这两个“？”处的数 值相同．据此，小牛给出了正确答案 Eξ＝________.
[答案]
2
[解析]
nM 4×5 EX＝ N ＝ 10 ＝2.
7．已知某运动员投篮命中率 p＝0.6. (1)求一次投篮命中次数 ξ 的均值； (2)求重复 5 次投篮时，命中次数 η 的均值．
[解析] (1)投篮一次，命中次数 ξ 的分布列为 ξ P 则 Eξ＝p＝0.6. (2)由题意，重复 5 次投篮，命中次数 η 服从二项分布， 即 η～B(5,0.6)．则 Eη＝5×0.6＝3. 0 0.4 1 0.6
课堂典例讲练
离散型随机变量的均值
[例 1]
袋中有同样的 5 个球， 其中 3 个红球， 2 个黄球，
现从中随机且不返回地摸球，每次摸 1 个，当两种颜色的球 都被摸到时，即停止摸球，记随机变量 X 为此时已摸球的次 数． (1)求随机变量 X 的概率分布列； (2)求随机变量 X 的均值． [分析] 解题的关键是确定随机变量的取值和应用排列
离散型随机变量的均值与方差、正态分布
p； (3)①若 X 服从两点分布，则 EX＝__ np ②若 X～B(n，p)，则 EX＝____.
③若 X 服从参数为 N，M，n 的超几何 nM 分布，则 E(X)＝ N .
2．方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为
X P
x1 p1
x2 p2
… …
xi piຫໍສະໝຸດ … …xn pn则称 DX＝ (xi－EX) pi 为随机变量 X
ξ P
0 1 6 a 125
2
3 24 b 125
(1)求该生至少有1门课程取得优秀成 绩的概率； (2)求p，q的值； (3)求数学期望Eξ.
6 【思路分析】 利用 P(ξ＝0)＝ ，P(ξ 125 24 ＝3)＝ ，求 p，q 的值． 125 【解】 记事件 Ai 表示“该生第 i 门课
程取得优秀成绩”， i＝ 1,2,3. 由题意知 4 P(A1)＝ ，P(A2)＝p，P(A3)＝q. 5
DX 越大表明平均偏离程度越大， 说明 X 的取值越分散；反之，DX 越小，X 的 取值越集中在 EX 附近，统计中常用 DX来描述 X 的分散程度． (2)DX 与 EX 一样， 也是一个实数， 由X 的分布列唯一确定．
失误防范
1 ．对于应用问题，必须对实际问题进行 具体分析，一般要先将问题中的随机变量 设出来，再进行分析，求出随机变量的概 率分布列，然后按定义计算出随机变量的
【思路分析】
性，P(6＜X＜7)＝P(3＜X＜4)． 【解】 由已知μ＝5，σ＝1.
∵P(4＜X＜6)＝0.6826，
P(3＜X＜7)＝0.9544.
∴P(3＜X＜4)＋P(6＜X＜7)
＝0.9544－0.6826＝0.2718.
如图，由正态曲线的对称性可得 P(3＜X＜4)＝P(6＜X＜7) 0.2718 ∴P(6＜X＜7)＝ ＝0.1359. 2
离散型随机变量的均值、方差和正态分布
限时规范特训
高”，表示总体的分布越集中；σ越大 ，曲线越“矮胖”，表
示总体的分布越分散，如图乙所示．
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第十章 第9讲
第20页
金版教程 ·高三一轮总复习 ·理科数学
记牢2个必备考点 突破3个热点考向 破译5类高考密码 迎战2年高考模拟
限时规范特训
2. 正态分布的三个常用数据
(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 0.6826 ；
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(2)[2015·许昌检测]某人从某城市的南郊乘公交车前 往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分) 服从 X～N(50,102)，则他在时间段(30,70)内赶到火车 站的概率为________．
[答案] 0.9544
[解析] ∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10. ∴P(30<X<70)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544.
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P(ξ＝6)＝16××16＝316，
所以 ξ 的分布列为
ξ23 4 5 6
P
1 4
1 3
5 18
1 9
1 36
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(2)由题意知 η 的分布列为
η
1
2
3
a
b
c
P a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c
所以 E(η)＝a＋ab＋c＋a＋2bb＋c＋a＋3bc＋c＝53，
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D(η)＝1－532·a＋ab＋c＋2－532·a＋bb＋c＋3－532·a＋cb＋c ＝59，
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[学以致用]
1．[2013·浙江高考]设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个 蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取 出一个蓝球得 3 分．
离散型随机变量的均值与方差正态分布理
X
1
2
3
P
E( X ) 1 1 8 2 28 3 109 .
5 45 45
45
第23页/共52页
1．(2010·河南六市联考)甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的 招聘面试．公司规定面试合格者可签约．甲、乙面试合格 就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签 约．设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互 不影响．求： (1)至少有三人面试合格的概率； (2)恰有两人签约的概率； (3)签约人数的数学期望．
第32页/共52页
2．A，B两个投资项目的利润分别为随机变量X1和X2，根 据市场分析，X1和X2的分布列分别为：
X1
5%
P
0.8
10% 0.2
X2
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3
第33页/共52页
(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投 资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)； (2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项目， f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润 的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取 到最小值．(注：D(aX＋b)＝a2D(X))
第36页/共52页
(2) f ( x) D
[ x2 3(100 x)2 ]
(4x2 600x 31002 ).
当x＝ ＝75时，f(x)＝3为最小值.
第37页/共52页
正态分布下的概率计算常见的有两类： 1．利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉
及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与 x轴之间的面积为1. 2．利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围 与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－ σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ) 中的哪一个．
离散型随机变量的均值与方差、正态分布
解析：∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图像关于x c＋2＋c－4 ＝2对称，于是 ＝2，∴c＝3. 2
答案：C
5．(2011· 浙江高考)某毕业生参加人才招聘会，分别向 甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲 2 公司面试的概率为 ，得到乙、丙两公司面试的概率均为p， 3 且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得 1 到面试的公司个数．若P(X＝0)＝ 12 ，则随机变量X的数学期 望EX＝__________.
2
3 1 2 －1.5) ×20＋(4－1.5) ×5＝2.75.
2
(2)由D(η)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝± 2. 又E(η)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b， 得b＝－2. 当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
a＝2， ∴ b＝－2， a＝－2， 或 b＝4，
1 1 1 1 29 解析：由于Eξ＝1×4＋2×3＋3×6＋4×4＝12，所以Dξ
29 2 1 29 2 1 29 2 1 29 2 1 ＝ 1－12 × 4 ＋ 2－12 × 3 ＋ 3－12 × 6 ＋ 4－12 × 4 ＝
16 ______处达到峰值 1 ； ③曲线在□ σ 2π 17 ④曲线与x轴之间的面积为□________； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着 ______的变化而沿x轴平移， 18 □
如图甲所示； 19 ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ □ ______，曲线 20 越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ □ ______，曲线越 “矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
2
差分别是( A．10与8 C．8与10
10-9 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
高效
训练
正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
山 东
解析：由 E(X)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－31，故①正确．
金 太
阳
由 D(X)＝－1＋132×12＋0＋132×13＋1＋132×16＝59，知②不正确．
书 业
有
由分布列知③正确．
限
公
答案：C
司
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高考总复习 A 数学（理）
提素能 高效
度，而D(X)＝ni＝1 (xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了
训 练 随机变量X与其均值E(X)的 平均偏离程度 ．称D(X)为随机变量X的方
差，其算术平方根为随机变量X的标准差．
山 东
2．D(aX＋b)＝ a2D(X) ．
金 太
3．若X服从两点分布，则D(X)＝ p(1－p) ．
阳 书
4．若X～B(n，p)，则D(X)＝ np(1－p)
．
业 有
限
公
司
菜 单 隐藏
高考总复习 A 数学（理）
抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
悟典题
能力 提升
____________________[通关方略]____________________
提素能
随机变量的均值、方差与样本的平均值、方差的关系
高效
训练
随机变量的均值、方差是常数，它们不依赖于样本的抽取，而样
本的平均值、方差是随机变量，它们随着样本的不同而变化．
山 东
金
太
阳
书
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
高考总复习 A 数学（理）
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3．正态分布密度函数满足的性质 ． (1)函数图像关于直线 x＝ 对称． 函数图像关于直线 ＝ 对称． (2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”． 的大小决定函数图像的“ ”“瘦 的大小决定函数图像的 (3)P(μ－σ<X<μ＋σ)＝ － ＋ ＝ P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝ － ＋ ＝ P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝ － ＋ ＝ 68.3% . 95.4% . 99.7% .
＋0× × (0＋ ＋
＋1× × )2×
＝－ ＋ (1＝0)＝ ＝ ＝ 答案： 答案：C
，故①③正确，②错误． ①③正确， 错误． 正确
4．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出 个球，以X表 ．从装有 个红球， 个白球的袋中随机取出2个球， 表 个红球 个白球的袋中随机取出 个球 示取得红球的个数， 示取得红球的个数，则P(X＝1)＝______________，EX ＝ ＝ ， ＝ ______________. 解析：由已知可得 ＝ ＝ 解析：由已知可得P(X＝0)＝ 0.6，P(X＝2)＝ ， ＝ ＝ 答案： 答案：0.6 1.2 ＝0.1，P(X＝1)＝ ， ＝ ＝ ＝
某市出租车的起步价为6元 行驶路程不超过 某市出租车的起步价为 元，行驶路程不超过3 km 时，租车费为6元，若行驶路程超过 km，则按每超出 租车费为 元 若行驶路程超过3 ，则按每超出1 km(不足 km也按 km计程 收费3元计费．设出租车一次行 不足1 也按1 计程)收费 元计费． 不足 也按 计程 收费 元计费 驶的路程数X(按整 数计算，不足 km的自动计为 km)是 的自动计为1 驶的路程数 按整km数计算 不足1 按整 数计算， 的自动计为 是 一个随机变量，则其收费也是一个随机变量． 一个随机变量，则其收费也是一个随机变量．已知一个司 机在某一天每次出车都超过了3 机在某一天每次出车都超过了 km，且一次的总路程数可 ， 能的取值是20、 、 、 、 、 能的取值是 、22、24、26、28、30 (km)，它们出现的概 ， 率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a2＋3a、4a. 率依次是 、 、 、 、 、
DX来描述 的分散程度．同时 来描述X的分散程度． 的分散程度
利用公式D(aX＋b)＝a2DX可解决呈线性关系的两变量方差 ＋ ＝ 利用公式 可解决呈线性关系的两变量方差 的计算问题．期望与方差的关系是 ＝ 的计算问题．期望与方差的关系是DX＝EX2－(EX)2.因此也 因此也 可利用该关系求方差． 可利用该关系求方差．
的分布列是： 故X的分布列是： 的分布列是
X P
0
1
2
所以X的数学期望 所以 的数学期望 EX＝0× ＝ × ＋1× × ＋2× × .
求离散型随机变量的方差的分法步骤： 求离散型随机变量的方差的分法步骤： 1．求X具体方法见考点一 ； ． 具体方法见考点一)； 具体方法见考点一 2．代入方差公式求DX． ．代入方差公式求 ．
1．离散型随机变量的均值 ． 设随机变量X的可能取值为 设随机变量 的可能取值为a1，a2，…，ar，取ai的概率 的可能取值为 ， 为pi(i＝1,2，…，r)，即X的分布为 ＝ai)＝pi(i＝1,2， 的分布为P(X＝ ＝ ＝ ， ＝ ， ， ， 的分布为 …，r)． ， ． ＋ 为随机变量X的均值或 称EX＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr 为随机变量 的均值或 ＝ 数学期 望 ．均值能够反映随机变量取值的平均水平． 均值能够反映随机变量取值的平均水平．
1．随机变量X的分布列如下图，则X的数学期望是 ．随机变量 的分布列如下图， 的数学期望是( 的分布列如下图 的数学期望是 X P A．2.0 ． C．2.2 ． 1 0.2 2 0.5 B．2.1 ． D．随m的变化而变化 ． 的变化而变化 3 m
)
解析：由题知： ＋ ＋ ＝ ， 解析：由题知：0.2＋0.5＋m＝1，∴m＝0.3， ＝ ， ∴EX＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1. ＝ × ＋ × ＋ × ＝ 答案： 答案：B
[思考探究 思考探究1] 思考探究 随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系 随机变量的均值、方差与样本均值、 是怎样的？ 是怎样的？ 提示：随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、 提示：随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方 差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加， 差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加， 样本均值、方差趋于随机变量的均值与方差． 样本均值、方差趋于随机变量的均值与方差．
解析： 解析：当μ＝0，σ＝1时，正态曲线 ＝ ， ＝ 时 正态曲线φ(x)＝ ＝ 0时取最大值 时取最大值
在x＝ ＝
，故σ2＝1.由正态曲线的性质知，当μ 由正态曲线的性质知， 由正态曲线的性质知
一定时，曲线的形状由 确定 确定， 越小 曲线越“高瘦 越小， 高瘦”， 一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越 高瘦 ，反 之越“矮胖 ． 之越 矮胖”． 矮胖 答案： 答案：D
离散型随机变量的分布列刻画了随机变量取值的 概率规律， 概率规律，随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水 平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体 方差反映了随机变量稳定于均值的程度， 和全局上刻画了随机变量， 和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的 重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同， 重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方 差来决定． 差来决定．
(1)求这一天中一次行驶路程 的分布列，并求 的均值和 求这一天中一次行驶路程X的分布列 并求X的均值和 求这一天中一次行驶路程 的分布列， 方差； 方差； (2)求这一天中一次所收出租车费 的均值和方差． 求这一天中一次所收出租车费Y的均值和方差 求这一天中一次所收出租车费 的均值和方差． [思路点拨 思路点拨] 思路点拨
[特别警示 EX是一个实数，即X作为随机变量是可变的， 特别警示] 是一个实数， 作为随机变量是可变的， 特别警示 是一个实数 作为随机变量是可变的 是不变的． 而EX是不变的． 是不变的
(2009浙江高考 在1,2,3，…，9这9个自然数中，任 浙江高考)在 个自然数中， 浙江高考 ， ， 这 个自然数中 个数． 取3个数． 个数 (1)求这 个数中恰有 个是偶数的概率； 求这3个数中恰有 个是偶数的概率； 求这 个数中恰有1个是偶数的概率 (2)记X为这 个数中两数相邻的组数 例如：若取出的数为 记 为这 个数中两数相邻的组数(例如 为这3个数中两数相邻的组数 例如： 1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时 的值是 ．求随 ，则有两组相邻的数 和 ，此时X的值是 的值是2)． 机变量X的分布列及其数学期望 ． 机变量 的分布列及其数学期望EX． 的分布列及其数学期望
2．如图是当σ取三个不同值 1、 ．如图是当 取三个不同值 取三个不同值σ σ2、σ3的三种正态曲线 ， 的三种正态曲线N(0， σ2)的图象，那么 1、σ2、σ3 的图象， 的图象 那么σ 的大小关系是 A．σ1>1>σ2>σ3>0 ． B．0<σ1<σ2<1<σ3 ． C．σ1>σ2>1>σ3>0 ． D．0<σ1<σ2＝1<σ3 ． ( )
[课堂笔记 (1)由概率分布的性质有 课堂笔记] 课堂笔记 由概率分布的性质有 0．12＋0.18＋0.20＋0.20＋100a2＋3a＋4a＝1. ． ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ∴100a2＋7a＝0.3， ＝ ， ∴1000a2＋70a－3＝0， － ＝ ， ∴a＝ ＝ 或a＝－ ＝－ (舍去 ， 舍去)， 舍去
3．已知X的分布列为 ．已知 的分布列为 X P －1 0 1
则在下列式子中， 则在下列式子中，①EX＝－ ＝－ ＝ A．0 ． C．2 ． .正确的个数是 正确的个数是 B．1 ． D．3 ．
；②DX＝ ＝ (
；③P(X＝0) ＝ )
解析： ＝－ ＝－1× 解析：EX＝－ × DX＝(－1＋ ＝－ ＋
[思路点拨 思路点拨] 思路点拨
[课堂笔记 课堂笔记] 课堂笔记 则P(A)＝ ＝
(1)记“这3个数中恰有一个是偶数 为事件 ， 记 这 个数中恰有一个是偶数 为事件A， 个数中恰有一个是偶数”为事件
(2)随机变量 的取值为 随机变量X的取值为 随机变量 的取值为0,1,2. P(X＝0)＝ ＝ ＝ P(X＝1)＝ ＝ ＝ P(X＝2)＝ ＝ ＝ . ； ；
[特别警示 离散型随机变量 的方差 表示随机变量 对 特别警示] 离散型随机变量X的方差 表示随机变量X对 的方差DX表示随机变量 特别警示 EX的平均偏离程度，DX越大表明平均偏离程度越大，说明 的平均偏离程度， 越大表明平均偏离程度越大 越大表明平均偏离程度越大， 的平均偏离程度 X的取值越分散，反之，DX越小，X的取值越集中在 的取值越分散，反之， 越小 越小， 的取值越集中在 的取值越集中在E(X)附 的取值越分散 附 近，统计中常用标准差
即a＝0.03. ＝ ∴100a2＋3a＝0.18,4a＝0.12， ＝ ＝ ，
的分布列为： ∴X的分布列为： 的分布列为 X 20 22 24 26 28 30
P 0.12 0.18 0.20 0.20 0.18 0.12
∴EX＝20×0.12＋22×0.18＋24×0.20＋26×0.20＋ ＝ × ＋ × ＋ × ＋ × ＋ 28×0.18＋30×0.12＝25 (km)． × ＋ × ＝ ． DX＝52×0.12＋32×0.18＋12×0.20＋12×0.20＋32×0.18 ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋52×0.12＝9.64. ＝ (2)由已知 ＝3X－3(X＞3，X∈N)， 由已知Y＝ － ＞ ， ∈ ， 由已知 ∴E(Y)＝E(3X－3)＝3EX－3 ＝ － ＝ － ＝3×25－3＝72(元)， × － ＝ 元， D(Y)＝D(3X－3)＝32DX＝86.76. ＝ － ＝ ＝