第七章微观运动状态的描述

第七章 微观运动状态的描述7.48 粒子运动状态的经典描述在导言中说过，统计物理学从宏观物质系统是由大量微观粒子组成这一事实出发，认为物质的宏观性质是大量微观粒子运动的平均效果，宏观物理量是相应的微观物理量的统计平均值。

在讲述如何求微观量的统计平均值以前，本章对如何描述系统的微现运动状态作一简单的介绍。

首先介绍如何描述粒子的运动状态。

这里说的粒子是广义地指组成宏观物质系统的基本单位，例如气体的分子，金属的离子或自由电子，辐射场的光子，晶体中的声子等等。

粒子的运动状态是指它的力学运动状态。

如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述，如果粒子遵从置子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为量子描述。

我们知道，从原则上说微观拉于是遵从量子力学的运动规律的。

不过在一定的极限条件下量子力学可以过渡到经典力学。

因此经典描述在一定的极限条件下仍然具有实际意义。

本节介绍粒子运动状态的经典描述。

设被子的自由度为r 。

经典力学告诉我们，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的r 个广义坐标和相应的r 个广义动量在该时刻的数值确定。

粒子的能量r q q q ,,21r p p p ,,21ε是其广义坐标和广义动量的函数()r r p p p q q q ,,;,,2121εε=当存在外场时，ε还是描述外参量的函数。

为了形象地描述粒子的力学运动状态，我们用共2r 个变量为直角坐标，构成一个2r 维空间，名为r r p p p q q q ,,;,,2121μ空间。

粒子在某一时刻的力学运动状态()可以用r r p p p q q q ,,;,,2121μ空间中的一点表示，称为粒子力学运动状态的代表点。

当粒子的运动状态随时间改变时，代表点相应地在μ空间中移动，描画出一条轨道。

下面介绍统计物理要用到的几个例子。

(一)自由较子自由粒子就是不受力的作用而作自由运动的粒子。

当不存在外场时，理想气体的分子或金属的自由电子都可以看作自由粒子。

当粒子在三维空间中运动时，它的自由度为3。

脸于在任一时刻的位置可以由直角坐标x,y,z 确定。

相应的动量为（共中m 是z m p y m p xm p z y x ===,,48.1） 粒子的质量。

自由粒子的能量就是它的动能： ()22221=φz y x p p p m ++ ）于理解，我们首先讨（48.2 为了便论如何在μ空间中描述一维自由粒子的运动状态。

我们用x 和表示粒子的坐标和动量。

以x 和为直角坐标可以构成二维的x p x p μ空间，如图7—1所示。

设一维容器的长度为L ，则x 可取由0到L 中的任何数值。

对于遵从经典 力学运动规律的粒子，原则上可以取x p ∞−至∞+中的任何数值。

粒子的任何一个运动状态(x ，)可由x p μ空间在上述范围中的一点代表。

当粒子以一定的动量μ在容器中运动时．粒子运动状态代表点的轨道是平行于x 轴的一条直线，直线与x 轴的距离等于，如图7—1所示。

x p 总l 备21对于三维的自由粒子，μ空间是6维的，不可能在纸上面出它的图形来。

不过我们可以把这6维的μ空间分解为三个二维的子空间，在一个子空间中描述粒子沿一个坐标轴的运动，其情形与一维自由粒子的情形相似，就不再详细说明了。

(二)线性谐振子经典力学告诉我们，质量为m 的粒子在弹性力f ＝一Ax 的作用下，将在原点附近作一维的简谐振动，称为线性谐振子。

振动的圆频率为mA =ω，取决于弹性力系数A 和粒子的质量m 。

在一定条件下，分子内原子的振动、晶体中原子或离子在其平衡位置附近的振动都可以看成简谐振动。

线性谐振子的自由度为1。

在任一时刻粒子的位置由它离原点的位移x 确定，相应的动量为线性谐振子的能量是其动能和势能之和2222221222x m m p x A m p ωε+=+= （48.3） 以x 和p 为直角坐标，可以构成二维的μ空间。

振子在任一时刻的运动状态由μ空间中的一点表示。

当振子的运动状态随时间而变时，运动状态的代表点在y 空间中描画出一条轨道。

由于振子的坐标x 和动量p 满足(48.3)式，在给定的能量下，代表点的轨道就是方程为(48.3)式的椭圆。

将(48.3)式写成椭圆方程的标准形式122222=+ωεεm x m p就可看出，椭圆的两个半轴分别等于εm 2和22ωεm 。

椭圆的面积等于ωπε2。

对于遵从经典力学规律的振子，振子的能量原则上可以取任何正值。

能量不同，椭圆也就不同。

图7—2画出能量不的两个椭圆。

7.49 粒子运动状态的量子描述在本节中，我们参照在原子物理课学过的知识，对粒子运动状态的量子描述作一简略的介绍。

我们知道，微观粒子(光子、电子、质子，中子乃至原子和分子等等)普遍地具有粒子和波动的二象性。

一方面，它们是客现存在的单个实体，但另一方面在适当的条件下又可以观察到微观粒子具有干涉、衍射等等为波动所特有的现象(例如，令粒子束射向晶体，在透射粒子束和反射粒子束中部可以观察到衍射花纹)。

德布罗意(De Broglie)提出，能量为ε动量为p 的自由粒子联系着圆频率为ω，波矢量为k 的平面波，称为德布罗意波。

能量ε与圆频率ω，动量p 与波矢量k 的关系为：k h p h ==ωε （49.1）(49.1)式称为德布罗意波关系，适用于一切微观粒子。

常数π2h h = h 和h 都称为普朗克常数，它们的数值是h ＝6.626×s J ⋅−3410h ＝1.055×s J ⋅−3410普朗克常数是量子物理中的基本常数。

它的量纲是[时间]．[能量]＝[长度]·[动量]＝[角动量]。

这样一个物理量通常称为作用量，因而普朗克常数也称为基本的作用量子。

应当注意，普朗克常数的数值非常小。

这就是说，当我们用适于描述宏观现象的单位(千克·米·秒)来量度h 时，h 数值是小的。

这反过来也意味着，宏观世界的作用量用h 为单位来量度时，将具有非常大的数值。

这个事实提供了一个粗略的判据来判定经典力学的适用范围。

当一个物质系统的任何具有作用量纲的物理量具有与普朗克常数h 相比拟的数值时，这个物质系统是一个量子系统。

反之，当物质系统的每一个具有作用量纲的物理量用h 来量度都非常大时，这个系统就可以用经典力学来研究。

例如，设有一个宏观的谐振子。

振子的质量为1g 。

振幅x 为1cm 。

最大速度为1cm ·。

由此得最大动量p 为1g ·cm ·。

因此量这远大于普朗克常数h 。

这个谐振子就是一个经典的振子。

1−s 1−s h s J p x 2671010≈⋅=⋅− 粒子和波动二象性的一个重要结果是微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标。

如果以表示粒子坐标的不确定值，q Δp Δ表示粒子动量的不确定值，则在量子力学所容许的最精确的描述中，与的乘积满足q Δp Δ q Δp Δh ≈ (49.2)(49.2)式称为测不准关系。

测不准关系告诉我们，当粒于的坐标具有完全确定的数值即时，粒子的动量将完全不确定0→Δq ∞→Δp 。

反之，当粒子的动量具有完全确定的数值即时，粒子的坐标将完全不确定0→Δp ∞→Δq 。

这生动地说明微观粒子的运动不是轨道运动。

在经典力学的理论中，粒子可以同时具有确定的坐标和动量。

这并不是说在实际上我们可以任意的精确度做到达一点，而是说在经典力学的理论中，原则上不允许对这精确度有任何限制。

由于普朗克常数h 的数值很小，所以测不准关系在任何意义上都不会跟宏观物理学的经验知识发生矛盾。

在量子力学中微观粒子的运动状态称为量子态。

量子态由一组量子数表征。

这组量子数的数目等子粒子的自由度数。

下面举几个例子加以说明。

(一)外磁场中的电于自旋电子具有自旋动量矩S 和自旋磁矩μ。

两者之比me S −=μ其中e 为电子电荷的绝对值，m 为电子的质量。

在原子物理课讲过，如果存在沿z 方向的外磁场，磁感强度为B ，电子的自旋动量矩在外磁场方向的投影有两个可能值，即2h S z ±=。

自旋磁矩在外磁场方向的投影相应为m h e s 2∓=μ。

电子在外磁场的势能为 B mh e B 2±=⋅−μ 因此描述处在外磁场中的电子自旋状态只要一个量子数，它只能取两个分立的数值z S 2h ±。

(二)自由粒子为简单起见，我们首先讨论一维的自由粒子。

设粒子处在长度为L 的一维容器中。

为了确定粒子可能的运动状态，需要知道德布罗意波在器壁的边界条件。

通常采用驻波条件或周期性边界条件。

在统计物理学所讨论的问题中，边界条件的具体形式实际上是无关紧要的。

我们采用周期性边界条件。

周期性边界条件要求，粒于可能的运动状态，其德布罗意波波长λ的整数倍等于容器的长度L ，即λx n L = ,2,1,0=x n利用波矢量绝对值与波长x k λ的关系λπ2=x k ，并考虑到在一维空间中波动可以有两个传播方向，便可求得波矢量的可能值为x k x x n Lk π2= ,2,1,0±±=x n 将上式代入德布罗意关系（49.1）式可得一维自由粒子动量的可能值为x x n Lh p π2= （49.3） ,2,1,0±±=x n x n 就是表征一维自由粒子的运动状态的量子数。

一维自由粒子的能量的可能值为2222222L n m h m p x x n x πε== ,2,1,0±±=x n （49.3）我们知危经典粒子的动量和能量是连续变量，而(49.3)和(49.4)式给出的动量值和能量值是分立的。

这是局域在有限空间范围(L 有限)的量子粒子的特征。

分立的能量值称为能级。

由(49.4)式可以求得相邻两个能级的能级间距为2221122L n m h x n n n x x x +=−=Δ+πεεε （49.5） 我们考虑一个例子。

质量为(质子的质量为1.673)的粒子在宏观大小的容器(例如)内运动。

由(49.4)式可得粒子的能级为kg 27102−×kg 2710−×m L 210−= (49.6) J n x n x36210−×≈ε由(49.5)式得能级间距为(49.7)()J n x n x 361012−×+≈Δε如果假设粒子的能量为(常温下分子的热运动具有这一数量级的平均能量)，由(49.6)式可以算得对于这样的值，由(49.7)式得。

因此能级的相对间距J 2010−810≈x n x n J x n 2810−≈Δε 810−≈Δxxn n εε 所以在这个例子中，能级分立的量子特征是微不足道的。

这个例子说明，当考虑分子在宏观大小的容器内的无规热运动时，量子数很大(这相当于普朗克常数h 在所考虑的问题中是一个小量)，量子化现象是不显著的。