八年级数学分式的混合运算1
初二数学分式计算
初二数学分式计算初二数学(下): 分式的运算及分式方程一、基本运算1.计算 $17x^2y-9ab^3\div\frac{222x-6x+9x+2xy}{51xy}$，化简得 $\frac{17x^2y-9ab^3}{222x+2xy}$。
2.计算 $\frac{2}{x-4}-\frac{x}{x-3}\div(-x)$，化简得$\frac{2x-7}{(x-4)(x-3)}$。
3.计算 $\frac{-y}{xz}\div\frac{-x}{yz}$，化简得$\frac{y^2}{x^2}$。
4.计算 $\frac{24}{a-bab-a^2}\div\frac{22}{4a+abab-a}$，化简得 $\frac{12}{a+b}$。
5.计算 $\frac{4x^2-4xy+y^2}{2x-y}\div(4x^2-y^2)$，化简得 $\frac{1}{2x+y}$。
6.计算 $\frac{2x-y}{x+3y}\div\frac{2x-3y}{2-x}$，化简得$\frac{2-x}{3y}$。
7.计算 $\frac{2xy}{xy+a}+\frac{6}{a}-\frac{a}{a+3}-\frac{3}{a}$，化简得 $\frac{8xy+6a}{a(a+3)(xy+a)}$。
8.计算 $\frac{2}{2x+y}-\frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y}-\frac{y}{x}$，化简得$\frac{2x^2-xy-2y^2}{(2x+y)(x-y)(x+y)}$。
9.计算 $\frac{2}{x+y}-\frac{2}{x-y}+\frac{a}{x+y}-\frac{3a}{a-3}$，化简得$\frac{-2x+2y+4a}{(x+y)(x-y)(a-3)}$。
10.计算$\frac{x^2a^2+3a+12b^2}{1+12a-b}-(x-1)\div(a-1)$，化简得$\frac{x^2a^2+15a+12b^2-12bx+12b}{(1+12a-b)(a-1)}$。
初二数学分式混合运算练习题
初二数学分式混合运算练习题1. 小明的叔叔今年52岁，小明今年12岁，那么小明的叔叔的年龄是小明年龄的多少倍？2. 甲乙两个人一起修剪一块草坪，甲每天能修剪1/3块，乙每天能修剪1/4块，那么乙一天比甲多修剪了多少？3. 某商店原价为120元的商品，现在打折出售，打8折后的价格是多少？4. 甲乙两个工程队一起施工，甲队每天能完成总工程量的1/4，乙队每天能完成总工程量的1/5，如果两队连续工作了4天，完成了总工程量的多少？5. 某幼儿园有300名学生，其中女生比男生多1/5，男生有多少名？6. 一家游乐场一天的收入是4800元，其中票价为60元的门票卖出了多少张才能实现收入的1/4？7. 一台机器完成一项工作需要8小时，现在将这项工作分成两个部分，甲队花了2小时完成了其中1/3的工作量，那么乙队完成剩余工作的时间是多少？8. 小明和小红一起做一道数学题，小明一共用了1/2小时，小红用了15分钟，两人共花了多少时间完成这道题？9. 甲乙两个水泵一起注满一个水池，甲泵每小时注满1/3的水量，乙泵每小时注满1/5的水量，两泵一起工作需要多少小时才能注满水池？10. 高山的海拔是海平面的4650米，而深渊的海拔是海平面的350米，那么高山的海拔是深渊海拔的多少倍？以上是初二数学分式混合运算的练习题，请根据题目要求进行计算，找出正确答案。
文末附答案：1. 叔叔的年龄是小明年龄的4.33倍。
2. 乙一天比甲多修剪了1/12块。
3. 打8折后的价格是96元。
4. 两队连续工作了4天，完成了总工程量的9/20。
5. 男生有200名。
6. 票价为60元的门票卖出了160张。
7. 乙队完成剩余工作的时间是6小时。
8. 两人共花了25分钟完成这道题。
9. 两泵一起工作需要15小时。
10. 高山的海拔是深渊海拔的13.29倍。
希望以上练习题能够巩固你对初二数学分式混合运算的理解和应用。
通过这些计算题的练习，相信你的数学水平会有所提高！。
人教版八年级数学上册 教案：15.2.2 第2课时 分式的混合运算1【精品】
第2课时 分式的混合运算1．掌握分式加减乘除法的法则，并会运用法则进行分式加减乘除法的计算．(重点)2．能够运用分式加减乘除法则解决混合运算的实际问题．(难点)一、情境导入提出问题：1．说出有理数混合运算的顺序．2．类比有理数混合运算的顺序，同学们能说出分式的混合运算顺序吗？ 今天我们共同探究分式的混合运算．二、合作探究探究点：分式的混合运算【类型一】 分式的化简计算：(1)(3a a －3－a a ＋3)·a 2－9a； (2)(＋xx 2－1)÷(2＋1x －1－1x ＋1)． 解析：(1)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果；(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．解：(1)原式＝3a 2＋9a －a 2＋3a （a ＋3）（a －3）·（a ＋3）（a －3）a＝2a ＋12； (2)原式＝x 3（x ＋1）（x －1）÷2x 2－2＋x ＋1－x ＋1（x ＋1）（x －1）＝x 3（x ＋1）（x －1）·（x ＋1）（x －1）2x 2＝x 2.方法总结：分式的混合运算，要注意运算顺序，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．【类型二】 分式的化简求值先化简代数式x 2－2x ＋1x 2－1÷(1－3x ＋1)，再从－4＜＜4的范围内选取一个合适的整数代入求值．解析：先计算括号里的减法运算，再把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后从的取值范围内选取一数值代入即可．解：原式＝（x －1）2（x ＋1）（x －1）÷(x ＋1x ＋1－3x ＋1)＝（x －1）2（x ＋1）（x －1）×x ＋1x －2＝x －1x －2，令＝0(≠±1且≠2)，得原式＝12. 方法总结：把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注意选数时，要求分母不能为0.【类型三】 已知a ＋1a ＝5，求a 2a 4＋a 2＋1的值． 解析：本题若先求出a 的值，再代入求值，显然现在解不出a 的值，如果将a 2a 4＋a 2＋1的分子、分母颠倒过，即求a 4＋a 2＋1a 2＝a 2＋1＋1a 2的值，再利用公式变形求值就简单多了． 解：因为a ＋1a ＝5，所以(a ＋1a )2＝25，即a 2＋1a 2＝23，所以a 4＋a 2＋1a 2＝a 2＋1＋1a 2＝23＋1＝24.所以a 2a 4＋a 2＋1＝124. 方法总结：利用和1x互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．【类型四】 分式混合运算的应用甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果．两次水果的价格分别为a 元/千克和b 元/千克(a 、b 为正整数且a ≠b )．(1)甲、乙两人所购水果的平均价格各是多少？(2)谁的购买方式更合算？请说明理由．解析：(1)用总钱数除以总质量即可表示出各自的平均价格；(2)利用作差法求出甲平均价格减去乙平均价格得到差大于0，可得出乙更合算．解：(1)甲的平均价格为20a ＋20b 20＋20＝a ＋b 2；乙的平均价格为20＋2020a ＋20b＝2ab a ＋b ； (2)甲的平均价格－乙的平均价格为a ＋b 2－2ab a ＋b ＝（a ＋b ）22（a ＋b ）－4ab 2（a ＋b ）＝（a －b ）22（a ＋b ），∵a ≠b ，∴（a －b ）22（a ＋b ）＞0，∴甲的平均价格＞乙的平均价格，则乙的购买方式更合算．方法总结：灵活运用作差法判断两个式子的大小，要掌握分式的加减混合运算．三、板书设计分式的混合运算分式混合运算的顺序：先乘方，再乘除，然后加减，遇到括号要先算括号内的．在学习这部分内容时，可以根据学生的具体情况，适当增加例题和习题，让学生熟练掌握分式的运算法则并提高运算能力．但与整式、分数的运算相比，分式的运算步骤多，符号变化复杂，所以在增加例题和习题时，要注意控制难度，特别是不要在分子、分母的因式分解上增加难度．关键是让学生通过基本的练习，弄清运算依据，做到步步有据，降低计算的错误率．。
课件分式的混合运算_人教版八年级数学上册
其中 x=3.
14. 计算：
15. 计算： 第7课 分式的混合运算
第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算
5. （例 3）计算：
6. 计算：
重难易错
7. （例 4）计算：
8. 计算：
三级检测练
一级基础巩固练
9. 计算：ຫໍສະໝຸດ 10. 计算：二级能力提升练
11. 计算：
12. 计算： 第7课 分式的混合运算
第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算
第十五章 分式
第7课 分式的混合运算
新课学习
知识点.分式的混合运算
分式混合运算的顺序：先算乘方，再算 乘除 ，
最后算 加减
，有括号先算括号里面的.
1. （例 1）计算：
2. 计算：
3. （例 2）计算：
4. 计算： 第7课 分式的混合运算
第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算 第7课 分式的混合运算
冀教版数学八年级上册《分式的混合运算》教学设计
冀教版数学八年级上册《分式的混合运算》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册《分式的混合运算》是按照我国教育部制定的课程标准编写的，这一章节主要向学生介绍分式的混合运算，包括分式的加减乘除以及分式的乘方等运算。
教材通过具体的例题和练习，使学生掌握分式混合运算的运算规则和技巧。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了分式的基本概念和运算法则，对分式的加减乘除有一定的了解。
但是，对于分式的混合运算，学生可能还存在一定的困难，特别是在应用分式的混合运算解决实际问题时，可能会出现运算错误。
因此，在教学过程中，需要帮助学生巩固分式的基本运算法则，提高他们在实际问题中的应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握分式的混合运算的运算规则和技巧，能够熟练地进行分式的混合运算。
2.过程与方法：通过具体的例题和练习，培养学生解决实际问题的能力，提高他们的运算技巧。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们克服困难的勇气和信心。
四. 教学重难点1.重点：使学生掌握分式的混合运算的运算规则和技巧。
2.难点：如何引导学生将实际问题转化为分式的混合运算，并运用所学的知识解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解分式的混合运算的运算规则和技巧，使学生掌握基本知识。
2.案例分析法：通过具体的例题和练习，使学生了解分式的混合运算在实际问题中的应用。
3.小组合作法：通过小组讨论和合作，培养学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示分式的混合运算的运算规则和技巧。
2.练习题：准备一些分式的混合运算的练习题，用于巩固所学知识。
3.教学视频：准备一些教学视频，用于讲解分式的混合运算的运算规则和技巧。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何运用分式的混合运算来解决实际问题。
例如，假设某商店进行促销活动，买一件商品需要支付200元，如果买三件商品，则需要支付500元。
八年级上册数学15.2.1第2课时分式的乘方及乘除混合运算级
乘方
(x - y)2 x2 y2
(x2
y2)
(x
x3 - y)3
除法变乘法
(x - y)2 (x y)( x y) x3
x2 y2
(x - y)3
分解因式
x2 xy y2 .
乘法、约分
探索新知
知识点2 分式的乘方
含有乘方的分式乘除混合运算的步骤 （1）先算分式的乘方; （2）除法变乘法； （3）若分子或分母为多项式，要分解因式； （4）进行乘法运算，约分得到结果.
第十五章 分式
15.2.1 分式的乘除
第2课时 分式的乘方及乘除混合运算
学习目标-新课导入-探索新知-课堂小结-课堂练习
人教版·八年级上册
学习目标
1.进一步熟练分式的乘除法则,会进行乘、除法的混合运算.（重点） 2.了解并掌握分式的乘方法则.（重点） 3.能熟练运用分式的乘方法则进行计算，会进行含乘方的分式的乘 除混合运算.（难点）
(x
3)(x
3)
1.
课堂练习
7.（1)化简：a a
2 2
-
4 a
(
a -1 a2
)2
a a2
2 1 2a
.
解：原式 (a 2)(a 2) a(a 1)
a 12 a 22
a(a 2) (a 1)(a 1)
a a
2 1
.
1
（2)当a=5时，其结果为 2 .
(3)请你选择一个你喜欢的数作为a的值，则a不可以取 0，±1，-.2
(2)( 3xy 2 )3; 4z
解：(1)
( 2a2b )2 3c
( 2a 2b) 2 (3c)2
4a4b2 9c2
;
人教版八年级数学上册 分式混合运算(习题及答案)
÷ x + 2 - ⎪ ． 解：原式 = - ÷例 2：先化简 ⎢⎡ x ( x + 1) + x ⎥ ÷ 解：原式 = ⋅例题示范例 1：混合运算： 分式混合运算（习题）4 - x ⎛ 12 ⎫x - 2 ⎝ x - 2 ⎭【过程书写】x - 4 x 2 - 4 - 12x - 2 x - 2 x - 4 x 2 - 16 =- ÷x - 2 x - 2 x - 4 x - 2 =- ⋅x - 2 ( x + 4)( x - 4)=-1x + 4⎤ 2 x⎣ x - 1 ⎦ 1 - x，然后在 -2 ≤ x ≤ 2 的范围内选取一个你认为合适的整数 x 代入求值．【过程书写】x 2 + x + x 2 - x 1 - x x - 1 2 x2 x 2 1 - x = ⋅x - 1 2 x = - x∵ -2 ≤ x ≤ 2 ，且 x 为整数∴使原式有意义的 x 的值为-2，-1 或 2 当 x =2 时，原式=-2（2） - 1⎪ ÷ （3）⎪（4） y - 1 - y - 1 ⎭ y 2 + y巩固练习1. 计算：（1）1 - x - y x 2 - y 2÷x + 2 y x 2 + 4 x y + 4 y 2；⎛ a ⎫ ⎝ a - 1 ⎭ a 1 2 - 2a + 1；⎛ 2 ⎝ a 2 - b 2 - 1 ⎫ a ÷ a 2 - ab ⎭ a + b；⎛ 8 ⎫ y 2 - 6 y + 9 ⎪ ÷ ⎝；（5） ÷ - ⎪ ； （6） ÷ -1⎪ ；x ⎪ ⎪ ； 3 - x ⎛ 5 ⎫ x - 2 ⎛ -5 ⎫ ÷ - x - 3 ⎪ ； ÷ x + 2 -（10） ( x 2 - 1) - - 1⎪ ； 1a 2 - 2ab + b 2 ⎛ 1 1 ⎫ x 2 - 4x + 4 ⎛ 2 ⎫ 2a - 2b ⎝ b a ⎭ ⎝ x ⎭（7） ⎛ ⎝ 3x + 4 2 ⎫ x + 2 - ÷ x 2 - 1 x - 1 ⎭ x 2- 2 x + 1；（8） （9） 2 x - 4 ⎝ x - 2 ⎭ 2 x - 6 ⎝ x - 3 ⎭⎛ 1 ⎫ ⎝ x - 1 x + 1 ⎭（11） - ÷ - - ⎪ ． ⎝ x + y x - y ⎭ x 2- 3xy ⎝x y ⎭ （1）先化简，再求值： 1 - ⎪÷（2）先化简，再求值： + ÷ x 2 - y 2 y 2 - x 2 ⎭ x 2 y - xy 2⎛ 2 1 ⎫ x 2 - y 2 ⎛ 1 1 ⎫ ⎪ ⋅2. 化简求值：⎛ ⎝ 1 ⎫ x 2 + 2x + 1 x + 2 ⎭ x + 2，其中 x = 3 -1．⎛ 5x + 3 y 2 x ⎫ 1 ⎪ ⎝x = 3 + 2 ， y = 3 - 2 ．，其中（3）先化简 ⎛ + 1⎪ ÷ （4）已知 A = ．x + 1 ⎫ x 2 + x 2 - 2 x +⎝ x - 1 ⎭ x 2 - 2 x + 1 x 2 - 1，然后在 -2 ≤ x ≤ 2的范围内选取一个合适的整数 x 代入求值．x 2 + 2 x + 1 x -x 2 - 1 x - 1①化简 A ； ⎧ x -1≥ 0②当 x 满足不等式组 ⎨ ，且 x 为整数时，求 A 的值．⎩ x - 3 < 0x 2 + 3 B ． x 2 + 1 D． 2ab 中的分子、分母的值同时扩大为原来的 2 倍，则分式的值（ab 中 a ，b 的值都扩大为原来的 2 倍，则分式的值（x 2 + y 2 中 x ，y 的值都扩大为原来的 2 倍，则分式的值（( x - 2)( x + 3) = x + 3，则 A =_______，B =_______．3. 不改变分式13x - y2 的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（ ）1 3 x2 + 1A ． 6 x - yC ． 3x - 3 y 18 x - 3 y2 x 2 + 6 18 x -3 y2 x 2 + 34. 把分式 a - 3bA ．不变B ．扩大为原来的 2 倍C ．扩大为原来的 4 倍D ．缩小为原来的 12）5. 把分式 3a - 4bA ．不变B ．扩大为原来的 2 倍C ．扩大为原来的 4 倍D ．缩小为原来的 126. 把分式 2 xyA ．不变B ．扩大为原来的 2 倍C ．扩大为原来的 4 倍D ．缩小为原来的 12））7. 已知 4 x + 7A x - 2 + B2.（1）原式=1，当x=3-1时，原式=【参考答案】巩固练习1.（1）-yx+y （2）a-1（3）1 a2（4）y(y+1)(y2-2y-7) (y-1)(y-3)2（5）ab 2（6）-x+2（7）x-1 x+1（8）-（9）-1 2x+6 1 2x+4（10）-x2+3（11）-yx+y3x+13（2）原式=3xy，当x=3+2，y=3-2时，原式=3（3）原式=2x-4x+1，当x=2时，原式=0（4）①1x-1；②13. 4. 5. 6. 7.BADA 3，1。
人教版数学八年级上册15.2.2.2《分式的混合运算》教学设计
人教版数学八年级上册15.2.2.2《分式的混合运算》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级上册15.2.2.2《分式的混合运算》是分式单元的一个重要内容。
这部分内容主要让学生掌握分式的加减乘除运算规则，理解分式运算的本质，并能够灵活运用分式运算解决实际问题。
本节课的内容是在学生已经掌握了分式的基本概念和性质的基础上进行教学的，为学生进一步学习分式方程和分式函数打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和数学运算能力，他们对分式的基本概念和性质有一定的了解。
但是，学生在进行分式运算时，往往会因为忽视分式的基本性质而导致运算错误。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生加强对分式基本性质的理解，提高学生的运算能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握分式的加减乘除运算规则，能够正确进行分式的混合运算。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流等方法，提高学生分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生的自信心，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：分式的加减乘除运算规则。
2.难点：分式运算中的括号去除和混合运算的顺序。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究分式的混合运算规则。
2.利用多媒体课件，直观展示分式运算的过程，帮助学生理解运算规则。
3.学生进行小组讨论和交流，提高学生的合作能力和沟通能力。
4.运用归纳总结法，引导学生总结分式运算的规律。
六. 教学准备1.多媒体课件2.分式运算的相关练习题七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一些实际问题，引导学生运用分式运算解决问题。
例如，展示一道关于分式方程的应用题，让学生观察并尝试解答。
通过解决这个问题，激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题——分式的混合运算。
2.呈现（10分钟）教师在黑板上板书分式的加减乘除运算规则，引导学生观察和总结这些规则。
冀教版数学八年级上册《分式的混合运算》教学设计
冀教版数学八年级上册《分式的混合运算》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册《分式的混合运算》是分式单元的一部分，主要介绍了分式的加减乘除以及混合运算的规则。
本节课的内容是学生进一步深入学习分式运算的基础，对于提高学生的数学逻辑思维和解决实际问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了分式的基本概念和简单运算，具备了一定的数学基础。
但部分学生在进行混合运算时，容易混淆运算规则，对于分式的加减乘除运算还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习需求，针对性地进行辅导和训练。
三. 教学目标1.理解分式混合运算的规则；2.能够熟练地进行分式的加减乘除运算；3.培养学生的数学逻辑思维和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.分式混合运算的规则；2.熟练进行分式的加减乘除运算。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生主动探究分式混合运算的规则，通过实际案例让学生学会解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
六. 教学准备1.教学PPT；2.教学案例；3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，如：“某商品打8折后售价为240元，求原价。
”让学生尝试用分式解决该问题，从而引出分式混合运算的重要性。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示分式混合运算的规则，让学生初步了解分式加减乘除的运算方法。
3.操练（10分钟）学生独立完成一些分式混合运算的练习题，教师进行个别辅导，纠正学生在运算过程中容易出现的问题。
4.巩固（10分钟）学生分组讨论，总结分式混合运算的规则，教师点评并总结。
5.拓展（10分钟）教师提出一些分式混合运算的应用问题，让学生进行小组讨论，寻找解决方法，培养学生的实际应用能力。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容，加深学生对分式混合运算的理解。
7.家庭作业（5分钟）布置一些分式混合运算的练习题，要求学生在课后进行巩固。
八年级-人教版-数学-上册-第4课时-分式的混合运算
算乘方，除法变乘法．
＝
1 a
1 9a
约分，做乘法
＝ 8．
9a
异分母分式相加减
归纳
式与数的混合运算有相同的运算顺序，即先算乘方，再算乘除， 最后算加减．
有括号时，按照小括号、中括号、大括号的顺序，先做括号内 的运算，再做括号外的运算．
在运算的过程中，我们也可以适当地运用一些运算律，从而达 到简化运算的目的．
例3
先化简，再求值：
x2
x2 1 2x 1
x
1
x x
1 ，其中
1
x＝－2．
分析：先根据分式的运算法则进行化简，再代入求值．
解：
x2 1
x 1
x2
2x
1
x
1
x
1
＝
(x
1)(x 1) (x 1)2
(x
1)
x x
1 1
＝1－(x－1) ＝2－x．
当x＝－2时，原式＝2－(－2)＝4．
结果要化成最简分式或整式
例2 计算：
（1）
m
2
2
5 m
2m 4 3m
；
（2）
x x2
2 2x
x2
x 1 4x
4
x
x
4．
将其分母视为 1，然后进行通分．
解：（1）
m
2
2
5
m
2m 4 3m
＝ (m 2)(2 m) 5 2m 4
2m
3m
＝ 9 m2 2(m 2) ＝ (3 m)(3 m) 2(2 m)
b d b c bc
3．分式的乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方．
上述法则可以用式子表示为
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四、拓展思维：
你能很快计算出
20022003 2 2 20022002 20022004 2
的值吗？
2
五、课后练习
x x 4x 1. x 2 x 2 2 x 3 12 1 2 2 2. a 2 a 4 a 2 a 2
2.
2 1 1 1 1 1 ( m n) 3 m n m 2 2mn n 2 m 2 n 2 mn 3 3 mn
分析与解：原式 2 2 3 3 2 m n 1 m n m n 3 2 2 2 m n mn ( m n ) mn ( m n ) 2 2 3 3 2 1 1 m n m n 2 2 2 2 m n mn ( m n) mn ( m n)
1 a2
1.解法二：
a 1 4 a a2 2 2 2 a 2a a 4a 4 a 2a 2 2 a 2 a 2a a 1 a 2a 2 2 a 2a 4 a a 4a 4 4 a a 2 a 1 a = …… 4a a2 4a 1 a2
2
同底数幂相乘， 底数不变指数 相加
结果化为只含有正整 数指数的形式
分式的混合运算：关键是要正 确的使用相应的运算法则和运算顺 序；正确的使用运算律，尽量简化 运算过程；结果必须化为最简。 混合运算的特点：是整式运算、 因式分解、分式运算的综合运用， 综合性强，是本章学习的重点和难 点。
例2.计算：
a2 a 1 4 a 1. 2 2 2 a 2a a 4a 4 a 2a x 3 5 2. ( x 2) 2x 4 x 2 x2 x 4 3. 2 2 x x x 4x 4 x 2x 2 4 a 8 a a 1 a 1 4. 2 a a 2 a 1 a 1
1 ( x 2)( x 2) 1 x 2 x 2 x
1 ( x 2)( x 2) ( x 2) x 1 ( x 2)( x 2) ( x 2) x
x2 x2 x x
4 x
4a 8a a 1 a 1 4.解： 2 a a 2 a 1 a 1 4a ( a 2 ) 4a (a 2)(a 1) (a 1)(a 1)
1 1 (a 1)(a 1) 1 a 解法2， 原式 1 1 (a 1)(a 1) a 1 a (a 1)(a 1) 1 a a (a 1)(a 1) a 1 a (a 1) a (a 1) a 1 a1
m n mn 2mn 2 2 ( m n) ( m n) m n 2mn m 2 n 2 mn 2 ( m n) mn mn mn
2 2
巧用分配律
1 1 1 1 3. 2 2 (a b) (a b) a b a b
正确的解法：
可以运用乘法的交换 律和结合律
三、知识要点与例题解析：
分式的乘方：把分子、分母各自乘方。
a n a 即 ( ) n ( n为正整数), 其中b≠0,a,b可 b b
以代表数，也可以代表代数式。
n
整数指数幂的运算性质：
若m,n为整数，且a≠0,b≠0，则有
①
a a a
m n
mn
2 a 3 4a a a 1 1 a 3. a 1 1 a
参考答案： 1.
1 ; x2
15a 6 ; ( a 2)( a 6)
2. 3.
a 1 a 1
； 水光针 ；
分析与解：
2 2 原式 3x x
巧用分配律
x x y ( x y) y 3x x y
x 2 1 2 1 3 x 3 x x y x 2 x y 2x x y
②
a a a
m n
m n
mn
③（ a
） a
n
mn
④ ( ab ) a b
n
n
a b 3 c 2 bc 4 ) （ ）( ) 例1.(1) ( c ab a
2
ab 3 a b 2 ) ( ) （2） ( 3 2a ab
2 2
( x 2y ) ( x y ) （3） (x 2y ) (x y )
②乘除运算属于同级运算，应按照先出现 的先算的原则，不能交换运算顺序；
③当除写成乘的形式时，灵活的应用乘 法交换律和结合律可起到简化运算的作用； ④结果必须写成整式或最简分式的形式。 显然此题在运算顺序上出现了错误，除没有转化 为乘之前是不能运用结合律的，这一点大家要牢记呦！
2 x2 ( x 3) 2 4 4x x x3 2 1 x2 × 2× ( x 2) x3 x3 2 2 ( x 2)( x 3) 除 法 转 化 为 乘 法 之 后
2 1
3 2 2 2
a b 3 c 2 bc 4 ) （ ）( ) 例1.(1) ( c ab a 2 3 2 4 (a b ) c (bc ) 解：(1)原式 2 4 3 ( c ) ( ab) a
分子、分 母分别乘 方
2
ab c bc 2 2 4 3 c a b a
2
4a ( a 1)(a 1) ( a 1) 4a
a 1
仔细观察题目的结构特点，灵活运用运 算律，适当运用计算技巧，可简化运算，提 高速度，优化解题。
例2.计算：
2 2 1. 3x x
x y x y 3x
x y y x
x3 5 2.解： ( x 2) 2x 4 x 2 x 3 5 ( x 2)( x 2) 2x 4 x2 x3 x2 2 2x 4 9 x 1 2( 3 x )
3. 解：
x2 x 4 2 x 2 x x 4x 4 x 2x
16.2.3
数学
初二
一、提出问题：
请问下面的运算过程对吗？
2 x2 ( x 3 ) 2 4 4x x x3 2 x2 ( x 3) 2 (2 x ) x3
2 x2
二、研究解决： 这是一道关于分式乘除的题目，运算时 应注意：
①按照运算法则运算；
1.解法一： a 1 4 a a2 2 2 2 a 2a a 4a 4 a 2a
a 4 a ( a 1) a 2a 2 a ( a 2) 4a
2 2
a4 a ( a 2) 2 a ( a 2) 4a
这座庞大の仙阵,观察到这里面の细微の变化.（..）因为这里实在是隔得太久了,这个地方连小紫倩都有印象,乃是太古时代九华红尘界の壹个道场,壹个天神の道场.这个天神有壹个响亮の名字,求索天神,至于他の名字到底是什么,没有人知道.求索天神,也是当时九华红尘界 壹个大名鼎鼎の人物,包括整个各界,都有这个求索天神の事迹留下,据小紫倩回忆这个求索天神,应该是与佛道有很深の渊源.本身这个名字,就起の挺佛の,至于他修の是什么法,却没有人知道.不过小紫倩号称是九界灵女,而且可能还是真正仙人の女尔,当然也知道壹些别人不 知道の秘事.随着十二天干阵开始发挥作用,根汉の天眼,仿佛化身成为了整个仙阵,此时阵中并没有人,要不然壹定会惊怵の发现,阵中好像有亿万双闪烁着神火の眼睛.这些都是根汉双眼の化身,借助十二天干阵,化为了亿万双天眼,观察着整个孤独之城の情况."你们都进咱乾 坤世界去吧,这个孤独之城不简单,咱怕有意外发生,不好应付."会尔后,根汉觉得这孤独之城,果然没有这么简单,有可能会发生什么诡事,到时后悔就来不及了.众人也不再多说,纷纷进入了根汉の乾坤世界,只留根汉壹个人在外面.当然小紫倩还趴在他の道袍里,此时他们都走 了,小紫倩也不用传音了,而是直接和根汉说："咱虽然没有与求索天神交过手,但是却有幸曾经遇到了壹个供奉他の神庙.""那个地方人很多,起码得有数千万子民,全部个个信奉这个求索天神.""佛の气息太重了,壹般の人不知不觉都会沉沦其中."根汉皱眉道："这样子岂不是 壹个邪佛?""倒也不是什么邪佛,只是佛法本就是如此,信者就很信,而且佛法主张感召之力,凡人很容易就受其法の感召,容易成为对方の信徒.""他们是在收集信仰之力?"根汉皱了皱眉道.信仰之力这东西他还是很清楚の,这些年要不是信仰之力,他也不会突飞猛进,正是信仰之 力给了他壹个台阶,让他升到了现在这种境界了.只不过自己从来不强求,不刻意去追求信仰之力,所得到の信仰之力,都是无意中自然发生の,顺其自然得来の凝聚之力.小紫倩说："这个就不太清楚了,佛法咱知道の不多,佛门高手本来数量也不多,散布于各界之中.""不过壹般 の佛门高手,那可个个都是神奇の高手."小紫倩回忆道："如果是同境界の话,佛门高手往往有更多诡异の手段,令同阶难以战胜他,他也可以克制同阶对手.""而且利用感召之力,很多同阶の高手,甚至会被他们给感召,成为佛门高手の追随者,十分恐怖."她回忆道："咱当年就曾 遇到过壹个天神,在天神之境中布置下了壹座宏伟の法阵,里面有壹座白色の佛门宝殿,咱曾经深入其中,差壹点就受里面の佛门心经所蛊惑,成为他の追随者了."她の记忆恢复の越来越快了,小紫倩の躯体也慢慢の长大,现在已经是六七岁小女孩の相貌了.所以她藏在根汉の怀 里,有时候根汉要是袍子飘起来,就像是壹个孕妇似の别扭.&