广东省广州市天河中学2017高考数学(理科)一轮复习基础知识检测：合情推理和演绎推理.doc

合情推理与演绎推理基础热身1．在等差数列{a n}中，若a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是() A．b4＋b8>b5＋b7B．b4＋b8<b5＋b7C．b4＋b7>b5＋b8D．b4＋b7<b5＋b82．规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再退2步”的规律移动．如果将此机器狗放在数轴原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长度移动，令P(n)表示第n秒时机器狗所在的位置坐标，且P(0)＝0，则下列结论中错误的是()A．P(2007)＝403B．P(2008)＝404C．P(2009)＝403D．P(2010)＝4043．已知命题：若数列{a n}为等差数列，且a m＝a，a n＝b(m≠n，m、n∈N*)，则a m＋n＝bn－amn－m；现已知等比数列{b n}(b n>0，n∈N*)，b m＝a，b n＝b(m≠n，m、n∈N*)，若类比上述结论，则可得到b m＋n＝()A.m－n b ma n B.n－m b na mC.n－mb n a m D.n－mb m a n4．有下列推理：①A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，则P的轨迹为椭圆；②由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式；③由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πab；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．以上推理不是归纳推理的序号是________．(把所有你认为正确的序号都填上)能力提升5．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，n ∈N ，则f 2013(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x6．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C ．由平面正三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3,4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1,2,3)且法向量为n ＝(－1，－2,1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y －z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y ＋z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝08．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝⎛⎭⎫13x是指数函数(小前提)，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误是( ) A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错 C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提错都导致结论错9．把正整数按一定的规则排成了如图K67－1所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8.若a ij ＝2009，则i 与j 的和为( )12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 22 24图K67－1A ．105B ．106C ．107D ．10810．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OAB ·OC →＝0. 将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．11．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看做(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：________________②，②式可以用语言叙述为：________________.12．在计算“11×2＋12×3＋…＋1n n ＋1 (n ∈N *)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：1k k ＋1 ＝1k －1k ＋1，由此得11×2＝11－12，12×3＝12－13，…，1n n ＋1 ＝1n －1n ＋1， 相加，得11×2＋12×3＋…＋1n n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1.类比上述方法，请你计算“11×2×3＋12×3×4＋…＋1n n ＋1 n ＋2(n ∈N *)”，其结果为________．13．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图K67－2为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形，则f (n )的表达式为____________(n ∈N *)．图K67－214．(10分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图K67－3为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；(2)证明：1f 1 ＋1f 2 ＋1f 3 ＋…＋1f n <43.图K67－315．(13分)如图K67－4所示，点P为斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM ⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．图K67－4难点突破16．(12分)规定C mx ＝x · x －1 ·…· x －m ＋1 m ！，其中x ∈R ，m 是正整数，且C 0x ＝1，这是组合数C m n (m ，n 是正整数，且m ≤n 的一种推广)．(1)求C 5－15的值；(2)组合数的两个性质：①C m n ＝C n －mn.②C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1.是否都能推广到C mx (x ∈R ，m 是正整然)的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，则说明理由．(3)已知组合数C m n 是正整数，证明：当x ∈Z ，m 是正整数时，C mx ∈Z.答案解析【基础热身】1．A [解析] 在等差数列{a n }中，由于4＋6＝3＋7时有a 4·a 6>a 3·a 7，所以在等比数列{b n }中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b 4＋b 8>b 5＋b 7或b 4＋b 8<b 5＋b 7.∵b 4＝b 1q 3，b 5＝b 1q 4，b 7＝b 1q 6，b 8＝b 1q 7 ∴(b 4＋b 8)－(b 5＋b 7)＝(b 1q 3＋b 1q 7)－(b 1q 4＋b 1q 6) ＝b 1q 6·(q －1)－b 1q 3(q －1)＝(b 1q 6－b 1q 3)(q －1)＝b1q3(q3－1)(q－1)．∵q>1，b n>0，∴b4＋b8>b5＋b7.故选A.2．D[解析] 显然每5秒前进一个单位，且P(1)＝1，P(2)＝2，P(3)＝3，P(4)＝2，P(5)＝1，∴P(2007)＝P(5×401＋2)＝401＋2＝403，P(2008)＝404，P(2009)＝403，P(2010)＝402，故选D.3．B[解析] 等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的b n和a m，等差数列中的bn－am可以类比等比数列中的b na m，等差数列中的bn－amn－m可以类比等比数列中的n－m b na m.故b m＋n＝n－m b na m.4．①③④[解析] ①为演绎推理，②为归纳推理，③④为类比推理．【能力提升】5．C[解析] f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝cos x＝f1(x)，f6(x)＝(cos x)′＝－sin x＝f2(x)，f n＋4(x)＝…＝…＝f n(x)，故可猜测f n(x)以4为周期，有f4n＋1(x)＝f1(x)＝cos x，f4n＋2(x)＝f2(x)＝－sin x，f4n＋3(x)＝f3(x)＝－cos x，f4n＋4(x)＝f4(x)＝sin x，所以f2013(x)＝f503×4＋1(x)＝f1(x)＝cos x，故选C.6．A[解析] 两条直线平行，同旁内角互补——大前提，∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角——小前提，∠A＋∠B＝180°——结论．故A是演绎推理，而B、D是归纳推理，C是类比推理．故选A.7．A[解析] 类比直线方程求法得平面方程为(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0即x＋2y－z－2＝0.8．A[解析] y＝a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．9．C[解析] 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m －1)，所以m ＝44，即j ＝44，所以i ＋j ＝107.10．V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 [解析] 平面上的线段长度类比到平面上就是图形的面积，类比到空间就是几何体的体积．11.⎝⎛⎭⎫43πR 3′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 12.n 2＋3n4 n ＋1 n ＋2[解析]∵1k k ＋1 k ＋2＝12⎣⎡⎦⎤1k k ＋1 －1 k ＋1 k ＋2 ，依次裂项，求和得n 2＋3n 4 n ＋1 n ＋2. 13．f (n )＝2n 2－2n ＋1 [解析] 由f (1)＝1，f (2)＝1＋3＋1，f (3)＝1＋3＋5＋3＋1，f (4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1，可得f (n )＝1＋3＋5＋…＋2n －1＋…＋3＋1，∴f (n )＝2× n －1 [1＋ 2n －3 ]2＋(2n －1)＝2n 2－2n ＋1.14．[解答] (1)f (4)＝37，f (5)＝61.由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，f (4)－f (3)＝37－19＝3×6，f (5)－f (4)＝61－37＝4×6，…因此，当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1) ＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1. 又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f (n )＝3n 2－3n ＋1.(2)证明：当k ≥2时，1f k ＝13k 2－3k ＋1<13k 2－3k ＝13⎝⎛⎭⎫1k －1－1k .所以1f 1 ＋1f 2 ＋1f 3 ＋…＋1f n <1＋13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋13⎝⎛⎭⎫1－1n <1＋13＝43. 15．[解答] (1)证明：∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，PM ∩PN ＝P ， ∴BB 1⊥平面PMN ，∴BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥MN . (2)在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有S 2平面ABB 1A 1＝S 2平面BCC 1B 1＋S 2平面ACC 1A 1－ 2S 平面BCC 1B 1S 平面ACC 1A 1cos α.其中α为平面BCC 1B 1与平面ACC 1A 1所成的二面角的大小． 证明：∵CC 1⊥平面PMN ， ∴上述的二面角的平面角为∠MNP .在△PMN 中，∵PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP ，∴PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP ， 由于S 平面BCC 1B 1＝PN ·CC 1，S 平面ACC 1A 1＝MN ·CC 1， S 平面ABB 1A 1＝PM ·BB 1＝PM ·CC 1，∴S 2平面ABB 1A 1＝S 2平面BCC 1B 1＋S 2平面ACC 1A 1－2S 平面BCC 1B 1·S 平面ACC 1A 1·cos α.【难点突破】16．[解答] (1)根据新规定直接进行演算即可C5－15＝－15 －16 －17 －18 －195！＝－11628.(2)性质①不能推广．反例：当x ＝2，m ＝1时，C 12有意义，但C2－12无意义．性质②能推广，且推广形式不变：C m x ＋C m －1x ＝C m x ＋1(x ∈R ，m 是正整数)．证明如下：Cm x＋Cm －1x＝x x －1 x －2 … x －m ＋1m ！＋x x －1 x －2 … x －m ＋2m －1 ！＝x x －1 x －2 … x －m ＋2 m ！·(x ＋1)＝1m ！·(x ＋1)[(x ＋1)－1][(x ＋1)－2]…[(x ＋1)－m ＋1]＝C m x ＋1.(3)需要就x 与m 的大小做出逻辑划分并进行严密的论证． 当x ≥m 时，x ，m 都是正整数，C m n 就是组合数，结论显然成立；当0≤x <m 时，C m x＝x x －1 x －2 …0… x －m ＋1m ！＝0∈Z ，结论也成立； 当x <0时，C m x＝x x －1 x －2 … x －m ＋1m ！＝(－1)m 1m ！(－x ＋m －1)(－x ＋m －2)…(－x ＋1)(－x )＝(－1)m C m－x ＋m －1 ∵－x ＋m －1>0，∴C m －x ＋m －1是正整数，故C m x ＝(－1)m C m －x ＋m －1∈Z.综上所述，当x ∈Z ，m 是正整数时，C m x ∈Z.。