(完整版)相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答
相似三角形模型讲解-一线三等角问题讲义
个性化讲义编号：hy05第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展CB EDA共享性GABEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．AC D E B2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。
求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND2=NC·NB3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。
求证：EB·DF=AE·DB4.在∆ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。
求证：∠=︒GBM905．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．双垂型ABPD E（第25题图）GMFEHDCA1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB上的高求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE DE=62，求：点B 到直线AC 的距离。
相似三角形基本模型一线三等角精品PPT课件
A
D
A
D
F
B
E
C
F
B
E
C
A
△ABE∽ △ECF
F
（（2）1）点点E为E为BBCC上上任任意意一一点点若，∠若B= ∠∠CB==α,∠∠CA=E6F0°= ∠, ∠CA,则EF△=A∠BCE,则与△ EC△FA的B关E与系△还成EC立F吗的？关系还成立吗？
说明理由
B
α
α
B
E
α
C
点拨：要善于运用类比、迁移的数学方法 解决问题。
A
A
①
B
F
②
E
C
①
B
③
F
②
E
C
E为中点
D
A
F
①
α
B
α ②α
E
C
A
F
①
α
B
③
α②
α
E
C
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E 重合，若AD=10, AB= 8,
则EF=___5___
D
F
C
EE
A
点拨：要善于在复杂图形中寻找基本型。 B
A
E F
B
D
C
变式：已知：△ABC中，AB=AC, ∠BAC= 120°,D为BC的 中点， 且∠EDF =∠C, （1） 若BE·CF=48,则AB=__8___
（2）在（1）的条件下，若EF=m,
则S△DEF =___3__m__
A EH
F
P
B
D
点拨：联想基本模型，寻找 相关结论。
C
专题 相似三角形一线三等角模型(老师版)
专题04相似三角形重要模型－一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图①，在等边三角形ABC中，点D是边BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边向右作等边△ADE，边DE与AC相交于点F，设BD＝x，CF＝y，若y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形ABC的面积为（）A．3B．5C．2【答案】C，设90DFN DNF ∠+∠=︒MFH ∠90D MHD ∠=∠=︒在MFH MF MH FH 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5【分析】（1）由90DPC A B ∠=∠=∠=︒可得ADP BPC ∠=∠,即可证到ADP BPC ∽即可解决问题；（2）由DPC A B α∠=∠=∠=可得ADP BPC ∠=∠,即可证到ADP 性质即可解决问题；（3）证明ABD DFE ∽△△,求出4DF =，再证EFC DEC ∽△△(1)如图2，在53⨯个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB 为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点．．．．．的方法，作出以线段AB 为等联线、某格点P 为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；图3，在Rt APC △中，90A ∠=，AC AP >，延长AP 至点B ，使AB AC =，作A ∠的等联角，⊥（2）①PCF是等腰直角三角形．理由为：如图，过点C作CN BE由折叠得AC CM =，90CMP CME A ︒∠==∠=，12∠=∠AC AB =，A PBD N ∠︒=∠=∠，∴四边形ABNC 为正方形CN AC CM∴=又CE CE =，()Rt HL CME CNE ∴≌△34∴∠=∠，而12390∠+∠+∠+︒，90CPF ∠=︒例5.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC ≌△CEB ．(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC ∽△CEB ．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x 与直线CD 交于点M （2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD 的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若△DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．【答案】(1)见解析(2)41577y x =-+(3)4或372+【分析】（1）由同角的余角相等可得∠BCE =∠DAC ，且∠ADC =∠BEC =90°，可得结论；（2）过点O 作ON ⊥OM 交直线CD 于点N ，分别过M 、N 作ME ⊥x 轴NF ⊥x 轴，由（1）的结论可得：△NFO ∽△OEM ，可得NF OF NO OE ME MO==，可求点N 坐标，利用待定系数法可求解析式；（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和相似三角形的性质可求解．(1)解：理由如下，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，又∵∠ADC ＝90°，∴∠ACD +∠DAC ＝90°，∴∠BCE ＝∠DAC ，且∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∴△ADC ∽△CEB ；(2)解：如图，过点O 作ON ⊥OM 交直线CD 于点N ，分别过M 、N 作ME ⊥x 轴，NF ⊥x 轴，由（1）可得：△NFO ∽△OEM ，∴NF OF NO OE ME MO==，∵点M （2，1），∴OE ＝2，ME ＝1，∵tanα＝ON OM ＝32，∴3212NF OF ==，∴NF ＝3，OF ＝32，∴点N （32-，3），∵设直线CD 表达式：y ＝kx +b ，∴12332k b k b =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩∴47157k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线CD 的解析式为：y ＝-47x +157；（3）若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使∵D 和B 不重合，∴45AED ∠<︒，又45ADE ∠=︒，90DAE ∠>︒，∴AD AE ≠≠DE ．FE ；（2）若3,4AB AD ==16∵3,4AB AD ==，∴BD AB =∵DF AE ⊥，∴12ABD S AB =△∴341255AB AD AF BD ⋅⨯===，∴1695BF BD DF =-=-=，∵A ．()9,3B ．(9,2【答案】D 【分析】过C 作CE ⊥x 轴于E ，根据矩形的性质得到而得出△BCE ∽△ABO ，根据相似三角形的性质得到结论．【详解】解：过C 作CE ⊥x 轴于∵四边形ABCD 是矩形，∴CD=AB ∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°∵90AOB BEC ∠=∠=︒，∴△∴CE CB BE BO AB AO==，∵4OB =∵AB=2BC ，∴BC=1AB=4，∵＝4．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．【答案】54【分析】先证明ABF GAE ∽，得到AB BF GA AE =，进而即可求解．【详解】∵在正方形ABCD 中，AF ⊥EG ，∴∠AGE +∠GAM =90°，∠FAB +∠GAM =90°，∴∠FAB =∠AGE ，又∵∠ABF =∠GAE =90°，∴ABF GAE ∽，∴AB BF GA AE =，即：5511BF =-，∴BF =54．故答案是：54．【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明ABF GAE ∽，是解题的关键．5．（2023·浙江九年级专题练习）如图，ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，3BD =，将ADE V 沿直线DE 翻折得到FDE V ，当点F 落在边BC 上，且4BF CF =时，DE AF ⋅的值为．【答案】9833【分析】根据△ABC 为等边三角形，△ADE 与△FDE 关于DE 成轴对称，可证△BDF ∽△CFE ，根据BF =4CF ，可得CF =4，根据AF 为轴对称图形对应点的连线,DE 为对称轴，可得DE ⊥AF ，根据S 四边形ADFE =12DE AF ⋅=S △CEF =-S △ABC -S △CEF ，进而可求9833DE AF ⋅=．【详解】解：如图，作△ABC 的高AL ，作△BDF 的高DH ，DAE的函数关系式△∽△(1)求证：ABF FCE【答案】(1)见解析(2)CE长为【分析】（1）根据矩形的性质得到用角之间的互余关系推出(1)求证：BEG CDE△∽△；(2)求AFG 【答案】(1)证明见解析(2)9【分析】（1）先根据正方形的性质可得证；90 NAF CAD∠+∠= ANE DCE∠=∠，D D∠=∠，EDC∴∴343DE=，DE∴【解决问题]若点D是BC边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值．，(1)若正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点．①如图1，当FEC∠=②如图2，当2tan3FCE∠=时，求AF的长；(2)如图3，延长CF，DA交于点证：AE AF=．【答案】(1)①详见解析；②6AF=(2)详见解析①90ADC BAD FEC∠=∠=︒，∴AEF CED∠+∠AEF ECD∴∠=∠，AEF DCE∽△，②如图，延长DA交于点G，作GH CE⊥，垂足为且CED GEH∠=∠，CED∴△2,1CD DE==，5CE∴=，5290EDC EHG ∠=∠=︒设,AD CD a GE DE ===x y t t a n ∴==，2,t x n ∴=在Rt CHG △中，sin FCE ∠①请按要求画图：将ABC 绕点A 顺时针方向旋转90︒，点B 的对应点为点B '，点C 的对应点为点②在①中所画图形中，AB B '∠=______︒．【问题解决】如图2，在Rt ABC △中，190BC C =∠=︒，，延长CA 到D ，使1CD =，将斜边90︒到AE ，连接DE ，求ADE ∠的度数．②由作图可知，AB AB '=，90BAB '∠=︒∴'ABB 是等腰直角三角形，∴45AB B '∠=︒，故答案为：45；【问题解决】如图2中，过点E 作EH CD ⊥交CD 的延长线于H ．∵90C BAE H ∠=∠=∠=︒，∴90B CAB ∠+∠=︒，90CAB EAH ∠+∠=︒，∴B EAH ∠=∠，∵AB AE =，∴()AAS ABC EAH ≌，∴BC AH EH AC ==，，∵BC CD =，∴CD AH =，∴DH AC EH ==，∴45EDH ∠=︒，∴135ADE ∠=︒．【拓展延伸】如图3中，连接AC ，∵AE BC BE EC ⊥=，，即AE 垂直平分BC ，∴AB AC =，将ABD △绕点A 逆时针旋转得到ACG ，连接DG ．则BD CG =，∵BAD CAG ∠=∠，∴BAC DAG ∠=∠，∵AB AC AD AG ==，，∴ABC ACB ADG ∠∠∠===∴ABC ADG ∽△△，∵2=AD AB ，∴24DG BC ==，(1)如图1，求直线AB 的解析式．(2)如图2，线段OA 上有一点C ，直线BC 为2(0)y kx k k =-<，AD y ⊥轴，将BC 绕点B 顺时针旋转∵DA y ⊥轴，∴90DAO AOB DHO ∠=∠=∠=∴四边形DAOH 为矩形，∴2DH AO OB ===，由题可得，90CBD ∠=︒，∴90CBO DBH ∠+∠=︒，又∵90DBH BDH ∠+∠=︒，∴CBO BDH ∠=∠，在CBO 与BDH △中，90COB BHD OB HD CBO BDH ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)CBO BDH ≌，∴CO BH =，令0x =，则22y kx k k =-=-，∴(0,2)C k -，∴2BH CO k ==-，∴22OH OB BH k =+=-，∴(22,2)D k -；（3）如图2，连接CD ，取CD 中点N ，连接AN ，BN ，则在Rt ACD △中，AN CN DN ==，同理，BN CN DN ==，∴AN CN DN BN ===，∴A ，C ，B ，D 四点共圆，∴,ABC ADC CDB OAB ∠=∠∠=∠，∵,90OA OB AOB =∠=︒，∴45OAB OBA ∠=∠=︒，∵345ABC BDO ∠-∠=︒，∴()345ADC BDC CDO ∠-∠-∠=︒，∴2AOD ADC ∠=∠，在AD 上取一点M ，使MD MC =则MCD ADC ∠=∠，∴2AMC ADC AOD ∠=∠=∠，∴tan tan AMC AOD ∠=∠，∴AC AD AM AO=，AM x =，22,MC MD k x AC ==--∵222MC AM AC =+，∴222(22)(22)k x x k --=++，∴41k x k =-，∴2222421k k k +-=-，解得，13k =-，∴直线BC 解析式为：13y x =-+设直线OD 解析式为：y mx =，把8(,2)3D 代入得823m =，∴34m =，则直线OD 解析式为：34y x =，第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图21EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD 第二步，分别以点E，F为圆心，大于GAD ∠=∠=∠由（1）（2）可得NAM CAM B18．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ⊥，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM +的最小值；②当AG GM +取最小值时，求线段DE 的长．【答案】(1)见解析(2)①5；②3DE =或3DE =【分析】（1）证明出DCE AEF ∠=∠即可求解；（2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ====．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，()142MN x =-．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM =，则有()21342x x =-，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MH AM AB MB ==，根据5AM =，可得3543GH MH ==，进而求出125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AE DE DC =．设DE y =，则6AE y =-，即有164y y -=，解得解方程即可求出DE ．(1)证明：如图1，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=︒，∴90CED DCE ∠+∠=︒．∵EF CE ⊥，∴90CED AEF ∠+∠=︒，∴DCE AEF ∠=∠，∴AEF DCE ∽；(2)①解：如图2-1，连接AM ．∵BG CF ⊥，∴BGC 是直角二角形．∴132BM CM GM BC ====．∴点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM +>，当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中，5AM ==．∴AG GM +的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，∴CMN CBF ∽△△．∴12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，∴()11422MN BF x ==-．∵∥MN AB ，∴AFG MNG ∽△△，∴AF AG MN GM =，由①知AG GM +的最小值为5、即5AM =，又∵3GM =，∴2AG =．∴()21342x x =-，解得1x =，即1AF =．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．∴MHG MBA ∽△△．∴GM GH MH AM AB MB==，由①知AG GM +的最小值为5，即5AM =，又∵3GM =，∴3543GH MH ==．∴125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，∴GH CH FB CB =，即1293556FB +=，解得3FB =．∴1AF AB FB =-=．由（1）的结论可得AF AE DE DC =．设DE y =，则6AE y =-，∴164y y -=，解得3y =或3∵036<+<，036<-<，∴3DE =或3DE =．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．。
相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答
、相似三角形判定的基本模型认识（一） A 字型、反A 字型（斜A 字型）（二） 8字型、反8字型（平行） （三）母子型（四）一线三等角型:三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（平行） （不平行）（蝴蝶型）（不平行）A BB（五）一线三直角型:（六）双垂型:相似三角形判定的变化模型实用文案DA, ' ' /B c C■一线三直角的1 .如图，梯形ABCD中，AD //BC,对角线AC、BD交于点0 , BE//CD交CA延长线于E.求证：OC2=OA2 .如图，在△ ABC 中，AB=AC=10 ，BC=16，点D 是边BC 上（不与B，C 重合）一动点，/ ADE= ZB= a, DE交AC于点E.下列结论：① AD 2=AE ?AB :② 3.6 W AE V 10 ;③当AD=2 Ji」.时，△ABD ^/DCE ;④ADCE为直角三角形时，BD为8或12.5 .其中正确的结论是________________ .（把你认为正确结论的序号都填上）3 .已知：如图，△ ABC中，点E在中线AD上，/DEB= /ABC . 求证：(1 ) DB2=DE ?DA ;(2)/ DCE= ZDAC .4 .已知：如图，等腰△ ABC中，AB=AC , AD丄BC于D , CG//AB , BG分别交AD、AC于E、F.求证:5 .如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证：FD2=FB 7FC.6 .已知：如图，在 Rt △ABC 中，/ C=90 °,BC=2 , AC=4 , P 是斜边AB 上的一个动点， PD 丄AB ,交边 AC 于点D (点D 与点A 、C 都不重合)，E 是射线DC 上一点，且/ EPD= Z A .设A 、P 两点的距离为 x , △BEP 的面积为y .(1 )求证：AE=2PE ;(2 )求y 关于x 的函数解析式, ,BD 、CE 分别是 AC 与AB 边上的高，求证： BC=2DE .8 .如图，已知△ ABC 是等边三角形，点 D 、B 、C 、E 在同一条直线上，且/ DAE=120并写出它的定义域;求厶BEP 的面积.7 .如图，在△ ABC 中，/ A=60(1 )图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；9 .（已知：如图，在Rt△ABC 中，AB=AC，/DAE=45 ° .求证:10 .如图，在等边厶ABC中，边长为6, D是BC边上的动点，/ EDF=60（1 ）求证：△ BDEs/CFD ;求BE的长.11 . （1 ）在A ABC中，AB=AC=5 , BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持/ APQ= Z ABC .①若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；②若BP=x , CQ=y ,求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD的边长为5 （如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持/APQ=90度.当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）13 .已知梯形ABCD 中，AD //BC,且AD V BC, AD=5 , AB=DC=2 .(1 )如图，P为AD上的一点，满足/ BPC= Z A，求AP的长；(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合)，且满足/ BPE= ZA , PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q .①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x , CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当CE=1时，写出AP的长.(不必写解答过程)14 .如图，在梯形ABCD中，AD //BC, AB=CD=BC=6 , AD=3 .点M 为边BC的中点，以M 为顶点作Z EMF= ZB，射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F，连接EF.(1 )求证：△ MEF s/BEM ;(2 )若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；(3 )若EF丄CD , 求BE的长.15 .已知在梯形 ABCD 中，AD //BC , AD V BC ,且 BC=6 , AB=DC=4 ，点 E 是 AB 的中点.(1 )如图，P 为BC 上的一点，且 BP=2 .求证：△ BEPs/CPD ;(2)如果点P 在BC 边上移动(点P 与点B 、C 不重合)，且满足/ EPF= ZC , PF 交直线CD 于点F ，同时 交直线AD 于点M ，那么①当点F 在线段CD 的延长线上时，设 BP=x , DF=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；16 .如图所示，已知边长为 3的等边△ ABC ，点F 在边BC 上，CF=1，点E 是射线BA 上一动点，以线段 EF 为边向右侧作等边△ EFG ，直线EG , FG 交直线AC 于点M , N ,(1 )写出图中与△ BEF 相似的三角形; (2) 证明其中一对三角形相似；(3) 设BE=x , MN=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量17 .如图所示，已知矩形 ABCD 中，CD=2 , AD=3，点P 是AD 上的一个动点(与 A 、D 不重合)，过点P作PE 丄CP 交直线AB 于点E ,设PD=x , AE=y ,(1) 写出y 与x 的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (2) 如果△ PCD 的面积是厶AEP 面积的4倍，求CE 的长；(3) 是否存在点 卩，使厶APE 沿PE 翻折后，点A 落在BC 上？证明你的结论.x 的取值范围;的面积.18 .如图，在 Rt △KBC 中，/ C=90 °,AB=5，-丁讦二上，点D 是BC 的中点，点 E 是AB 边上的动点,4丄DE 交射线AC 于点F . (1 )求AC 和BC 的长； (2)当EF//BC 时，求BE 的长；19 .如图，在 Rt △KBC 中，/ C=90 °,AC=BC , D 是AB 边上一点，E 是在AC 边上的一个动点(与点 C 不重合)，DF 丄DE , DF 与射线BC 相交于点F .(1 )如图2，如果点D 是边AB 的中点，求证：DE=DF ; (2) 如果 AD : DB=m ，求 DE : DF 的值；(3) 如果 AC=BC=6 , AD : DB=1 : 2，设 AE=x , BF=y , ① 求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；② 以CE 为直径的圆与直线 AB 是否可相切？若可能，求出此时x 的值；若不可能，请说明理由.DF(3)连接EF ,当厶DEF 和△ABC 相似时，求 BE 的长.20 .如图，在△ ABC中，/ C=90 °,AC=6 , X^b-~，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作/4DEF=90 °,EF交射线BC于点F.设BE=x , ABED的面积为y(1 )求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切，求线段BE的长；(3)如果以B、E、F为顶点的三角形与△ BED相似，求△ BED的面积.421 .如图，在梯形ABCD 中，AB //CD, AB=2 , AD=4 , tanC=「，/ADC= ZDAB=90 °,P 是腰BC 上一个动点(不含点B、C),作PQ丄AP交CD于点Q.(图1)(1 )求BC的长与梯形ABCD的面积；(2 )当PQ=DQ 时，求BP的长；(图2)•••ZCDE=90 °■//B= a且,•• Z AD=90a=AB=10 ,/-cosB=AB 4LJ." '■,25—.故④正确.••AE=AC - CE=10 - x ,「36 <AE v 10 .故②正确.③作AG丄BC于G,4••AB=AC=10 , Z ADE= Z B= a, COS a=—,5••BC=16 ,「.AG=6 ,••AD=2 | J... H,ADG=2 ,「.CD=8 ,：AB=CD , •△ABD 与△DCE 全等；故③正确;④当Z AED=90。
培优专题25相似三角形的一线三等角模型-解析版
A．-9
B．-12
C．-15
D．-18
【答案】A
【分析】根据∠AOB=90°，∠ABO=30°，可求出 OA 与 OB 的比，设出点 B 的坐标，再根据相似三角形的
性质，求出点 A 的坐标，可得 ab 的值，进而求出 m 的值．
【详解】解：过 A、B 分别作 AM⊥x 轴，BN⊥x 轴，垂足为 M、N，
3a 3b ∴B（-a，b），A（ 3 ， 3 ），
3 ∵点 A 在反比例函数 y＝ x 上，
33 ab
则 3 × 3 =3， ∴ab=9，
m ∵点 B 在反比例函数 y＝ x 上， ∴-a×b=m=-9， 故选 A.
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出 反比例函数图象上点的坐标是解答前提的关键． 3．（2021·浙江·九年级专题练习）如图，正方形 ABCD 边长为 4，边 B过点 A，则矩形 EDFG 的面积是（ ）
2. 当一个直角放在平面直角坐标系中时，亦常构造“K 型图”解题
3. 由“K 型图”得到的相似比，基本都可以转化成“特定角”的正切值来计算
4. “K 型图”常和“A 字图”或“8 字图”类的平行相似结合在一起求长度
“K 型图”常见构造方法：过直角订单分别作水平或竖直的直线，再过直角两边顶点分别作直线的垂 线。 如图：
∵四边形 EDFG 为矩形，
∴∠EDF＝∠F＝90°，
∵∠ADF+∠ADE＝90°，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADF＝∠EDC，
∴△ADF∽△CDE，
AD DF
4 DF
∴ DE DC ，即 DE 4 ，
16
∴DF＝ DE ，
全等之一线三等角模型(含答案)
全等之一线三等角模型1. 一线三垂直【核心考点】：只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过°顶点作该直线的垂线，构造三垂直模型．必有如下全等三角形：【经典图形】：【变式图形】：由得由得≌≌（1）（2）1.如图，正方形的顶点在直线上，，于点，于点．求证：≌．若，求点到直线的距离．2.如图，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点、作于点，于点，若，，则的长为 ．（1）（2）3.如图，在中，，，于点，于点，，．求证：．求线段的长度．4.如图，点在线段上，，，，且，，，，求的度数．5.如图，是等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则 ．6.如图，为等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则点坐标为 ．（1）（2）7.如图，，，，，垂足分别为，．证明：≌．若，，求的长．（1）（2）（3）8.在中，，，直线经过点，且于，于．当直线绕点旋转到图①的位置时，求证：．图当直线绕点旋转到图②的位置时．求证：．图当直线绕点旋转到图③的位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．图9.如图，课间小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两条凳子之间（凳子与地面垂直）．已知，．则两条凳子的高度之和为 ．A. B. C. D.10.如图，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是（ ）．（1）（2）11.如图，中，，，是过点的一条直线，且点，在的同侧时，于，于．求证：．变成如图，，在的异侧时，，，关系如何？并加以证明．（1）（2）（3）12.如图所示，已知、为直线上两点，点为直线上方一动点，连接、，另以、为边向外作正方形和正方形，过点作于点，过点作于点．如图，当点恰好在直线上时，（此时与重合），试说明．如图，当、两点都在直线的上方时，试探求三条线段、、之间数量关系，并说明理由．如图，当点在直线的下方时，线段，、之间的数量关系又如何？请写出你的结论，并说明理由．2. 一线三等角【核心考点】：只要在一条直线上出现三个角相等，一般都可以构造全等三角形解决问题．【经典图形】：A. B. C. D.13.如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，要使点恰好落在上，则的长是（ ）．14.如图，已知中，点为上一点，，两点分别在边，上，若，，，，则．ACBFDE 15.如图，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．16.感知：如图①，点在正方形的边上，于点，于点，可知≌．（不要求证明）拓展：如图②，点，分别在的边，上．点，在内部的射线上，，分别是，的外角．已知，，求证：≌．应用：如图③，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．图图图图图图（1）（2）（3）17.某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．求证：．组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图，将（）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有(其中为任意锐角或钝角)，请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，、分别是直线上点左右两侧的动点（、、互不重合），在运动过程中线段的长度始终为，连接、．若，则周长是 ．（请直接写出答案）（1）（2）18.如图，是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且．若直线经过的内部，且、在直线上，请解决下面两个问题：①如图①，若，，则；（填“”、“”、“”）；图②如图②，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．图如图③，若直线经过的外部，，请提出、、三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．图全等之一线三等角模型1. 一线三垂直【核心考点】：只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过°顶点作该直线的垂线，构造三垂直模型．必有如下全等三角形：【经典图形】：【变式图形】：由得由得≌≌【备注】【教法指导】通过例1.1可以详细给学生示范一下三垂直模型的书写过程，其中倒角用的是“同角的余角相等”，提醒书生注意1.如图，正方形的顶点在直线上，，于点，于点．（1）（2）（1）（2）【解析】【标注】求证：≌．若，求点到直线的距离．【答案】（1）（2）证明见解析．．∵四边形是正方形,，，∴，，，∴，，∴，∴在与中，，∴≌．过作，∵四边形是正方形，，∴，，，，∴，，，∴在与中，，∴≌，∴，∴在中，，，，∴点到直线的距离．【知识点】正方形与全等综合2.【解析】【标注】如图，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点、作于点，于点，若，，则的长为 ．【答案】∵四边形是正方形，∴，，∵则是直角三角形，∴，，又∵，∴，在和中，，∴≌，∴，∴．【知识点】三垂直模型3.如图，在中，，，于点，于点，，．（1）（2）（1）（2）【解析】【标注】求证：．求线段的长度．【答案】（1）（2）证明见解析．．∵，，，∴，，∴，在和中，，∴≌，∴．∵≌，∴，，∴．【知识点】三垂直模型4.【解析】如图，点在线段上，，，，且，，，，求的度数．【答案】．连接、．∵，，．∴．【标注】在和中，∴≌∴，，∴．∴为等腰三角形．同理可得为等腰三角形．∴．．【能力】分析和解决问题能力【知识点】SAS【知识点】全等三角形的性质5.【解析】【标注】如图，是等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则．【答案】由三垂直模型易证≌，∴．【知识点】坐标与距离；三垂直模型6.如图，为等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则点坐标为 ．【解析】【标注】【答案】由三垂直模型易证≌，∴，，∴点坐标为，故答案为：．【知识点】根据坐标描点、根据点写坐标；三垂直模型（1）（2）7.（1）【解析】如图，，，，，垂足分别为，．证明：≌．若，，求的长．【答案】（1）（2）证明见解析．．∵，，，∴，∴，，∴，在和中，（2）【标注】，∴≌．∵≌，∴，，∴（）．【知识点】一线三等角模型（1）（2）（3）8.在中，，，直线经过点，且于，于．当直线绕点旋转到图①的位置时，求证：．图当直线绕点旋转到图②的位置时．求证：．图当直线绕点旋转到图③的位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．图【答案】（1）（2）（3）证明见解析．证明见解析．．（1）（2）（3）【解析】【标注】∵中，，∴，又直线经过点，且于，于，∴，∴，∴，在和中，，∴≌（），∴，，∴．∵中，，直线经过点，且于，于，∴，，而，∴≌，∴，，∴．∵中，，直线经过点，且于，于，∴，，∴，∵，∴≌，∴，，∴；、、之间的关系为．【能力】推理论证能力【能力】运算能力【知识点】AAS【知识点】全等三角形的对应边与角9.如图，课间小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两条凳子之间（凳子与地面垂直）．已知，．则两条凳子的高度之和为 ．【解析】【标注】【答案】由题意可得：，，，在和中，，∴（），故，，则两条凳子的高度之和为：．故答案为：．【知识点】全等三角形实际生活中的应用A. B. C. D.10.方法一：【解析】如图，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是（ ）．【答案】A ∵，，∴，∵在和中，，方法二：【标注】∴≌（），同理 ≌（），∴，，，，∵梯形的面积，，，∴图中实线所围成的图形的面积．∵且，，，，，∴，，≌，∴，．同理证得≌得，．故，故．故选：．【知识点】三垂直模型（1）（2）11.如图，中，，，是过点的一条直线，且点，在的同侧时，于，于．求证：．变成如图，，在的异侧时，，，关系如何？并加以证明．（1）（2）【解析】【标注】【答案】（1）（2）证明见解析．．．∵，，，∴，∴，∴．∵，在和中，，∴≌，∴，，∴．∵，∴．成立．∵，，，∴．∵，，∴．∵，在和中，，∴≌，∴，．∵，∴．【能力】推理论证能力【能力】分析和解决问题能力【知识点】全等三角形的性质【知识点】AAS（1）（2）（3）12.（1）【解析】如图所示，已知、为直线上两点，点为直线上方一动点，连接、，另以、为边向外作正方形和正方形，过点作于点，过点作于点．如图，当点恰好在直线上时，（此时与重合），试说明．如图，当、两点都在直线的上方时，试探求三条线段、、之间数量关系，并说明理由．如图，当点在直线的下方时，线段，、之间的数量关系又如何？请写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）（2）（3）证明见解析．．．∵四边形和为正方形，（2）（3）∴，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴≌（），∴．，理由如下：过点作于，∵，∴，∴，∵四边形为正方形，∴，，∴，∴，∴≌（），∴，同理得：，∵，∴．，理由如下：过点作于，【标注】∵，∴，∴，∵四边形为正方形，∴，，∴，∴，∴≌（），∴，同理得：，∵，∴．【知识点】正方形与全等综合2. 一线三等角【核心考点】：只要在一条直线上出现三个角相等，一般都可以构造全等三角形解决问题．【经典图形】：【备注】【教法指导】注意三个相等的角度可以在直线同侧，也可以在直线异侧．A. B. C. D.13.【解析】如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，要使点恰好落在上，则的长是（ ）．【答案】B如图所示∵，，∴，∵为等边三角形，∴，∵线段绕点逆时针旋转得到线段，【标注】要使点恰好落在上，∴，，∵，，∴，在和中，∵，∴≌，∴．故选．【知识点】等边三角形的性质14.【解析】【标注】如图，已知中，点为上一点，，两点分别在边，上，若，，，，则．ACBFDE 【答案】∵，，∴,在和中，，∴≌，∴，∵，，∴．【知识点】一线三等角模型15.【解析】【标注】如图，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．【答案】∵，∴与等高，底边比值为，∴与面积比为，又的面积为，∴与面积分别为和．∵，∴．∵，，∴．在和中，，∴≌．∴，∴．【知识点】三角形的周长与面积问题16.感知：如图①，点在正方形的边上，于点，于点，可知≌．（不要求证明）拓展：如图②，点，分别在的边，上．点，在内部的射线上，，分别是，的外角．已知，，求证：≌．【解析】【标注】应用：如图③，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．图图图【答案】见解析拓展：证明：∵，∴．∵，，又，∴．在和中，，∴≌．应用：解：∵，∴．∵，，，∴．在和中，，∴≌．∴．∵在中，，∴．∵，∴．∴．【知识点】全等三角形实际生活中的应用17.某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．图图图（1）（2）（3）图（1）【解析】如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．求证：．组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图，将（）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有(其中为任意锐角或钝角)，请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，、分别是直线上点左右两侧的动点（、、互不重合），在运动过程中线段的长度始终为，连接、．若，则周长是 ．（请直接写出答案）【答案】（1）（2）（3）证明见解析．证明见解析．如图，∵直线，直线，∴，∵，∴，∵，∴，在与中，，∴≌,∴，，∴，∴．图（2）图（3）【标注】．如图，证明如下：∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，，∴，∴．∵≌，∴，，∵和均为等边三角形，∴，，∴，即，在和中，，∴≌，∴且，∵，∴，∴，∴是等边三角形，∴．【知识点】多解或多种判定混合（1）18.如图，是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且．若直线经过的内部，且、在直线上，请解决下面两个问题：21（2）【标注】①如图①，若，，则 ； （填“”、“”、“”）；图②如图②，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．图如图③，若直线经过的外部，，请提出、、三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．图【答案】（1）（2）（）；．，先证明，再证明≌．．【知识点】全等三角形的性质。
小专题一线三等角相似专题课完整版课件
连结BP,作∠BPQ=60°,交直线BC于点N.
(1)当P在线段AC上时，证明PA·PC=AB ·CN
(2)若P在AC的延长线上，上述关系是否成立？
(3)若P在CA的延长线上， CN=1.5,BC=2,求AP、BP
的长
60°
A
A
A
60° P
P
P
N
B
CB
Q
C
60°
Q
NB
N
C Q
如图，L1，L2，L3是同一平面内的 三条平行直线，L1与L2间的距离是1 ，L2与L3间的距离是2，正三角形 ABC的三顶点分别在L1，L2，L3上， 求△ABC的边长
反比例函数y=
（1 x>0）
x 的图像上,∠AOB=90°则
的
值为AO ________ x
BO
分析：
（1）根据一线三等角方法证明△AMO∽△ONB
（2）由反比例函数图像性质可知
S△AAMO 6 S△BNO 1
AO 6 BO 1
（相似三角形的面积之比等于相似比的平方
）
问题1：
如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点（与B 、C不重合）∠AEF=90°.观察图形：
（（1）2）△若ABEE为与B△CE的CF中是点否，相连似结？AF并,图证中明有你哪的些结相论似。三
角形？
△ABE∽ △ECF
∽ △AEF
A
D
A
D
F
B
E
C
F
B
E
C
问题2：
D
（12）延长BA、CB于C运的用中类点比，、若
α
∠B=∠C迁=移α,的∠数AE学F方= ∠法C,连当结
部编数学九年级下册专题13一线三等角模型证相似(解析版)含答案
专题13 一线三等角模型证相似1．如图，在边长为9cm的等边ABCD中，D为BC上一点，且3BD cm=，E在AC上，60ADEÐ=°，则AE的长为( )cm．A．B．C．7D．6【解答】解：ABCDQ是等边三角形，9AB BC AC cm\===，60B CÐ=Ð=°，180120BAD ADB B\Ð+Ð=°-Ð=°，60ADEÐ=°Q，180120ADB EDC ADE\Ð+Ð=°-Ð=°，BAD EDC\Ð=Ð，ABD DCE\D D∽，\AB BD DC CE=，\9393CE=-，2CE\=，7()AE AC CE cm\===，故选：C．2．如图，边长为8cm的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，若2BF cm=，则小正方形的面积等于2 ．【解答】解：Q正方形ABCD的边长为8cm，2BF cm=，6CF cm\=Q 四边形ABCD 和EFGH 均为正方形90B C EFG \Ð=Ð=Ð=°90BEF BFE \Ð+Ð=°，90CFD BFE Ð+Ð=°BEF CFD\Ð=ÐBEF CFD\D D ∽\BE CF BF CD =\628BE =32BE \=\小正方形的面积等于：222EF BE BF =+944=+225()4cm =故答案为：2254cm ．三．解答题（共15小题）3．已知等边ABC D ，E ，F 分别在边AB 、AC 上，将AEF D 沿EF 折叠，A 点落在BC 边上的D 处．（1）求证：BED CDF D D ∽；（2）若2CD BD =时，求ED DF．【解答】解：（1）证明：Q 等边ABCD 60A B C \Ð=Ð=Ð=°Q 将AEF D 沿EF 折叠，A 点落在BC 边上的D 处．60EDF A \Ð=Ð=°180********BED BDE B Ð+Ð=°-Ð=°-°=°Q 180********BDE CDF EDF Ð+Ð=°-Ð=°-°=°BED CDF\Ð=Ð又B CÐ=ÐQ BED CDF \D D ∽；（2）2CD BD=Q \设1BD =，则2CD =，Q 翻折，\设ED AE x ==，DF AF y==3AB BC AC \===，3BE x =-，3CF y=-BED CDFD D Q ∽\ED BD BE DF CF DC ==\1332x x y y -==-由13x y y=-得：31x y x =+①由32x x y -=得：23x y x=-②由①②解得：75x =，74y =\45x y =\45ED DF =．4．如图有一块三角尺，Rt ABC D ，90C Ð=°，30A Ð=°，6BC =，用一张面积最小的正方形纸片将这个三角尺完全覆盖．求出这个正方形的面积．【解答】解：90C Ð=°Q ，30A Ð=°，6BC =，212AB BC \==，AC \=，Q 四边形AFED 是正方形，90F E \Ð=Ð=°，AF FE =，90FAC FCA \Ð+Ð=°，90C Ð=°Q ，90FCA BCE \Ð+Ð=°，FAC BCE \Ð=Ð，AFC CEB \D D ∽，\AFACCE CB =，\AFCE =，设AF x =，则CE x =，FC \=，222AF AC Q ，222)x x \+=，2268237x \=+，答：这个正方形的面积为：226837．5．已知：如图，ABC D 是等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，60ADE Ð=°．（1）求证：ABD DCE D D ∽；（2）如果3AB =，23EC =，求DC 的长．【解答】（1）证明：ABC D Q 是等边三角形，60B C \Ð=Ð=°，AB AC =，B BAD ADE CDE Ð+Ð=Ð+ÐQ ，60B ADE Ð=Ð=°，BAD CDE \Ð=ÐABD DCE \D D ∽；（2）解：由（1）证得ABD DCE D D ∽，\BD CE AB DC=，设CD x =，则3BD x =-，\2333x x-=，1x \=或2x =，1DC \=或2DC =．6．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，P 是边BC 上的任意一点(P 与B 、C 不重合），作PE AP ^，交CD 于点E ．（1）判断ABP D 与PCE D 是否相似，并说明理由．（2）连接BD ，若//PE BD ，试求出此时BP 的长．【解答】解：（1）ABP D 与PCE D 相似，理由如下：Q 四边形ABCD 是矩形，90B C \Ð=Ð=°，90BAP BPA \Ð+Ð=°，PE AP ^Q ，90CPE BPA \Ð+Ð=°，BAP CPE \Ð=Ð，ABP PCE \D D ∽；（2）连接BD，如图所示：由（1）知ABP PCE D D ∽，\AB BP PC CE =，\AB PC BP CE=，//PE BD Q ，\CP CE CB CD =，\PC CB CE CD =，\AB CB BP CD=，Q 在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，3CD AB \==，5CB AD ==，95AB CD BP CB ×\==．7．如图1，在ABC D 中，AB AC ==，cos B =，点D 在BC 边上从C 向B 运动．以D 为顶点作ADE B Ð=Ð，射线DE 交AB 边于点E ，过点A 作AF AD ^交射线DE 于点F ，连接CF ．（1）求证：ACD DBE D D ∽．（2）当AD CD =时（如图2)，求AD 和EF 的长．（3）设点D 在BC 边上从C 向B 运动的过程中，直接写出点F 运动的路径长．【解答】（1）证明：AB AC =Q ，B C \Ð=Ð，又ADE B Ð=ÐQ ，ADE B C \Ð=Ð=Ð，180B BDE BED Ð+Ð+Ð=°Q ，180ADC ADE BDE Ð+Ð+Ð=°，BED ADC \Ð=Ð，ACD DBE \D D ∽；（2）解：如图，过点D 作DH AC ^交AC 于点H ，AD CD =Q，AB AC ==，12CH AH AC \===，cos B =Q ，B C Ð=Ð，cos CH B CD\=，6cos CH CD B \===，6AD =，AF AD ^Q ，90FAD \Ð=°，ADE B Ð=ÐQ，6cos ADE DF \Ð==，DF \=，由（1）得ACD DBE D D ∽，\DE BD AD AC =，\6DE DE \=，过点A 作AM BC ^于点M ，cos BM B AB\=，\4BM \=，28BC BM \==，862BD BC CD \=-=-=，DE \==，EF DF DE \=-==，6AD \=，EF =（3）解：F Q 点随着D 点的运动而运动，D 在线段BC 上，F \点的轨迹也是一条线段，如图，当D 与C 点重合时，F 点在1F 的位置，190CAF Ð=°，当D 点与B 点重合时，F 点在2F 的位置，290BAF Ð=°，12F F 为F 点的运动路径，12F AF CAB \Ð=Ð，AC =Q，cos B =，ABC C Ð=Ð，1cos AC C CF \===，112CF \=，在1Rt ACF D中，1AF ==，ADF B Ð=ÐQ，2cos cos ABF B \Ð==22cos ABABF BF Ð==，=，212BF \=，2AF ==，21AF AF \=，△12AF F 是等腰三角形，12F AF CAB Ð=ÐQ ，△12AF F 与CAB D 都是等腰三角形，\△12AF F ACB D ∽，\121F F AF BC AC =，由（2）得8BC =，\128F F，12F F \=\点F运动的路径长为．8．在ABC D 中，点E 、F 在边BC 上，点D 在边AC 上，连接ED 、DF ，AB m AC =，120A EDF Ð=Ð=°（1）如图1，点E 、B 重合，1m =时①若BD 平分ABC Ð，求证：2CD CF CB =×；②若213CFBF =，则ADCD =（2）如图2，点E 、B 不重合．若BE CF =，ABDFm AC DE ==，37BEEF =，求m 的值．【解答】解：（1）①Q 1ABm AC ==，AB AC \=，BD Q 平分ABC Ð，ABD DBF \Ð=Ð，BDC A ABD BDF CDF Ð=Ð+Ð=Ð+ÐQ ，且120A BDF Ð=Ð=°，ABD CDF DBF \Ð=Ð=Ð，且C C Ð=Ð，CDF CBD \D D ∽，\CD CF BC CD=，2CD BC CF \=×；②如图1，过A 作AG BC ^于G ，过F 作FH BC ^，交AC 于H ，30C Ð=°Q ，2CH FH \=，设2FH a =，4CH a =，则CF =，Q 213CF BF =，BC \=，CG =Q ，152AG a \=，15AC a =，11AH a \=，120BAD BDF DHF Ð=Ð=Ð=°Q ，18012060ADB FDH ADB ABD \Ð+Ð=Ð+Ð=°-°=°，ABD FDH \Ð=Ð，ABD HDF \D D ∽，\AB AD HD FH =，即152a AD DH a=，设AD x =，则11DH a x =-，230(11)a x a x \=-，2211300x ax a -+=，(5)(6)0x a x a --=，5x a =或6a ，\51102AD a CD a ==或6293AD a CD a ==，故答案为：12或23；（2）如图2，过E 作//EH AB ，交AC 于H ，过D 作DM EH ^于M ，过F 作//FG ED ，交AC 于G ，BE CF =Q ，37BE EF =，\37CF EF =，//FG ED Q ，\37CF CG EF DG ==，\设3CG a =，7DG a =，Q AB DF m AC DE==，120A EDF Ð=Ð=°，ABC DFE \D D ∽，DEC C \Ð=Ð，10DE DC a \==，//FG DE Q ，GFC DEF C \Ð=Ð=Ð，3FG CG a \==，同理由（1）得：EHD DFG D D ∽，\ED DH DG FG =，即1073a DH a a=，307a DH =，Rt DHM D 中，60DHM Ð=°，30HDM \Ð=°，11527a HM DH \==，DM =，657EM a \===，651550777EH a a a \=-=，5017302107a AB EH m AC CH a a \====+．9．已知：在EFG D 中，90EFG Ð=°，EF FG =，且点E ，F 分别在矩形ABCD 的边AB ，AD 上．（1）如图1，填空：当点G 在CD 上，且1DG =，2AE =，则EG =（2）如图2，若F 是AD 的中点，FG 与CD 相交于点N ，连接EN ，求证：AEF FEN Ð=Ð；（3）如图3，若AE AD =，EG ，FG 分别交CD 于点M ，N ，求证：2MG MN MD =×．【解答】（1）解：90EFG Ð=°Q ，90AFE DFG \Ð+Ð=°，90AEF AFE Ð+Ð=°Q ，AEF DFG \Ð=Ð，又90A D Ð=Ð=°Q ，EF FG =，()AEF DFG AAS \D @D ，2AE FD \==，FG \==EG \==，；（2）证明：延长EA、NF 交于点M ，Q点F为AD的中点，\=，AF DFQ，AM CD//Ð=Ð，\Ð=Ð，MAD DM DNF\D@D，MAF NDF AAS()\=，MF FN^Q，EF MG\=，ME GE\Ð=Ð；MEF FEN（3）证明：如图，过点G作GP AD^交AD的延长线于P，\Ð=°，P90D@D，AEF PFG AAS同（1）同理得，()=，\=，PF AEAF PGQ，=AE AD\=，PF AD\=，AF PD\=，PG PDQ，Ð=°P9045PDG \Ð=°，45MDG \Ð=°，在Rt EFG D 中，EF FG =，45FGE \Ð=°，FGE GDM \Ð=Ð，GMN DMG Ð=ÐQ ，MGN MDG \D D ∽，\MG MN DM MG=，2MG MN MD \=×．10．在ABC D 中，BA BC =，(0180)ABC a a Ð=°<<°，点P 为直线BC 上一动点（不与点B 、C 重合），连接AP ，将线段AP 所在的直线绕点P 顺时针旋转a 得到直线PM ，再将线段AC 所在的直线绕点C 顺时针旋转a 得到直线CN ，直线PM 与直线CN 相交于点Q ．（1）当点P 在线段BC 上，当60a =°时，如图1，直接判断BP CQ 的大小；（2）当点P 在线段BC 上，当BC k AC=时，如图2，试判断线段BP CQ 的大小，并说明理由；（3）当点P 在直线BC 上，当90a =°，AC =17AP =时，请利用备用图探究PCQ D 面积的大小（直接写出结果即可）．【解答】解：（1）如图1，连接AQ ，BA BC =Q ，60ABC a Ð==°，ABC \D 是等边三角形，60BAC ACB ABC \Ð=Ð=Ð=°，Q 将线段AP 所在的直线绕点P 顺时针旋转a 得到直线PM ，再将线段AC 所在的直线绕点C 顺时针旋转a 得到直线CN ，60APQ ACQ \Ð=Ð=°，\点A ，点P ，点C ，点Q 四点共圆，60AQP ACB \Ð=Ð=°，APQ \D 是等边三角形，AP AQ \=，60PAQ Ð=°，BAC PAQ \Ð=Ð，BAP CAQ \Ð=Ð，()BAP CAQ SAS \D @D ，BP CQ \=，\1BP CQ=；（2）BP k CQ =，理由如下：如图2，连接AQ ，BA BC =Q ，ABC a Ð=，1802ACB BAC a °-\Ð=Ð=，QQ 将线段AP 所在的直线绕点P 顺时针旋转a 得到直线PM ，再将线段AC 所在的直线绕点C 顺时针旋转a 得到直线CN ，APQ ACQ a \Ð=Ð=，\点A ，点P ，点C ，点Q 四点共圆，1802AQP ACB a °-\Ð=Ð=，1802PAQ BAC a °-\Ð==Ð，BAP CAQ \Ð=Ð，又ABC ACQ a Ð=Ð=Q ，ABP ACQ \D D ∽，\AB BC BP k AC AC CQ===；（3）17AC AP =<=Q ，\点P 不在线段BC 上，当点P 在点C 的右侧时，如图3，过点Q 作QH BC ^于H ，AB BC =Q ，90ABC Ð=°，AC =8AB BC \==，45ACB Ð=°，15BP \===，7CP \=，90ACQ Ð=°Q ，45ACB Ð=°，45QCH \Ð=°，由（2）可知AB BP AC CQ =，\15CQ=，CQ \=，45QCH Ð=°Q ，QH BH ^，15CH QH \==，11105715222CPQ S CP QH D \=´´=´´=；当点P 在点B 的左侧时，如图4，过点Q 作QH BC ^于H ，AB BC =Q ，90ABC Ð=°，AC =8AB BC \==，45ACB Ð=°，15BP \===，23CP \=，90ACQ Ð=°Q ，45ACB Ð=°，45QCH \Ð=°，由（2）可知AB BP AC CQ =，\15CQ=，CQ \=，45QCH Ð=°Q ，QH BH ^，15CH QH \==，113452315222CPQ S CP QH D \=´´=´´=；综上所述：PCQ D 面积为1052或3452．11．如图，在ABC D 中，已知5AB AC ==，6BC =，且ABC DEF D @D ，将DEF D 与ABC D 重合在一起，ABC D 不动，DEF D 运动，并满足：点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于M 点．（1）求证：ABE ECM D D ∽；（2）当DE BC ^时，①求CM 的长；②直接写出重叠部分的面积；（3）在DEF D 运动过程中，当重叠部分构成等腰三角形时，求BE 的长．【解答】（1）证明：AB AC =Q ，B C \Ð=Ð，ABC DEF D @D Q ，AEF B \Ð=Ð，AEF CEM AEC B BAE Ð+Ð=Ð=Ð+ÐQ ，CEM BAE \Ð=Ð，ABE ECM \D D ∽；（2）①当DE BC ^时，AB AC =Q ，BAE EAM \Ð=Ð，ABC DEF D @D Q ，B DEF \Ð=Ð，ABE AEM \D D ∽，\AB AE AE AM=，90AME AEB Ð=Ð=°，5AB AC ==Q ，DE BC ^，6BC =，132BE EC BC \===，在Rt ABE D 中，4AE ===，\544AM=，165AM \=，169555CM AC AM \=-=-=；②在Rt AEM D 中，125EM ===，11161296225525AEM S AM EM D \=×=´´=，\重叠部分的面积为9625；（3）①当AE EM =时，ABE ECM D @D ，5CE AB ==Q ，651BE BC EC \=-=-=，②当AM EM =时，则MAE MEA Ð=Ð，MAE BAE MEC MEA \Ð+Ð=Ð+Ð，即CAB CEA Ð=Ð，C C Ð=ÐQ ，CAE CBA \D D ∽，\CE AC AC CB=，\2256AC CE CB ==，\2511666BE BC EC =-=-=；③当AE AM =时，点E 与点B 重合，即0BE =，此时重叠部分图形不能构成三角形；1BE \=或116．12．如图，直线y =+0)y x =>的交点为A ，与x 轴的交点为B ．（1）求ABO Ð的度数；（2）求AB 的长；（3）已知点C 为双曲线0)y x =>上的一点，当60AOC Ð=°时，求点C 的坐标．【解答】解：（1）设直线y =+y 轴交于点D ，如图所示：当0x =时，y =．即点D ．当0y =时，1x =-，即点(1,0)B -．\1OD BO ==．\tan DO ABO BOÐ==．60ABO \Ð=°．（2）过点A 作AE x ^轴，垂足为E ，如图所示．设点A 坐标为：(m ．且0m >．OE m \=，AE =//DO AE Q ．BDO BAE \D D ∽．\BO DOBE AE=．即：11m =+1m \=或2m =-（舍)．\A ．\4AB ==．即：4AB =．（3）过C 作60CFO Ð=°，点F 在x 轴上，再过点C 作CH OF ^于H 点，如图所示．设(C a，0a >．\OH \4CF a ==．\2HF a =．\2OF a a=+．AOF AOC COF Ð=Ð+ÐQ ，且AOF Ð是ABO D 一内角的外角．BAO COF \Ð=Ð．ABO OFC \D D ∽．\AB BOOF CF =即：4124a a a=+．\a=．Q．a>\a\C．^交BC 13．【感知】如图①，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF DE∽．（不需要证明）于点F．易证：AED BFED D^交BC于点【探究】如图②，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF DEF．D D∽．（1）求证：AED BFE（2）若10AD=，E为AB的中点，求BF的长．AB=，6AB=．E为AB边上一点（点E不与【应用】如图③，在ABCACB=，4D中，90Ð=°，AC BC点A、B重合），连结CE，过点E作45D为等腰三角形时，BECEFÐ=°交BC于点F．当CEF的长为 【解答】【探究】（1）证明：Q四边形ABCD是矩形，\Ð=Ð=°，90A B\Ð+Ð=°，ADE AED90^Q，DE EF\Ð=°，DEF90\Ð+Ð=°，BEF AED90\Ð=Ð，ADE BEFQ，又A BÐ=Ð\D D∽；AED BFEQ为AB的中点，（2）解：E\==，AE BE5∽，由（1）知AED BFED D\AD AEBE BF =，即655BF=，256BF \=；【应用】解：如果CE CF =，则45CEF CFE Ð=Ð=°，90ECF Ð=°，则点E 与点A 重合，点F 与点B 重合，不符合题意，②如果CE EF =，则1804567.52ECF EFC °-°Ð=Ð==°，EFC ÐQ 为BEF D 的外角，EFC B BEF \Ð=Ð+Ð，90ACB Ð=°Q ，AC BC =，45A B \Ð=Ð=°，67.54522.5BEF EFC B \Ð=Ð-Ð=°-°=°，909067.522.5ACE ECF Ð=°-Ð=°-°=°，ACF BEF \Ð=Ð，又A B Ð=ÐQ ，CE EF =，()AEC BFE AAS \D @D ，BE AC \=，90ACB Ð=°Q ，AC BC =，4AB =，AC \==，BE \=；如果CF EF =，则45CEF ECF Ð=Ð=°，90CFE \Ð=°，在BEC D 中，45B BCE Ð=Ð=°，90BEC \Ð=°，CE AB \^，又AC BC =Q ，\点E 为AB 的中点，122BE AB \==，综上，BE 的长为2，故答案为：2．14．如图1，已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是射线BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．（1）连接FC ，观察并猜测tan FCN Ð的值，并说明理由；（2）如图2，将图1中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB m =，(BC n m =，n 为常数），E 是射线BC 上一动点（不含端点)B ，以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上，当点E 沿射线CN 运动时，请用含m ，n 的代数式表示tan FCN Ð的值．【解答】解：（1）tan 1FCN Ð=，理由是：如图1，作FH MN ^于H ，90AEF ABE Ð=Ð=°Q ，90BAE AEB \Ð+Ð=°，90FEH AEB Ð+Ð=°，FEH BAE \Ð=Ð，在EHF D 和ABE D 中EHF ABE FEH BAE EF AE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EHF ABE AAS \D @D ，FH BE \=，EH AB BC ==，CH BE FH \==，90FHC Ð=°Q ，tan 1FHFCH CH\Ð==；（2）如图（2）作FH MN ^于H ．由已知可得90EAG BAD AEF Ð=Ð=Ð=°，结合（1）易得FEH BAE DAG Ð=Ð=Ð，又G Q 在射线CD 上，90GDA EHF EBA Ð=Ð=Ð=°，在EFH D 和AGD D 中FHE GDA FEH DAG EF AG Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EFH AGD AAS \D @D ，BAE FEH Ð=ÐQ ，ABE FHE Ð=Ð，EFH AEB \D D ∽，EH AD BC n \===，CH BE \=，\EH FH FHAB BE CH==，\在Rt FEH D 中，tan FH EH nFCN CH AB mÐ===，\当点E 沿射线CN 运动时，tan n FCN mÐ=．15．如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，10BC =，点M 是BC 边上的动点，点M 从点B 出发，运动到点C 停止，N 是CD 边上一动点，在运动过程中，始终保持AM MN ^，设BM x =，CN y =．（1）直接写出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围 010x …… ；（2）先完善表格，然后在平面直角坐标系中（如图2)利用描点法画出此抛物线，直接写出m = ；x¼2345678¼y¼22183m32182¼（3）结合图象，指出M 、N 在运动过程中，当CN 达到最大值时，BM 的值是 ；并写出在整个运动过程中，点N 运动的总路程 ．【解答】解：（1）Q 四边形ABCD 是矩形，908B C AB CD \Ð=Ð=°==，90BAM AMB \Ð+Ð=°，AM MN ^Q ，90AMN \Ð=°，90AMB CMN \Ð+Ð=°，BAM CMN \Ð=Ð，ABM MCN \D D ∽，\AB MCBM CN=，\810x x y-=，21584y x x \=-+，10BC =Q ，点M 是BC 边上的动点，点M 从点B 出发，运动到点C 停止，010x \……，故答案为：010x ……；（2）当5x =时，代入21584y x x =-+中得：2152555848y =-´+´=，故答案为：258，画出的抛物线如图所示：（3）21584y x x =-+Q ，2215125(5)8488y x x x \=-+=--+，108a =-<Q ，\当5x =时，y 最大258=，\当CN 达到最大值时，BM 的值是5；Q2525284´=，\在整个运动过程中，点N 运动的总路程为254，故答案为：5，254．16．【基础巩固】（1）如图1，在ABC D 中，90ACB Ð=°，直线l 过点C ，分别过A 、B 两点作AE l ^，BD l ^，垂足分别为E 、D ．求证：BDC CEA D D ∽．【尝试应用】（2）如图2，在ABC D 中，90ACB Ð=°，D 是BC 上一点，过D 作AD 的垂线交AB 于点E ．若BE DE =，4tan 5BAD Ð=，20AC =，求BD 的长．【拓展提高】（3）如图3，在平行四边形ABCD 中，在BC 上取点E ，使得90AED Ð=°，若AE AB =，43BE EC =，CD =ABCD 的面积．【解答】（1）证明：90ACB Ð=°Q ，90BCD ACE \Ð+Ð=°，AE CE ^Q ，90AEC \Ð=°，90ACE CAE \+Ð=°．BCD CAE \Ð=Ð．BD DE ^Q ，90BDC \Ð=°，BDC AEC \Ð=Ð．BDC CEA \D D ∽．（2）解：过点E 作EF BC ^于点F ．由（1）得EDF DACD D∽．\DE DF DA AC=．AD DE^Q，4tan5BADÐ=，20AC=，\4520DF =，16 DF\=．BE DE=Q，BF DF\=．232BD DF\==．（3）解：过点A作AM BC^于点M，过点D作DN BC^的延长线于点N．90AMB DNC\Ð=Ð=°．Q四边形ABCD是平行四边形，//AB CD\，AB CD=．B DCN\Ð=Ð．()ABM DCN AAS\D@D．BM CN\=，AM DN=．AB AE=Q，AM BC^，BM ME\=，Q43 BEEC=，设AM b=，4BE a=，3EC a=．2BM ME CN a\===，5EN a=．90AEDÐ=°Q，由（1）得AEM EDN D D ∽．\AM ENME DN =，\25b aa b=，\b =，Q CD =22(2)14a b \+=，1a \=，b =．\平行四边形ABCD 的面积172BC DN a b =´´=´=．17．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED Ð=Ð=Ð=°，由12180BAD Ð+Ð+Ð=°，2180D AED Ð+Ð+Ð=°，可得1D Ð=Ð；又因为90ACB AED Ð=Ð=°，可得ABC DAE D D ∽，进而得到BC AC =我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，如图，在ABC D 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B Ð=Ð．①求证：ABP PCD D D ∽；②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当APD D 为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【解答】（1）解：ABC DAE D D Q ∽，\BC ACAE DE =，\BC AEAC DE=，故答案为：AEDE；（2）①证明：AB AC=Q，B C\Ð=Ð，APC B BAPÐ=Ð+ÐQ，APC APD CPDÐ=Ð+Ð，APD BÐ=Ð，BAP CPD\Ð=Ð，B CÐ=ÐQ，ABP PCD\D D∽；②解：12BC=Q，点P为BC中点，6BP PC\==，ABP PCDD DQ∽，\AB BPPC CD=，即1066CD=，解得： 3.6CD=；（3）解：当PA PD=时，ABP PCDD@D，10PC AB\==，12102BP BC PC\=-=-=；当AP AD=时，ADP APDÐ=Ð，ADP B CÐ=Ð=ÐQ，ADP C\Ð=Ð，不合题意，AP AD\¹；当DA DP=时，DAP APD BÐ=Ð=Ð，C CÐ=ÐQ，BCA ACP\D D∽，\BC ACAC CP=，即121010CP=，解得：253CP=，25111233BP BC CP\=-=-=，综上所述：当APDD为等腰三角形时，BP的长为2或113．。
2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之相似三角形中的一线三等角模型(含解析)
（1）连接AP、AQ、PQ，试判断△APQ的形状，并说明理由。
（2）当t=1秒时，连接AC，与PQ相交于点K.求AK的长。
（3）当t=2秒时，连接AP、PQ,将∠APQ逆时针旋转，使角的两边与AB、AD、AC分别交于点E、N、F，连接EF.若AN=1,求S△EPF.
【例2】如图，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中点，∠EDF=∠B，
求证：△BDE∽△DFE
【例3】如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；
（1）求证：△ABP∽△PCM；
（2）设BP=x，CM=y．求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域．
A、20 B、20 C、15 D、15
10、抛物线 可以由抛物线 平移得到，则正确的平移过程是（）。
A、先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B、先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C、先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D、先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
2、填空题（本题有6小题，每小题3分，满分18分。）
11、在平面直角坐标系中，点P（5，-3）关于原点对称点 的坐标是。
12、某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则所列方程是。
13、二次函数 的顶点坐标是。
14、已知关于x方程 有两个实数根，则k的取值范围是。
15、已知二次函数 ，则该抛物线与x轴的交点为，当y＜0时，自变量x的取值范围是。
(完整版)几何模型：一线三等角模型
一线三等角模型一。
一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼,“K形图",“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二. 一线三等角的分类全等篇三、“一线三等角”的性质1。
一般情况下，如图3—1,由N 仁Z2=Z3，易得△AECs^BDEo2. 当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图3.中点型“一线三等角 如图3—2,当Z1=Z2=Z3,且D 是BC 中点时，△BDEs^CFDs^DFE 。
4。
“中点型一线三等角“的1如图3—4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，ZBOC 二90。
+A BAC 这是内心的^2 性质，反之未必是内心.在图3-4（右图）中，如果延长BE 与CF ，交于点P,则点D 是APEF 的旁心.图3—5其实这个第4图，延长DC 反而好理解•相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同 侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用1•“一线三等角”应用的三种情况.图3-1图3-3图3-4+Ja。
图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b。
图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c・图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题。
体会:感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2。
在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在x轴或y轴（也可以是平行于x轴或y轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段。
在DC的延檢銭上截眼匚E二J3•构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似1IJttnZAEP=aaZPFB=啦-工上则以’唾二ZPFB=a二ZAPE』所I^APAEwABPF.在CP±WCE=则曲厶斗EOunZBFD=⑶“则ZAEC-ZBFD=ZAPB•所I^APAE«ABPF・坐标系中，要讲究“线"的特殊性如图3—6,线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角（完整版）几何模型：一线三等角模型当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过C、D两点作直线I的垂线是必不可少的。
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一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展CB EDA共 享 性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OC2=OA•OE．2．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E．下列结论：①AD2=AE•AB；②3.6≤AE＜10；③当AD=2时，△ABD≌△DCE；④△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5．其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）3．已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB=∠ABC．求证：（1）DB2=DE•DA；（2）∠DCE=∠DAC．4．已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：BE2=EF•EG．5．如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FD2=FB•FC．6．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．7．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC与AB边上的高，求证：BC=2DE．8．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE=120°．（1）图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；（2）若DB=2，CE=6，求BC的长．9．（已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．求证：（1）△ABE∽△DCA；（2）BC2=2BE•CD．10．如图，在等边△ABC中，边长为6，D是BC边上的动点，∠EDF=60°．（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，CF=3时，求BE的长．11．（1）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=∠ABC．①若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；②若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD的边长为5（如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90度．当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）．13．已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q．①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当CE=1时，写出AP的长．（不必写解答过程）14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF．（1）求证：△MEF∽△BEM；（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EF⊥CD，求BE的长．15．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点．（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当时，求BP的长．16．如图所示，已知边长为3的等边△ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边△EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，（1）写出图中与△BEF相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）若AE=1，试求△GMN的面积．17．如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点（与A、D不重合），过点P作PE ⊥CP交直线AB于点E，设PD=x，AE=y，（1）写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围；（2）如果△PCD的面积是△AEP面积的4倍，求CE的长；（3）是否存在点P，使△APE沿PE翻折后，点A落在BC上？证明你的结论．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF⊥DE交射线AC于点F．（1）求AC和BC的长；（2）当EF∥BC时，求BE的长；（3）连接EF，当△DEF和△ABC相似时，求BE的长．19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DF⊥DE，DF与射线BC相交于点F．（1）如图2，如果点D是边AB的中点，求证：DE=DF；（2）如果AD：DB=m，求DE：DF的值；（3）如果AC=BC=6，AD：DB=1：2，设AE=x，BF=y，①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；②以CE为直径的圆与直线AB是否可相切？若可能，求出此时x的值；若不可能，请说明理由．20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作∠DEF=90°，EF交射线BC于点F．设BE=x，△BED的面积为y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切，求线段BE的长；（3）如果以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，求△BED的面积．21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=4，tanC=，∠ADC=∠DAB=90°，P是腰BC上一个动点（不含点B、C），作PQ⊥AP交CD于点Q．（图1）（1）求BC的长与梯形ABCD的面积；（2）当PQ=DQ时，求BP的长；（图2）（3）设BP=x，CQ=y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域．1.解答：证明：∵AD∥BC，∴=，又BE∥CD，∴=，∴=，即OC2=OA•OE．2. 解答：解：①∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠ADE=∠B∴∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACD，∴=，∴AD2=AE•AB，故①正确，②易证得△CDE∽△BAD，∵BC=16，设BD=y，CE=x，∴=，∴=，整理得：y2﹣16y+64=64﹣10x，即（y﹣8）2=64﹣10x，∴0＜x≤6.4，∵AE=AC﹣CE=10﹣x，∴3.6≤AE＜10．故②正确．③作AG⊥BC于G，∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=，∵BC=16，∴AG=6，∵AD=2，∴DG=2，∴CD=8，∴AB=CD，∴△ABD与△DCE全等；故③正确；④当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC=∠AED，∵∠AED=90°，∴∠ADC=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，∴∠ADE=∠B=α且cosα=，AB=10，BD=8．当∠CDE=90°时，易△CDE∽△BAD，∵∠CDE=90°，∴∠BAD=90°，∵∠B=α且cosα=．AB=10，∴cosB==，∴BD=．故④正确．故答案为：①②④．3. 解答：证明：（1）在△BDE和△DAB中∵∠DEB=∠ABC，∠BDE=∠ADB，∴△BDE∽△ADB，∴，∴BD2=AD•DE．（2）∵AD是中线，∴CD=BD，∴CD2=AD•DE，∴，又∠ADC=∠CDE，∴△DEC∽△DCA，∴∠DCE=∠DAC．4. 解答：证明：连接CE，如右图所示，∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD是∠BAC的角平分线，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，又∵∠ABC=∠ACB，∴∠ABC﹣∠EBC=∠ACB﹣∠ECB，即∠ABE=∠ACE，又∵CG∥AB，∴∠ABE=∠CGF，∴∠CGF=∠FCE，又∠FEC=∠CEG，∴△CEF∽△GEC，∴CE：EF=EG：CE，即CE2=EF•EG，又CE=BE，∴BE2=EF•EG．5. 解答：证明：连接AF，∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠CAD，又EF为AD的垂直平分线，∴AF=FD，∠DAF=∠ADF，∴∠DAC+∠CAF=∠B+∠BAD，∴∠CAF=∠B，∵∠AFC=∠AFC，∴△ACF∽△BAF，即=，∴AF2=CF•BF，即FD2=CF•BF．6. 解答：解：（1）∵∠APD=∠C=90°，∠A=∠A，∴△ADP∽△ABC，∴==，∵∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP，∴△EPD∽△EAP．∴==．∴AE=2PE．（2）由△EPD∽△EAP，得==，∴PE=2DE，∴AE=2PE=4DE，作EH⊥AB，垂足为点H，∵AP=x，∴PD=x，∵PD∥HE，∴==．∴HE=x．又∵AB=2，y=（2﹣x）•x，即y=﹣x2+x．定义域是0＜x＜．另解：由△EPD∽△EAP，得==，∴PE=2DE．∴AE=2PE=4DE．∴AE=×x=x，∴S△ABE=×x×2=x，∴=，即=，∴y=﹣x2+x．定义域是0＜x＜．（3）由△PEH∽△BAC，得=，∴PE=x•=x．当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°．（i）当∠BEP=90°时，=，∴=．解得x=．∴y=﹣x××5+×=．（ii）当∠EBP=90°时，同理可得x=，y=．7. 解答：证明：∵BD、CE分别是AC与AB边上的高，∴∠BEC=∠BDC，∴B、C、D、E四点共圆，∴∠AED=∠ACB，而∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴；∵BD⊥AC，且∠A=60°，∴∠ABD=30°，AD=，∴BC=2DE．8. 解答：解：（1）有△DAE∽△DBA∽△ACE．∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．∴∠D+∠DAB=60°，∠E+∠CAE=60°．∵∠DAE=120°，∴∠DAB+∠EAC=60°．∴∠D=∠CAE，∠E=∠DAB．∵∠D=∠D，∠E=∠E，∴△DAE∽△DBA∽△ACE．（2）∵△DBA∽△ACE，∴DB：AC=AB：CE．∵AB=AC=BC，DB=2，CE=6∴BC2=DB•CE=12，∵BC＞0，∴BC=2．9. 解答：证明：（1）在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C=45°．∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠DAE=45°，∴∠BAE=∠BAD+45°．而∠ADC=∠BAD+∠B=∠BAD+45°，∴∠BAE=∠CDA．∴△ABE∽△DCA．（2）由△ABE∽△DCA，得．∴BE•CD=AB•AC．而AB=AC，BC2=AB2+AC2，∴BC2=2AB2．∴BC2=2BE•CD．10. 解答：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠EDF=60°，∴∠BED+∠EDB=∠EDB+∠FDC=120°，∴∠BED=∠FDC，∴△BDE∽△CFD；（2）解：由（1）知△BDE∽△CFD，∴=，∵BC=6，BD=1，∴CD=BC﹣BD=5，∴=，解得BE=．11. 解答：解：（1）①∵∠APQ+∠CPQ=∠B+∠BAP，∠APQ=∠ABC，∴∠BAP=∠CQP．又∵AB=AC，∴∠B=∠C．∴△CPQ∽△BAP．∴．∵AB=AC=5，BC=8，BP=6，CP=8﹣6=2，∴，．②若点P在线段CB上，由（1）知，∵BP=x，BC=8，∴CP=BC﹣BP=8﹣x，又∵CQ=y，AB=5，∴，即．故所求的函数关系式为，（0＜x＜8）．若点P在线段CB的延长线上，如图．∵∠APQ=∠APB+∠CPQ，∠ABC=∠APB+∠PAB，∠APQ=∠ABC，∴∠CPQ=∠PAB．又∵∠ABP=180°﹣∠ABC，∠PCQ=180°﹣∠ACB，∠ABC=∠ACB，∴∠ABP=∠PCQ．∴△QCP∽△PBA．∴．∵BP=x，CP=BC+BP=8+x，AB=5，CQ=y，∴，即（x≥8）．（2）①当点P在线段BC上，∵∠APQ=90°，∴∠APB+∠QPC=90°，∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠PAB=∠QPC，∵∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△PCQ，∴AB：PC=BP：CQ，即5：（5﹣BP）=BP：1，解得：，或，②当点P在线段BC的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，同理可得：△ABP∽△PCQ，∴AB：PC=BP：CQ，∴5：（BP﹣5）=BP：1，解得：，③当点P在线段CB的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，同理可得：△ABP∽△PCQ，∴AB：PC=BP：CQ，∴5：（BP+5）=BP：1，解得：．13.解答：解：（1）∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC．∴∠A=∠D∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A∴∠ABP=∠DPC，∴△ABP∽△DPC∴，即：解得：AP=1或AP=4．（2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ∴，即：，∴（1＜x＜4）．②当CE=1时，∵△PDQ∽△ECQ，∴，或，∵，解得：AP=2或（舍去）．14. 解答：证明：（1）在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C，∵∠BMF=∠EMB+∠EMF=∠C+∠MFC，又∵∠EMF=∠B，∴∠EMB=∠MFC，∴△EMB∽△MFC，∴，∵MC=MB，∴，又∵∠EMF=∠B，∴△MEF∽△BEM；（2）解：若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，则有两种情况：①BM=ME，那么根据△MEF∽△BEM，∴=，∴=，即EF=MF根据第（1）问中已证△BME∽△MFC，∴=，即MF=FC，∴∠FMC=∠C，又∵∠B=∠C，∴∠FMC=∠B，∴MF∥AB延长BA和CD相交于点G，又点M是BC的中点，∴MF是△GBC的中位线，∴MF=GB，又∵AD∥BC，∴△GAD∽△GBC，∴===，∴=1，即AG=AB=6，∴GB=12，∴MF=EF=6②BM=BE=3，∴点E是AB的中点，又△MEF∽△BEM，∴==1，即MF=ME，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=（AD+BC）=（3+6）=；（3）∵EF⊥CD，∴∠EFC=90°，△MEF∽△BEM，∠MFE=∠MFC=∠BME=45°，解一：过点E作EH⊥BC，则可得△EHM等腰直角三角形，故EH=MH，设BE=x，则BH=，EH=MH=，，∴BE=解二：过点M作MN⊥DC，MC=3，NC=．MN==FN，FC=﹣2由△MEF∽△MFC有，即，得BE=．15. 解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B=∠C．BE=2，BP=2，CP=4，CD=4．∴．∴△BEP∽△CPD．（2）解：①∵∠B=∠C=∠EPF∴180﹣∠B=180﹣∠EPF=∠BEP+∠BPE=∠BPE+∠CPF∴∠BEP=∠FPC，∴△BEP∽△CPF，∴．∴．∴（2＜x＜4）．②当点F在线段CD的延长线上时，∵∠FDM=∠C=∠B，∠BEP=∠FPC=∠FMD，∴△BEP∽△DMF．∵，∴．∵，∴x2﹣3x+8=0，△＜0．∴此方程无实数根．故当点F在线段CD的延长线上时，不存在点P使；当点F在线段CD上时，同理△BEP∽△DMF，∵，∴．∵△BEP∽△CPF，∴．∴．∴．∴x2﹣9x+8=0，解得x1=1，x2=8．由于x2=8不合题意舍去．∴x=1，即BP=1．∴当时，BP的长为1．16. 解解：（1）△BEF∽△AME∽△CFN∽△GMN；答：证明：（2）在△BEF与△AME中，∵∠B=∠A=60°，∴∠AEM+∠AME=120°，∵∠GEF=60°，∴∠AEM+∠BEF=120°，∴∠BEF=∠AME，∴△BEF∽△AME；解：（3）（i）当点E在线段AB上，点M、N在线段AC上时，如图，∵△BEF∽△AME，∴BE：AM=BF：AE，即：x：AM=2：（3﹣x），∴AM=，同理可证△BEF∽△CFN；∴BE：CF=BF：CN，即：x：1=2：CN，∴CN=，∵AC=AM+MN+CN，∴3=+y+，∴y=（1≤x≤3）；（ii）当点E在线段AB上，点G在△ABC内时，如备用图一，同上可得：AM=，CN=，∵AC=AM+CN﹣MN，∴3=+﹣y，∴y=﹣（0＜x≤1）；（iii）当点E在线段BA的延长线上时，如备用图二，AM=，CN=，∵AC=MN+CN﹣AM，∴3=y+﹣，∴y=（x＞3）；综上所述：y=﹣（0＜x≤1），或∴y=（x≥1）；（4）（i）当AE=1时，△GMN是边长为1等边三角形，∴S△GMN=×1×=；（1分）（ii）当AE=1时，△GMN是有一个角为30°的Rt△，∵x=4，∴y==，NG=FG﹣FN=4×﹣1×=，∴S△GMN=××=．17. 解（1）解：∵PE⊥CP，∴可得：△EAP∽△PDC，∴，答：又∵CD=2，AD=3，设PD=x，AE=y，∴，∴y=﹣，0＜x＜3；（2）解：当△PCD的面积是△AEP面积的4倍，则：相似比为2：1，∴，∵CD=2，∴AP=1，PD=2，∴PE=，PC=2，∴EC=．（3）不存在．作AF⊥PE，交PE于O，BC于F，连接EF∵AF⊥PE，CP⊥PE∴AF=CP=，PE=，∵△CDP∽△POA ∴=，OA=，若OA=AF =，3x2﹣6x+4=0 △=62﹣4×4×3=﹣12 x无解因此，不存在．18. 解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°∵，∴设AC=3k，BC=4k，∴AB=5k=5，∴k=1，∴AC=3，BC=4；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H．易得△EHB∽△ACB设EH=CF=3k，BH=4k，BE=5k；∵EF∥BC∴∠EFD=∠FDC∵∠FDE=∠C=90°∴△EFD∽△FDC∴∴FD2=EF•CD，即9k2+4=2（4﹣4k）化简，得9k2+8k﹣4=0解得（负值舍去），∴；（3）过点E作EH⊥BC，垂足为H．易得△EHB∽△ACB设EH=3k，BE=5k∵∠HED+∠HDE=90°∠FDC+∠HDE=90°∴∠HED=∠FDC∵∠EHD=∠C=90°∴△EHD∽△DCF ∴，当△DEF和△ABC相似时，有两种情况：1°，∴，即解得，∴2°，∴，即解得，∴．综合1°、2°，当△DEF和△ABC相似时，BE的长为或．19. 解答：（1）证明：如图2，连接DC．∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=∠B=45°，∵点D是AB中点，∴∠BCD=∠ACD=45°，CD=BD，∴∠ACD=∠B=45°．∵ED⊥DF，CD⊥AB，∴∠EDC+∠CDF=90°，∠CDF+∠FDB=90°，∴∠EDC=∠FDB，∴△CED≌△BFD（ASA），∴DE=DF；（2）解：如图1，作DP⊥AC，DQ⊥BC，垂足分别为点Q，P．∵∠B=∠A，∠APD=∠BQD=90°，∴△ADP∽△BDQ，∴DP：DQ=AD：DB=m．∵∠CPD=∠CQD=90°，∠C=90°，∴∠QDP=90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴∠QDF=∠PDE，∵∠DQF=∠DPE=90°，∴△DQF∽△DPE，∴DE：DF=DP：DQ，∴DE：DF=DP：DQ=AD：DB=m；（3）解：①如备用图1，作EG⊥AB，FH⊥AB，垂足分别为点G、H．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，∴AB=，∵AD：DB=1：2，∴AD=，DB=．由∠AGE=∠BHF=90°，∠A=∠B=45°，可得AG=EG=，BH=FH=，GD=，HD=，易证△DGE∽△FHD，∴，∴，∴y=8﹣2x，定义域是0＜x≤4．②如备用图2，取CE的中点O，作OM⊥AB于M．可得CE=6﹣x，AO=，OM=．若以CE为直径的圆与直线AB相切，则，解得，∴当时，以CE为直径的圆与直线AB相切．20. 解解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=6，，∴BC=8，AB=10，答：∴CD=DB=4．过点E作EH⊥CB于H．则可求得EH=x．∴y=×4×x=x（0＜x≤或5＜x≤10）．（2）取AE的中点O，过点O作OG⊥BC于G，连接OD．则OG=OB=×=（10+x），GD=CD﹣CG=4﹣（10﹣x）=x，∴OD=．若两圆外切，则可得BC+AE=OD，∴（BC+AE）2=4OD2，∴（8+10﹣x）2=4[（10+x）2+x2] 解得x=．若两圆内切，得|BC﹣AE|=OD，∴（BC﹣AE）2=4OD2，∴（8﹣10+x）2=4[（10+x）2+x2]解得x=﹣（舍去），所以两圆内切不存在．所以，线段BE的长为．（3）由题意知∠BEF≠90°，故可以分两种情况．①当∠BEF为锐角时，由已知以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，又知∠EBF=∠DBE，∠BEF＜∠BED，所以∠BEF=∠BDE．过点D作DM⊥BA于M，过E作EH⊥BC于H．根据等角的余角相等，可证得∠MDE=∠HDE，∴EM=EH．又EM=MB﹣EB=﹣x，由（1）知：EH=x，∴，∴x=2．∴y=×2=．②当∠BEF为钝角时，同理可求得x﹣=x，∴x=8．∴y=×8=．所以，△BED的面积是或．21. 解答：解：（1）作BH⊥CD，垂足为H，则四边形ABHD为矩形；∴BH=DA=4，DH=AB=2在Rt△BCH中，，∴，（1分）；又CD=CH+DH=5，∴S梯形ABCD=；（2）连接AQ，由DQ=PQ，可知△ADQ≌△APQ，AP=AD=4；作PE⊥AB交AB的延长线于点E，（1分）在Rt△BPE中，，令BE=3k，PE=4k．则在Rt△APE中，AP2=AE2+PE2，即42=（2+3k）2+（4k）2，解得：；∴；（3）作PF⊥CD交CD于点F，由∠AEF=∠EFD=∠APQ=90°，可得：△AEP∽△PFQ；∴，即，化简得：；又，∴；定义域为（0＜x＜5）．。