三角形不等式等号成立的条件
三角形不等式(含练习题)
三角形不等式的应用根据两点之间线段最短导出了三角形任意两边之和大于第三边，我们把这个关系叫做三角形不等式.这一定理在证明一些结构特别的不等式中有广泛应用.下面我们举几个例子来说明这个定理的应用.类型一：证明形如a b c +>型的不等式例1、已知x y z 、、证明:作角∠120AOB =，∠120BOC =，则∠120AOC =，设x y z OA OB OC ===、、，由余弦定理：==又OA OB OC,+>所以原不等式成立.例2、已知x y z 、、证明:在空间直角坐标系中，取A(,0,0)B 0,0)C 00)x y z 、(,、(,,，则BC C A ==又AB BC C,A +>所以原不等式成立.类型二：证明形如a b c d ++>型的不等式例3、已知x y z 、、y z).++证明：以x y z ++为边作正方形，).BC CD AB x y z =++≥++DAx yzx y z类型三：证明形如a b c d e +++>型的不等式例4、设01,01x y <<<<求证：≥证明：左边即表示动点(,)P x y 到四个定点(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C 的距离之和. 另由题设知，P 在边长为1的正方形OABC 的内部.由()()OP BP CP AP OB AC +++≥+=.应当注意，有些不等式从表面上看很难用三角形不等式来证明，似乎只能用代数方法证明，但是如果仔细分析，也可能用上三角形不等式，一般说来，用三角形不等式证明要比代数方法简单的多，但是其构造的难度也很大，需要一些很技巧的变形，例如配方变形法，凑两点间距离公式等.例5、已知正数x y 、满足1x y +＝， 2.≥分析：用代数法可以使用分析法，并随时利用1x y +＝这个条件进行化简.证明：2,只要证22224,x y y ++++≥x即证22224,x y y ++++x即证22224,x y y ++++≥x即证22[()2]x y xy x y +-+++注意到1x y +＝，即证2[12]14,xy -++即证14,xy +即证224(4()52)1816(),xy xy xy xy -+≥++即证287,xy -≥-1,4xy ≤而21(),24x y xy +≤=故14xy ≤成立. 所以原不等式成立.如果用几何法，开始要用消元法，中间利用两点间距离公式配凑，最后也用到了三角形不等式：证明：左边===设(,0)P x ，1(,)44A ，3(,44B ，则|||)PA PB =+左边，1(4A 关于x 轴的对称点为11(,4A ， 由对称及三角形不等式知1||||||PA PB A B +≥，当P 为1A B 与x 轴交点时取等号.1A B ==2.≥左边即原不等式成立比较两种解法，可以看出利用三角形不等式证明运算量较小，但是思考的难度是很大的. 但是，我们仔细思考可以发现，编拟这些题目时，命题者大都是从几何的角度入手.因此，我们在这里研究一下几何的证明方法，对于走进命题人的思维是很有好处的，希望同学们在解题过程中多进行一些数形结合方面的思考.下面的练习可以利用三角形不等式来证明或求解：1、求y =.（答案：5）2、已知a b ≠，求证：||.a b <-3、 求证：01≤<.4、已知x y z 、、为正数，求证：（1>（2）|<。
2020年上海新高一新教材数学讲义-专题08 基本不等式及其应用教师版
专题08 基本不等式及其应用（平均值不等式及其应用，三角不等式）知识梳理一、基本不等式：1.若,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号2.（1）“积定和最小”：ab b a 2≥+⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值（2）“和定积最大”：22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S 。
3.若,a b R +∈2a b+≥ 加权平均》算术平均》几何平均二、平均值不等式：若a 、b 为正数，则2a b+≥a b =时取等号变式：222()22a b a b ab ++≥≥推广：123,,,,n a a a a 是n 个正数，则12na a a n+++称为这n 个正数的算术平均数，称为这n个正数的几何平均数，它们的关系是：12n a a a n ++⋅⋅⋅+≥12n a a a ===时等号成立。
三、三角形不等式如果,a b 是实数，则a b a b a b -±+≤≤ 注：当b a ,为复数或向量时结论也成立. 推论1：1212n n a a a a a a ++++++≤推论2：如果a b c 、、是实数,那么a c a b b c --+-≤,当且仅当()()0a b b c --≥时,等号成立.例题解析一、简单基本不等式问题【例1】条件“0>a 且0>b ”是结论“ab ba ≥+2”成立的 条件。
【难度】★【答案】充分非必要条件 【例2】已知正数y x ,满足12=+y x ，求yx 11+的最小值。
判断下述解法正确与否，若不正确，请给出正确的解法，若正确，则说明理由。
y x xyxy y x xy y x y x 112422221,2110,0+∴≥∴≥+=≥+∴>> 的最小值为24【难度】★【答案】不正确，忽略了前两个小不等式中的取等条件， 当时，即，取得最小值。
不等式证明(陈老师)_
不等式证明一、不等式证明的方法与技巧 不等式证明的基础是对于任意实数a ,0≥a .常用方法有:比较法(作差比较、作商比较) 、分析法、综合法、放缩法、反证法、换元法、数学归纳法等等,证明方法因题而异,一题可以多种方法,能够显示选手的思维能力.例1 设a ,b ,c 是正实数,求证:))()(b (bc c b a b a c a c a -+-+-+≥.分析与解 设a ,b ,c 中a 最大,若a ≤+c b ,则不等式显然成立.若a c >+b ,则可以应用二元均值不等式))((b c a c b a -+-+[]ab c a c b a =-++-+≤)()(21同理ba cbc a b ≤-+-+))((,cb ac a b c ≤-+-+))((.以上三式相乘,即证.例2已知+∈Rd c b a ,,,,且4=+++d c b a .求证:42222≤+++bc d da c da b bc a .证明bc d da c da b bc a 2222+++)()(bd ac cd bd ac ab +++=))((bd ac cd ab ++=2)2(bd ac cd ab +++≤[]4))((2c bd a ++=4)2(41d c b a +++≤4=.例3 设a ，b ，c 为正实数，且1=++c b a ，证明:cabc ab bb ca a a bc c c ab ++≥++++++++1221221221222.证明 因1=++c b a 及abb a 222≥+,所以2)(ca bc ab ++abc ca b bc a a c c b b a 222222222222+++++=)(2)(22222c b a abc b a c b a +++++=abcb a abc 22222++≥.因此22)(221ca bc ab abc c ab ++≥++,同理 22)(221ca bc ab bca a bc ++≥++,22)(221ca bc ab cab b ca ++≥++,以上三式相加即证. 例4 若,0,0>>>z y x ,且1=xyz ,求证:21111111<+++++<zy x . 证明 任取0>a ,令by c ax b ==,,由1=xyz 得,,,caz b c y a b x ===从而有 z y x +++++111111ca cc b b b a a +++++=c b a c c b a b c b a a ++++++++>1=,又 c a c c b b b a a +++++2a =+++++++++++<cb c b c b a b a c b a c a ,所以 21111111<+++++<zy x . 例5 设cb a ,,是正实数,并且1=abc ,证明:1555555≤++++++++caa c cabc c b bc ab b a ab .分析与解 注意条件不等式的证明,充分利用abc=1,观察不等式左边各式特征,找到一个放缩式,由)(2255b a b a b a +-+))((3322≥--=b a b a有)(2255b a b a b a +≥+,所以cb a b a cb a ab b a ab 22552255++=++cb a b a b a cb a 222222)(++≤cb a c++=.以下略.例6 设c b a ,,是三角形三边,求证:)()()(222222b ac a c b c b a +++++abcc b a 2333+++>.证法一 作差变形,因式分解,注意到0>-+c b a ,>-+a c b ,>-+b c a .证法二 欲证不等式等价于acbc a bc c a b 22222222-++-+12222>-++abc b a⇔1cos cos cos >++C B A .这里C B A ,,分别为题设三角形三边 c b a ,,所对应的内角,应用三角变换,则可证.证法三 由B cC b a cos cos ⋅+⋅=,A c C a b cos cos ⋅+⋅=,于是)cos (cos cos )(B A c C b a b a +⋅++=+,即有 b a B A c C +++=)cos (cos cos 1,ba BA c C ++=-cos cos cos 1,1cos 1cos cos >+=-+cba C B A ,也即1cos cos cos >++C B A ,化归为解法二的最后不等式.C B A cos cos cos ++)cos(cos cos B A B A +-+=12cos 22cos 2cos 22++--+=B A B A B A)2cos 2(cos 2cos 21BA B A B A +--++= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=)2sin(2sin 22sin 21B A C12sin 2sin 2sin 41>+=CB A .例7 △ABC 的三边c b a ,,满足条件1=++c b a ,证明:3718)(5222≥+++abc c b a .证明 因为)(2)(2222ca bc ab c b a c b a ++-++=++)(21ca bc ab ++-=,所以,欲证的不等式等价于 274)(95≤-++abc ca bc ab .构造一个辅助函数）（c x b x a x x f ---=))(()(.一方面xca bc ab x c b a x x f )()()(23+++++-= abc-,所以)(95)95()95()95(23ca bc ab f +++-=abc-；另一方面 因c b a ,,是三角形的三条边长，所以21,,0<<c b a ，cb a ---95,95,95 均为正数,利用平均不等式, 有)95)(95)(95()95(c b a f ---=7298)95()95()95(2713=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-≤c b a ,所以23)95)(()95(c b a ++-729895)(≤-+++abc ca bc ab ,即274)(95<-++abc ca bc ab .本题我们巧妙地构造了一个辅助函数)(x f ,通过从两个方面来考察)95(f ，使问题得到了证明.构造辅助函数是数学中经常使用的方法,主要是通过构造函数,把问题转化、进而对所作函数的性质进行研究,从而达到目的. 二、平均值不等式n i a i ,,2,1,0 =>, na a a A nn +++=21,n nn a a a G 21=,nn a a a n H 11121+++=,na a a Q nn 22221+++=,则nn n n Q A G H ≤≤≤.不等式中等号成立成立的条件是na a a === 21.例8 以知,,>c b a ,且1=++c b a ,求证:34113113113=+++++c b a .证明 应用 33222cb ac b a ++≤++.略. 例9 已知0,,>c b a ,且1111=+++++cc b b a a ,求证:12111222≥++cb a .证明 由已知,得 1111111111=+++++c b a ，令cz by ax 111,111,111+=+=+=,则1=++z y x ,由111-=x a ,111-=y b ,111-=zc ,得zz y y x x abc -⋅-⋅-=1111zyx y z x x z y +⋅+⋅+=32222=⋅⋅≥zxy y xz x yz ,从而32-≤abc ,得1231113222222≥≥++cb a cb a .例10 已知0,,>c b a ,且1=++c b a ,求证:427)1(1)1(1)1(1≥+++++a c c b b a .分析与解31===c b a 时,不等式中等号成立.此时49)311(311)1(1=+=+b a ,由二元均值不等式可得2916)1(81)1(1≥+++b a b a ， 2916)1(81)1(1≥+++c b c b ,2916)1(81)1(1≥+++a c a c ，以上三式相加,整理可得)(1681227ab ca bc c b a +++++-≥左)1(1681227ab ca bc +++-=,而 31)(312=++≥++c b a ab ca bc ,所以427)311(1681227=+-≥左.例11 已知)2,0(πα∈N n ∈,求证: ααα12sin1)sin 1(sin )12(+-<-+n n n .分析与解 只须证αααnn n sin )12(sin 1sin 112+>--+.αααn22sin sin sin 1++++= 左,应用均值不等式即可证.例121>n ,Nn ∈,证明:nn n nn n n C C C 1212-⋅≥+++ .分析与解 由二项式定理知1221-=+++nn nn n C C C ,又12121222221210-=--=++++-n nn ,应用Gn A n ≥即可证.例13 若n S n 1211+++= ,证明:（1）n nS n n n +<+1)1(；（2）nn S n nn -<---11)1(.分析与解nn n n n n n S n n 1342321211++++=+++=+n n n 134232+⋅⋅⋅⋅>nnn n 111）（+=+=,以下略.三、柯西不等式 设n i R b R a i i ,,2,1,, =∈∈,则22211)(n n b a b a b a +++))((2222122221n n b b b a a a ++++++≤ ,等号当且仅当i i b a λ=，（λ为常数,n i ,,2,1 =）时成立.例14 设0,,>c b a 且 1=abc ,试证:23)(1)(1)(1333≥+++++b a c c a b c b a .证法一 应用柯西不等式推论由1=abc ,得 ac ab cb c b a +=+223)(1,从而原不等式等价于23222222≥+++++ab ca b a ba bc a c ac ab c b , ）（）（）（）（左cb ca ba bc ac ab ab ca bc +++++++≥2232)(3)(2132=⋅≥++=abc ab ca bc .证法二 （平均值不等式）由xy y x 4422≥+,有42y x y x -≥ )0(>y ,得)(13c b a +))(12ac ab a +=b c a bc a 11(41111)1(2+-≥+=. 同理)11(411)(13ca b a c b +-≥+,)11(411)(13ba cb ac +-≥+,三式相加得23123)111(213=≥++≥abc c b a 左.例15 已知N n ∈,且2≥n ,求证:22n 211-n 21413121174<-++-+-< .证明 先变形n 211-n 214131211-++-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++=n 2141212)n 21211( )n 1211()n 2131211(+++-+++= n 212111++++= n n ,所以不等式等价于22n 21211174<++++< n n .由柯西不等式推论有nn n n n n 2)2()1(n 2121112+++++>++++ 74132≥+=n,又由柯西不等式有2)n 212111(+++++ n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++++<222222)2(1)2(1)1(1)111(n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-++++++<n n n n n n n 2)12(1)2)(1(1)1(121)211(=-=n n n ，22212111<+++++∴n n n ,故原不等式成立.例16 设n 是大于1的自然数,求证:3121221nC n C C n n nn n -<⋅++⋅+⋅ .证明 当n=2时,有22<, 当n=3时,有31<,所以下面证明中可设n ≥4. 联想到柯西不等式n nnnCn C C ⋅++⋅+⋅ 2121212121222)(21n nnn C C C n ++++++≤ ）（2121)12(6)12)(1(-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=n n n n .于是若能证得312)12(6)12)(1(nn n n n n ⋅<-⋅++- ①即可，而①式等价于nn n n n 23)12)(132(22⋅<-++ ②,因为n ≥4，故1323,13,32222++>+≥>n n n n n n n ,所以②成立,n=2,3时已检验原不等式成立. 所以对1>n 的自然数有3121221nC n C C n n nnn⋅<⋅++⋅+⋅- .例17 设n x x x ,,2 为正实数,证明:n x x x x x x x x nn <+++++++++22122212211111 .证明 由柯西不等式知∑∑==+++≤+++ni i ini iix x x n x x x 12221221221)1()1( ,而对+∈Nk ,均有22212)1(k kx x x +++)1)(1(2212121212k k k kx x x x x x +++++++≤--2212121211111kk k x x x x x ++++-+++=-- .于是∑∑=-=+++-+++≤+++n i ii ni i i x x x x n x x x 1221212121221)1111()1( 1111221<+++-=nx x . 所以,由①知nx x x ni ii∑=<+++12211 .例18 已知正实数c b a ,,满足1=++ca bc ab ,证明:2143131211222<+++++c b a .证明 设2tan ,2tan ,2tan Cc B b A a === ),,0(π<<C B A .由条件式1=++ca bc ab ,有12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =⋅+⋅+⋅A C C B B Aπ=++C B A ,于是23cos cos cos ≤++C B A .利用柯西不等式有2cos32cos 22cos 131211222CB A c b a ++=+++++)2cos 2cos 2)(cos 321(222222C B A ++++≤)2cos cos cos 3(14CB A +++=2143)2233(14=+≤.因为第一个不等式等号成立的条件是32cos22cos 12cos C B A ==,第二个不等式等号成立的条件是3π===C B A ,所以两个等号不可能同时成立，故2143131211222<+++++c b a .例19 设+∈Rd c b a ,,,,证明:3232323232≥+++++++++++c b a d b a d c a d c b d c b a .证明∑∑∑∑++≥++=++=)32()()32(3222d c b a a d c b a ad c b a 左32424)(22=+==∑∑∑∑∑ababa aba ,所以,原不等式成立. 此题推广 设+∈R x i),,2,1(n i =,且i i n x x =+)1(i n i -≤≤),则12)(20121-≥-+++∑=-+++n x i n x x x n i n i i i i .说明:柯西不等式的灵活应用,不仅在于如何找出两组符合条件的数组,它们能符合公式中的项数、次数、系数和元素等对应的特征,更重要的是对于它的几种常见的变形的理解,以及它与其他不等式的结论的联合应用.四、综合例子例20 设+∈R z y x ,,,且1=++z y x ,证明:∑≥-81)1(24y y x .证明)1()1()1(242424x x zz z y y y x -+-+-=左 )1()1()1()(2222222x x z z y y z y x -+-+-++≥)()()3(33322z y x z y x z y x ++-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≥)(191333z y x ++-=.又 zzy y x x z y x 444333++=++22222222)()(z y x zy x z y x ++=++++≥ 913)(22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≥z y x .所以 8191191=-≥左边.原不等式得证. 例21 已知c b a ,,是正实数,求证:cb a b ac b a a c c b b a ++-+++≥++2222)(4.证明 由2222)(bab a b a +-=-,则b b a b a b a 22)(2-+-=, c c b c b c b 22)(2-+-=, aa c a c a c 22)(2-+-=, 原不等式等价于cb a b a a ac c c b b b a ++-≥-+-+-2222)(4)()()( ①.为证明不等式①，应用柯西不等式推论cb a b ac b a c cb a b ac b a c ++-+-+-≥++-+-+-≥22)()(左cb a b ac b a b a ++-=++-=22)(4)2(.例22 设0,,>c b a 且 8=abc ,证明:34)1)(1()1)(1()1)(1(332332332≥++++++++a c cc b bb a a①.证明 注意到22211)1)(1(12223+=+++-≤++-=+t t t t t t t t ，如果能证明不等式31)2)(2()2)(2()2)(2(222222222≥++++++++a c c c b b b a a ②成立，就可得到待证的不等式. 令2ax =，2by =，2cz =，且使64=xyz ，则不等式②变为31)2)(2()2)(2()2)(2(≥++++++++x z z z y y y x x ③,去分母，展开并化简，得72)()(2≥+++++zx yz xy z y x ④,应用A-G 不等式即可证④.例23 设c b a ,,为三角形的三边长,证明:cabc ab b c a c a c b a c b b c b a c b a a b c a ++≥-+-++-+-++-+-+)()()()()()(444.证明 设x b c a =-+，y c b a =-+，z a c b =-+，则2y x a +=，2z y b +=，2x z c +=，z y x c b a ++=++，于是，所求证的不等式左边等价于)(2)(2)(2444x z x z z y z y y x y x K +++++=,由柯西不等式推论得)(2)(22222222z y x z y x K ++++≥， cabc ab c b a z y x z y x K ++≥++=++≥++≥3)(3)(22222.例24 已知正实数dc b a ,,,满足1=+++d c b a ,证明:81)()(622223333++++≥+++d c b a d c b a .证法一 结论不等式等价于))((8)(4822223333d c b a d c b a d c b a ++++++≥+++3)(d c b a ++++.整理， 得)(393333d c b a +++）（dab cda bcd abc +++≥6[])()(1122222222da cd bc ab a d d c c b b a ++++++++)(2222b d a c d b c a ++++.由均值不等式,得abc c b a ≥++3333， bcddc b ≥++3333，acd d c a ≥++3333， abddb a ≥++3333.以上四式相加,得）（dab cda bcd abc d c b a +++≥+++6)(63333.于是， 只须证明)(333333d c b a +++[])()(1122222222da cd bc ab a d d c c b b a +++++++≥)(2222b d a c d b c a ++++,不妨设d c b a ≥≥≥,则由排序不等式即可证出,其中等号成立,当且仅当41====d c b a .证法二 根据幂平均不等式得6414433333=+++≥+++）（）（d c b a d c b a则81)(23333≥+++d c b a ①由均值不等式得41)(4122222=+++≥+++d c b a d c b a ②由柯西不等式 得3333dc b a +++))((3333d c b a d c b a ++++++=22222)(d c b a +++≥.结合②)(412222d c b a +++≥ ③结合①,③,即得所证不等式. 证法三 显然)1,0(,,,∈d c b a ,下面证明8156)(23-≥-=x x x x f )10(<<x .经整理，知上式等价于01584823≥+--x x x )10(<<x .精品资料 欢迎下载而 0)13()14(15848223≥+-=+--x x x x x , 所以上式成立.于是81848)(5)()()()(=-+++≥+++d c b a d f c f b f a f . 结论得证.例25 m 个互不相同的正偶数和n 个互不相同的正奇数的总和为1987,对于所有的这样的m 与n,问3m+4n 的最大值是多少?证明你的结论.分析 先根据题设条件求得3m+4n 的一个上界,然后举例说明此上界可以达到,从而得到3m+4n 的最大值.解 设m a a a ,,2,1 是m 个互不相同的正偶数,n b b b ,,2,1 是互不相同的正奇数,使得 19872121=+++++++n m b b b a a a ① 这时分别有)1(24221+=+++≥+++m m m a a a m ② 221)12(31nn b b b n =-+++≥+++ ③ 由①,②,③得198722≤++n m m , 因而有 4119875)21(434)21(32222+≤++⋅+≤++n m n m , 即 7949254233≤++n m 由于n m 43+为整数,所以 22143≤+n m .另一方面,当m=27,n=35时198122=++n m m ,且22143=+n m ,故3m+4n 的最大值为221.。
不等式三角公式
不等式三角公式《不等式三角公式》是数学中重要的一部分，它可以帮助人们求解各种类型的三角形不等式问题。
这个不等式是由库伦（Konon）于1830年发明的，从那时起，不等式三角公式就被广泛应用于几何和三角几何中，以证明各种三角形的公式。
不等式三角公式有两个版本，一个叫做“库伦三角公式”，另一个叫做“贝瑞克三角公式”，它们都能够求解三角形中边界角度不等式的问题。
首先，这两个公式都需要三个参数：A，B和C，分别代表三角形的三条边，每条边后面加上一个小写角度值（α，β，γ）表示三角形的三个定角角度。
库伦三角公式用来求解边长A和B两个边长之和大于第三条边长C的不等式问题，即A + B > C。
库伦三角公式定义为：A + B > C的同时必须有α + >。
另一方面，贝瑞克三角公式则是另一种常用的不等式三角公式，它用来求解一种特别情况，即边AB之差小于第三条边长C，即A B < C的问题，贝瑞克三角公式的定义为：A B < C的同时必须有α + >。
不等式三角公式在数学中有着重要的地位，它不仅可以用来求解三角形不等式问题，而且还可以帮助求解相关的几何和三角几何问题。
在几何和三角几何中，不等式三角公式可以使用来求解一些复杂的三角形关系，例如求解三角形内角和外角之和，和内角和外角之差等。
此外，库伦三角公式也可以用来解决圆锥体和正六面体的一些重要的三角形关系问题。
不仅如此，不等式三角公式在日常生活中也有着很多应用，比如在建筑、土木工程、机械制造中，都经常使用到不等式三角公式。
虽然不等式三角公式可以求解一些复杂的三角形问题，但它也有一些局限性，比如，它只能在满足一些特定条件的情况下使用，而且它仅针对于处理等腰三角形的不等式问题有可能会出现错误的结果。
总而言之，不等式三角公式是一个重要的数学工具，它在几何和三角几何中应用十分广泛，也在日常生活中应用较多，但同时也很容易出现误差和错误结果，需要大家注意避免。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a bb b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：222111n nn k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+- 注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233112233=,,,,,,,,,cos ,,cos ,1n n n n n n m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m nm nm n a b a b a b a b =⋅=++++==≤∴++++≤令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===nk k k n k k nk kb a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
3元基本不等式公式
3元基本不等式公式3元基本不等式公式是数学中一种重要的不等式形式，它在解决实际问题和证明数学定理时具有广泛的应用。
本文将围绕着3元基本不等式公式展开，介绍其基本概念、性质和应用领域。
一、基本概念3元基本不等式公式是指形如a+b+c≥3√abc的不等式，其中a、b、c为实数且大于等于0。
这个公式的核心思想是，对于非负数a、b、c，它们的和一定大于等于它们的立方根的乘积。
二、性质分析1. 对称性：3元基本不等式公式具有对称性，即若a、b、c满足不等式，那么b、c、a也满足不等式。
2. 等号成立条件：当且仅当a=b=c时，3元基本不等式公式取等号。
3. 拓展性：3元基本不等式公式可以推广到n元不等式，其中n为正整数。
4. 不等式关系：在3元基本不等式公式中，若a＞b＞c，则a+b＞a+c＞b+c。
三、应用领域1. 几何问题：在解决几何问题中，3元基本不等式公式常常用于证明三角形的不等式关系，如证明三角形的边长之和大于等于两倍的高度之和。
2. 经济学模型：在经济学中，3元基本不等式公式可以用于分析资源分配和生产效率的关系，以及评估不同经济体系的效益差异。
3. 生物学研究：在生物学研究中，3元基本不等式公式可以应用于分析物种数量、生态系统稳定性和物种相互作用的关系。
4. 数学证明：3元基本不等式公式是数学证明中常用的工具之一，可以用于证明诸如柯西不等式、均值不等式等数学定理。
3元基本不等式公式是数学中一种重要的不等式形式，具有对称性、等号成立条件、拓展性和不等式关系等性质。
在几何问题、经济学模型、生物学研究和数学证明等领域都有广泛的应用。
通过研究和运用这个公式，我们可以更好地理解和解决实际问题，推动数学和其他学科的发展。
高中数学基本不等式题型总结
专题 基本不等式【一】基础知识基本不等式：)0,0a b a b +≥>>（1）基本不等式成立的条件： ；（2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号.2.几个重要的不等式（1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>；【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】已知正实数,a b 满足211a b+=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 .【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则8x y xy+的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 .【例6】()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则2212a b +的最小值为 . 【例7】若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则11a b +的最小值为 .【例8】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y+的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．3+．【例9】已知函数()4141x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 .【模块二】“和”与“积”混合型【例1】设,m n R ∈,若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A,与y 轴相交于B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为 .【例2】设,x y R ∈，1,1a b >>，若2x y a b ==，28a b +=，则11x y+的最大值为_______. 【例3】若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值为 .【例4】已知正实数,a b 满足21a b ab ++=，则a b +的最小值为 .【例5】设,m n R ∈，若直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22111x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）（A ）1⎡+⎣ （B ）(),11⎡-∞⋃+∞⎣（C ）2⎡-+⎣ （D ）(),22⎡-∞-⋃++∞⎣【例6】已知1,1x y >>，且11ln ,,ln 44x y 成等比数列，则xy 的最小值为 . 【例7】已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值.【例8】已知22log log 1a b +≥，则39a b+的最小值为 .【例9】下列说法正确的是（ ）A ．函数xx y 2+=的最小值为B ．函数)0(sin 2sin π<<+=x x x y 的最小值为C ．函数xx y 2+=的最小值为D ．函数x x y lg 2lg +=的最小值为 【例10】设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是（ ）A ．10 B。
柯西不等式
柯西不等式柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
其形式有以下几种：二维形式(a^2+b^2)(c^2+ d^2)≥(ac+bd)^2等号成立条件：ad=bc (a/b=c/d)扩展：（（a1)^2;+(a2)^2;+(a3)^2;+...+(an)^2;)((b1)^2;+(b2)^2;+(b3)^2;+ ...(bn)^2；）≥（a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2;等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn（当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3，…，n）三角形式√（a^2+b^2)+√（c^2+d^2）≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]等号成立条件：ad=bc注：“√”表示平方根，向量形式|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a，…，an），β=(b1,b，…，bn）（n∈N，n≥2）等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。
一般形式（∑（ai^2；））（∑（bi^2;)) ≥ （∑ai·bi)^2;等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
上述不等式等同于图片中的不等式。
推广形式(x1+y1+…）（x2+y2+…）…（xn+yn…）≥[（Πx)^(1/n)+（Πy)^(1/n)+…]^n注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。
此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均不小于各列元素之和的几何平均之积。