二次函数y=ax^2+k的图像与性质
-8
向 下 平移 |k|个单位得到。
上加下减
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移 5 个单位得到；y=4x2-11的图象 下 可由 y=4x2的图象向 平移 11个单位得到。 (2)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 上平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象 向上 平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。 （3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4x2+3 。 将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
例1、分别说下列抛物线的开口方向，对称 轴、顶点坐标、最大值或最小值各是什么 及增减性如何？。 （1）y=-x2-3 （2）y=1.5x2+7
（3）y=2x2-1
(4) y= −2x2+3
例2 ： 按下列要求求出二次函数的解析式：
（1）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口
方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。
10
y
8
y=x2+1
y=x2 y=x2-2
5
4
y
2
y=-x2+3
5
6
4
-10
-5
O
-2
x
10
2
y=-x2 y=-x2-2
-4
-10 -5
O
-2
x
10
-6
-8
当a>0时，抛物线y=ax2+k的开口 向上 ，对称轴 是 y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 k ； 当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口 向下，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 k 。
y2
y1 y3 y4 x2 x4 x3 x1
D.y4>y2>y3>y1
（2）已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1,x2(x1≠x2, x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等， 则当x取x1+x2时，函数值为 （ D） A. a+c B. a-c C. –c D. c
a (3) 函数y=ax2-a与y= (a 0) x
-10 -5
6
4
2
y=x2
O
-2
5
10
x y=x2 y=x2-2
Hale Waihona Puke ….. …… ……-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
……
2
-1
y
8
-2
-1
2 ……
函数y=x2-2的图象 可由y=x2的图象 沿y轴向下平移2 个单位长度得到. 相同
-10 -5
6
函数y=x2-2的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系?
（2）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经过（1，
2）的点的解析式，
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k 图象 开口向上 开口向下 a＞0 a＜0
开口 对称轴 顶点 增减性
a的绝对值越大，开口越小 y轴 （0，k） 顶点是最低点有最小值 顶点是最高点有最大值 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
作业：
1.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1 ) ,(x1，y1 )且x1 ＜x2＜0，则y1 y2(填“＜”或“＞”)
2.已知一个二次函数图像的顶点在y轴上，并且离原点 1个单位，图像经过点(–1,0)，求该二次函数解析式。 1 2 3.已知抛物线 y 2 x ，把它向下平移，得到的抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若△ABC是直 角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？ 4、二次函数y=ax2+k（a，k是常数），当x取值x1、x2 时（x1≠x2），函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值 为
x ….. y=x2 …… y=x2+1 ……
-2 4
-1 1
0 0
y
8
1 1
2 4
…… ……
5
2
1
2
5
y=x2+1
函数y=x2+1的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系? 函数y=x2+1的图 象与y=x2的图象 的形状相同吗?
x
函数y=x2+1的图 象可由y=x2的图 象沿y轴向上平移 1个单位长度得到. 相同
y=-x2 y=-x2-2
-4
-6
图象向上移还是向下移,移多少个 单位长度,有什么规律吗? 函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的图象形 状相同 ，只是位置不同；当k>0时，函数y=ax2+k 的图象可由y=ax2的图象向 上 平移 k 个单位得到， 当k〈0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象
在同一直角坐标系中的图象可能是 （ A ）
(4)、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和 二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（ B ） y y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
1 2 (5) 一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线 y x 3.5 5
运行，然后准确落入蓝筐内，已知蓝筐的中心离地面的 距离为3.05m。 1、球在空中运行的最大高度是多少米？ 2、如果运动员跳投时，球出手离地面的高度 为2.25m ， 则他离篮筐中心的水平距离AB是多少？
4
y=x2
函数y=x2-2的图象 与y=x2的图象的 形状相同吗?
5
2
O
-2
x
10
y=x2-2
函数y=-x2+3的图 象可由y=-x2的图 象沿y轴向上平移 3个单位长度得到.
-10 -5
4
y
2
y=-x2+3
5
O
-2
x
10
函数y=-x2-2的图 象可由y=-x2的图 象沿y轴向下平移 2个单位长度得到.
(1)已知二次函数y=3x2+4,点A(x1,y1), B(x2,y2),
C(x3,y3), D(x4,y4)在其图象上,且x2< x4<0,
0<x3< x1, |x2|>|x1|, |x3|>|x4|, 则 A.y1>y2>y3>y4 B.y2>y1>y3>y4 C.y3>y2>y4>y1 (B )
（4）抛物线y=-3x2+5的开口 下 ，对称轴是 y轴 ， 顶点坐标是 (0,5) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 增大 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 减小 ， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 5 。 （5）抛物线y=7x2-3的开口 上 ，对称轴是 y轴 ， 顶点坐标是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 -3 。 6.二次函数y=ax2+k (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B （2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 y=2x2-3。若 点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐 标为 (-2, 5) 点D的坐标为 ( 5 ,7) 或 ( 5 ,7) .
y=ax2 (a≠0) 图 象
O
a>0 y
O
a<0 y x
x
开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0 ,0) (0 ,0) 对称轴 y轴 y轴 当x<0时, 增 当x<0时， y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。 减 当x>0时， 当x>0时， y随着x的增大而减小。 性 y随着x的增大而增大。 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 极值 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.
向 下 平移 |k|个单位得到。
上加下减
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移 5 个单位得到；y=4x2-11的图象 下 可由 y=4x2的图象向 平移 11个单位得到。 (2)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 上平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象 向上 平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。 （3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4x2+3 。 将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
例1、分别说下列抛物线的开口方向，对称 轴、顶点坐标、最大值或最小值各是什么 及增减性如何？。 （1）y=-x2-3 （2）y=1.5x2+7
（3）y=2x2-1
(4) y= −2x2+3
例2 ： 按下列要求求出二次函数的解析式：
（1）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口
方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。
10
y
8
y=x2+1
y=x2 y=x2-2
5
4
y
2
y=-x2+3
5
6
4
-10
-5
O
-2
x
10
2
y=-x2 y=-x2-2
-4
-10 -5
O
-2
x
10
-6
-8
当a>0时，抛物线y=ax2+k的开口 向上 ，对称轴 是 y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 k ； 当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口 向下，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 k 。
y2
y1 y3 y4 x2 x4 x3 x1
D.y4>y2>y3>y1
（2）已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1,x2(x1≠x2, x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等， 则当x取x1+x2时，函数值为 （ D） A. a+c B. a-c C. –c D. c
a (3) 函数y=ax2-a与y= (a 0) x
-10 -5
6
4
2
y=x2
O
-2
5
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x y=x2 y=x2-2
Hale Waihona Puke ….. …… ……-2 4
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0 0
1 1
2 4
……
2
-1
y
8
-2
-1
2 ……
函数y=x2-2的图象 可由y=x2的图象 沿y轴向下平移2 个单位长度得到. 相同
-10 -5
6
函数y=x2-2的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系?
（2）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经过（1，
2）的点的解析式，
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k 图象 开口向上 开口向下 a＞0 a＜0
开口 对称轴 顶点 增减性
a的绝对值越大，开口越小 y轴 （0，k） 顶点是最低点有最小值 顶点是最高点有最大值 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
作业：
1.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1 ) ,(x1，y1 )且x1 ＜x2＜0，则y1 y2(填“＜”或“＞”)
2.已知一个二次函数图像的顶点在y轴上，并且离原点 1个单位，图像经过点(–1,0)，求该二次函数解析式。 1 2 3.已知抛物线 y 2 x ，把它向下平移，得到的抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若△ABC是直 角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？ 4、二次函数y=ax2+k（a，k是常数），当x取值x1、x2 时（x1≠x2），函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值 为
x ….. y=x2 …… y=x2+1 ……
-2 4
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0 0
y
8
1 1
2 4
…… ……
5
2
1
2
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y=x2+1
函数y=x2+1的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系? 函数y=x2+1的图 象与y=x2的图象 的形状相同吗?
x
函数y=x2+1的图 象可由y=x2的图 象沿y轴向上平移 1个单位长度得到. 相同
y=-x2 y=-x2-2
-4
-6
图象向上移还是向下移,移多少个 单位长度,有什么规律吗? 函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的图象形 状相同 ，只是位置不同；当k>0时，函数y=ax2+k 的图象可由y=ax2的图象向 上 平移 k 个单位得到， 当k〈0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象
在同一直角坐标系中的图象可能是 （ A ）
(4)、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和 二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（ B ） y y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
1 2 (5) 一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线 y x 3.5 5
运行，然后准确落入蓝筐内，已知蓝筐的中心离地面的 距离为3.05m。 1、球在空中运行的最大高度是多少米？ 2、如果运动员跳投时，球出手离地面的高度 为2.25m ， 则他离篮筐中心的水平距离AB是多少？
4
y=x2
函数y=x2-2的图象 与y=x2的图象的 形状相同吗?
5
2
O
-2
x
10
y=x2-2
函数y=-x2+3的图 象可由y=-x2的图 象沿y轴向上平移 3个单位长度得到.
-10 -5
4
y
2
y=-x2+3
5
O
-2
x
10
函数y=-x2-2的图 象可由y=-x2的图 象沿y轴向下平移 2个单位长度得到.
(1)已知二次函数y=3x2+4,点A(x1,y1), B(x2,y2),
C(x3,y3), D(x4,y4)在其图象上,且x2< x4<0,
0<x3< x1, |x2|>|x1|, |x3|>|x4|, 则 A.y1>y2>y3>y4 B.y2>y1>y3>y4 C.y3>y2>y4>y1 (B )
（4）抛物线y=-3x2+5的开口 下 ，对称轴是 y轴 ， 顶点坐标是 (0,5) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 增大 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 减小 ， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 5 。 （5）抛物线y=7x2-3的开口 上 ，对称轴是 y轴 ， 顶点坐标是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 -3 。 6.二次函数y=ax2+k (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B （2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 y=2x2-3。若 点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐 标为 (-2, 5) 点D的坐标为 ( 5 ,7) 或 ( 5 ,7) .
y=ax2 (a≠0) 图 象
O
a>0 y
O
a<0 y x
x
开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0 ,0) (0 ,0) 对称轴 y轴 y轴 当x<0时, 增 当x<0时， y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。 减 当x>0时， 当x>0时， y随着x的增大而减小。 性 y随着x的增大而增大。 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 极值 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.
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初三导学课3二次函数y=ax^2+K的图像与性质
二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y=ax2的关系
1.开口方向由a的
符号决定；
2.k决定顶点位置； 3.对称轴是y轴.
增减性结合 开口方向和 对称轴才能 确定.
平移规律：
k正向上； k负向下.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
大而增大.
增大.
三、二次函数y=ax2+k的图象及平移
从数的角度探究 解析式 y=2x2-1
-1
+1
y=2x2
y=2x2+1
点的坐标 (x,2x2-1 ) 函数对应值表
(x, 2x2 )
x y=2x2-1 y=2x2 y=2x2+1
… -1 -1.5 … 3.5 1 … 4.5 2
… 5.5 3
(x, 2x2+1 )
做一做：画出二次函数 y=2x² , y=2x2+1 ，y=2x2-1的
图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶
点高低、函数最值、函数增减性.
x
… –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y=2x2+1 …
…
y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
y=2x2-1 …
从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于 正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，
二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．
3、(浙江湖州)已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一 平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数 y2＝ax+b的大致图象不可能是（ D ）
5.画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
新苏科版九年级数学下册《5章 二次函数 5.2 二次函数的图像和性质 y=ax^2+k、y=a(x+m)^2的图像》教案_27
学习目标：1.经历探索二次函数y=ax2+k(a≠0)，y=a(x-h)2(a≠0)的图象作法和性质的过程；2.能够理解函数y=ax2+k(a≠0)、y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系，知道a、h对二次函数的图象的影响；3.能正确说出函数y=ax2+k(a≠0)、y=a(x-h)2的图象的性质.教学过程：一、探索二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象和性质。
(2)在下图的直角坐标系中，描点并画出函数2y x=和21y x=+的图象；2.思考：函数y=x2+1的图象与y=x2的图象有什么关系？（1）形状相同吗?（2）相同自变量的值所对应的两个函数值有何关系？（3）从点的位置看，函数y=x2+1的图象与函数y=x2的图象的位置有什么关系？3.归纳：图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗?函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+ k (a≠0)的图象形状，只是位置不同；当k >0时，函数y=ax2+ k的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到；当k〈0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到。
二、探索二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象作法和性质：1.操作：在上图右边直角坐标系中，描点并画出函数y=(x+3)2的图象；2.思考：函数y=(x+3)2的图象与y=x2的图象有什么关系？（1）形状相同吗?（2）从表格中的数值看，函数y=(x+3)2的函数值与函数y=x2的函数值相等时，它们所对应的自变量的值有什么关系?（3）从点的位置看，函数y=(x+3)2的图象与函数y=x 2的图象的位置有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?3.结论:函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x 2的图像沿x 轴向 平移 个单位长度得到,所以它是 ,这条抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而增大,当x 时,y 随x 的增大而减小.4.①抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x 2沿x 轴 平移了 个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x 2沿x 轴 平移了 个单位. ②图象向左平移还是向右平移,移多少个单位长度,有什么规律吗?三、例题：1.函数y=4x 2+5的图象可由y=4x 2的图象向 平移 个单位得到；y=4x 2-11的图象可由 y=4x 2的图象向 平移 个单位得到。
九下数学课件 二次函数y=ax^2+k的图像与性质 (课件)
(2) BF＝BC 理由：在y＝kx＋2中，令x＝0，得y＝2.∴ 点F的坐标为(0，2)．
∴ OF＝2.过点F作FH⊥BC，垂足为H.设点B的坐标为 t， 1 t2 + 1 ，
4
∵ 易知四边形OFHC为矩形，∴ OF＝CH，FH＝OC＝t，BC＝14t2＋1.
∴
BH
＝
BC
－
CH
＝
BC
－
OF
＝
1 4
当x＜0时，y随x增大而减小．
抛物线关于y轴对称．
图像有最低点，过（0,0） y有最小值．
当x＞0时，y随x增大而增大．
抛物线开口向上．
那么y＝x2＋1的图像与y＝x2的图像有什么关系？
在同一坐标系中画出函数y＝x2和y＝x2＋1的图像． （1）列表．
x
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9
位置上下平移规律，即：抛物线y=ax2+k 是由抛物线 y=ax2 上下平移｜ k ｜个单位长度得到的，“上加”表 示当k 为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时， 向下平移；
“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：抛物线平 移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
l 归纳：
2. 二次函数y=ax2+k 的图像
l 归纳：
3. 二次函数y=ax2+k 的性质 (1)当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有 最大值k； (2)如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当 x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<0 时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增 大而减小.
l 归纳：
4. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：类比作二次函数y=ax2 图象的描点法，
二次函数的图像与性质-完整版课件
二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$）的解即为二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，二次函数与 $x$ 轴有两个交点；当 $Delta = 0$ 时，有 一个交点；当 $Delta < 0$ 时，没有交点。
• 分析：根据题意设交点坐标为$(-1, y_1)$和$(3, y_2)$，代入直线方程可得两个方程。又因为这两个点也在抛 物线上，所以代入抛物线方程也可得两个方程。联立这四个方程即可求出二次函数的解析式。
• 示例2：已知二次函数$y = ax^2 + bx + c (a • eq 0)$的图像与直线$y = x + m (m • eq 0)$相交于两点，且这两点关于原点对称，求二次函数的解析式。 • 分析：根据题意设交点坐标为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，由于两点关于原点对称，所以有$x_1 = -x_2$和
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
二次函数的图像与性质-完
整版课件
汇报人：XXX
2024-01-29
• 二次函数基本概念 • 二次函数图像特征 • 二次函数性质探讨 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景举例说明 • 总结回顾与拓展延伸
目录
CONTENTS
零点存在性及个数判断方法
零点定义
二次函数零点存在 性判断方法
对于函数f(x)，若存在x0∈D， 使得f(x0)=0，则称x0为函数 f(x)的零点。
通过判别式Δ=b^2-4ac来判断 。当Δ>0时，二次函数有两个 不相等的零点；当Δ=0时，二 次函数有两个相等的零点（即 一个重根）；当Δ<0时，二次 函数无零点。
22.1.3二次函数y=ax2+k的图象和性质(教案)
在教学过程中，教师应针对以上重点和难点内容，运用直观的图像演示、具体的例题讲解、小组合作讨论等方法，帮助学生深入理解二次函数的图像特征、性质和实际应用，确保学生能够透彻掌握本节课的核心知识。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数y=ax^2+k的图象和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过抛物线形状的情况？”（如篮球投篮的轨迹）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的奥秘。
我还注意到，在小组讨论中，部分学生依赖性强，独立思考能力较弱。为了培养学生的自主学习能力，我计划在今后的教学中，逐步增加学生的独立思考时间，鼓励他们提出自己的观点和解决方案。
此外，教学过程中的互动提问环节，学生的反应速度和准确性还有待提高。我将在今后的教学中，多设计一些启发式问题，引导学生主动探索，提高他们的思维敏捷性。
- a<0时，函数在顶点左侧递增，在顶点右侧递减。
（3）掌握二次函数y=ax^2+k的最值问题，能够求解函数的最大值和最小值。
- a>0时，函数最小值为k，无最大值。
- a<0时，函数最大值为k，无最小值。
（4）了解二次函数y=ax^2+k与坐标轴的交点，包括与x轴、y轴的交点及根的分布情况。
-与x轴的交点：当k=0时，交点为原点；当k≠0时，交点个数取决于判别式Δ=b^2-4ac的值。
-与y轴的交点：交点为（0，k）。
-根的分布：根据判别式Δ的正负判断根的分布情况。
2.教学难点
（1）理解二次函数图像与系数a、k的关系，特别是开口方向与a的正负关系。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数y=ax^2+k的图象和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过抛物线形状的情况？”（如篮球投篮的轨迹）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的奥秘。
我还注意到，在小组讨论中，部分学生依赖性强，独立思考能力较弱。为了培养学生的自主学习能力，我计划在今后的教学中，逐步增加学生的独立思考时间，鼓励他们提出自己的观点和解决方案。
此外，教学过程中的互动提问环节，学生的反应速度和准确性还有待提高。我将在今后的教学中，多设计一些启发式问题，引导学生主动探索，提高他们的思维敏捷性。
- a<0时，函数在顶点左侧递增，在顶点右侧递减。
（3）掌握二次函数y=ax^2+k的最值问题，能够求解函数的最大值和最小值。
- a>0时，函数最小值为k，无最大值。
- a<0时，函数最大值为k，无最小值。
（4）了解二次函数y=ax^2+k与坐标轴的交点，包括与x轴、y轴的交点及根的分布情况。
-与x轴的交点：当k=0时，交点为原点；当k≠0时，交点个数取决于判别式Δ=b^2-4ac的值。
-与y轴的交点：交点为（0，k）。
-根的分布：根据判别式Δ的正负判断根的分布情况。
2.教学难点
（1）理解二次函数图像与系数a、k的关系，特别是开口方向与a的正负关系。
21.2.2二次函数y=ax^2+k的图像与性质
10
y
8
y=x2+1
y=x2 y=x2-2
5
4
y
2
y=-x2+3
5
6
4
-10
-5
O
-2
x
10
2
y=-x2 y=-x2-2
-4
-10 -5Oຫໍສະໝຸດ -2x10
-6
-8
当a>0时，抛物线y=ax2+k的开口 向上 ，对称轴 是 y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 k ； 当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口 向下，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 k 。
y轴
在x轴的下方( 除顶点外) 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
位置
开口方向 增减性 最值 开口大小
当x=0时,最小值为0.
a 越大,开口越小.
当x=0时,最大值为0.
a 越小,开口越大.
做一做 1、画出函数y=2x2 的图象
X ﹣1.5 ﹣1 ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 Y 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
2
与抛物线 关于x轴对称，求a、b的值.
y 3x 1
2
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移 5 个单位得到；y=4x2-11的图象 下 平移 11个单位得到。 可由 y=4x2的图象向 (2)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 上平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象 向上 平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。 （3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4x2+3 。 将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
九下数学课件二次函数y=ax^2的图像与性质 (课件)
初中数学苏科版版九年级下册
中物理
第5章 二次函数
5.2.1 二次函数y＝ax^2的
图像与性质
1.掌握利用描点法作出y=x2 的图像，并能根据图像认识
和理解二次函数y=x2的性质．
2.理解a对二次函数图像的影响，能说出y=ax2图像的开
口方向、对称轴和顶点坐标．
3.掌握二次函数y=ax2的性质，会指出最值与增减性.
2
2
图像各有什么特征，并与同学交流．
这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向上，对
称轴为y轴，顶点在原点，顶点是抛物线的最低点．
知识点二 二次函数图像的特征
1 2
1 2
2
【例2】函数 y＝ x 和 y＝2 x 、y＝ x 和 y＝ 2 x 2 的
2
2
图像各有什么特征，并与同学交流．
这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向下，对
点时，一般应先找出对称轴，然后在对称轴的两侧对称选取，应以
计算简单、描点方便为原则.
【归纳总结】用描点法画函数y=ax2（a ≠ 0）的图像的一般步骤
(2)描点：
一般来说，点取得越多、越密集，画出的图像就越准确. 实际画图时，
一般取顶点及对称轴两侧对称的两对点，共5 个点，用“五点法”快速
准确地作出函数图像，有时也会在对称轴的两侧各取三个点画图.
4
能力提升
1 2
(2)将y＝1代入y＝ x ，得x＝±2，∴
4
点M、N的坐标分别为(－2，1)、
(2，1)，此时MN＝2－(－2)＝4.∵ △PMN是等边三角形，∴ 点P在y轴上，
且PM＝4.∴ PF＝ 42 − 22 ＝2 3.∵ 点F(0，1)，∴ 点P的坐标为
中物理
第5章 二次函数
5.2.1 二次函数y＝ax^2的
图像与性质
1.掌握利用描点法作出y=x2 的图像，并能根据图像认识
和理解二次函数y=x2的性质．
2.理解a对二次函数图像的影响，能说出y=ax2图像的开
口方向、对称轴和顶点坐标．
3.掌握二次函数y=ax2的性质，会指出最值与增减性.
2
2
图像各有什么特征，并与同学交流．
这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向上，对
称轴为y轴，顶点在原点，顶点是抛物线的最低点．
知识点二 二次函数图像的特征
1 2
1 2
2
【例2】函数 y＝ x 和 y＝2 x 、y＝ x 和 y＝ 2 x 2 的
2
2
图像各有什么特征，并与同学交流．
这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向下，对
点时，一般应先找出对称轴，然后在对称轴的两侧对称选取，应以
计算简单、描点方便为原则.
【归纳总结】用描点法画函数y=ax2（a ≠ 0）的图像的一般步骤
(2)描点：
一般来说，点取得越多、越密集，画出的图像就越准确. 实际画图时，
一般取顶点及对称轴两侧对称的两对点，共5 个点，用“五点法”快速
准确地作出函数图像，有时也会在对称轴的两侧各取三个点画图.
4
能力提升
1 2
(2)将y＝1代入y＝ x ，得x＝±2，∴
4
点M、N的坐标分别为(－2，1)、
(2，1)，此时MN＝2－(－2)＝4.∵ △PMN是等边三角形，∴ 点P在y轴上，
且PM＝4.∴ PF＝ 42 − 22 ＝2 3.∵ 点F(0，1)，∴ 点P的坐标为
苏科版九年级下册数学 5.2 y=ax^2+k、y=a^2的图像(共19张PPT)
二次函数y＝a(x ＋ m)2（ m＜0）的图像是由二次函数 y＝ax2的图像沿 x 轴向＿右＿平移｜＿m＿｜个单位长度得到的．
二次函数y＝a(x+m)2 顶点坐标是＿（-m，0）＿ ，对称轴
是＿过（＿-m，0）与y轴平行的直线
．
1．将函数y＝2x2－2的图像先向 上 平移 2 个单 位，就得到函数y ＝ 2x2的图像，再向 右 平移 3 个
幻灯片 7
（2）描点、连线．
从对应点的位置看：函数y＝x2＋1的图像和y＝
x2的图像的位置有什么关系？
y
10
（3）函数y＝x2－2的图像和
9 8
y=x2的图像的位置有何关系？
7 6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
幻灯片 8
y
y=x2+1
8
6
4
2
y=x2
-10
-5
O
5
x 10
-2
y
8
6
4
y=x2
2
-10
-5
O
5
x 10
y=x2-2
-2
y 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
2. y＝-x2＋3， y＝-x2-2 与 y＝-x2
又有什么关系呢？ 画出草图，进行比较
函数y=-x2+3的图
象可由y=-x2的图
a>0
向上
(0 ,c)
y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。
当x>0时， y随着x的增大而增大。
27.2.1二次函数y=ax^2的图象与性质课件
o x
a<o
(3)、增减性
当a＞0时， 在对称轴的左侧(x<0): y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧(x>0): y随x的增大而增大。
a＞0
∴ 当 x=0 时, y最小值=o.
当a<0时 在对称轴的左侧(x<0): y随x的增大而增大。 在对称轴的右侧(x>0): y随x的增大而减小。
a<0
∴ 当 x=0 时, y最大值=o.
y ax 的图象与性质
2
二次函数的定义：
函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 叫做x的二次函数
思考：你认为判断二次函数的关键是什么？
判断一个函数是否是二次函数的关键是：看 二次项的系数是否为0．
练习： 若函数y=(m2+3m-4)x2+(m+2)x+3m是x的二次函数，则m______
试一试：
1、函数y=2x2的图象的开口 ，对称轴 是 ，顶点是 ；在对称轴的左 侧，y随x的增大而 y随x的增大而 ； ，在对称轴的右侧，
2、函数y=-3x2的图象的开口 ，对称轴 是 ，顶点是 ；在对称轴的左 侧，y随x的增大而 y随x的增大而 ； ，在对称轴的右侧，
3、观察函数y=x2的图象，则下列判断中正确的是 （ A ） A 若a,b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相等。 B 对于同一个自变量x，有两个函数值与它对应。
2
x （2）当 a 0 时，设自变量 x1， 2 的对应值分别为 y1 ，y 2 ， 当 x1 x2 0 时，必有 y1 y 2 吗？为什么？
小结： １．函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 叫做x的二次函数． ２．二次函数y=ax2的图象性质与特点：
a<o
(3)、增减性
当a＞0时， 在对称轴的左侧(x<0): y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧(x>0): y随x的增大而增大。
a＞0
∴ 当 x=0 时, y最小值=o.
当a<0时 在对称轴的左侧(x<0): y随x的增大而增大。 在对称轴的右侧(x>0): y随x的增大而减小。
a<0
∴ 当 x=0 时, y最大值=o.
y ax 的图象与性质
2
二次函数的定义：
函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 叫做x的二次函数
思考：你认为判断二次函数的关键是什么？
判断一个函数是否是二次函数的关键是：看 二次项的系数是否为0．
练习： 若函数y=(m2+3m-4)x2+(m+2)x+3m是x的二次函数，则m______
试一试：
1、函数y=2x2的图象的开口 ，对称轴 是 ，顶点是 ；在对称轴的左 侧，y随x的增大而 y随x的增大而 ； ，在对称轴的右侧，
2、函数y=-3x2的图象的开口 ，对称轴 是 ，顶点是 ；在对称轴的左 侧，y随x的增大而 y随x的增大而 ； ，在对称轴的右侧，
3、观察函数y=x2的图象，则下列判断中正确的是 （ A ） A 若a,b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相等。 B 对于同一个自变量x，有两个函数值与它对应。
2
x （2）当 a 0 时，设自变量 x1， 2 的对应值分别为 y1 ，y 2 ， 当 x1 x2 0 时，必有 y1 y 2 吗？为什么？
小结： １．函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 叫做x的二次函数． ２．二次函数y=ax2的图象性质与特点：
二次函数y=ax^2+k的图像和性质
－3
－2
－1
0
1
2
3
· · · · · · · · ·
10 8
5 3
2 0
1 －1
2 0
5 3
10 8
y x2
· · ·
9
4
1
0
1
4
9
· · ·
10 8 6 4
y x2 y = x2 ＋ 1
函数 开口 方向 顶点 （0，0） 对称轴 y轴 y轴 y轴 向上 y x2 y x 2 1 向上 y x 2 1 向上 有最高 （低）点 最低点 最低点 最低点 最值 y最小值=0 y最小值=-1 y最小值=1
1 y x 2 向上 12 2 y x 1 向上 2
y 1 2 x 1 向上 2
y轴 y轴 y轴
练习
1 2 你能说出抛物线 y x k 的开口方向、对称轴及顶点 2
1 2 吗？它与抛物线 y x 有什么关系？ 2
把抛物线y = 2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移3．4 个单位呢？
y 2x2 5
8
6
4
y 2 x2
2
－4 －2 －2 －4 2
4 y 2 x 2 3.4
（0，0） y轴 1.抛物线 y x 2 k 的对称轴是________ ,顶点是________ .
y 2x 3 2.将抛物线y 2 x 向上平移3个单位，就得到抛物线__________________ ；ຫໍສະໝຸດ （0，-1）（0，1）
2 y = x2 － 1
－4
－2
－2
2
4
（1）抛物线 y x 1, y x 1 与抛物线 如图所示