专题反比例函数与三角形四边形的面积等
设P为双曲线 上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线ＰＭ、ＰN,垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为Ｓ=|PＭ|×|PN｜=|y|×|x|=|xｙ｜
∴xｙ=ｋ故S＝｜ｋ|从而得
结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值｜k｜
优质解答
∵AＢ⊥ｙ轴，
∴AB∥CＤ,ﻫ∵ＢC∥AD，ﻫ∴四边形ABCＤ是平行四边形,ﻫ∴四边形ＡＥＯＢ的面积＝AＢ•OE，ﻫ∵S平行四边形ABCＤ＝AＢ•CD=3，ﻫ∴四边形ＡＥOB的面积=3，
∴|k|＝３,ﻫ∵＜０，
∴ｋ=-3，
故答案为:－3.
8、如图,菱形OＡBＣ的顶点的坐标为(3,4),顶点Ａ在x轴的半轴上,反比例函数ｙ＝ （ｘ＞０)的图象经过顶点B，则k的值为( )。
最佳答案
过D点作DE⊥x轴，垂足为E,
由双曲线上点的性质,得S △AOC =S △DOE ＝ k，
∵DE⊥x轴,AB⊥x轴，
∴DE∥AB，ﻫ∴△OAB∽△ＯＥD,ﻫ又∵OB=2OＤ,ﻫ∴Ｓ △OＡＢ =4S △DOE=2k，ﻫ由Ｓ △OAＢ -S △OAC =Ｓ △OBC ，
得2ｋ- k=6,ﻫ解得：k=4．
4、如图１-ZＴ-3，在平面直角坐标系中，点A是函数y= (x＜０)图象上的点，过点Ａ作y轴的垂线交y轴于点B，点C在ｘ轴上,若△ABC的面积为1,则k的值为________。
5、※ 如图，在平面直角坐标系中，点A在函数 （k<0，x＜0)的图象上,过点A作AＢ∥y轴交ｘ轴于点B，点C在y轴上,连结AC、BC．若△ABC的面积是3，则ｋ=．
1０、如图1－ZＴ-７，点Ａ是反比例函数y= （x＞0)的图象上任意一点，ＡB∥x轴交反比例函数y＝- 的图象于点B，以AB为边作□ＡBＣD,其中点C、Ｄ在x轴上,则□ABCＤ的面积未（ ）。
A． ２ Ｂ. 3 C. 4D. 5
11、如图、1-ＺＴ-8，在□ＡBOC中,两条对角线交于点Ｅ，双曲线y＝ (k<０）的一支经过C、E两点,若□ABOＣ的面积为1０，则k的值是（ ）。
A. 12 B. 2０ C. 2４ D． 3２
答案：
过点C作CD⊥OＡ，ﻫ∵C的坐标为（3，４）,
∴CD=4,OD=3,ﻫ∵CB∥ＡO，ﻫ∴B的纵坐标是４，
∴OC= =５,
∴AO=OC＝5，ﻫ∵四边形COAB是菱形,ﻫ∴B的横坐标是８，ﻫ∴ｋ=８×４=3２，ﻫ故选D.
９、如图１－ZＴ-６，函数ｙ=－x与y=－ 的图象相交于A、B两点,分别过A、B两点作y轴的垂线，垂足分别为C、Ｄ,则四边形ＡCBD的面积为（ )。
A. ２ B． 4 C. ６D. 8
分析：首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S= ｜k｜,得出S△ＡOC=S△OＤB=2，再根据反比例函数的对称性可知：OC＝OD,AC=ＢD，即可求出四边形ＡＣＢD的面积.
解答:
解:∵过函数ｙ=- 的图象上Ａ,B两点分别作ｙ轴的垂线，垂足分别为点C，D,
专题反比例函数与三角形-四边形的面积等
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反比例函数比例系数k与图形面积经典专题
知识点回顾
由于反比例函数解析式及图象的特殊性,很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法,考查的题型广泛,考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下:
对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论,可得出对应的面积的结论为：
结论2:在直角三角形ＡBO中，面积Ｓ=
结论3：在直角三角形ACB中，面积为S＝2｜ｋ|
结论4：在三角形AＭB中,面积为S=｜k|
类型之一 k与三角形的面积
※1、如图,已知双曲线y= （k＞0)经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OＢC的面积为6，则k=_＿_＿＿_.
∴Ｓ△AOC＝S△ODB= |ｋ｜=2，ﻫ又∵OＣ=OD,AＣ＝BD，
∴Ｓ△AＯC=Ｓ△ODA=S△ODB=S△ＯＢC=2，
∴四边形ABＣD的面积为：S△AOC+Ｓ△ODＡ+S△ODB+S△OBC=４×２=8.ﻫ故选Ｄ．
点评：本题主要考查了反比例函数y= 中ｋ的几何意义,即过双曲线上任意一点引ｘ轴、ｙ轴垂线,所得矩形面积为|k|；图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S= |k|,是经常考查的一个知识点;同时考查了反比例函数图象的对称性．
A.- B. - C. -４ D.-5
类型之三 k与矩形的面积
12、如图１-ZT-9,A、B两点在双曲线y= 上,分别过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知Ｓ１+S2＝６，则S阴影=（ ）。
A. 4 Ｂ. 2C. 1D.无法确定
13、如图1-ZＴ-10，反比例函数y= （ｘ>０）的图象经过矩形OABC对角线的交点Ｍ,分别与AB、ＢC相交于点D、E，若四边形OＤBE的面积为9,则k的值为( ）。
故答案为:4.
2、如图1-ZT-1，分别过反比例函数y＝ (x>0)的图象上任意两点A、Ｂ作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OＢ，设△AＯC和△ＢＯD的面积分别是S1、Ｓ2，,比较它们的大小,可得
A.S1＞S2B.S1=Ｓ2C.S1<Ｓ2D．S１、S2大小不确定。
3、在下列图形中,阴影部分面积最大的是(C)
6、如图1-ZT－4，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形,∠ACO=∠ＡDＢ=90°，反比例函数y= 在第一象限的图象经过点B,若ＯA２－ＡB2＝８,则ｋ的值为＿_____＿。
类型之二 k与平行四边形的面积
７、※如图,在平面直角坐标系中,点Ａ是函数ｙ= （k<0,x＜0)图象上的点，过点Ａ与y轴垂直的直线交ｙ轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AＤ．若四边形ABCD的面积为３,则ｋ值为＿＿_.ﻫ
中考数学考点系统复习 第三章 函数 方法技巧突破(一) 反比例函数中的面积问题
S 阴影＝|k1|－|k2|
图形
S ＝S －S 阴影 △AOB △AOD 结论 1 1
＝2|k1|－2|k2|
S ＝S －S 阴影 △COB △OCD 11
＝2|k1|－2|k2|
图形
过点 D 作 DF⊥x 轴于点
结论
S 阴影＝S 矩形 －S －S ＝ OABC △OCD △OAE |k1|－|k2|
【模型示例】
图形
结论
S 四边形 PMON＝|k|
S ＝S 四边形 ABCD
四边形 PQMD
2．(2021·荆州)如图，过反比例函数 y＝kx(k>0，x>0) 图象上的四点 P1，P2，P3，P4 分别作 x 轴的垂线，垂足 分别为 A1，A2，A3，A4，再过 P1，P2，P3，P4 分别作 y 轴， P1A1，P2A2，P3A3 的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从 左到右依次为 S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则 S1 与 S4 的数量关 系为 S1＝S1＝44SS44.
x 轴于点 B，连接 BC，则△ABC 的面积等于
A．8
B．6 C．4 D．2
( C)
模型四：两点两垂线 【模型特征】
反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂 线围成的图形面积等于 2|k|.
【模型示例】
图形
结论
S△APP′＝2|k| S 四边形 ANBM＝2|k|
4．(2021·南京)如图，正比例函数 y＝kx 与函数 y＝6x的图象交于 A，B 两点，BC∥x 轴，AC∥y 轴，则 S△ABC＝1 12 2.
A．4
B．6
C．8
D．12
( C)
2020年数学一轮复习选择题专题练习：反比例函数压轴(含答案)
2020年数学一轮复习选择题专题练习：《反比例函数压轴》1．函数y ＝和y ＝在第一象限内的图象如图，点P 是y ＝的图象上一动点，PC ⊥x 轴于点C ，交y ＝的图象于点A ．给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；④CA ＝AP ．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④ 2．如图，两个反比例函数y ＝和y ＝（其中k 1＞k 2＞0）在第一象限内的图象依次是C 1和C 2，设点P 在C 1上，PC ⊥x 轴于点C ，交C 2于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交C 2于点B ，则四边形PAOB 的面积为（ ）A ．k 1+k 2B ．k 1﹣k 2C ．k 1•k 2D ．3．如图，已知双曲线，，点P 为双曲线上的一点，且PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，PA 、PB 分别交双曲线，于D 、C 两点，则△PCD 的面积为（ ）A．B．C．D．24．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线y＝的图象经过点A，若△BEC的面积为6，则k等于（）A．3 B．6 C．12 D．245．如图，已知函数y1＝﹣x+3的图象与x轴交于点B，与函数的图象交于C、D两点，以OC、OD为邻边作平行四边形OCED．下列结论中：①OC＝O D；②若k＝2，则当1＜x＜2时，y1＞y2；③若k＝2，则平行四边形OCED的面积为3；④若∠COD＝45°，则k＝2．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，点A、C在双曲线y＝（k≠0）的图象上，AB∥x轴，AC交x轴于点F，满足＝，AC＝10，BC交双曲线于点E，连接AE，则△ACE的面积为（）A．20B．C．D．257．如图，已知点A（m，m+3），点B（n，n﹣3）是反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象上的两点，连接AB．将直线AB向下平移3个单位得到直线l，在直线l上任取一点C，则△ABC的面积为（）A．B．6 C．D．98．如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的四条边分别与坐标轴交于点E，F，G，H，AD∥x 轴，四边形AFOE与四边形CHOG的面积分别为2，3，点B，D分别在反比例函数y＝（x ＜0），y＝（x＞0，k＞0）的图象上，则k的值为（）A．B．3 C．4 D．69．如图，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴和y轴上，与双曲线y＝恰好交于BC的的值为（）中点E，若OB＝2OA，则S△ABOA．6 B．8 C．12 D．1610．如图，在平面直角坐标系中，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，点B在点C的右侧，顶点A和AB的中点D在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上．若△ABC的面积为12，则k的值为（）A．24 B．12 C．6D．611．如图，点A、B在函数y＝（x＞0，k＞0且k是常数）的图象上，且点A在点B的左侧过点A作AM⊥x轴，垂足为M，过点B作BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C，连结AB、MN．若△CMN和△ABC的面积分别为1和4，则k的值为（）A．4 B．4C．D．612．如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y＝（k ＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1；2，△OAC与△CBD的面积之和为，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．13．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的边OA在y轴上，OB在x轴上，反比例函数y ＝（k≠0）与斜边AB交于点C、D，连接OD，若AC：CD＝2：3，S＝，则k的值△OBD 为（）A．4 B．5 C．6 D．714．如图，已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，作Rt△ABC，边BC在x轴上，点D为斜边AC的中点，连结DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为4，则k的值是（）A．2 B．4 C．6 D．815．如图，点A和点B都是反比例函数在第一象限内图象上的点，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为1，连接AB，以线段AB为边的矩形ABCD的顶点D，C恰好分别落在x轴，y轴的负半轴上，连接AC，BD交于点E，若△ABC的面积为6，则k的值为（）A．2 B．3 C．6 D．1216．如图，矩形OABC的顶点A、C都在坐标轴上，点B在第二象限，矩形OABC的面积为6．把矩形OABC沿DE翻折，使点B与点O重合．若反比例函数y＝的图象恰好经过点E和DE的中点F．则OA的长为（）A．2 B．C．2D．17．如图，四边形AOBC是平行四边形，点B在x轴上，CA的延长线与y轴交于点D，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点A（2，y），且与边BC交于点E．若S平行四边形＝6，且AD＝AC，则点E的横坐标为（）AOBCA．1+B．1+2C．1+2D．1+18．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过Rt△BOC斜边上的中点A，与边BC交于点D，连接AD，则△ADB的面积为（）A．12 B．16 C．20 D．2419．如图，在第一象限内，动点P在反比例函数y＝的图象上，以P为顶点的等腰△OPQ，两腰OP、PQ分别交反比例函数y＝的图象于A、B两点，作PC⊥OQ于点C，BE⊥PC于点E，AD⊥OQ于点D，则以下说选正确的个数为（）个①为定值②若k＝4m，则A为OP中点③S＝△PEB④OA2+PB2＝PQ2A．4 B．3 C．2 D．120．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别交AB、BC于点D、E．若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）A．2 B．C．3 D．参考答案1．解：∵A 、B 是反比函数y ＝上的点，∴S △OBD ＝S △OAC ＝，故①正确；当P 的横纵坐标相等时PA ＝PB ，故②错误；∵P 是y ＝的图象上一动点，∴S 矩形PDOC ＝4，∴S 四边形PAOB ＝S 矩形PDOC ﹣S △ODB ﹣﹣S △OAC ＝4﹣﹣＝3，故③正确； 连接OP ， ＝＝＝4，∴AC ＝PC ，PA ＝PC ， ∴＝3，∴AC ＝AP ；故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选：C ．2．解：根据题意可得四边形PAOB 的面积＝S 矩形OCPD ﹣S OBD ﹣S OAC ， 由反比例函数中k 的几何意义，可知其面积为k 1﹣k 2．故选：B ．3．解：作CE ⊥AO 于E ，DF ⊥CE 于F ， ∵双曲线，，且PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，PA 、PB分别依次交双曲线于D、C两点，∴矩形BCEO的面积为：xy＝1，∵BC×BO＝1，BP×BO＝4，∴BC＝BP，∵AO×AD＝1，AO×AP＝4，∴AD＝AP，∵PA•PB＝4，∴PB×PA＝PA•PB＝CP×DP＝×4＝，∴△PCD的面积为： CP×DP＝．故选：C．4．解：∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，∴BD＝DC＝AC，∴∠DBC＝∠ACB，又∵∠DBC＝∠EBO，∴∠EBO＝∠ACB，又∵∠BOE＝∠CBA＝90°，∴△BOE∽△CBA，∴BO：BC＝OE：AB，即BC•OE＝BO•AB．＝6，又∵S△BEC∴BC•EO＝6，即BC•OE＝12，∵|k|＝BO•AB＝BC•OE＝12．又∵反比例函数图象在第一象限，k＞0．∴k＝12．故选：C．5．解：①∵函数y＝﹣x+3的图象与函数的图象交于C、D两点，1解得和，∴C（，），D（，），根据勾股定理求得OD＝OC，故①正确；②若k＝2，解得或，∴C（1，2），D（2，1），根据图象，当1＜x＜2时，y1＞y2，故②正确；③∵平行四边形OCED中，OC＝OD，∴四边形OCED是菱形，若k＝2，则C（1，2），D（2，1），∴E（3，3），根据勾股定理求得CD＝，OE＝3，∴四边形OCED的面积为： OE＝＝3，故③正确：④若∠COD＝45°，根据菱形的性质∠COE＝22.5°，∵E（3，3），∴OE平分∠AOB，∴∠AOE＝45°，∴必须有∠AOC＝∠COE＝22.5°，由③可知，若k＝2，则CD＝，那么PC＝，而C（2，1），PC≠CQ，∴若∠COD＝45°，则k＝2不成立，故④错误；故选：C．6．解：过C作CM⊥y轴，过A作AM⊥x轴，交x轴于N，Rt△ACB中，∠B＝30°，AC＝10，∴AB＝2AC＝20，∠CAB＝60°，∵CM∥AB，∴∠MCA＝∠CAB＝60°，Rt△CMA中，∠MAC＝30°，CM＝5，AM＝5，∵FN∥CM，∴，∴AN＝2，MN＝3，∴设C（x，3），则A（x﹣5，﹣2），∵点A、C在双曲线y＝（k≠0）的图象上，∴3x＝﹣2（x﹣5），x＝2，∴C（2，3），A（﹣3，﹣2），∴y＝，B（17，﹣2），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+，﹣x+＝，x＝2或9，∴E（9，），∴S△ACE ＝S△ABC﹣S△ABE＝﹣＝；故选：B．7．解：∵点A（m，m+3），点B（n，n﹣3）在反比例函数y＝（k＞0）第一象限的图象上，∴k＝m（m+3）＝n（n﹣3），即：（m+n）（m﹣n+3）＝0，∵m+n＞0，∴m﹣n+3＝0，即：m﹣n＝﹣3，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线相交于点D，∴BD＝x B﹣x A＝n﹣m＝3，AD＝y A﹣y B＝m+3﹣（n﹣3）＝m﹣n+6＝3，又∵直线l是由直线AB向下平移3个单位得到的，∴平移后点A与点D重合，因此，点D在直线l上，∴S△ACB ＝S△ADB＝AD•BD＝，故选：A．8．解：设D（t，），∵AD⊥y轴，∴AF＝，而四边形AFOE为2，即OF•＝2，解得OF＝，∴B点的横坐标为﹣，∵点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AB⊥x轴，∴B（﹣，﹣），∵BC∥x轴，AC⊥x轴，∴C（t，﹣），∵四边形CHOG的面积3，∴t×（﹣）＝3，∴k＝6．故选：D．9．解：如图，过点B作x轴的平行线，过点A，C分别作y轴的平行线，两线相交于M，N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠ABM＝90°﹣∠CBN＝∠BCN，∵∠M＝∠N＝90°，∴△ABM≌△BCN（AAS），∵OB＝2OA，∴设OA＝a，OB＝2a，则BN＝AM＝2a，CN＝BM＝a，∴点C坐标为（2a，a），∵E为BC的中点，B（0，2a），∴E（a，1.5a），把点E代入双曲线y＝得1.5a2＝18，a2＝12，∴S△ABO＝a•2a＝12，故选：C．10．解：过D作DE⊥BC于E，连接AO，OD，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝∠DBE，∴△BDE∽△BAC，∴＝（），∵点D是AB的中点，△ABC的面积为12，∴S△BDE＝3，∵点A，点D在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，∴S△AOC ＝S△DEO＝，∵S△BDO ＝S△ABO，∴3+＝（+12），解得：k＝12，故选：B．11．解：设点M（a，0），N（0，b）∵AM⊥x轴，且点A在反比例函数y＝（x＞0，k＞0且k是常数）的图象上，∴点A的坐标为（a，），BN⊥y轴，同理可得：B（，b）则点C（a，b）s＝＝ab＝1△CMN∴ab＝2∵AC＝，BC＝＝＝4即，且ab＝2（k﹣2）2＝16解得：k＝6，k＝﹣2（舍去）故选：D．12．解：∵AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1；2，∴A（1，1），C（1，k），B（2，），D（2， k），∴△OAC面积＝，△CBD的面积＝，∵△OAC与△CBD的面积之和为，∴，∴k＝4．故选：C．13．解：设D（m，n），过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F．∴△ACE∽△ADF，∵AC：CD＝2：3，∴AC：AD＝2：5，∴，∴CE＝DF＝m∴C，∵D（m，n），∴直线AB的表达式为y＝，∴B（），OB＝，＝，∵S△OBD×＝，∴mn＝5，∴k＝mn＝5，故选：B．14．解：∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，∴BD＝DC，∠DBC＝∠ACB，又∠DBC＝∠EBO，∴∠EBO＝∠ACB，又∠BOE＝∠CBA＝90°，∴△BOE∽△CBA，∴＝，即BC×OE＝BO×AB．＝4，又∵S△BEC∴BC•EO＝4，即BC×OE＝8＝BO×AB＝|k|．∵反比例函数图象在第一象限，k＞0．∴k＝8．故选：D．15．解：∵点A和点B都是反比例函数在第一象限内图象上的点，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为1∴A（1，k）、B（k，1）E为矩形ABCD对角线的交点，∴E（，）∵D，C恰好分别落在x轴，y轴的负半轴上，设D（a，0）、C（0，b）E为点A、C的中点∴a＝1﹣k，b＝1﹣k∴D（1﹣k，0），C（0，1﹣k）且1﹣k＜0在等腰直角△COD中，OD＝OC＝k﹣1，由勾股定理得：DC2＝OD2+OC2DC2＝（k﹣1）2+（k﹣1）2DC＝（k﹣1）A（1，k）、D（1﹣k，0），AD2＝（1﹣k﹣1）2+k2＝k∴k2﹣k﹣6＝0解得：k＝3，k＝﹣2（不符合题意，舍去）故选：B．16．解：连接BO与ED交于点Q，过点Q作QN⊥x轴，垂足为N，如图所示，∵矩形OABC沿DE翻折，点B与点O重合，∴BQ＝OQ，BE＝EO．∵四边形OABC是矩形，∴AB∥CO，∠BC O＝∠OAB＝90°．∴∠EBQ＝∠DOQ．在△BEQ和△ODQ中，．∴△BEQ≌△ODQ（ASA）．∴EQ＝DQ．∴点Q是ED的中点．∵∠QNO＝∠BCO＝90°，∴QN∥BC．∴△ONQ∽△OCB．∴＝（）2＝（）2＝．∴S△ONQ ＝S△OCB．∵S矩形OABC＝6，∴S△OCB ＝S△OAB＝3．∴S△ONQ＝．∵点F是ED的中点，∴点F与点Q重合．∴S△ONF＝．∵点E、F在反比例函数y＝上，∴S△OAE ＝S△ONF＝．∵S△OAB＝3，∴AB＝4AE．∴BE＝3AE．由轴对称的性质可得：OE＝BE．∴OE＝3AE．OA＝＝2AE．∴S△OAE＝AO•AE＝×2AE×AE＝．∴AE＝．∴OA＝2AE＝．故选：D．17．解：∵AD＝AC，且A（2，y）∴AC＝2又∵S平行四边形AOBC＝AC•y＝6∴y＝3则k＝2×3＝6反比例函数解析式为：y＝（x＞0）四边形AOBC是平行四边形∴OB＝CA＝2∴B（2，0），C（4，3）直线BC：y＝，联立解得：x1＝1+，x2＝1﹣（舍去）故选：D．18．解：过A作AE⊥OC于E，设A（a，b），∵当A是OB的中点，∴B（2a，2b），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过Rt△BOC斜边上的中点A，∴ab＝16，∴S△BCO＝2ab＝32，∵点D 在反比例函数数y ＝（x ＞0）的图象上，∴S △OCD ＝8，∴S △BOD ＝32﹣8＝24， ∴△ADB 的面积＝S △BOD ＝12，故选：A ．19．解：：①正确．∵A 在反比例函数y ＝的图象上，P 在反比例函数y ＝的图象上， ∴S △AOD ＝|m |，S △poc ＝|k |，∵PC ⊥OQ 于点C ，AD ⊥OQ 于点D ，∴AD ∥PC ，∴△AOD ∽△POC ， ∴＝（）2＝， ∴为定值，∵△OPQ 是以P 为顶点的等腰三角形，∴OP ＝PQ ， ∴为定值；故此选项正确； ②正确，∵（）2＝，k ＝4m ， ∴（）2＝， ∴＝，故此选项正确；③正确，延长BE 交OP 于F ，交y 轴于M ，作BN ⊥x 轴于N ，易证得△OMF ≌△BNQ ， ∴S 四边形OMBN ＝S 四边形OFBQ ＝m ，即可证得S 四边形CQBE ＝m ，∵S△PCQ ＝S△POC＝k，∴S△PEB ＝S△PCQ﹣S四边形CQBE＝k m＝，故此选项正确；④正确，∵BE∥OQ，∴△PEB∽△PCQ，∴＝（）2∵S△PCQ ＝k，S△PEB＝，＝＝＝1﹣，∵＝，∴＝1﹣，∴OA2+PB2＝PQ2，故此选项正确．综上，选项正确的个数为4个故选：A．20．解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE ＝|k|，S△OAD＝|k|，过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S▱ONMG＝|k|，又∵M为矩形ABCO对角线的交点，则S矩形ABCO＝4S▱ONMG＝4|k|，由于函数图象在第一象限，∴k＞0，则++9＝4k，∴k＝3．故选：C．。
专题、反比例函数的面积问题 (经典问题)
专题、反比例函数中的面积问题一、反比例与矩形面积的关系1、如图，若过双曲线()0≠=k xky 上一点()y x P ,作x PA ⊥于A 点， 作y PB ⊥于B 点，则矩形PABO 的面积为k xy y x PB PA S ==⋅=⋅=. 2、k 的几何意义对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论， 可得出对应的面积的结论为：结论1：如图1，在直角三角形ABO 中，k S AOB 21=∆； 结论2：如图2，在矩形ABOC 中，k S OABC =矩形； 结论3：如图3，在ABM ∆中，x AM ⊥轴，k S ABM =∆；结论4：如图4，在ABC ∆中，x BC y AC //,//，则k S ABC 2=∆；结论5：如图5，ACE BPE OACB OAPB S S S S △△梯形梯形），（）（==21； 结论6：如图6，x PA ⊥轴，x CD ⊥轴，()()2211,,,y x C y x P ，则()()2222121x x y y AD CD PA S S PADC OPC -⨯+=⨯+=⨯+==高下底上底梯形△；二、中点坐标公式（1）在平面直角坐标系上，点()11,y x A 与点()22,y x B 的中点是()00,y x C ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02102122y y y x x x .图4图5图6图3图2图1考点一、已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k ） 例1、(1)如图1，直线OA 与反比例函数()0≠=k xky 的图象在第一象限交于A 点，x AB ⊥轴于点B ，OAB ∆的面积为2，则=k ．（2）如图2，已知双曲线()0>=x xky 经过矩形OABC 的边BC AB ,的中点E F ,，且四边形OEBF 的面积为2，则=k ．如图，矩形ABOD 的顶点A 是函数xky =与函数()1+--=k x y 在第二象限的交点，x AB ⊥轴于y AD B ⊥,轴于D ，且矩形ABOD 的面积为3． （1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点C A ,的坐标．（3）若点P 是y 轴上一动点，且5=∆APC S ，求点P 的坐标．考点二、已知反比例函数解析式，求图形的面积 （1） 在反比例函数xy 4=的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（ ）（2）如图，点B A ,是双曲线xy 3=上的点，分别经过B A ,两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1=阴影S ，则=+21S S ．图1图2.A .B.C.D考点三、利用点的坐标及面积公式求面积例3、如图，已知()()4,2,4--B n A ，是一次函数b kx y +=的图像和反比例函数xmy =的图像的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及三角形AOB 的面积．如图，直线b kx y +=与反比例函数()0<=x xky 的图象相交于点A 、点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为()4,2-，点B 的横坐标为4-.（1）试确定反比例函数的关系式； （2）求AOC ∆的面积.考点四、利用对称性求反比例函数有关的面积问题 例4、已知, E D C B A ,,,,是反比例函数()016>=x xy 图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是 （用含π的代数式表示）如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数xy 2=的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .考点五、反比例函数有关的动点问题 例5、如图，点P 为函数()016>=x xy 的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，⊙P 半径为()0,3,2A ，()0,6B 点Q 是⊙P 上的动点，点C 是QB 的中点，则AC 的最小值是 .随堂练习1、如图1，已知21211,A A P OA P ∆∆都是等腰直角三角形，点21,P P 都在函数()04>=x xy 的图象上，斜边211,A A OA 都在x 轴上．则点2A 的坐标为 .1、如图2，已知n n n A A P A A P A A P OA P 132321211,,,,-∆∆∆∆ 都是等腰直角三角形，点n P P P P ,,,,321 都在函数()04>=x xy 的图象上，斜边n n A A A A A A OA 132211,,,,- 都在x 轴上.则点10A 的坐标为 .2、已知点()2,0A 和点()2,0-B ，点P 在函数xy 1-=的图像上，如果PAB ∆的面积为6，求P 点的坐标.图1图23、如图 所示，反比例函数xky =的图象经过点()b A ,3-，过点A 作AB 垂直x 轴于点AOB B ∆,，的面积为3.（1）求k 和b 的值；（2）若一次函数1+=ax y 的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点M ，求OM AB :的值.4、如右图，已知点()3,1在函数()0>=x xky 的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点，函数()0>=x xky 的图象又经过E A ,两点，点E 的横坐标为m ，解答下列各题 （1）求k 的值；（2）求点C 的横坐标（用m 表示）; (3)当oABD 45=∠时，求m 的值.1、已知：如图，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD AC ,的交点，反比例函数()02>=x xy 的图象经过E A ,两点，点E 的纵坐标为m ．（1）求点A 坐标（用m 表示）（2）是否存在实数m ，使四边形ABCD 为正方形，若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由2、在平面直角坐标系中，已知()()1,0,0,1B A ，矩形OMPN 的相邻两边ON OM ,分别在y x ,轴的正半轴上，O 为原点，线段AB 与矩形OMPN 的两边NP MP ,的交点分别为BOE AOF F E ∆∆~,,（顶点依次对应）.（1）求FOE ∠； （2）求证：矩形OPMN 的顶点P 必在某个反比例函数图像上，并写出该函数的解析式.1、如图，在平面直角坐标系中，直线1+-=x y 分别交x 轴、y 轴于B A ,两点，点()b a P ,是反比例函数xy 21=在第一象限内的任意一点，过点P 分别作x PM ⊥轴于点y PN M ⊥,轴于点PN PM N ,,分别交直线AB 于F E ,，有下列结论：①BE AF =；②图中的等腰直角三角形有4个；③()121-+=∆b a S OEF ；④o EOF 45=∠．其中结论正确的序号是 .2、已知反比例函数xky 2=和一次函数12-=x y ，其中一次函数的图象经过()()2,,,+++k b k a b a 两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求反比例函数与一次函数两个交点B A ,的坐标：（3）根据函数图象，求不等式122->x xk的解集； （4）在（2）的条件下，x 轴上是否存在点P ，使AOP ∆为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。
专题：反比例函数中的面积问题
微专题 反比例函数中的面积问题
模型一 一点一垂线
反比例函数图象上一点与坐标轴垂线、另一坐标轴上一点(含原点)围成的三 角形面积＝ |k|.
1
S△ABC＝ 2 |k|
S△ABC＝12 |k|
1
S△AOC＝ 2 |k|
1. 如图，点A在反比例函数y＝－ 4 的图象上，AM⊥y轴于点M，点P是x轴上的一
方法一：S△EOF＝S△EOD－S△FOD. 方法二：作EM⊥x轴于点M，交OF于点B，FA⊥x轴于点A，则S△OEB＝S四边形 BMAF(划归到模型一)，则S△EOF＝S直角梯形EMAF.
类型一 两交点在反比例函数同一支上
Байду номын сангаас
方法一：当
BE CE
或
BFFA＝m时，则S四边形OFBE＝m|k|.
方法二：作EM⊥x轴于点M，
A. 1
B. m－1
C. 2
D. m
第3题图
模型四 两点两垂线
反比例函数与正比例函数的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形 面积＝2|k|.
SABC 2 | k |
易得四边形ANBM是平行四边形， ∴S四边形ANBM＝AM·NM＝AM·2OM＝2|k|
模型四 两点两垂线 反比例函数与正比例函数的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形
＝ ＝
1
2
1
OM·AM＋12 OM·BC |k|＋1 |k|＝|k|
22
S△ABM＝S△ADM＋S△MDB
＝
1 2
MD·|yB－yA|
S△ABM＝S△BMO＋S△AMO
＝
1 2
MO·|xB－xA|
3. 如图，直线y＝mx与双曲线y＝k (k≠0)交于点A，B，过点A作
2021年中考数学专题-训练：《反比例函数综合》(含答案详解)
2021年九年级中考数学一轮复习专题《反比例函数综合》1．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝ax+b与双曲线y＝交于点A（1，m）和B （﹣2，﹣1）．点A关于x轴的对称点为点C．（1）①求k的值和点C的坐标；②求直线l的表达式；（2）过点B作y轴的垂线与直线AC交于点D，经过点C的直线与直线BD交于点E．若30°≤∠CED≤45°，直接写出点E的横坐标t的取值范围．2．如图，Rt△ABP的直角顶点P在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y＝图象的两支上，且PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点F 和E．已知点B的坐标为（1，3）．（1）填空：k＝；（2）证明：CD∥AB；（3）当四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等时，求点P的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝+n（n＜0）与坐标轴交于A、B两点，与y ＝（x＞0）交于点E，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，且△OAB∽△FEB，相似比为．（1）若，求m的值；（2）连接OE，试探究m与n的数量关系，并直接写出直线OE的解析式．4．如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与正比例函数y＝x的图象交于A、B两点（点A在第一象限）．（1）当点A的横坐标为2时，求k的值；（2）若k＝12，点C为y轴正半轴上一点，∠ACB＝90°，①求△ACB的面积；②以A、B、C、D为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，2），B（4，2），以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD．已知点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．（1）求反比例函数的解析式，并画出图象；（2）判断点C是否在此函数图象上；（3）点M为直线CD上一动点，过M作x轴的垂线，与反比例函数的图象交于点N．若MN≥AB，直接写出点M横坐标m的取值范围．6．如图，一次函数y＝kx+1的图象与反比例函数的图象交于点A（2，a），点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交一次函数的图象于点D．（1）求a的值及一次函数y＝kx+1的表达式；（2）若BD＝10，求△ACD的面积．7．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的正半轴上，直线y＝x﹣1．交边AB、OA于点D、M，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，与BC的交点为N．（1）求BN的长．（2）点P是直线DM上的动点（点P不与点D、点M重合），连接PB、PC、MN，当△BCP的面积等于四边形ABNM的面积时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，连接CP，以CP为边作矩形CPEF，使矩形的对角线的交点G 落在直线DM上，请直接写出点G的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）在坐标轴上是否存在一点P，使得以O、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，简述你的理由．9．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝ax+b（a≠0）与反比例函数的图象交于点A（1，m）和B（﹣2，﹣1）．点A关于x轴的对称点为点C．（1）求这两个函数的表达式．（2）直接写出关于x的不等式的解．（3）过点B作y轴的垂线与直线AC交于点D，经过点C的直线与直线BD交于点E，且30°≤∠CED≤60°，直接写出点E的横坐标t的取值范围．10．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线与直线y＝2x都经过点A（2，m）．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B（n，2），点C是y轴的负半轴上的一点，且点C到x轴的距离是2，联结AB、AC、BC，①求△ABC的面积；②点E在y轴上，△ACE为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．参考答案1．解：（1）①∵点B（﹣2，﹣1）在双曲线y＝上，∴k＝﹣2×（﹣1）＝2，∴反比例函数解析式为y＝，∵点A（1，m）在双曲线y＝上，∴m＝2，∴A（1，2），∵点A关于x轴的对称点为点C，∴C（1，﹣2）；②∵直线l：y＝ax+b经过点A（1，2）和B（﹣2，﹣1），∴，∴，Array∴直线l的解析式为y＝x+1；（2）如图，∵点A关于x轴的对称点为点C，∴AC∥y轴，∵BD⊥y轴，∴∠BDC＝90°，D（1，﹣1），∵C（1，﹣2），∴CD＝1，①当点E在点D左侧时，当∠CED＝45°时，DE＝CD＝1，∴t＝0，当∠CE'D＝30°时，DE'＝CD＝，∴t＝1﹣，∵30°≤∠CED≤45°，∴1﹣≤t≤0；②当点E在点D右侧时，同①的方法得，2≤t≤1+，即：1﹣≤t≤0或2≤t≤1+．2．（1）解：∵B点（1，3）在反比例函数y＝的图象，∴k＝1×3＝3．故答案为：3．（2）证明：∵反比例函数解析式为，∴设A点坐标为（a，）．∵PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，∴D点坐标为（0，），P点坐标为（1，），C点坐标为（1，0），∴PB＝3﹣，PC＝﹣，PA＝1﹣a，PD＝1，∴，，∴．又∵∠P＝∠P，∴△PDC∽△PAB，∴∠CDP＝∠A，∴CD∥AB．（3）解：∵四边形ABCD 的面积和△PCD 的面积相等，∴S△PAB ＝2S △PCD ，∴×（3﹣）×（1﹣a ）＝2××1×（﹣），整理得：（a ﹣1）2＝2，解得：a 1＝1﹣，a 2＝1+（舍去），∴P 点坐标为（1，﹣3﹣3）．3．解：（1）当时，直线方程是y ＝﹣，当x ＝0时，y ＝﹣，即A （0，﹣），则OA ＝．当y ＝0时，x ＝1，即B （1，0），则OB ＝1．∵△OAB ∽△FEB ，相似比为，∴EF ＝2OA ＝1，BF ＝2OB ＝2，OF ＝OB +BF ＝1+2＝3，∴点E 的坐标为（3，1）．∵点E 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，∴m ＝3×1＝3；（2）∵直线y ＝+n （n ＜0）与坐标轴交于A 、B 两点，∴当x ＝0时，y ＝n ，即A （0，n ），则OA ＝﹣n ．当y ＝0时，x ＝﹣2n ，即B （﹣2n ，0），则OB ＝﹣2n ．∵△OAB ∽△FEB ，相似比为，∴EF ＝2OA ＝﹣2n ，BF ＝2OB ＝﹣4n ，OF ＝OB +BF ＝﹣6n ，∴点E 的坐标为（﹣6n ，﹣2n ）．∵点E 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，∴m ＝（﹣6n ）•（﹣2n ）＝12n 2；由点E 的坐标为（﹣6n ，﹣2n ）得到直线OE 的解析式为：y ＝x ．4．解：（1）当x ＝2时，y ＝×2＝，∴点A 坐标为（2，），∵点A 在反比例函数y ＝（k ＞0）的图象上，∴k ＝2×＝3，（2）①∵k ＝12，∴反比例函数解析式为y ＝， 联立方程组可得：，解得：或，∴点A（4，3），点B（﹣4，﹣3），∴AO＝BO＝5，又∵∠ACB＝90°，∴CO＝AO＝BO＝5，∴点C（0，5），∴△ACB的面积＝×5×4+×5×4＝20；②设点D坐标为（x，y），若AB为对角线，则四边形ACBD是平行四边形，∴AB与CD互相平分，∴，，∴x＝0，y＝﹣5，∴点D（0，﹣5）；若AC为对角线，则四边形ABCD是平行四边形，∴AC与BD互相平分，∴，，∴x＝8，y＝11，∴点D（8，11）；若BC为对角线，则四边形ACDB是平行四边形，∴BC与AD互相平分，∴，＝，∴x＝﹣8，y＝﹣1，∴点D（﹣8，﹣1），综上所述：点D坐标为（0，﹣5）或（8，11）或（﹣8，﹣1）．5．解：（1）将点B（4，2）代入反比例函数y＝中，得，∴k＝8，Array∴反比例函数的解析式为y＝，图象如图1所示，（2）∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且A（1，2），∴C（1×2，2×2），即C（2，4），由（1）知，反比例函数解析式为y＝，当x＝2时，y＝＝4，∴点C在反比例函数图象上；（3）∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且B（4，2），∴D（4×2，2×2），即D （8，4），由（2）知，C （2，4），∴直线CD 的解析式为y ＝4，∵点M 的横坐标为m ，则M （m ，4），N （m ，），∴MN ＝|4﹣|，∵A （1，2），B （4，2），∴AB ＝3，∵MN ≥AB ，∴|4﹣|≥3，∴m ≥8或m ≤，即0＜m ≤或m ≥8．6．解：（1）把点A （2，a ）代入反比例函数得，a ＝＝4， ∴点A （2，4），代入y ＝kx +1得，4＝2k +1，解得k ＝∴一次函数的表达式为； （2）∵BD ＝10，∴D 的纵坐标为10， 把y ＝10代入得，x ＝6，∴OB ＝6，当x ＝6代入y ＝得，y ＝，即BC ＝，∴CD ＝BD ﹣BC ＝10﹣＝，∴S △ACD ＝×（6﹣2）＝．7．解：（1）依题意，得：点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（3，3）． 当x ＝3时，y ＝x ﹣1＝2，∴点D 的坐标为（3，2）．将D （3，2）代入y ＝，得：2＝，解得：m ＝6，∴反比例函数解析式为y ＝．当y ＝3时，＝3，解得：x ＝2，∴点N 的坐标为（2，3），∴BN ＝3﹣2＝1．（2）当y ＝0时，x ﹣1＝0，解得：x ＝1，∴点M 的坐标为（1，0），∴AM ＝2，∴S 梯形ABNM ＝（BD +AM ）•AB ＝．设点P 的坐标为（x ，x ﹣1）（x ≠1，x ≠3），∴S △BCP ＝BC •|3﹣y P |＝|4﹣x |＝，解得：x 1＝1（舍去），x 2＝7，∴点P 的坐标为（7，6）．（3）过点C 作CF ⊥CP ，交DM 于点F ，如图2所示．设点F 的坐标为（n ，n ﹣1）．∵点C 的坐标为（0，3），点P 的坐标为（7，6），∴PC 2＝（0﹣7）2+（3﹣6）2＝58，CF 2＝（n ﹣0）2+（n ﹣1﹣3）2＝2n 2﹣8n +16，PF2＝（n ﹣7）2+（n ﹣1﹣6）2＝2n 2﹣28n +98．∵∠PCF ＝90°，∴PF 2＝PC 2+CF 2，即2n 2﹣28n +98＝58+2n 2﹣8n +16，解得：n ＝，∴点F 的坐标为（，）．又∵点G 为线段PF 的中点，∴点G 的坐标为（，）．8．解：（1）将A （，1）代入y ＝，得：1＝， 解得：k ＝，∴反比例函数的表达式为y ＝． （2）∵点A 的坐标为（，1），AB ⊥x 轴于点C ，∴OC ＝，AC ＝1，∴OA ＝＝2＝2AC ，∴∠AOC ＝30°．∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°，∴∠B ＝∠AOC ＝30°，∴AB ＝2OA ＝4，∴S △AOB ＝AB •OC ＝×4×＝2． （3）在Rt △AOB 中，OA ＝2，∠AOB ＝90°，∠ABO ＝30°，∴OB ＝＝2． 分三种情况考虑：①当OP ＝OB 时，如图2所示，∵OB ＝2，∴OP ＝2，∴点P 的坐标为（﹣2，0），（2，0），（0，﹣2），（0，2）；②当BP ＝BO 时，如图3，过点B 做BD ⊥y 轴于点D ，则OD ＝BC ＝AB ﹣AC ＝3， ∵BP ＝BO ，∴OP ＝2OC ＝2或OP ＝2OD ＝6，∴点P 的坐标为（2，0），（0，﹣6）；③当PO ＝PB 时，如图4所示．若点P 在x 轴上，∵PO ＝PB ，∠BOP ＝60°，∴△BOP 为等边三角形，∴OP ＝OB ＝2，∴点P 的坐标为（2，0）；若点P 在y 轴上，设OP ＝a ，则PD ＝3﹣a ， ∵PO ＝PB ，∴PB2＝PD2+BD2，即a2＝（3﹣a）2+12，解得：a＝2，∴点P的坐标为（0，﹣2）．综上所述：在坐标轴上存在一点P，使得以O、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为（﹣2，0），（2，0），（0，﹣2），（0，2），（0，﹣6），（0，﹣2）．9．解：（1）∵点B（﹣2，﹣1）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣2×（﹣1）＝2，∴反比例函数的表达式为y＝；当x＝1时，m＝＝2，∴点A的坐标为（1，2）．将A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y＝ax+b，得：，解得：，∴一次函数的表达式为y＝x+1．（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，∴不等式的解为x≤﹣2或0＜x≤1．（3）∵点A的坐标为（1，2），点A，C关于x轴对称，∴点C的坐标为（1，﹣2）．∵点B的坐标为（﹣2，﹣1），BD⊥AC，∴点D的坐标为（1，﹣1），∴CD＝﹣1﹣（﹣2）＝1．在Rt△CDE中，CD＝1，∠CDE＝90°，30°≤∠CED≤60°，∴cot∠CED＝，∴≤DE≤，∴1﹣≤t≤1﹣或1+≤t≤1+．10．解：（1）∵直线y ＝2x 经过点A （2，m ），∴m ＝2×2＝4，∴点A 的坐标为（2，4）．∵双曲线经过点A （2，4）， ∴4＝，∴k ＝8．（2）①由（1）得：双曲线的表达式为y ＝．∵双曲线y ＝经过点B （n ，2），∴2＝，∴n ＝4，∴点B 的坐标为（4，2）．∵点C 是y 轴的负半轴上的一点，且点C 到x 轴的距离是2， ∴点C 的坐标为（0，﹣2），∴AB ＝＝2，BC ＝＝4，AC ＝＝2．∵（2）2+（4）2＝（2）2，∴AB 2+BC 2＝AC 2，∴∠ABC ＝90°，∴S △ABC ＝AB •BC ＝×2×4＝8．②设点E 的坐标为（0，a ），∴AE 2＝（0﹣2）2+（a ﹣4）2＝a 2﹣8a +20，CE 2＝[a ﹣（﹣2）]2＝a 2+4a +4，AC 2＝40．分三种情况考虑，如图2所示．（i ）当AE ＝AC 时，a 2﹣8a +20＝40，解得：a 1＝﹣2（舍去），a 2＝10，∴点E 1的坐标为（0，10）；（ii ）当CE ＝AC 时，a 2+4a +4＝40，解得：a 3＝﹣2+2，a 4＝﹣2﹣2，∴点E 2的坐标为（0，﹣2+2），点E 3的坐标为（0，﹣2﹣2）； （iii ）当CE ＝AE 时，a 2+4a +4＝a 2﹣8a +20，解得：a ＝，∴点E 4的坐标为（0，）．综上所述：点E 的坐标为（0，10），（0，﹣2+2），（0，﹣2﹣2）或（0，）．。
初二函数专题9--反比例函数与三角形面积问题+答案
初二函数专题8--反比例函数与三角形面积问题【例1】 如图，正比例函数y kx =和y ax =(0a >)的图像与反比例函数ky x=(0k >)的图像分别相交于A 点和C 点.若Rt AOB ∆和Rt COD ∆的面积分别为1S 和2S ，则1S 与2S 的关系是( )A .12S S >B .1S =2SC .1S <2SD .不能确定【例2】 （2009湖北四市）如图，已知双曲线()0ky k x=>经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若OBC ∆的面积为3，则k =__________．【例3】 如图，在Rt AOB ∆中，点A 是直线y x m =+与双曲线my x=在第一象限的交点，且2AOB S ∆=，则m 的值是_____.【例4】 如图，已知()()1122A x y B x y ，，，是双曲线ky x=在第一象限内的分支上的两点，连结OA OB ，．（1）试说明111ky OA y y <<+； （2）过B 作BC x ⊥轴于C ，当4m =时，求BOC ∆的面积．【补充】如图，已知反比例函数8y x=-与一次函数y kx b =+的图象交于A B ，两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是2-． 求：（1）一次函数的解析式； （2）AOB ∆的面积．【例5】 （2009年兰州中考）如图，已知A （4-，n ），B （2，4-）是一次函数y kx b=+的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及AOB △的面积； （3）求方程0mkx b x+-=的解（请直接写出答案）； （4）求不等式0mkx b x+-<的解集（请直接写出答案）.x图14【例6】 如图， 已知反比例函数ky x=的图象与一次函数y ax b =+的图象交于()2M m ，和()14N --，两点．（1）求这两个函数的解析式； （2）求MON ∆的面积；（3）请判断点()41P ，是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．【例7】 如图，点A 、B 在反比例函数ky x=(0k >)的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 和2a (0a >)AC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ∆的面积为2．⑴求反比例函数的解析式；⑵若点(a -，1y )，(2a -，2y )也在反比例函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小； ⑶求AOB ∆的面积．【例8】 (2008年义乌市)已知：等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A 的坐标为(-3)，点B 的坐标为(6-，0)．⑴ 若三角形OAB 关于y 轴的轴对称图形是三角形OA B ''， 请直接写出A 、B 的对称点A '、B '的坐标； ⑵ 若将三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A 恰好落在反比例函数y =的图像上，求a 的值； ⑶ 若三角形OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α度(090α<<)．当α=30o 时点B 恰好落在反比例函数ky x的图像上，求k 的值．参考答案：反比例函数与三角形面积问题【例9】 如图，正比例函数y kx =和y ax =(0a >)的图像与反比例函数ky x=(0k >)的图像分别相交于A 点和C 点.若Rt AOB ∆和Rt COD ∆的面积分别为1S 和2S ，则1S 与2S 的关系是( )A .12S S >B .1S =2SC .1S <2SD .不能确定【解析】 设A (1x ，1y )，C (2x ，2y ).则根据题意,1122x y x y k ==.∴111111222S OB AB x y k =⋅==,222111222S OD CD x y k =⋅==.又∴A 点和C 点均在第一象限,∴1x ，1y ，2x ，2y 均为正数,且0k >.1212S S k ==.故选B. 由此我们可以得到一个结论：在反比例函数ky x =(0k ≠)中，具有三角形面积的不变性， 即12AOB COD S S k ∆∆==.在此基础上可以推得：平行四边形面积的不变性，即2AHFP S k =.【例10】 （2009湖北四市）如图，已知双曲线()0ky k x=>经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若OBC ∆的面积为3，则k =__________．【解析】 2【点评】我们可知此题中，OBC DBAE S S ∆=，主要通过面积之间的转化，而达到简便的运算图③【例11】 如图，在Rt AOB ∆中，点A 是直线y x m =+与双曲线my x=在第一象限的交点，且2AOB S ∆=，则m 的值是_____.【解析】 ∴直线y x m =+与双曲线my x=交于点A , 设A 点的坐标为(),A A x y . 则有,A A A Amy x m y x =+=.∴A A m x y =. 又∴点A 在第一象限, ∴,A A A A OB x x AB y y ====.∴111222AOB A A S OB AB x y m ∆===g .而已知2AOB S ∆=. ∴4m =.【例12】 如图，已知()()1122A x y B x y ，，，是双曲线ky x=在第一象限内的分支上的两点，连结OA OB ，．（1）试说明111ky OA y y <<+； （2）过B 作BC x ⊥轴于C ，当4m =时，求BOC ∆的面积．【解析】 （1）过点A 作AD x ⊥轴于D ，则11OD x AD y ==，，因为点()11A x y ，在双曲线xky x=上， 故11k x y =，又在Rt OAD ∆中，AD OA AD OD <<+，所以111ky OA y y <<+；（2）BOC ∆的面积为2．【补充】如图，已知反比例函数8y x=-与一次函数y kx b =+的图象交于A B ，两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是2-． 求：（1）一次函数的解析式； （2）AOB ∆的面积．【解析】 ∴由已知易得()()2442A B --，，，，代入y kx b =+中，求得2y x =-+； ∴当0y =时，2x =，则2y x =-+与x 轴的交点()20M ，， 即2OM =|，于是AOB AOM BOMS S S ∆∆∆=+1111242262222A B OM y OM y =⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯=【例13】 （2009年兰州中考）如图，已知A （4-，n ），B （2，4-）是一次函数y kx b=+的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及AOB △的面积； （3）求方程0mkx b x+-=的解（请直接写出答案）； （4）求不等式0mkx b x+-<的解集（请直接写出答案）.【解析】 （1）∴B （2，4-）在函数my x=的图象上∴8m =-．∴反比例函数的解析式为：8y x=-． ∴点A （4-，n ）在函数8y x=-的图象上 ∴2n =∴A （4-，2）∴y kx b =+经过A （4-，2），B （2，4-）， ∴4224k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解之得12k b =-⎧⎨=-⎩∴一次函数的解析式为：2y x =--（2）∴C 是直线AB 与x 轴的交点 ∴当0y =时，2x =- ∴点C （2-，0） ∴2OC =∴AOB ACO BCO S S S =+△△△11222422=⨯⨯+⨯⨯6=（3）14x =-，22x = （4）40x -<<或2x >【例14】 如图， 已知反比例函数ky x=的图象与一次函数y ax b =+的图象交于()2M m ，和()14N --，两点．（1）求这两个函数的解析式； （2）求MON ∆的面积；（3）请判断点()41P ，是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．图14【解析】 ⑴由已知，得4441k k y x-===-，，．又∵图象过()2M m ，点，∴2m =， ∵y ax b =+图象经过M N ，两点， ∴,422⎩⎨⎧-=+-=+b a b a 解之得,22⎩⎨⎧-==b a ∴22y x =-． ⑵如图，对于22y x =-，0y =时，1x =， ∴()101A OA =，，， ∴1111121432222MON MOA NOA S S S OA MC OA ND ∆∆∆=+=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=⑶将点()41P ，的坐标代入4y x=，知两边相等， ∴P 点在反比例函数图象上．【例15】 如图，点A 、B 在反比例函数ky x=(0k >)的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 和2a (0a >)AC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ∆的面积为2．⑴求反比例函数的解析式；⑵若点(a -，1y )，(2a -，2y )也在反比例函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小； ⑶求AOB ∆的面积．【解析】 ∴由题意设A (a ，k a )，则11222AOC k S a k a ∆=⋅⋅==，得4k =故反比例函数的解析式为4y x=∴因为反比例函数4y x=，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，由0a >，得2a a ->-，所以12y y <∴如图，作BD x ⊥轴于D ，设AC 与OB 相交于点E ，易知AOE ECDB S s ∆=梯形，故AOB ACDB S s ∆=梯形， 易求4AC a =，2BD a =，CD a =，所以142()32AOB ACDB S S a a a∆==+⋅=梯形【例16】 (2008年义乌市)已知：等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A 的坐标为(-3)，点B 的坐标为(6-，0)．⑷ 若三角形OAB 关于y 轴的轴对称图形是三角形OA B ''， 请直接写出A 、B 的对称点A '、B '的坐标；⑸ 若将三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A 恰好落在反比例函数y =的图像上，求a 的值； ⑹ 若三角形OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α度(090α<<)．当α=30o 时点B 恰好落在反比例函数ky x=的图像上，求k 的值． 【解析】 ∴关于y 轴轴对称，则横坐标变为相反数，纵坐标不变.所以，A ，'(6,0)B .∴向右平移a 个单位，则横坐标增加a ，纵坐标不变。
部编数学九年级下册专题04反比例函数模型(专项突破)解析版含答案
专项突破04 反比例函数模型【思维导图】◎突破一 一点一垂线例．（2020·河北·石家庄外国语学校九年级期中）反比例函数y ＝k x图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．k ＞0B ．y 随x 的增大而减小C ．若矩形OABC 面积为2，则k ＝﹣2D ．若图象上点B 的坐标是（﹣2，1），则当x ＜﹣2时，y 的取值范围是y ＜1【答案】C【分析】根据反比例函数的性质对A 、B 、D 进行判断；根据反比例函数系数k 的几何意义对C 进行判断．【详解】解：A 、反比例函数图象分布在第二、四象限，则k ＜0，所以A 选项错误；B 、在每一象限，y 随x 的增大而增大，所以B 选项错误；专训1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，函数2yx=（x＞0）和6yx=（x＞0）的图象将第一象限分成三个区域，点M是②区域内一点，MN⊥x轴于点N，则△MON的面积可能是（）A．0.5．B．1．C．2．D．3.5．专训2．（2022·湖南娄底·九年级期末）如图，点A是反比例函数y＝kx的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是( )A．4B．﹣4C．8D．﹣8【点睛】本题考查了反比例函数解析式，解决此题的关键是能正确利用反比例函数图像上点的意义．专训3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，面积为Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO＝30°，反比例函数kyx=图象恰好经过点A，则k的值为（ ）A．﹣B．C D．◎突破二 一点两垂线例．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A 是反比例函数y=k x-的图象上的一点，过点A 作□ ABCD ，使点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，若□ABCD 面积为6，则k 的值是（ ）A ．1B ．3C ．6D ．-6【答案】CABCD专训1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A是反比例函数4yx=-图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C，则矩形ABOC的面积为（）A．-4B．2C．4D．8专训2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，A，B 两点在双曲线y＝3x上，分别经过A，B 两点向轴作垂线段，已知阴影小矩形的面积为1，则空白两小矩形面积的和S1+S2＝______．专训3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为4，则这个反比例函数的解析式为___________．【答案】y=﹣．【详解】试题分析：过A点向x轴作垂线，与坐标轴围成的四边形的面积是定值|k|，由此可得出答案．解：过A点向x轴作垂线，如图：根据反比例函数的几何意义可得：四边形ABCD的面积为4，即|k|=4，又∵函数图象在二、四象限，∴k=﹣4，即函数解析式为：y=﹣．故答案为y=﹣．考点：反比例函数系数k的几何意义．◎突破三两点一垂线例．（2021·全国·九年级专题练习）如图，A、B是反比例函数y＝2x的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为()．A．1B．2C．3D．4根据题意得：BD m=∴12ABCS AC BD=´=△故选：B．【点睛】本题考查了直角坐标系、反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、坐标系中两点专训1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，直y=mx与双曲线kyx=交于点A，B．过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM．若S△ABM=1，则k的值是（ ）A．1B．m﹣1C．2D．m专训2．（2022·辽宁沈阳·九年级期末）如图，直线y mx =与双曲线n y x =交于点A ,B ．过点A 作AP x ^轴，垂足为点P ，连接BP ．若B 的坐标为()3,2，则BPO S =V _______．专训3．（2022·四川遂宁·中考真题）已知一次函数11y ax =-（a 为常数）与x 轴交于点A ，与反比例函数26y x=交于B 、C 两点，B 点的横坐标为2-．(1)求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；(2)求出点C 的坐标，并根据图象写出当12y y <时对应自变量x 的取值范围；(3)若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积．；（2）◎突破四 两点两垂线例．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A 是第一象限内双曲线y ＝mx（m ＞0）上一点，过点A 作AB ∥x 轴，交双曲线y ＝n x （n ＜0）于点B ，作AC ∥y 轴，交双曲线y ＝nx（n ＜0）于点C ，连接BC ．若△ABC 的面积为92，则m ，n 的值不可能是（ ）A ．m ＝19，n ＝﹣109B ．m ＝14，n ＝﹣54C ．m ＝1，n ＝﹣2D ．m ＝4，n ＝﹣2专训1．（2021·全国·九年级专题练习）点A ，B 分别是双曲线(0)ky k x=>上的点，AC y ^轴正半轴于点C ，BD y ^轴于点D ，联结AD ，BC ，若四边形ACBD 是面积为12的平行四边形，则k =________．【答案】6【分析】首先根据平行四边形的性质得出,OA OB OC OD ==，从而有412AOC ABCD S S ==△四边形，然后根据k 的几何意义求解即可．【详解】如图，∵点A，B分别是双曲线y//AC BD\．∵四边形ACBD是面积为12专训2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，直线y＝mx与双曲线y＝kx交于点A，B，过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，连接BM，AN．若S四边形AMBN＝1，则k的值是_______．◎突破五两点和原点例．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，直线y＝－43x与双曲线y＝kx交于A，B两点，点C在x轴上，连接AC，BC．当AC⊥BC，S△ABC＝15时，k的值为（）A．－10B．－9C．－6D．－4专训1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线kyx=（k≠0），连接OA，OB．若S△ABO＝8，则k的值是（ ）A．﹣12B．﹣8C．﹣6D．﹣4专训2．（2022·福建三明·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点在双曲线y＝2x和y＝kx上，对角线AC，BD均过点O，AD∥y轴，若S四边形ABCD＝12，则k＝_____．专训3．（2021·浙江·温州外国语学校二模）如图，P 是反比例函数3(0)y x x=>图象上一点，过P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点B ，点A ，且分别交反比例函数(0)ky x x=>图象于点C ，点D ，连结OC ，OD ，若图中阴影部分的面积为4，则k 的值为________．设3,P m m æöç÷èø，则,D m æçè∴k BD m=，3mk BE =-∴OCD DBECS S =V 12æ=´çè∴7k=．故答案为：7．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．◎突破六两曲-平行例．（2022·湖南衡阳·八年级期中）如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例函数y3=x（x＞0）和y6=x-（x＞0）的图象交于B、A两点．若点C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为（）A．3B．6C．9D．9 2将x＝a代入反比例函数将x＝a代入反比例函数专训1．（2022·江西南昌·九年级期末）如图，两个反比例函数y 4=x 和y 2=x 在第一象限内的图象分别是C 1和C 2，设点P 在C 1上，PA ⊥x 轴于点A ，交C 2于点B ，则△POB 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．无法计算专训2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 11=k x（x ＞0）及y 22=k x（x ＞0）的图象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为3，则k 1﹣k 2的值等于（ ）A ．1B ．3C ．6D ．8专训3．（2021·北京·首都师范大学附属育新学校九年级开学考试）如图，在AOB V 中，2AOB S =△，//AB x 轴，点A 在反比例函数1y x=的图象上．若点B 在y 反比例函数ky x=的图象上，则k 的值为（ ）A ．32-B ．32C ．3D ．－3k=-；∴3故答案选D．【点睛】本题主要考查了反比例函数的解析式求解，准确计算是解题的关键．。
初中数学中考考点综合专题(二)：反比例函数与几何图形的综合
∠A＝60°，菱形的一个顶点 C 在反比例函数 y＝ k (k≠0)的 x
图象上，则反比例函数的解析式为( B )
A．y＝－ 3 3 x
B．y＝－ 3 x
C．y＝－ 3 x
D．y＝ 3 x
8．如图，四边形 AOBC 和四边形 CDEF 都是正 方形，边 OA 在 x 轴上，边 OB 在 y 轴上，点 D 在边
由题意得 A′B′＝4，∠A′B′E＝60°. ∴∠B′DE＝30°. 在 Rt△DEB′中，B′D＝2， ∴B′E＝1.
∴DE＝ B' D2 B' E 2 22 12 3.
∴O′E＝3.
把 y＝ 3代入 y＝4x3，得 x＝4. ∴OE＝4. ∴a＝OO′＝1；
如图③，当反比例函数图象经过 A′O′的中点 F 时，过点 F 作 FH⊥x 轴于点 H.
∴AE＝6. 又∵▱ABCD 的面积是 24， ∴AD＝BC＝4.
∴D(4，2)． ∴k＝4×2＝8.
∴反比例函数的解析式为 y＝ 8 . x
(2)AB 所在直线的解析式． (2)由题意知 B 的纵坐标为－4， ∴其横坐标为－2. ∴B(－2，－4)． 设 AB 所在直线的解析式为 y＝ax＋b，
(4，12)
.
10．如图，在▱ ABCD 中，顶点 A 的坐标是(0， 2)，AD∥x 轴，BC 交 y 轴于点 E，顶点 C 的纵坐 标是－4，▱ ABCD 的面积是 24.反比例函数 y＝ k 的
x 图象经过点 B 和点 D，求：
(1)反比例函数的解析式；
解：(1)∵顶点 A 的坐标是(0，2)，顶点 C 的纵坐 标是－4，
x 得 k＝2，∴y＝ 2 .
x
(2)连接 BD，若点 P 是反比例函数图象上的一 点，且直线 OP 将△OBD 的周长分成相等的两部分， 求点 P 的坐标．
反比例函数中的面积问题专题课程教案
反比例函数中的面积问题专题课程教案第一章：反比例函数的概念与性质1.1 反比例函数的定义引导学生回顾反比例函数的定义，即形如y = k/x (k ≠0) 的函数。
强调反比例函数中k 的作用，k 表示函数在x 轴和y 轴上的截距。
1.2 反比例函数的性质分析反比例函数的图像特征，如双曲线、渐近线等。
探讨反比例函数的单调性、奇偶性等性质。
第二章：反比例函数图像的绘制2.1 绘制反比例函数图像的基本方法介绍利用坐标轴、点斜式等方法绘制反比例函数图像。
强调反比例函数图像的中心对称性和轴对称性。
2.2 利用尺规作图绘制反比例函数图像引导学生运用尺规作图的方法，绘制特定k 值的的反比例函数图像。
讨论不同k 值对图像形状和位置的影响。
第三章：反比例函数中的面积问题3.1 反比例函数图像的面积计算引入反比例函数图像中任意三角形、四边形的面积计算方法。
强调利用函数值和坐标轴围成的封闭区域的面积计算公式。
3.2 反比例函数图像与坐标轴围成的面积引导学生探讨反比例函数图像与坐标轴围成的封闭区域的面积。
分析不同k 值对封闭区域形状和面积的影响。
第四章：反比例函数图像的交点问题4.1 反比例函数图像与直线交点的求解引导学生运用解析几何方法，求解反比例函数图像与直线的交点。
强调运用韦达定理、判别式等工具解题。
4.2 反比例函数图像与圆的交点问题探讨反比例函数图像与圆的交点个数和位置关系。
引导学生运用代数方法解反比例函数与圆的交点问题。
第五章：反比例函数图像的应用问题5.1 反比例函数图像在实际问题中的应用引入实际问题，如面积、距离、速度等，运用反比例函数图像解决。
强调反比例函数图像在实际问题中的直观性和实用性。
5.2 反比例函数图像的综合应用问题引导学生运用反比例函数图像解决综合应用问题，如平面几何、物理等。
强调运用反比例函数图像解决问题的方法和技巧。
第六章：反比例函数图像的变换6.1 反比例函数图像的平移讲解反比例函数图像如何通过平移实现变换，包括上下左右平移。
2024中考数学综合复习模型篇专题07 反比例函数K值与几何面积综合(解析版)
专题07反比例函数K 值与几何面积综合（1）反比例函数上任何一点与轴线围城的直角三角形面积都相等|k|/2；2OCF kS S S OBN OAM ===∆∆∆图中21|-|2OABPABk k SS∆∆==图中2k===∆∆∆S S S CBD OBD PDB 图中（2）图像上任意两点与原点构成的三角形的面积等于直角梯形的面积；【真题演练】1．（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y ＝和y ＝的图象的四个分支上，则实数n 的值为（ ）A ．﹣3B ．﹣C ．D ．3【答案】A【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O ，过点A ，B 分别作x 轴的垂线．垂足分别为C、D，点B在函数y＝上，如图：∵四边形是正方形，∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴S△AOC ＝S△OBD＝＝，∵点A在第二象限，∴n＝﹣3，故选：A．2．（2023•张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD＝AB，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（ ）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解答】解：解法一：∵四边形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），∵矩形OABC的对称中心M，∴延长OM恰好经过点B，M（，），∵点D在AB上，且AD＝AB，∴D（，b），∴BD＝a，∴S△BDM＝BD•h＝×a×（b﹣）＝ab，∵D在反比例函数的图象上，∴ab＝k，∵S△ODM ＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM＝ab﹣k﹣ab＝3，∴ab＝16，∴k＝ab＝4，解法二：连接BM，因为点M是矩形的对称中心，∴三角形DMO的面积＝三角形DMB的面积，则三角形DBO的面积为6，∵AD＝1/4AB，∴AD：DB＝1：3，∴三角形ADO的面积：三角形DBO的面积为1：3，即三角形ADO的面积为2，∴K＝4．故选：C．3．（2023•黑龙江）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D．若S△BCD＝12，则k的值是（ ）A．﹣6B．﹣12C．﹣D．﹣9【答案】C【解答】解：设BC与y轴的交点为F，B（b，），则A（﹣b，﹣），b＞0，由题意知，AO＝BO，即O是线段AB的中点，过A作AE⊥BC于点E，∵AC＝AB，AE⊥BC，∴BE＝CE，AE∥y轴，∴CF＝3BF＝3b，∴C（﹣3b，），∴D（﹣3b，），∴CD＝，BC＝4b，∴S＝，△BCD∴k＝﹣．故选：C．4．（2023•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，过点N作NQ⊥x轴于点Q，过C作CT⊥y轴交y轴于T，交NQ于K，设OA＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），∵OP：BP＝1：4，BM＝CM，∴A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，2c），∵∠NCK＝∠ACT，∠NKC＝90°＝∠ATC，∴△NKC∽△ATC，∴＝＝，∵NC＝2AN，∴CK＝2TK，NK＝AT，∴，解得，∴，∴，，∴，∵△APN 的面积为3，∴S 梯形OANQ ﹣S △AOP ﹣S △NPQ ＝3，∴，∴2ab +bc ＝9，将点M （5b ，c ），代入得：，整理得：2a ＝7c ，将2a ＝7c 代入2ab +bc ＝9得：7bc +bc ＝9，∴，∴，故选：B ．5．（2022•日照）如图，矩形OABC 与反比例函数y 1＝（k 1是非零常数，x ＞0）的图象交于点M ，N ，与反比例函数y 2＝（k 2是非零常数，x ＞0）的图象交于点B ，连接OM ，ON ．若四边形OMBN 的面积为3，则k 1﹣k 2＝（ ）A ．3B ．﹣3C ．D ．【答案】B【解答】解：∵y 1、y 2的图象均在第一象限，∴k 1＞0，k 2＞0，∵点M 、N 均在反比例函数y 1＝（k 1是非零常数，x ＞0）的图象上，∴S △OAM ＝S △OCN ＝k 1，∵矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y 2＝（k 2是非零常数，x ＞0）的图象上，∴S 矩形OABC ＝k 2，∴S 四边形OMBN ＝S 矩形OABC ﹣S △OAM ﹣S △OCN ＝3，∴k 2﹣k 1＝3，∴k 1﹣k 2＝﹣3，故选：B ．6．（2022•郴州）如图，在函数y ＝（x ＞0）的图象上任取一点A ，过点A 作y 轴的垂线交函数y ＝﹣（x ＜0）的图象于点B ，连接OA ，OB ，则△AOB 的面积是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．10【答案】B【解答】解：∵点A 在函数y ＝（x ＞0）的图象上，∴S △AOC ＝×2＝1，又∵点B 在反比例函数y ＝﹣（x ＜0）的图象上，∴S △BOC ＝×8＝4，∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝1+4＝5，故选：B ．7．（2022•十堰）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2＝（ ）A．36B．18C．12D．9【答案】B【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图象上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B．8．（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数y＝的图象上，顶点A在反比例函数y＝的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（ ）A．2B．1C．﹣1D．﹣2【答案】D【解答】解：设B（a，），∵四边形OBAD是平行四边形，∴AB∥DO，∴A（，），∴AB＝a﹣，∵平行四边形OBAD的面积是5，∴（a﹣）＝5，解得k＝﹣2，故选：D．9．（2023•连云港）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC＝，则k＝ ﹣ ．【答案】﹣．【解答】解：作AE⊥x轴于E，∵矩形OABC的面积是6，∴△AOC的面积是3，∵∠AOC＝90°，cos∠OAC＝，∴，∵对角线AC∥x轴，∴∠AOE＝∠OAC，∵∠OEA＝∠AOC＝90°，∴△OEA∽△AOC，∴，∴，∴S＝，△OEA∵S＝|k|，k＜0，△OEA∴k＝﹣．故答案为：﹣．10．（2023•枣庄）如图，在反比例函数（x＞0）的图象上有P1，P2，P3，…P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S2023，则S1+S2+S3+…+S2023＝ ．【答案】．【解答】解：∵P1，P2，P3，...P2024的横坐标依次为1，2，3， (2024)∴阴影矩形的一边长都为1，将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至y轴，∴S 1+S2+S3+…+S2023＝，把x＝2024代入关系式得，y＝，即OA＝，∴S＝OA•OC＝，矩形OABC由几何意义得，＝8，∴＝8﹣＝．故答案为：．11．（2023•朝阳）如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接PA，PB．若△ABP的面积等于3，则k的值为6 ．【答案】6．【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝，∵△AOB的面积＝△ABP的面积＝3，△AOB的面积＝|k|，∴|k|＝3，∴k＝±6；又∵反比例函数的图象的一支位于第一象限，∴k＞0．∴k＝6．故答案为：6．12．（2023•衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为24 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：设OA＝4a，∵AO＝2AB，∴AB＝2a，∴OB＝AB+OA＝6a，则B（6a，0），由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，∵Q为BE中点，∴BQ＝AB＝a，∴Q（6a，a），∵Q在反比例函数y＝（k＞0））上，∴k＝6a×a＝6a2，∵四边形OACD是正方形，∴C（4a，4a），∵P在CD上，∴P点纵坐标为4a，∵P在反比例函数y＝（k＞0）上，∴P点横坐标为：x＝，∴P（，4a），∵作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N，∴四边形OMNH是矩形，∴NH＝，MH＝a，∴S＝NH×MH＝×a＝6，矩形OMHN则k＝24，故答案为：24．13．（2023•锦州）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC 的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为4 ．【答案】4．【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图：设点C的坐标为（a，b），点A的坐标为（0，c），∴CD＝a，OA＝c，∵△AOC的面积是6，∴，∴ac＝12，∵点C（a，b）在反比例函数（x＞0）的图象上，∴k＝ab，∵点B为AC的中点，∴点，∵点B在反比例函数（x＞0）的图象上，∴，即：4k＝a（b+c），∴4k＝ab+ac，将ab＝k，ac＝12代入上式得：k＝4．故答案为：4．14．（2023•黄石）如图，点A（a，）和B（b，）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，其中a＞b＞0．过点A作AC⊥x轴于点C，则△AOC的面积为 ；若△AOB的面积为，则＝ 2 ．【答案】，2．【解答】解：因为点A（a，）在反比例函数y＝的图象上，则，又a＞0，解得k＝5．根据k的几何意义可知，．过点B作x轴的垂线，垂足为D，则S △OBD +S 梯形ACDB ＝S △AOC +S △AOB ，又根据k 的几何意义可知，S △OBD ＝S △AOC ，则S 梯形ACDB ＝S △AOB ．又△AOB 的面积为，且A （a ，），B （b ，），所以，即．解得．又a ＞b ＞0，所以．故答案为：，2．15．（2023•辽宁）如图，矩形ABCD 的边AB 平行于x 轴，反比例函数y ＝（x ＞0）的图象经过点B ，D ，对角线CA 的延长线经过原点O ，且AC ＝2AO ，若矩形ABCD 的面积是8，则k 的值为6 ．【答案】6．【解答】解：如图，延长CD 交y 轴于E ，连接OD ，∵矩形ABCD 的面积是8，∴S △ADC ＝4，∵AC ＝2AO ，∴S △ADO ＝2，∴△ACD ∽△OCE ，∴AD ：OE ＝AC ：OC ＝2：3，∴S △ODE ＝3，由几何意义得，＝3，∵k ＞0，∴k ＝6，故答案为：6．16．（2023•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数（k 为大于0的常数，x ＞0）图象上的两点A（x 1，y 1），B （x 2，y 2），满足x 2＝2x 1，△ABC 的边AC ∥x 轴，边BC ∥y 轴，若△OAB 的面积为6，则△ABC 的面积是2 ．【答案】2．【解答】解：如图，延长CA 交y 轴于E ，延长CB 交x 轴于点F ，∴CE ⊥y 轴，CF ⊥x 轴，∴四边形OECF 为矩形，∵x 2＝2x 1，∴点A 为CE 的中点，由几何意义得，S △OAE ＝S △OBF ，∴点B 为CF 的中点，∴S △OAB ＝S 矩形OECF ＝6，∴S 矩形OECF ＝16，∴S △ABC ＝×16＝2．217．（2022•烟台）如图，A，B是双曲线y＝（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为6 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：因为D为AC的中点，△AOD的面积为3，所以△AOC的面积为6，所以k＝12＝2m．解得：m＝6．故答案为：6．18．（2022•黄石）如图，反比例函数y＝的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，△OCE的面积为6，则k＝ 8 ．【答案】8．【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H，设点A（a，），C（c，0），∵点E是矩形ABCD的对角线的交点，∴E（，），∵点E在反比例函数y＝的图象上，∴＝k，∴c＝3a，∵△OCE的面积为6，∴OC•EH＝c•＝×3a•＝6，∴k＝8，故答案为：8．19．（2022•衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S＝6，则k＝ ．△ABC【答案】．【解答】解：如图，作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，设C（m，），则OM＝m，CM＝，∵OE∥CM，AE＝CE，∴＝＝1，∴AO＝m，∵DN∥CM，CD＝2BD，∴＝＝＝，∴DN＝，∴D的纵坐标为，∴＝，∴x＝3m，即ON＝3m，∴MN＝2m，∴BN＝m，∴AB＝5m，∵S＝6，△ABC∴5m•＝6，∴k＝．故答案为：．20．（2022•宜宾）如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为9 ．【答案】9．【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图，∵△OMN是边长为10的等边三角形，∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°设OC＝b，则BC＝，OB＝2b，∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，b），∵∠M＝60°，AB⊥OM，∴AM＝2BM＝20﹣4b，∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣4b）＝4b﹣10，∵∠AND＝60°，∴DN＝＝2b﹣5，AD＝AN＝2b﹣5，∴OD＝ON﹣DN＝15﹣2b，∴A（15﹣2b，2b﹣5），∵A、B两点都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝（15﹣2b）（2b﹣5）＝b•b，解得b＝3或5，当b＝5时，OB＝2b＝10，此时B与M重合，不符题意，舍去，∴b＝3，∴k＝b•b＝9，故答案为：9．21．（2022•鄂尔多斯）如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、F分别是边AB、OA上的点，且∠ECF＝45°，将△ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处．已知反比例函数y1＝＝5，则k1﹣k2＝ 10 ．和y2＝分别经过点B、点E，若S△COD【答案】见试题解答内容【解答】解：作EH ⊥y 轴于点H ，则四边形BCHE 、AEHO 都为矩形，∵∠ECF ＝45°，∴∠OCD +∠OCF ＝45°，∵∠DOC +∠OCF ＝45°，∴∠BCE ＝∠OCD ，∵BC ＝OC ，∠B ＝∠COD ，∴△BCE ≌△OCD （ASA ），∴S △BCE ＝S △COD ＝5，∴S △CEH ＝5，S 矩形BCHE ＝10，∴根据反比例函数系数k 的几何意义得：k 1﹣k 2＝S 矩形BCHE ＝10，故答案为：10．22．（2022•东营）如图，△OAB 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，则经过点A 的函数图象表达式为y ＝﹣ ．【答案】y＝﹣．【解答】解：如图，作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，∴∠ADO＝∠BCO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOD+∠BOC＝90°，∴∠AOD+∠DAO＝90°，∴∠BOC＝∠DAO，∵OB＝OA，∴△BOC≌△OAD（AAS），∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴S＝，△OBC∴S＝，△OAD∴k＝﹣1，∴经过点A的反比例函数解析式为y＝﹣．故答案为：y＝﹣．23．（2022•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE 位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是6 ．【答案】6．【解答】解：过点F作FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，过点D作DQ⊥x轴于点Q，如图所示，根据题意可知，AC＝OE＝BD，设AC＝OE＝BD＝a，∴四边形ACEO的面积为4a，∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，∴FG为△EDQ的中位线，∴FG＝DQ＝2，EG＝EQ＝，∴四边形HFGO的面积为2（a+），∴k＝4a＝2（a+），解得：a＝，∴k＝6．故答案为：6．24．（2022•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，连接CD．若△ACD的面积是1，则k的值是 ．【答案】．【解答】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，∵∠ABO＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，∴S△COE ＝S△BOD＝k，S△ACD＝S△OCD＝1，∵CE∥AB，∴△OCE∽△OAB，∴△OCE与△OAB得到面积比为1：4，∴4S△OCE ＝S△OAB，∴4×k＝1+1+k，∴k＝．故答案为：．。