矩阵论及其应用-chapter2
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记为f 1 =g，g 1 f .
§2.3 线性变换与矩阵
1．线性变换的矩阵(建立线性变换与矩阵的关系)
设 1 , 2 , , n 为数域P上线性空间V的一组基， f 为V的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设
f ( 1 ) 11 1 21 2 n1 n f ( 2 ) 12 1 22 2 n 2 n f ( ) n 1n 1 2n 2 nn n 用矩阵表示即为
f 1 , 2 ,, n f 1 , f 2 ,, f n 1 , 2 ,, n A
11 12 1n 其中 21 22 2 n A , nn n1 n 2 矩阵A称为线性变换 f 在基 1 , 2 , , n下的矩阵. 注： A的第i列是 f ( i ) 在基 1 , 2 , , n 下的坐标，
它是唯一的. 故 f 在取定一组基下的矩阵是唯一的.
矩阵
一一对应
线性变换
例1. 设线性空间 P 的线性变换 f 为
f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x1 x2 )
3
求 f 在标准基 1 , 2 , 3 下的矩阵.
解： f ( 1 ) f (1,0,0) (1,0,1)
另一方面，基象的线性组合仍是一个象，因此
R f Span f (1 ), f ( 2 ), , f ( n )
故
R f Span f (1 ), f ( 2 ), , f ( n )
8.定理2.1.3
证明：通过定理2.1.2和基扩充定理。此处略。
f ( 2 ) f (0,1,0) (0,1,1) f ( 3 ) f (0,0,1) (0,0,0)
1 0 0 f ( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 2 , 3 ) 0 1 0 1 1 0
例2.3.1
已知 P3 (t ) 的线性变换
零变换的象是？
单位变换的核是？
0
0
单位变换的象是？
整个线性空间
6.定义2.1.4 秩，亏度 象子空间的维数dimR( f )叫作 f 的秩，记为r( f ) 核子空间的维数dimN( f )叫作 f 的亏度或零度， 记为null( f ) 7.定理2.1.2 设 f 是线性空间V的一个线性变换，
显然T ( A) B.
变换的概念是函数概念的推广．
线性变换的定义和性质 1.定义2.1.1：线性变换
设 f 是数域P上的线性空间V 到自身的一个映射，
如果下列条件被满足，则称f 是线性空间V的一个线 性变换：
1 对于任意的， V，f ( ) f ( ) f ( ); ） 2） 对于任意的k P, V，f (k ) kf ( ).
T (a0 a1t a2t 2 a3t 3 ) (a0 a2 ) (a1 a3 )t (a2 a0 )t 2 (a3 a1 )t 3
求T在基 1, t , t 2 , t 3 下的矩阵。
T (1) 1 t 2 ,
T (t ) t t 3 ,
9.定义2.1.5
设 f 是线性空间V的一个线性变换，
W是V的一个子空间， 如果对任意的向量 W，都有f ( ) W
则称W是 f 的不变子空间，简称f-子空间。
例：线性空间V自身和零空间在任何变换下显然不变。
R( f ),N( f )为 f 的不变子空间。 N ( f ), f ( ) 0 N ( f )
3) 若1 , 2 , , r 线性相关, 则 f (1 )，f ( 2 )， ，f ( r ) 也线性相关, 反之不然。
恒等变换和零变换 例2.3.1 判定矩阵空间的下列变换是否为线性变换。
(1)在K nn中，T ( X ) AX XB, X K nn , A、B K nn取定。
T ( )
或
T , ( A).
设 A, T ( ) , 就说变换T把元素变为 ,
称为 在变换T下的象, 称为在变换T下的源.
A称为变换T的源集, 象的全体所构成的集合称为 象集, 记作T ( A), 即
T ( A) T ( ) A,
1.定义2.2.1 线性变换相等、和、数乘、积 （1）如果f ( ) g ( ), 则称f 与g相等，记作f g.
（2）f ( )+g ( )称为f 与g的和，记作f +g， 即(f +g)( ) f ( )+g ( ).
（3）kf ( )称为k与f 的数乘法，记作kf ， 即(kf )( ) kf ( ) （4）f ( g ( ))称为f 与g的积，记作fg， 即( fg )( ) f ( g ( )).
R( f ) { f ( ) | V }显然包含了R( f )中向量的象。
§2.2 线性变换的运算
教学目的: 掌握线性变换的运算及其简单性质 教学难点: 线性变换的乘法运算
教学重点: 线性变换的运算
一、 线性变换的运算
设L(V)表示线性空间V的一切线性变换所组 成的集合，则对任意的 V, k P, f,g L(V )
定理2.2.1： (V ) 对于加法与数乘构成数域P上的一个 L 线性空间 分析：只需证明 L(V )对线性运算封闭且满足8条性质. 证明： 设 V, a, b R, f,g L(V ),
令h f g , 则
h(a b ) f (a b ) g (a b ) af ( ) bf ( ) ag ( ) bg ( ) a( f ( ) g ( )) b( f ( ) g ( )).
(5) k ( f g ) kf kg ; (7) (kt ) f k (tf );
(6) (k t ) f kf tf ; (8) 1f f .
所以 L(V )对于加法与数乘构成数域P上的一个 线性空间
由线性变换积的运算，以下运算律成立：
(9) f ( g l ) fg fl; (11) (kf ) g k ( fg ); (10) ( g l ) f gf lf ;
第二章
线性变换
武文佳
上海电机学院数理教学部 wuwj@sdju.edu.cn
§2.1 线性变换的定义
教学目的: 理解线性变换的概念
教学重点: 线性变换的概念 教学难点: 线性变换的概念
一、线性变换的概念
引入 线性空间中向量之间的联系，是通过线性空 间到线性空间的映射来实现的．
定义1 设有两个非空集合A, B , 如果对于A中任一 元素 , 按照一定规则, 总有 B中一个确定的元素 和它对应, 那么, 这个对应规则称为从集合A到集合 B的变换(或映射), 记作
由此可定义线性变换的差：f g f ( g ); 因此在L(V )中，加法的逆运算减法可以施行。
再设k , t R, f L(V ), , V , a, b R
令h kf , 则
h(a b ) k ( f (a b )) k (af ( ) bf ( )) akf ( ) bkf ( ) ah( ) bh( ) 易证下列等式成立：
T ( t ) 1 t ,
2 2
T ( t 3 ) 1 t 3
0 1 0 1 0 1 0 1 A 1 0 1 0 0 1 0 1
1 A 2 2
2 1 2
2 2 1
T (1 ) 1 2 2 2 3 ,
线性变换的核与象
4.定义2.1.3 象子空间，核子空间
设 f 是数域P上的线性空间V的一个线性变换，
(1)V中所有向量在 f 下的象f ( )的集合称为f 的值域， 记作R( f )(也称为f 的象子空间),即R( f )={f ( ) | V }。
(2)所有被 f 变为零向量的元素构成的集合称为f 的核，
记作 ker( f )或者f 1 (0)，也称其为f 的零空间或核子空间，
记作N ( f ),即
N ( f ) Ker ( f ) { | f ( ) 0, V } V .
线性变换的核与象
5.定理2.1.1 线性空间V的线性变换 f 的值域与核 都是V的线性子空间。
思考 零变换的核是？ 整个线性空间
(2)在K nn中，T ( X ) AXB C , X K nn , A、B、C K nn取定。
3.定义2.1.2 零变换，恒等变换 零变换:
V，恒有f ( ) 0，则f 称为零变换，记作0
恒等变换: V，恒有f ( ) ，则f 称为恒等变换，记作E
k1 (21 2 2 3 ) k2 (21 2 2 3 ) k1 ( 1 2 ) k2 (1 3 ) W
(12) ( fg )l f ( gl ). n个 由(12)可定义线性变换的幂运算： n f f f , n Z . f
令I 表示V的单位变换，定义f 0 =I .
事实上: (1) f , g L(V ), 一般的,fg gf . (2) 若f , g L(V )，且fg =gf =I，则称f 与g互为逆变换，
所以h f g是V的一个线性变换。
2.性质 线性变换的加法满足交换律和结合律
(1) f g g f ;
(2) ( f g ) l f ( g l ); 显然：f ( f ) 0;
(3) 以0表示零变换，则0 f f ; (4) 负变换： f : f ( );
T ( 2 ) 21 2 2 3 ,
T ( 3 ) 21 2 2 3
k1 ( 1 2 ) k2 ( 1 3 )
T ( ) k1T ( 1 2 ) k2T ( 1 3 ) k1T (1 ) k1T ( 2 ) k2T (1 ) k2T ( 3 ) ( k1 k2 )T (1 ) k1T ( 2 ) k2T ( 3 ) (k1 k2 )(1 2 2 2 3 )
上述条件等价于 f (ຫໍສະໝຸດ Baidu b ) af ( ) bf ( ); V中元素彼此之间存在上述线性关系。
线性变换的定义和性质
2.性质
f是数域P上的线性空间V的一个线性变换，则f有如下性质：
1) f (0) 0, f ( ) f ( )
2) 若 =k11 k2 2 kr r , 则 f ( )=k1 f (1 ) k2 f ( 2 ) kr f ( r ),
1 , 2 , n是V的一个基，则有 R( f ) span{ f (1 )，f ( 2 )， ，f ( n )}
f ( ) k1 f (1 ) k2 f ( 2 ) kn f ( n )
R f Span f (1 ), f ( 2 ), , f ( n )
§2.3 线性变换与矩阵
1．线性变换的矩阵(建立线性变换与矩阵的关系)
设 1 , 2 , , n 为数域P上线性空间V的一组基， f 为V的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设
f ( 1 ) 11 1 21 2 n1 n f ( 2 ) 12 1 22 2 n 2 n f ( ) n 1n 1 2n 2 nn n 用矩阵表示即为
f 1 , 2 ,, n f 1 , f 2 ,, f n 1 , 2 ,, n A
11 12 1n 其中 21 22 2 n A , nn n1 n 2 矩阵A称为线性变换 f 在基 1 , 2 , , n下的矩阵. 注： A的第i列是 f ( i ) 在基 1 , 2 , , n 下的坐标，
它是唯一的. 故 f 在取定一组基下的矩阵是唯一的.
矩阵
一一对应
线性变换
例1. 设线性空间 P 的线性变换 f 为
f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x1 x2 )
3
求 f 在标准基 1 , 2 , 3 下的矩阵.
解： f ( 1 ) f (1,0,0) (1,0,1)
另一方面，基象的线性组合仍是一个象，因此
R f Span f (1 ), f ( 2 ), , f ( n )
故
R f Span f (1 ), f ( 2 ), , f ( n )
8.定理2.1.3
证明：通过定理2.1.2和基扩充定理。此处略。
f ( 2 ) f (0,1,0) (0,1,1) f ( 3 ) f (0,0,1) (0,0,0)
1 0 0 f ( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 2 , 3 ) 0 1 0 1 1 0
例2.3.1
已知 P3 (t ) 的线性变换
零变换的象是？
单位变换的核是？
0
0
单位变换的象是？
整个线性空间
6.定义2.1.4 秩，亏度 象子空间的维数dimR( f )叫作 f 的秩，记为r( f ) 核子空间的维数dimN( f )叫作 f 的亏度或零度， 记为null( f ) 7.定理2.1.2 设 f 是线性空间V的一个线性变换，
显然T ( A) B.
变换的概念是函数概念的推广．
线性变换的定义和性质 1.定义2.1.1：线性变换
设 f 是数域P上的线性空间V 到自身的一个映射，
如果下列条件被满足，则称f 是线性空间V的一个线 性变换：
1 对于任意的， V，f ( ) f ( ) f ( ); ） 2） 对于任意的k P, V，f (k ) kf ( ).
T (a0 a1t a2t 2 a3t 3 ) (a0 a2 ) (a1 a3 )t (a2 a0 )t 2 (a3 a1 )t 3
求T在基 1, t , t 2 , t 3 下的矩阵。
T (1) 1 t 2 ,
T (t ) t t 3 ,
9.定义2.1.5
设 f 是线性空间V的一个线性变换，
W是V的一个子空间， 如果对任意的向量 W，都有f ( ) W
则称W是 f 的不变子空间，简称f-子空间。
例：线性空间V自身和零空间在任何变换下显然不变。
R( f ),N( f )为 f 的不变子空间。 N ( f ), f ( ) 0 N ( f )
3) 若1 , 2 , , r 线性相关, 则 f (1 )，f ( 2 )， ，f ( r ) 也线性相关, 反之不然。
恒等变换和零变换 例2.3.1 判定矩阵空间的下列变换是否为线性变换。
(1)在K nn中，T ( X ) AX XB, X K nn , A、B K nn取定。
T ( )
或
T , ( A).
设 A, T ( ) , 就说变换T把元素变为 ,
称为 在变换T下的象, 称为在变换T下的源.
A称为变换T的源集, 象的全体所构成的集合称为 象集, 记作T ( A), 即
T ( A) T ( ) A,
1.定义2.2.1 线性变换相等、和、数乘、积 （1）如果f ( ) g ( ), 则称f 与g相等，记作f g.
（2）f ( )+g ( )称为f 与g的和，记作f +g， 即(f +g)( ) f ( )+g ( ).
（3）kf ( )称为k与f 的数乘法，记作kf ， 即(kf )( ) kf ( ) （4）f ( g ( ))称为f 与g的积，记作fg， 即( fg )( ) f ( g ( )).
R( f ) { f ( ) | V }显然包含了R( f )中向量的象。
§2.2 线性变换的运算
教学目的: 掌握线性变换的运算及其简单性质 教学难点: 线性变换的乘法运算
教学重点: 线性变换的运算
一、 线性变换的运算
设L(V)表示线性空间V的一切线性变换所组 成的集合，则对任意的 V, k P, f,g L(V )
定理2.2.1： (V ) 对于加法与数乘构成数域P上的一个 L 线性空间 分析：只需证明 L(V )对线性运算封闭且满足8条性质. 证明： 设 V, a, b R, f,g L(V ),
令h f g , 则
h(a b ) f (a b ) g (a b ) af ( ) bf ( ) ag ( ) bg ( ) a( f ( ) g ( )) b( f ( ) g ( )).
(5) k ( f g ) kf kg ; (7) (kt ) f k (tf );
(6) (k t ) f kf tf ; (8) 1f f .
所以 L(V )对于加法与数乘构成数域P上的一个 线性空间
由线性变换积的运算，以下运算律成立：
(9) f ( g l ) fg fl; (11) (kf ) g k ( fg ); (10) ( g l ) f gf lf ;
第二章
线性变换
武文佳
上海电机学院数理教学部 wuwj@sdju.edu.cn
§2.1 线性变换的定义
教学目的: 理解线性变换的概念
教学重点: 线性变换的概念 教学难点: 线性变换的概念
一、线性变换的概念
引入 线性空间中向量之间的联系，是通过线性空 间到线性空间的映射来实现的．
定义1 设有两个非空集合A, B , 如果对于A中任一 元素 , 按照一定规则, 总有 B中一个确定的元素 和它对应, 那么, 这个对应规则称为从集合A到集合 B的变换(或映射), 记作
由此可定义线性变换的差：f g f ( g ); 因此在L(V )中，加法的逆运算减法可以施行。
再设k , t R, f L(V ), , V , a, b R
令h kf , 则
h(a b ) k ( f (a b )) k (af ( ) bf ( )) akf ( ) bkf ( ) ah( ) bh( ) 易证下列等式成立：
T ( t ) 1 t ,
2 2
T ( t 3 ) 1 t 3
0 1 0 1 0 1 0 1 A 1 0 1 0 0 1 0 1
1 A 2 2
2 1 2
2 2 1
T (1 ) 1 2 2 2 3 ,
线性变换的核与象
4.定义2.1.3 象子空间，核子空间
设 f 是数域P上的线性空间V的一个线性变换，
(1)V中所有向量在 f 下的象f ( )的集合称为f 的值域， 记作R( f )(也称为f 的象子空间),即R( f )={f ( ) | V }。
(2)所有被 f 变为零向量的元素构成的集合称为f 的核，
记作 ker( f )或者f 1 (0)，也称其为f 的零空间或核子空间，
记作N ( f ),即
N ( f ) Ker ( f ) { | f ( ) 0, V } V .
线性变换的核与象
5.定理2.1.1 线性空间V的线性变换 f 的值域与核 都是V的线性子空间。
思考 零变换的核是？ 整个线性空间
(2)在K nn中，T ( X ) AXB C , X K nn , A、B、C K nn取定。
3.定义2.1.2 零变换，恒等变换 零变换:
V，恒有f ( ) 0，则f 称为零变换，记作0
恒等变换: V，恒有f ( ) ，则f 称为恒等变换，记作E
k1 (21 2 2 3 ) k2 (21 2 2 3 ) k1 ( 1 2 ) k2 (1 3 ) W
(12) ( fg )l f ( gl ). n个 由(12)可定义线性变换的幂运算： n f f f , n Z . f
令I 表示V的单位变换，定义f 0 =I .
事实上: (1) f , g L(V ), 一般的,fg gf . (2) 若f , g L(V )，且fg =gf =I，则称f 与g互为逆变换，
所以h f g是V的一个线性变换。
2.性质 线性变换的加法满足交换律和结合律
(1) f g g f ;
(2) ( f g ) l f ( g l ); 显然：f ( f ) 0;
(3) 以0表示零变换，则0 f f ; (4) 负变换： f : f ( );
T ( 2 ) 21 2 2 3 ,
T ( 3 ) 21 2 2 3
k1 ( 1 2 ) k2 ( 1 3 )
T ( ) k1T ( 1 2 ) k2T ( 1 3 ) k1T (1 ) k1T ( 2 ) k2T (1 ) k2T ( 3 ) ( k1 k2 )T (1 ) k1T ( 2 ) k2T ( 3 ) (k1 k2 )(1 2 2 2 3 )
上述条件等价于 f (ຫໍສະໝຸດ Baidu b ) af ( ) bf ( ); V中元素彼此之间存在上述线性关系。
线性变换的定义和性质
2.性质
f是数域P上的线性空间V的一个线性变换，则f有如下性质：
1) f (0) 0, f ( ) f ( )
2) 若 =k11 k2 2 kr r , 则 f ( )=k1 f (1 ) k2 f ( 2 ) kr f ( r ),
1 , 2 , n是V的一个基，则有 R( f ) span{ f (1 )，f ( 2 )， ，f ( n )}
f ( ) k1 f (1 ) k2 f ( 2 ) kn f ( n )
R f Span f (1 ), f ( 2 ), , f ( n )